6.3.2&6.3.3平面向量的正交分解及加，减法的坐标表示 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量及其应用 § 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 § 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 复习巩固 平面向量基本定理 如果，是同一平面内的两个_________向量，那么对于这一平面内的_______向量 ，_______________实数λ1，λ2，使＝___________. 有且只有一对　 不共线　 任一　 基底 若，_______，我们把{，}叫做表示这一平面内_____向量的一个基底. 不共线　 所有　 三点说明 1.基底不唯一 2.基底不共线 3.基底确定之后，实数λ1，λ2唯一确定 如图6.3-4 三点共线判定 复习巩固 生活实例 哦！！！ 物理背景 F1 F2 G V1 V2 V ∟ ∟ 基底 相互垂直是一种重要的情形。 { } G与F1,F2有什么关系? V与V1,V2有什么关系? G=F1+F2 V=V1+V2 5 一、向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解。 如下图，重力G 沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解。 重力G 可以分解为这样两个分力：平行于斜面使木块沿斜面下滑的力,垂直于斜面的压力. （一）单位正交分解 取与x轴,y轴方向相同的两个单位向量，把一个向量沿所在直线分解叫做把向量单位正交分解. 如图，向量、是两个互相垂直的单位向量，向量a与的夹角是30°， 且||=4，以向量、为基底，向量如何表示？ B O A P 课堂探究 叫单位基向量 30° {}叫单位正交基底 O x y x y （二）平面向量的坐标表示 引入新知 任作一个向量，由平面向量基本定理，有且只有一对实数x、y，使得 .我们把有序实数对(x,y)叫做向量的坐标， 记作: 其中，x叫做向量在x轴上的坐标， y叫做向量在y轴上的坐标， 叫做向量的坐标表示. 显然，，，. 例3：如图，分别用基底表示向量，，，，并求出他们的坐标. 课堂典例 解：由图可知 所以 巩固练习 巩固练习 变式2： 在平面内，以原点O的正东方向为x轴正向，正北方向为y轴的正向建立直角坐标系，质点在平面内做直线运动，分别求下列位移向量的坐标. (1)向量表示沿东北方向移动2个长度单位. (2)向量表示沿西偏北60°方向移动了3个长度单位. (3)向量表示沿东偏南30°方向移动了4个长度单位. 已知，，你能得出，的坐标吗？ 思考 结论：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）. 课堂典例 例4.已知 ，求 的坐标. O x y x y 注意 B(m,n) （2） 一一对应 点A的坐标(x,y) 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 例5. 已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是 （－2，1）、（－1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标. 解法1：设顶点D的坐标为（x，y） ∴顶点D的坐标为（2，2） 课堂典例 例5. 已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是 （－2，1）、（－1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标. 课堂典例 解法2：如图，由向量加法的平行四边形法则可知 而 所以顶点的坐标为 例6 在平面直角坐标系Oxy中，点A(-1，2)，B(4，3)，C(3λ，4+2λ)，=+(λ∈R). (1)试求实数λ为何值时，点P在第二、四象限的角平分线上； (2)若点P在第三象限内，求实数λ的取值范围. （1）由题意得，=(3λ+1，2λ+2). ∵=+， ∴=+=+(+)=+ =(4，3)+(3λ+1，2λ+2)=(3λ+5，2λ+5)， ∴P(3λ+5，2λ+5). ∵点P在第二、四象限的角平分线上， ∴3λ+5=-(2λ+5)，解得λ=-2. （2） 由(1)知，P(3λ+5，2λ+5)， ∵点P在第三象限内，∴ 解得λ<-. ∴λ的取值范围为. 作业 课堂小结 1.向量的坐标的概念: 2.平面向量的坐标运算: 3.能初步运用向量解决平面几何问题: 已知两点A(x1,y1), B(x2,y2)的坐标，如何求 的坐标？ 注:向量坐标等于终点坐标减去起点坐标. 18 解析：将各向量分别向 基底 所在直线分解， 则 ＝－4 ＋0· ＝(－4,0)； ＝0· ＋6 ＝(0,6)； ＝－2 －5 ＝(－2，－5)． 答案 ＝(－4,0)； ＝(0,6)； ＝(－2，－5)． 变式1：如图，向量 的坐标分别是_______，_______，________. 【解析】设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)， 则a1＝|a|cos 45°＝2×eq \f(\r(2),2)＝eq \r(2)，a2＝|a|sin 45°＝2×eq \f(\r(2),2)＝eq \r(2)； b1＝|b|cos 120°＝3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq \f(3,2)，b2＝|b|sin 120°＝3×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),2)； c1＝|c|cos(－30°)＝4×eq \f(\r(3),2)＝2eq \r(3)，c2＝|c|sin(－30°)＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－2. 所以a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\r(2)))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))，c＝(2eq \r(3)，－2)． $