专题7.3 同底数幂的除法（4大知识点+9 大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年苏科版七年级数学下学期培优讲义

专题7.3 同底数幂的除法 知识点1：同底数幂的除法法则 1.核心法则：对于不等于0的数，以及正整数、（），，即同底数幂相除，底数不变，指数相减。 2.关键注意事项： 底数，否则除数为0，除法无意义； 法则推广：多个同底数幂连续相除，仍适用该法则，即（，）； 逆用公式：（，），用于求值、化简。 知识点2：零指数幂与负整数指数幂 指数类型 定义（） 核心公式 注意事项 零指数幂 任何不等于0的数的0次幂等于1 无意义 负整数指数幂 任何不等于0的数的（为正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数 可转化为正指数幂运算，如 知识点3：科学记数法（表示绝对值小于1的数） 1.表示形式：绝对值小于1的正数可表示为，其中，为正整数。 2.的确定方法：等于原数左起第一个不为0的数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）。 3.还原方法：将的小数点向左移动位，位数不足时补0，如还原为0.000034。 知识点4：整数指数幂的运算性质（拓展） 已学幂的运算性质（同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方）对整数指数幂（正整数、0、负整数指数幂）均适用，例如： （，、为正整数）； （，、为正整数）； （，，为正整数）。 【基础必考题型】 【题型1】同底数幂除法的直接运算 1.核心知识点 同底数幂的除法法则； 底数含负号、多项式的处理技巧。 2.解题方法技巧 统一底数：先将不同形式的底数（如与）转化为相同底数，再应用法则； 符号处理：底数为负数时，先确定结果符号（指数相减后，根据底数符号和指数奇偶性判断），再计算指数。 【例题1】.计算： ． 【变式题1-1】.计算： (1)； (2)； (3)． 【变式题1-2】.计算下列各题： (1)； (2)； (3)． 【变式题1-3】.计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【题型2】零指数幂与负整数指数幂的基础运算 1.核心知识点 零指数幂的定义（，）； 负整数指数幂的定义（，）。 2.解题方法技巧 先定意义：计算前先判断底数是否不为0，确保幂有意义； 转化运算：负整数指数幂转化为正指数幂的倒数后计算，零指数幂直接得1。 【例题2】.计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.已知，，，，则以上四个数中，最大数减最小数的值为 ． 【变式题2-2】.计算：． 【变式题2-3】.若无意义，则是（    ） A． B． C．2 D．8 【题型3】科学记数法（表示/还原绝对值小于1的数） 1.核心知识点 科学记数法的表示形式（）； 和的确定方法。 2.解题方法技巧 表示数：先确定（整数部分只有一位非0数字），再数出第一个非0数字前0的个数确定； 还原数：将的小数点向左移动位，不足补0。 【例题3】.0.000163用科学记数法可表示为 ． 【变式题3-1】.透明导电薄膜是手机、平板电脑等设备实现触控功能的核心材料之一，它的厚度大约是0.000000064米，该数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.商丘市的市花是月季，月季花历来被称为“花中皇后”，中国古典文献中又称“月月红”、“长寿花”．月季属蔷薇科、蔷薇属植物，已有4000年的种植历史，已知月季花的花粉直径约为0.00000839米，则数据0.00000839用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式题3-3】.用科学记数法表示是 ． 【题型4】法则逆用基础求值 1.核心知识点 同底数幂除法法则的逆用（）； 幂的乘方与逆用的结合。 2.解题方法技巧 拆分指数：将待求幂的指数拆分为已知幂指数的差，逆用法则转化为除法运算； 代入计算：将已知幂的值代入，简化求解。 【例题4】.若，，则 ． 【变式题4-1】.(1)已知，，求的值． (2)已知，，求的值． 【变式题4-2】.已知，，，求的值． 【变式题4-3】.已知，，． (1)求的值． (2)求的值． 【培优高频题型】 【题型5】同底数幂的混合运算（含乘方、加减） 1.核心知识点 同底数幂的除法法则； 幂的乘方、积的乘方法则； 整式加减的合并同类项规则。 2.解题方法技巧 运算顺序：先算乘方，再算同底数幂的乘除，最后算加减； 合并同类项：只有底数和指数均相同的幂才能合并，系数相加，底数和指数不变。 【例题5】.计算： (1) (2) 【变式题5-1】.计算： (1) (2)． (3) 【变式题5-2】.计算： (1) (2) (3) (4) 【变式题5-3】.运算能力计算： (1)； (2)． 【题型6】含字母的指数方程求解 1.核心知识点 同底数幂除法法则（底数相同，指数相等）； 一元一次方程的解法。 2.解题方法技巧 化同底数：将方程两边化为同底数幂的形式； 列方程：根据指数相等列出一元一次方程，求解后验证底数不为0。 【例题6】.， ． 【变式题6-1】.已知，则的值为 ． 【变式题6-2】.定义一种新运算“”：若，则规定．当时，则整数x的值为 ． 【变式题6-3】.已知，，则的值是 ． 【题型7】科学记数法的综合计算 1.核心知识点 科学记数法的运算规则； 同底数幂的乘除法法则。 2.解题方法技巧 分别运算：将部分和部分分别按有理数和同底数幂法则计算； 调整形式：结果需还原为科学记数法（确保）。 【例题7】.最小刻度为（）的钻石标尺，可以测量的距离小到不足头发丝直径的十万分之一，这也是目前世界上刻度最小的标尺． (1)用科学记数法表示这一最小刻度（单位：）． (2)蜂鸟是世界上最小的鸟，最大的蜂鸟从头到尾的长度大约仅为，问最大的蜂鸟的长度相当于该标尺最小刻度的多少倍？ 【变式题7-1】.一块的芯片上能集成10亿个元件． (1)每个这样的元件约占多少？ (2)每个这样的元件约占多少？ 【变式题7-2】.北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠的导航、定位和授时服务，授时精度优于，请你以秒为单位，并用科学记数法表示这个时间． 【变式题7-3】.某种液体中有害细菌的含量是个/L，某种杀菌剂一滴可以杀死个此种有害细菌，现在将这种液体中的有害细菌杀死，要用这种杀菌剂多少滴？若10滴这种杀菌剂的体积为，则杀死这些有害细菌要用多少升杀菌剂（结果用科学记数法表示）？ 【压轴素养题型】 【题型8】新定义运算中的幂除法应用 1.核心知识点 同底数幂的除法法则； 新定义运算的理解与转化。 2.解题方法技巧 翻译定义：将新定义运算（如）转化为同底数幂的除法； 按则计算：根据新定义列出算式，套用除法法则求解。 【例题8】.在复习第7章《幂的运算》过程中，小东进行了如下的探究： (1)根据幂的定义证明同底数幂的除法法则：（，、是正整数，）． (2)当、是正整数时，根据负整数指数幂的定义，证明：． 【变式题8-1】.定义：如果，那么c为a，b的“甜幂指数”，记为．例如，那么2为的“甜幂指数”，记为．根据定义回答以下问题： (1)若，则m＝______；若，则n＝______； (2)已知，，，x，y，z为正整数，且，求m的值； (3)已知当x，y为正整数，且时，成立，且满足，若，，m，n为正整数，且，时，求的值． 【变式题8-2】.定义一种幂的新运算：，例如，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值； (2)若，求x的值． 【变式题8-3】.现定义一种新运算：．若，则，所以． （1）若，则 ； （2）若为正整数，则 （用含的代数式表示）． 【题型9】法则逆用综合求值 1.核心知识点 同底数幂除法法则的逆用； 幂的乘方、积的乘方与负整数指数幂的结合。 2.解题方法技巧 指数变形：将复杂指数拆分为多个已知指数的和差、倍数形式； 整体代入：结合已知条件，整体代入求值，避免单独求字母值。 【例题9】.计算下面各题： (1)已知，，求的值； (2)已知，，求的值． 【变式题9-1】.将幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)已知，，求的值．（用含a，b的式子表示） (2)已知，求x的值． 【变式题9-2】.已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【变式题9-3】.计算下面各题： (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值． 易错点 1.忽略底数不为0的前提，误对或底数为0的负整数指数幂进行运算； 2.混淆同底数幂的除法与乘法法则，如误将计算为； 3.负整数指数幂运算时符号错误，如误将计算为（正确结果为）； 4.科学记数法中的确定错误，漏数或多数第一个非0数字前的0； 5.混合运算顺序错误，先算加减后算乘除，或未先算乘方。 重点 1.熟练掌握同底数幂的除法法则，能准确进行基础运算和逆用； 2.理解零指数幂与负整数指数幂的意义，掌握其运算方法； 3.会用科学记数法表示和还原绝对值小于1的数； 4.能进行含零指数幂、负整数指数幂的混合运算，明确运算顺序； 5.运用法则解决简单的实际应用和跨学科问题。 难点 1.同底数幂除法法则的灵活逆用，尤其是复杂指数的拆分与转化； 2.含字母的指数方程求解，需兼顾底数不为0的条件； 3.科学记数法的综合计算，结果需规范还原为科学记数法形式； 4.跨学科情境题与规律探究题的数学建模，提炼数量关系； 5.分类讨论题中，根据底数、指数的特征全面分析，避免漏解。 【对应练习题】 一、单选题 1．计算的结果是（   ） A．1 B． C． D． 2．如果不成立，那么a的值为（　　） A．0 B．1 C． D． 3．若，，，，则它们的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．，则有（     ） A．， B．， C．， D．， 5．若，，则 等于（   ） A．1 B．9 C．3 D． 二、填空题 6．在2025年最新量子芯片时序精度研究中，科研人员会用到皮秒级别的脉冲信号来控制量子比特的状态切换．已知1皮秒等于0.000000000001秒，数据0.000000000001用科学记数法应记作 ． 7．若，则与之间的关系是 ． 8．若，则 ． 9．计算： ． 10．若，，则 ． 三、解答题 11．计算： (1) (2) (3) (4) 12．若，，求的值． 13．先化简，再求值：，其中，． 14．（1）已知：，求：①的值；②的值； （2）已知，求x的值． 15．在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“已知，，求的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即，所以，所以． 请你也利用逆向思考的方法解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)计算：． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.3 同底数幂的除法 知识点1：同底数幂的除法法则 1.核心法则：对于不等于0的数，以及正整数、（），，即同底数幂相除，底数不变，指数相减。 2.关键注意事项： 底数，否则除数为0，除法无意义； 法则推广：多个同底数幂连续相除，仍适用该法则，即（，）； 逆用公式：（，），用于求值、化简。 知识点2：零指数幂与负整数指数幂 指数类型 定义（） 核心公式 注意事项 零指数幂 任何不等于0的数的0次幂等于1 无意义 负整数指数幂 任何不等于0的数的（为正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数 可转化为正指数幂运算，如 知识点3：科学记数法（表示绝对值小于1的数） 1.表示形式：绝对值小于1的正数可表示为，其中，为正整数。 2.的确定方法：等于原数左起第一个不为0的数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）。 3.还原方法：将的小数点向左移动位，位数不足时补0，如还原为0.000034。 知识点4：整数指数幂的运算性质（拓展） 已学幂的运算性质（同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方）对整数指数幂（正整数、0、负整数指数幂）均适用，例如： （，、为正整数）； （，、为正整数）； （，，为正整数）。 【基础必考题型】 【题型1】同底数幂除法的直接运算 1.核心知识点 同底数幂的除法法则； 底数含负号、多项式的处理技巧。 2.解题方法技巧 统一底数：先将不同形式的底数（如与）转化为相同底数，再应用法则； 符号处理：底数为负数时，先确定结果符号（指数相减后，根据底数符号和指数奇偶性判断），再计算指数。 【例题1】.计算： ． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的除法，先计算幂的乘方，再计算同底数幂的除法即可得出结果． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式题1-1】.计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的运算，涉及同底数幂的乘除法、幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解答的关键． （1）根据同底数幂的除法运算法则求解即可； （2）先根据同底数幂的乘法运算法则进行括号内运算，再根据同底数幂的除法运算法则求解即可； （3）先根据同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则进行括号内运算，再根据同底数幂的除法运算法则求解即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ． 【变式题1-2】.计算下列各题： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先算乘方，再算乘除即可； （2）先算乘方，再算乘除即可； （3）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． 【变式题1-3】.计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的除法运算，需运用同底数幂的除法法则及幂的符号法则求解，即可作答． 【详解】解：∵同底数幂相除，底数不变，指数相减，负数的奇次幂为负数 ∴， 故选：D． 【题型2】零指数幂与负整数指数幂的基础运算 1.核心知识点 零指数幂的定义（，）； 负整数指数幂的定义（，）。 2.解题方法技巧 先定意义：计算前先判断底数是否不为0，确保幂有意义； 转化运算：负整数指数幂转化为正指数幂的倒数后计算，零指数幂直接得1。 【例题2】.计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查零指数幂． 依据零指数幂的运算法则直接计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 【变式题2-1】.已知，，，，则以上四个数中，最大数减最小数的值为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了乘方运算，零指数幂，负整数指数幂的运算，有理数比较大小，有理数的运算，熟练掌握相应运算法则是解题的关键． 分别计算a、b、c、d的值，比较大小后求差即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴最大数减最小数的值为． 故答案为：9． 【变式题2-2】.计算：． 【答案】2 【分析】本题考查零指数幂、负整数指数幂及有理数的混合运算，熟练掌握零指数幂、负整数指数幂是解答的关键． 先计算零指数幂、负整数指数幂和绝对值，再进行有理数的运算即可求解． 【详解】解：原式． 【变式题2-3】.若无意义，则是（    ） A． B． C．2 D．8 【答案】B 【分析】本题考查负整数指数幂、求代数式的值，先根据该条件求出x的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵无意义， ∴， 解得， ∴． 故选：B． 【题型3】科学记数法（表示/还原绝对值小于1的数） 1.核心知识点 科学记数法的表示形式（）； 和的确定方法。 2.解题方法技巧 表示数：先确定（整数部分只有一位非0数字），再数出第一个非0数字前0的个数确定； 还原数：将的小数点向左移动位，不足补0。 【例题3】.0.000163用科学记数法可表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，科学记数法表示较小数时，形式为，其中，为小数点移动的数位，据此作答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式题3-1】.透明导电薄膜是手机、平板电脑等设备实现触控功能的核心材料之一，它的厚度大约是0.000000064米，该数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：C． 【变式题3-2】.商丘市的市花是月季，月季花历来被称为“花中皇后”，中国古典文献中又称“月月红”、“长寿花”．月季属蔷薇科、蔷薇属植物，已有4000年的种植历史，已知月季花的花粉直径约为0.00000839米，则数据0.00000839用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，需掌握科学记数法的表示形式为（其中，为正整数），的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数决定． 【详解】解：∵原数左边起第一个不为零的数字是8，它前面有6个0 ∴， 故选：B． 【变式题3-3】.用科学记数法表示是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法表示数，掌握科学记数法表示数的形式是解题的关键； 本题首先根据科学记数法表示数的形式为，，为整数，当表示较小的数时，为负整数，且为原数第一个非0数前0的个数，解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【题型4】法则逆用基础求值 1.核心知识点 同底数幂除法法则的逆用（）； 幂的乘方与逆用的结合。 2.解题方法技巧 拆分指数：将待求幂的指数拆分为已知幂指数的差，逆用法则转化为除法运算； 代入计算：将已知幂的值代入，简化求解。 【例题4】.若，，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查同底数幂的除法，利用同底数幂的除法逆运算解答即可． 【详解】解：， 故答案为：2． 【变式题4-1】.(1)已知，，求的值． (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，（1）观察已知式子的指数之间的关系，做乘法再乘以即可得到要求式子的值；（2）观察已知式子的指数之间的关系，做除法即可得到要求式子的值． 【详解】解：（1），， ； （2），； ． 【变式题4-2】.已知，，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了幂的运算，涉及同底数幂的除法、乘法逆运算，幂的乘方逆运算等知识点． 将变形为，再代入求解即可． 【详解】解：因为，，， 所以 ． 【变式题4-3】.已知，，． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的乘方的逆运算，同底数幂乘除法的逆运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方的逆运算求解即可； （2）根据同底数幂乘法和除法的逆运算法则求解即可． 【详解】（1）解：， ． （2）解：，，， ． 【培优高频题型】 【题型5】同底数幂的混合运算（含乘方、加减） 1.核心知识点 同底数幂的除法法则； 幂的乘方、积的乘方法则； 整式加减的合并同类项规则。 2.解题方法技巧 运算顺序：先算乘方，再算同底数幂的乘除，最后算加减； 合并同类项：只有底数和指数均相同的幂才能合并，系数相加，底数和指数不变。 【例题5】.计算： (1) (2) 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，幂的混合运算，包括零指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）先进行零指数幂和乘法运算，再进行加减即可； （2）先进行同底数幂相乘和幂的乘方，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题5-1】.计算： (1) (2)． (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了幂的乘方，负整数指数幂，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把小数化为分数，再运算幂的乘方，即可作答． （2）先运算乘方，再整理得，即可作答． （3）先运算乘方，再把除法化为乘法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式题5-2】.计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算及幂的运算，关键是熟练应用运算法则进行计算； （1）先算乘方、括号内的，再算乘除，最后算加减即可； （2）先算乘方再算乘法，然后利用运算律进行计算； （3）先算乘方、负整数指数幂、零指数幂、然后算加减即可； （4）先算积的乘方、幂的乘方，然后算乘除，最后算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：原式 ； （4）解：     ． 【变式题5-3】.运算能力计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握相关知识是做题的关键． （1）先算零指数幂，负整数指数幂，乘方，再算加减即可； （2）先算零指数幂，负整数指数幂，化简绝对值，再算加减即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． 【题型6】含字母的指数方程求解 1.核心知识点 同底数幂除法法则（底数相同，指数相等）； 一元一次方程的解法。 2.解题方法技巧 化同底数：将方程两边化为同底数幂的形式； 列方程：根据指数相等列出一元一次方程，求解后验证底数不为0。 【例题6】.， ． 【答案】4 【分析】本题考查了幂的乘方逆运算，同底数幂相乘，同底数幂相除，将方程中的数都化为以2为底的幂，利用同底数幂相乘，同底数幂相除进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， 故答案为：4． 【变式题6-1】.已知，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查同底数的除法和幂的乘方，先将25和125化为以5为底的幂，再利用同底数幂的除法法则和指数相等求解即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 因此， 解得． 故答案为：1． 【变式题6-2】.定义一种新运算“”：若，则规定．当时，则整数x的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了幂运算，包括零指数幂和负整数指数幂，熟练掌握幂运算法则是关键．根据新定义可得，再分三种情况求解即可． 【详解】解：当时， ， 分三种情况： 当时，，此时底数，但x不是整数，不符合题意，舍去； 当时，，此时，符合题意； 当时，，此时，，不符合题意，舍去； 综上所述，整数x的值为0． 故答案为：0． 【变式题6-3】.已知，，则的值是 ． 【答案】 【分析】利用指数运算法则，将 转化为 ，再代入已知条件计算． 本题考查了指数运算的逆向应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：由已知，， 故，， 又， 故， 故答案为：． 【题型7】科学记数法的综合计算 1.核心知识点 科学记数法的运算规则； 同底数幂的乘除法法则。 2.解题方法技巧 分别运算：将部分和部分分别按有理数和同底数幂法则计算； 调整形式：结果需还原为科学记数法（确保）。 【例题7】.最小刻度为（）的钻石标尺，可以测量的距离小到不足头发丝直径的十万分之一，这也是目前世界上刻度最小的标尺． (1)用科学记数法表示这一最小刻度（单位：）． (2)蜂鸟是世界上最小的鸟，最大的蜂鸟从头到尾的长度大约仅为，问最大的蜂鸟的长度相当于该标尺最小刻度的多少倍？ 【答案】(1) (2)最大的蜂鸟的长度相当于该标尺最小刻度的倍 【分析】本题考查了科学记数法及用科学记数法表示数的除法的应用； （1）由科学记数表示绝对值小于的方法进行表示，即可求解； （2）由题可得，进行计算，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：因为， 所以， 所以最大的蜂鸟的长度相当于该标尺最小刻度的倍． 【变式题7-1】.一块的芯片上能集成10亿个元件． (1)每个这样的元件约占多少？ (2)每个这样的元件约占多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查科学记数法、负整数指数幂及同底数幂的除法，熟练掌握科学记数法的表示方法及负整数指数幂是解题的关键． （1）根据“平均每个电子元件占地面积芯片总面积电子元件总个数”，将数值代入进行除法运算，并转化为科学记数法形式． （2）首先将转化为用表示，然后将转为表示即可． 【详解】（1）解：， ． 答：每个这样的元件约占． （2）解：， ． 答：每个这样的元件约占． 【变式题7-2】.北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠的导航、定位和授时服务，授时精度优于，请你以秒为单位，并用科学记数法表示这个时间． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数，据此解答即可． 【详解】解：． 【变式题7-3】.某种液体中有害细菌的含量是个/L，某种杀菌剂一滴可以杀死个此种有害细菌，现在将这种液体中的有害细菌杀死，要用这种杀菌剂多少滴？若10滴这种杀菌剂的体积为，则杀死这些有害细菌要用多少升杀菌剂（结果用科学记数法表示）？ 【答案】3滴； 【分析】本题考查了同底数幂乘除法的实际应用及科学记数法，解题的关键是：理解题意正确列式．先求出3升含有细菌的个数，再求出杀死这些细菌需要的滴数，再用滴数除以每滴这种杀菌剂的升数，即可求解 【详解】解：由题意得：（滴）， ． 答：需要3滴，要用． 【压轴素养题型】 【题型8】新定义运算中的幂除法应用 1.核心知识点 同底数幂的除法法则； 新定义运算的理解与转化。 2.解题方法技巧 翻译定义：将新定义运算（如）转化为同底数幂的除法； 按则计算：根据新定义列出算式，套用除法法则求解。 【例题8】.在复习第7章《幂的运算》过程中，小东进行了如下的探究： (1)根据幂的定义证明同底数幂的除法法则：（，、是正整数，）． (2)当、是正整数时，根据负整数指数幂的定义，证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了同底数幂相除，负整数指数幂，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，结合幂的定义证明同底数幂的除法法则，即可作答． （2）运用负整数指数幂运算法则验证，即可作答． 【详解】（1）证明：，、是正整数， ， 即（，、是正整数，）； （2）解：，、是正整数 ∴， ， 故． 【变式题8-1】.定义：如果，那么c为a，b的“甜幂指数”，记为．例如，那么2为的“甜幂指数”，记为．根据定义回答以下问题： (1)若，则m＝______；若，则n＝______； (2)已知，，，x，y，z为正整数，且，求m的值； (3)已知当x，y为正整数，且时，成立，且满足，若，，m，n为正整数，且，时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了幂的乘方、同底数幂幂的乘法和除法等知识，熟练掌握幂的运算法则是关键． （1）根据新定义可得到答案； （2）根据新定义得到，进一步得到，即可得到答案； （3）根据题意得到则，即可得到,整理即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可得，若，∵， 则； 若，∵，则； （2）由题意可得，， ∵， ∴ ∴ （3）∵，，m，n为正整数， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴, ∴ ∴ 【变式题8-2】.定义一种幂的新运算：，例如，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了定义幂的新运算．熟练掌握新运算规则，同底数幂的除法法则，是解题的关键． （1）根据新运算规则计算，即可求解； （2）根据新运算规则原式可变形得出，可得，即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵， ∴， ∴， 解得：． 【变式题8-3】.现定义一种新运算：．若，则，所以． （1）若，则 ； （2）若为正整数，则 （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】题目主要考查新定义及同底数幂的除法运算，理解新定义是解题关键． （1）根据新定义直接求解即可； （2）根据新定义得出，然后利用同底数幂的除法运算求解即可． 【详解】解：（1）根据题意得：； （2）∵， ∴， ∴， 故答案为：25；． 【题型9】法则逆用综合求值 1.核心知识点 同底数幂除法法则的逆用； 幂的乘方、积的乘方与负整数指数幂的结合。 2.解题方法技巧 指数变形：将复杂指数拆分为多个已知指数的和差、倍数形式； 整体代入：结合已知条件，整体代入求值，避免单独求字母值。 【例题9】.计算下面各题： (1)已知，，求的值； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查同底数幂的除法； （1）根据同底数幂的除法法则计算即可； （2）根据同底数幂的除法法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：，， ∴，， ， ， ∴， ∴， ∴． 【变式题9-1】.将幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)已知，，求的值．（用含a，b的式子表示） (2)已知，求x的值． 【答案】(1) (2) 5 【分析】本题考查了幂的运算的逆用（同底数幂的乘除、幂的乘方），解题的关键是将所求式子转化为已知底数的幂的形式，利用幂的运算法则逆用计算． （1） 将转化为，代入、求解； （2） 把、16化为以2为底的幂，利用同底数幂乘法法则合并，根据指数相等列方程求． 【详解】（1）解： （2）解： 解得． 【变式题9-2】.已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了幂的乘方逆运算，同底数幂的乘法的逆运算，同底数幂的除法的逆运算，熟练掌握幂的运算性质是解题的关键． （1）根据，代入计算即可； （2）根据，结合代入计算即可； （3）根据，结合变形即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵， ∴． （3）解：∵， 又， ∴， ∴． 【变式题9-3】.计算下面各题： (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查同底数幂的乘除运算，幂的乘方逆运算法则，熟练掌握同底数幂的乘除运算是解题的关键． （1）根据同底数幂的除法逆用结合幂的乘方逆运算法则，进行求解； （2）根据幂的乘方逆运算法则可得，再代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 易错点 1.忽略底数不为0的前提，误对或底数为0的负整数指数幂进行运算； 2.混淆同底数幂的除法与乘法法则，如误将计算为； 3.负整数指数幂运算时符号错误，如误将计算为（正确结果为）； 4.科学记数法中的确定错误，漏数或多数第一个非0数字前的0； 5.混合运算顺序错误，先算加减后算乘除，或未先算乘方。 重点 1.熟练掌握同底数幂的除法法则，能准确进行基础运算和逆用； 2.理解零指数幂与负整数指数幂的意义，掌握其运算方法； 3.会用科学记数法表示和还原绝对值小于1的数； 4.能进行含零指数幂、负整数指数幂的混合运算，明确运算顺序； 5.运用法则解决简单的实际应用和跨学科问题。 难点 1.同底数幂除法法则的灵活逆用，尤其是复杂指数的拆分与转化； 2.含字母的指数方程求解，需兼顾底数不为0的条件； 3.科学记数法的综合计算，结果需规范还原为科学记数法形式； 4.跨学科情境题与规律探究题的数学建模，提炼数量关系； 5.分类讨论题中，根据底数、指数的特征全面分析，避免漏解。 【对应练习题】 一、单选题 1．计算的结果是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的除法运算，运用同底数幂的除法法则求解即可． 【详解】解：∴， 故选：B． 2．如果不成立，那么a的值为（　　） A．0 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了零指数幂有意义的条件．根据零指数幂成立的条件是底数，当该等式不成立时，底数为0，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵不成立， ∴， ∴． 故选：D 3．若，，，，则它们的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了负整数指数幂、零指数幂、有理数乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 分别计算出a、b、c、d的具体数值，再比较数值大小即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 又∵， ∴． 故选：B． 4．，则有（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的除法运算，解题的关键是掌握同底数幂的除法法则． 利用同底数幂相除，底数不变、指数相减的法则，结合等式两边相同字母指数相等求解m、n的值． 【详解】解：∵同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴，， 解得，， 故选：B． 5．若，，则 等于（   ） A．1 B．9 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用，同底数幂的除法的逆用． 逆用同底数幂的除法将化为，逆用幂的乘方将化为，进而计算即可． 【详解】解：． 故选：D． 二、填空题 6．在2025年最新量子芯片时序精度研究中，科研人员会用到皮秒级别的脉冲信号来控制量子比特的状态切换．已知1皮秒等于0.000000000001秒，数据0.000000000001用科学记数法应记作 ． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为正整数，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数为负，其绝对值n等于第一个非零数字前所有零的个数（包括小数点前的零）． 【详解】解：0.000000000001的小数点向右移动12位得到1，因此该数可表示为， 故答案为：． 7．若，则与之间的关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则和除法法则．利用同底数幂的乘法法则和除法法则，将等式两边化为同底数幂的形式，再根据底数相同指数相等的原则，得到关于m和n的方程，进而求解关系． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 8．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂除法的逆运算，熟记法则并根据法则计算是解题关键； 利用指数的运算性质，将表示为，然后代入已知值计算． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 9．计算： ． 【答案】// 【分析】本题考查零指数幂和负整数指数幂的运算，掌握好相关知识是关键． 根据运算法则计算各项再求和即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．将已知条件中的幂转化为底数为3的形式，利用指数运算法则计算所求表达式． 【详解】解：由 ，得 ， 即 ， 由 ， 得 ， 则 ． 故答案为：． 三、解答题 11．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了实数和整式的混合运算，解题关键是熟练掌握负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、幂的乘方法则、同底数幂乘除法则． （1）根据负整数指数幂的性质、零指数幂的性质，先算乘方，再算乘法，最后算加减即可； （2）根据幂的乘方法则先算乘方，再根据同底数幂乘除法则计算乘除即可； （3）根据积的乘方法则先算乘方，再根据同底数幂相除法则计算除法，最后合并同类项即可； （4）把底数变成，再根据同底数幂相乘法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 12．若，，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂除法的逆运算，根据代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 13．先化简，再求值：，其中，． 【答案】；3 【分析】本题考查的是幂的运算，掌握积的乘方和幂的乘方法则、同底数幂的除法法则是解题的关键． 根据积的乘方和幂的乘方法则和同底数幂的除法法则把原式化简，代入已知数据计算即可． 【详解】解： ． 当，时，原式． 14．（1）已知：，求：①的值；②的值； （2）已知，求x的值． 【答案】 （1）①72；② （2）8 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法、除法运算，幂的乘方运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据幂的乘方，同底数幂的乘法法则和除法法则求解即可； （2）把各个数字化为以3为底数的形式，按照同底数幂的乘法法则，求解即可． 【详解】解：（1）①∵，， ∴； ②∵，， ∴； （2）∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 15．在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“已知，，求的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即，所以，所以． 请你也利用逆向思考的方法解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，变形计算即可； （2）逆向应用积的乘方解答即可． 本题考查了公式的逆向应用，熟练掌握公式是解题的关键 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴． （2）解： ． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $