专题7.2 幂的乘方与积的乘方（3大知识点+8大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年苏科版七年级数学下学期培优讲义

专题7.2 幂的乘方与积的乘方 知识点1：幂的乘方 1.定义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如表示个相乘。 2.运算法则：对于正整数、，，即幂的乘方，底数不变，指数相乘。 3.拓展应用： 多重复合运算：（、、为正整数）； 底数为多项式：（将多项式视为一个整体）； 逆用公式：（用于求值、化简）。 知识点2：积的乘方 1.定义：积的乘方是指底数为乘积形式的乘方，如、等。 2.运算法则：对于正整数，，即积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 3.拓展应用： 多个因式相乘：（为正整数）； 逆用公式：（指数相同的幂相乘，可先将底数相乘）； 系数含负号：将负号视为“”作为单独因式参与乘方，如（为偶数时结果为正，奇数时为负）。 知识点3：幂的乘方与积的乘方、同底数幂乘法的区别 运算类型 核心法则 指数运算方式 底数特征 同底数幂乘法 指数相加 底数相同 幂的乘方 指数相乘 底数为单个幂 积的乘方 各因式指数分别乘 底数为乘积形式 【基础必考题型】 【题型1】幂的乘方的直接运算 1.核心知识点 幂的乘方法则（底数不变，指数相乘）； 含负号底数的幂的乘方符号规律。 2.解题方法技巧 直接套用法则：忽略底数正负，先按法则计算指数，再根据底数符号和指数奇偶性确定结果符号； 注意单独字母的指数：如，则，避免漏算指数。 【例题1】.（24-25七年级下·全国·课后作业）下列不属于幂的乘方的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·广东湛江·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）式子可表示为（   ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2) (3) ． (4)． 【题型2】积的乘方的直接运算 1.核心知识点 积的乘方法则（每一个因式分别乘方）； 系数与字母因式的乘方区别。 2.解题方法技巧 因式拆分：将积拆分为系数、单独字母、多项式等多个因式，逐一乘方； 符号优先：先处理系数中的负号，再计算各因式的乘方，避免符号错误。 【例题2】.（25-26七年级上·河南·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·全国·期末）计算的结果是（    ） A．－ B． C． D．－ 【变式题2-2】.（2026七年级下·江苏·专题练习）与相等的是（　　） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（2026七年级下·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)． 【题型3】利用法则求指数或字母的值 1.核心知识点 幂的乘方、积的乘方法则； 等式两边幂相等的条件（底数相同则指数相等）。 2.解题方法技巧 化同底数幂：将等式两边化为同底数幂的形式，根据指数相等列方程； 代入验证：求解字母值后，代入原式验证是否符合法则和题意。 【例题3】.（25-26六年级下·全国·课后作业）已知，则的值为 ． 【变式题3-1】.（25-26六年级下·全国·课后作业）已知，求的值． 【变式题3-2】.（2026七年级下·江苏·专题练习）若（且），则． (1)如果，求x的值； (2)已知x满足，求x的值． 【变式题3-3】.（2026七年级下·江苏·专题练习）若，则x的值是 ． 【题型4】法则逆用基础求值 1.核心知识点 幂的乘方逆用（）； 积的乘方逆用（）。 2.解题方法技巧 幂的乘方逆用：将指数拆分为两个数的乘积，转化为幂的乘方形式求值； 积的乘方逆用：当两个幂指数相同时，先将底数相乘再乘方，简化计算。 【例题4】.（2026七年级下·江苏·专题练习）若，，则的值为（　　） A．45 B．30 C．14 D．11 【变式题4-1】.（25-26六年级下·全国·课后作业）若，，则（　　） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）计算：． （2）若，，用，的代数式表示． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·河北衡水·期末）已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)直接写出，，之间的数量关系． 【培优高频题型】 【题型5】幂的乘方与积的乘方混合运算 1.核心知识点 幂的乘方、积的乘方法则； 同底数幂乘法法则； 整式加减的合并同类项规则。 2.解题方法技巧 运算顺序：先算乘方（幂的乘方、积的乘方），再算同底数幂乘法，最后算加减； 合并同类项：只有底数和指数均相同的幂才能合并，系数相加，底数和指数不变。 【例题5】.（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式题5-1】.（24-25七年级下·全国·课后作业）简便计算： (1)； (2)． 【变式题5-2】.（2026七年级下·江苏·专题练习）计算下列各式，结果用幂的形式表示： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式题5-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【题型6】幂的大小比较（乘方法则应用） 1.核心知识点 幂的乘方法则逆用； 幂的大小比较技巧（同底数比指数，同指数比底数）。 2.解题方法技巧 化同指数：将不同底数、不同指数的幂，通过幂的乘方逆用化为同指数幂，比较底数大小； 化同底数：若底数可化为相同形式（如、），则化为同底数幂，比较指数大小。 【例题6】.（2026七年级下·江苏·专题练习）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式．试选择合适的方法解决以下问题： (1)比较与的大小； (2)比较、、的大小． 【变式题6-1】.（24-25七年级下·全国·课后作业）阅读下列材料：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法．①比较，的大小．当时，，当底数相同时，指数越大值越大．②比较和的大小．，，，．可以将其先化为同指数，再比较大小，指数相同时，底数越大值越大．根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小：________（填写“＞”“＜”或“＝”）． (2)已知，，，试比较，，的大小． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·山东滨州·月考）比较下列各题中幂的大小： (1)比较，，这3个数的大小关系； (2)已知，，，比较a、b、c的大小关系． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·浙江·假期作业）逆向思维的重要性在于它能够帮助我们更好地解决问题、理解他人、创新突破，并且对于应对未来的挑战具有重要意义．在数学领域中，逆向思维是一种重要的思维方式，它可以帮助我们从不同的角度解决问题．我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，（，都是正整数）．请你运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题： (1)计算：______． (2)，，． (3)已知，求的值． (4)已知，，，请把，，用“”连接起来：______． 【压轴素养题型】 【题型7】新定义运算中的乘方应用 1.核心知识点 幂的乘方、积的乘方法则； 新定义运算的理解与转化。 2.解题方法技巧 翻译定义：将新定义运算（如）转化为幂的乘方或积的乘方运算； 按则计算：根据新定义列出算式，套用对应法则求解。 【例题7】.（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）定义新运算：，则的运算结果是 ． 【变式题7-1】.（2025·河北邯郸·模拟预测）现定义某种运算“★”：对给定的两个有理数a，b，有． (1)求的值； (2)若，求的值（结果用科学记数法表示）． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·四川南充·期末）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)根据上述规定填空： ________  ________  ________． (2)已知，，，，求证：． 【变式题7-3】.（2025·黑龙江绥化·二模）定义一种新的运算：一般地，如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作，于是，我们可探究出对数运算的性质：如果，且，，那么会有．求（   ） A．19 B．21 C．16 D．40 【题型8】逆用法则解决复杂求值问题 1.核心知识点 幂的乘方、积的乘方逆用； 指数的拆分与组合。 2.解题方法技巧 指数拆分：将待求幂的指数拆分为已知幂指数的倍数或和差形式，逆用法则转化； 整体代入：结合已知条件，整体代入求值，避免单独求字母值的繁琐计算。 【例题8】.（2026七年级下·全国·专题练习）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)[理解]根据上述规定，填空： ； (2)[说理]记．试说明； (3)[应用]若，求t的值． 【变式题8-1】.（24-25七年级下·全国·课后作业）逆向运用幂的运算法则可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)的结果是________． (2)若，求的值． (3)比较大小：已知，，，，则，，，的大小关系是什么？（提示：如果，为正整数，那么） 【变式题8-2】.（25-26八年级上·河南南阳·期末）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：；其中m，n为正整数．结合以上材料解决下列问题． (1)已知，请直接把a，b，c用“”连接起来 ； (2)若，求的值． 【变式题8-3】.（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______ ；若，则______ ； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，令，求的值． 易错点 1.混淆幂的乘方与同底数幂乘法，如误将计算为（正确结果为）； 2.积的乘方运算漏项，如误将计算为（正确结果为）； 3.忽略底数含负号的符号规则，如误将计算为（正确结果为）； 4.混合运算顺序错误，先算乘法再算乘方，导致结果错误； 5.法则逆用时指数拆分不当，如误将拆分为而非（虽结果正确，但需结合题意合理拆分）。 重点 1.熟练掌握幂的乘方、积的乘方的运算法则，能准确进行基础运算； 2.掌握法则的逆用技巧，解决求值、化简问题； 3.能进行幂的乘方与积的乘方的混合运算，明确运算顺序； 4.学会处理底数含负号、多项式的乘方运算，避免符号和漏项错误； 5.能运用乘方运算法则解决简单的实际应用和跨学科问题。 难点 1.幂的乘方与积的乘方的混合运算，尤其是含多重复合乘方和同类项合并的情况； 2.法则的灵活逆用，尤其是复杂指数的拆分和整体代入求值； 3.底数含多项式或符号复杂的乘方运算，需准确进行整体代换和符号判断； 4.幂的大小比较，能根据底数和指数特征选择合适的转化方法； 5.跨学科情境题和说理题的数学建模与逻辑推导。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列属于积的乘方的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各图中，能直观解释“”的是（　　） A． B． C． D． 3．已知，则（   ） A．12 B．6 C．13 D．7 4．已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．计算： （1） ． （2） ． 7．若是正整数，且，，则 ． 8．若，则的值是 9．计算： ． 10．若，，用含的代数式表示为 ． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．运算能力：已知，求，的值． 13．嘉琪在学习幂的乘方时，发现，，两者的结果是相同的，他觉得这是由于在进行指数相乘时，乘法具有交换律，所以是相同的．于是他在计算与时，认为结果也应是相同的．你同意他的观点吗？说说你的理由． 14．若（且，m，n是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 15．计算下列各式，并用幂的形式表示结果： (1) ， ； ， ； ， ； ， ． (2)观察第（1）题的计算结果，你有什么发现？把你的发现用适当的数学符号表示出来． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.2 幂的乘方与积的乘方 知识点1：幂的乘方 1.定义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如表示个相乘。 2.运算法则：对于正整数、，，即幂的乘方，底数不变，指数相乘。 3.拓展应用： 多重复合运算：（、、为正整数）； 底数为多项式：（将多项式视为一个整体）； 逆用公式：（用于求值、化简）。 知识点2：积的乘方 1.定义：积的乘方是指底数为乘积形式的乘方，如、等。 2.运算法则：对于正整数，，即积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 3.拓展应用： 多个因式相乘：（为正整数）； 逆用公式：（指数相同的幂相乘，可先将底数相乘）； 系数含负号：将负号视为“”作为单独因式参与乘方，如（为偶数时结果为正，奇数时为负）。 知识点3：幂的乘方与积的乘方、同底数幂乘法的区别 运算类型 核心法则 指数运算方式 底数特征 同底数幂乘法 指数相加 底数相同 幂的乘方 指数相乘 底数为单个幂 积的乘方 各因式指数分别乘 底数为乘积形式 【基础必考题型】 【题型1】幂的乘方的直接运算 1.核心知识点 幂的乘方法则（底数不变，指数相乘）； 含负号底数的幂的乘方符号规律。 2.解题方法技巧 直接套用法则：忽略底数正负，先按法则计算指数，再根据底数符号和指数奇偶性确定结果符号； 注意单独字母的指数：如，则，避免漏算指数。 【例题1】.（24-25七年级下·全国·课后作业）下列不属于幂的乘方的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题需根据幂的乘方的定义，解题的关键是掌握幂的乘方的定义． 判断各选项是否符合（为整式，为正整数）的形式，进而找出不属于幂的乘方的选项． 【详解】解：A选项符合幂的乘方的形式，属于幂的乘方； B选项符合幂的乘方的形式，属于幂的乘方； C选项是底数为、指数为的单一幂，不符合幂的乘方的形式，不属于幂的乘方； D选项符合幂的乘方的形式，属于幂的乘方； 故选：C． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·广东湛江·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法． 先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法即可． 【详解】解： ． 故选：B． 【变式题1-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）式子可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的乘方的定义，解题的关键是掌握幂的乘方法则． 根据相同因数相乘的表示方法将原式转化，再匹配正确选项即可． 【详解】解：， 故选：D． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2) (3) ． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)0 【分析】本题考查了幂的乘方运算，解题的关键是掌握其运算法则． 根据幂的乘方运算的法则进行求解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 【题型2】积的乘方的直接运算 1.核心知识点 积的乘方法则（每一个因式分别乘方）； 系数与字母因式的乘方区别。 2.解题方法技巧 因式拆分：将积拆分为系数、单独字母、多项式等多个因式，逐一乘方； 符号优先：先处理系数中的负号，再计算各因式的乘方，避免符号错误。 【例题2】.（25-26七年级上·河南·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了乘法和积的乘方的意义，先计算 n 个的和为，再求的平方即可． 【详解】解：， 故选：C． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·全国·期末）计算的结果是（    ） A．－ B． C． D．－ 【答案】A 【分析】通过简化指数表达式，利用负数的奇偶次幂性质，并将积的乘方的逆运算合并计算． 本题主要考查了同底数幂乘法的运算，积的乘方的运算，解题的关键是熟练掌握各种运算的特点． 【详解】解： 原式   故选：A． 【变式题2-2】.（2026七年级下·江苏·专题练习）与相等的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方． 根据积的乘方法则逐一计算后判断即可． 【详解】解：A选项：，与原式不相等，A选项错误； B选项：，与原式不相等，B选项错误； C选项：，与原式相等，C选项正确； D选项：，与原式不相等，D选项错误； 故选：C． 【变式题2-3】.（2026七年级下·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方以及逆用积的乘方公式等知识点，解题的关键是熟练掌握幂的相关运算法则，并能灵活运用积的乘方逆运算简化计算． （1）先根据同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方的运算法则分别计算各项，再合并同类项； （2）先将拆分为，再逆用积的乘方公式进行简便计算． 【详解】（1）解： （2）解： 【题型3】利用法则求指数或字母的值 1.核心知识点 幂的乘方、积的乘方法则； 等式两边幂相等的条件（底数相同则指数相等）。 2.解题方法技巧 化同底数幂：将等式两边化为同底数幂的形式，根据指数相等列方程； 代入验证：求解字母值后，代入原式验证是否符合法则和题意。 【例题3】.（25-26六年级下·全国·课后作业）已知，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握幂的乘方，同底数幂相乘的运算法则，是解题的关键． 将转化为，利用同底数幂的乘法法则合并指数，得到，从而指数相等，解方程得． 【详解】解：由， 将写成， ∴， ∴． ∵底数相等的幂相等， ∴指数相等， 即， 解得． 故答案为：3． 【变式题3-1】.（25-26六年级下·全国·课后作业）已知，求的值． 【答案】 【分析】考查了同底数幂相等，根据幂的乘方法则，列出一元一次方程求出． 【详解】解：， ，即， ， 解得，． 【变式题3-2】.（2026七年级下·江苏·专题练习）若（且），则． (1)如果，求x的值； (2)已知x满足，求x的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了同底数幂相乘，同底数幂乘法的逆用，幂的乘方的逆用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）根据幂的乘方的逆用、同底数幂相乘法则，列出关于x的方程求解； （2）利用同底数幂乘法的逆用和分配律的逆用，列出关于x的方程求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【变式题3-3】.（2026七年级下·江苏·专题练习）若，则x的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了积的乘方的逆用，幂的乘方． 逆用积的乘方得到，根据幂的乘方得到，进而根据列方程求解即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， 解得 ． 故答案为：1． 【题型4】法则逆用基础求值 1.核心知识点 幂的乘方逆用（）； 积的乘方逆用（）。 2.解题方法技巧 幂的乘方逆用：将指数拆分为两个数的乘积，转化为幂的乘方形式求值； 积的乘方逆用：当两个幂指数相同时，先将底数相乘再乘方，简化计算。 【例题4】.（2026七年级下·江苏·专题练习）若，，则的值为（　　） A．45 B．30 C．14 D．11 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用． 先逆用同底数幂的乘法将化为，再逆用幂的乘方将化为，进而根据，求解即可． 【详解】解：． 故选：A． 【变式题4-1】.（25-26六年级下·全国·课后作业）若，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查积的乘方的逆运算，关键是熟练应用运算法则进行计算；将转化为，再利用积的乘方公式变形，代入已知条件即可求解． 【详解】∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）计算：． （2）若，，用，的代数式表示． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了积的乘方逆运算、幂的乘方，掌握逆用积的乘方公式简化计算，以及通过分解底数将未知幂转化为已知幂的技巧是解题的关键． （1）观察到与互为倒数，逆用积的乘方公式，将指数相同的部分合并，再计算剩余项； （2）将分解为，再把转化为，结合已知条件用代换，最后整理成含的代数式． 【详解】解：（1）原式 ． （2）∵，， ∴． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·河北衡水·期末）已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则和幂的乘方法则． （1）利用幂的乘方的逆运算，整理得，然后计算即可； （2）利用同底数幂相乘的逆运算，整理得，然后计算即可； （3）根据（1）、（2）的计算结果进行判断即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）∵由（1）、（2）得，， ∴， ∴． 【培优高频题型】 【题型5】幂的乘方与积的乘方混合运算 1.核心知识点 幂的乘方、积的乘方法则； 同底数幂乘法法则； 整式加减的合并同类项规则。 2.解题方法技巧 运算顺序：先算乘方（幂的乘方、积的乘方），再算同底数幂乘法，最后算加减； 合并同类项：只有底数和指数均相同的幂才能合并，系数相加，底数和指数不变。 【例题5】.（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查幂的乘方，有理数的乘方，同底数幂相乘． 按照幂的乘方，有理数的乘方，同底数幂相乘的运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式题5-1】.（24-25七年级下·全国·课后作业）简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据相关运算法则计算即可； （2）根据相关运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式题5-2】.（2026七年级下·江苏·专题练习）计算下列各式，结果用幂的形式表示： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的乘方，积的乘方． （1）根据幂的乘方法则计算即可； （2）根据幂的乘方法则计算即可； （3）根据积的乘方法则计算即可； （4）根据幂的乘方法则计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【变式题5-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)1 【分析】本题考查了积的乘方逆运算熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用积的乘方逆运算即可求解； （2）先利用积的乘方逆运算，然后再利用乘法结合律即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型6】幂的大小比较（乘方法则应用） 1.核心知识点 幂的乘方法则逆用； 幂的大小比较技巧（同底数比指数，同指数比底数）。 2.解题方法技巧 化同指数：将不同底数、不同指数的幂，通过幂的乘方逆用化为同指数幂，比较底数大小； 化同底数：若底数可化为相同形式（如、），则化为同底数幂，比较指数大小。 【例题6】.（2026七年级下·江苏·专题练习）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式．试选择合适的方法解决以下问题： (1)比较与的大小； (2)比较、、的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用，解答本题的关键是掌握幂的乘方的运算法则以及同底数或同指数幂的大小比较方法． （1）根据幂的乘方，可化成指数相同的幂的形式，根据指数相同，底数越大，幂越大，可得答案； （2）根据幂的乘方的运算法则，将各幂化为同底数幂的形式进行比较． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴， ∴． （2）解：，，， ∵， ∴， ∴． 【变式题6-1】.（24-25七年级下·全国·课后作业）阅读下列材料：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法．①比较，的大小．当时，，当底数相同时，指数越大值越大．②比较和的大小．，，，．可以将其先化为同指数，再比较大小，指数相同时，底数越大值越大．根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小：________（填写“＞”“＜”或“＝”）． (2)已知，，，试比较，，的大小． 【答案】(1)＜ (2) 【分析】本题考查了有理数大小比较，有理数的乘方运算，幂的乘方的逆用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）化为相同指数，再比较底数的大小，来确定原数的大小关系； （2）先化为相同指数，再比较底数的大小，从而可确定原数的大小关系 【详解】（1）解：∵，， ， ， ∴， 故答案为：＜； （2）解：，，，， ， ． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·山东滨州·月考）比较下列各题中幂的大小： (1)比较，，这3个数的大小关系； (2)已知，，，比较a、b、c的大小关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方法则（），将不同的幂转化为同底数或同指数的形式进行比较是解题的关键． （1）将三个幂转化为指数相同的形式，再比较底数大小； （2）将三个幂转化为底数相同的形式，再比较指数大小． 【详解】（1）解：，，， ∵， ∴； （2）解：，，， ， ， ． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·浙江·假期作业）逆向思维的重要性在于它能够帮助我们更好地解决问题、理解他人、创新突破，并且对于应对未来的挑战具有重要意义．在数学领域中，逆向思维是一种重要的思维方式，它可以帮助我们从不同的角度解决问题．我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，（，都是正整数）．请你运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题： (1)计算：______． (2)，，． (3)已知，求的值． (4)已知，，，请把，，用“”连接起来：______． 【答案】(1) (2)5，81，6 (3)64 (4) 【分析】本题主要考查的幂的运算法则的逆向运用，解题关键是正确运用公式，将所求的式子变形． （1）把看作一个整体，先用同底数幂的运算法则，在运用积的乘方法则计算即可； （2）依次用同底数幂的运算法则，幂的乘方法则，积的乘方法则，计算即可； （3）由，得，根据，即可求解； （4）先变形，，，进而即可得出结论． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：， ， ． 故答案为：5，81，6． （3）解：， ． ． （4）解：， ， ， 又， ， 即． 故答案为：． 【压轴素养题型】 【题型7】新定义运算中的乘方应用 1.核心知识点 幂的乘方、积的乘方法则； 新定义运算的理解与转化。 2.解题方法技巧 翻译定义：将新定义运算（如）转化为幂的乘方或积的乘方运算； 按则计算：根据新定义列出算式，套用对应法则求解。 【例题7】.（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）定义新运算：，则的运算结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方、整式的减法，正确理解新运算的定义是解题关键．先根据新运算的定义可得运算式子，再计算同底数幂的乘法、积的乘方，然后计算整式的减法即可得． 【详解】解：由题意得： ， 故答案为：． 【变式题7-1】.（2025·河北邯郸·模拟预测）现定义某种运算“★”：对给定的两个有理数a，b，有． (1)求的值； (2)若，求的值（结果用科学记数法表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的运算、科学记数法、幂的乘方、合并同类项，理解题中新定义是解答的关键． （1）根据题中定义列算式，利用有理数的混合运算法则求解即可； （2）根据题中定义列算式，再利用幂的乘方、合并同类项运算法则求解，最后用科学记数法正确表示计算结果． 【详解】（1）解：由题意，得； （2）解： ． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·四川南充·期末）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)根据上述规定填空： ________  ________  ________． (2)已知，，，，求证：． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用，掌握其运算法则是关键． （1）根据题意的计算方法求解即可； （2）根据题意得到，，，结合题意，运用幂的乘方，同底数幂的计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴． 【变式题7-3】.（2025·黑龙江绥化·二模）定义一种新的运算：一般地，如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作，于是，我们可探究出对数运算的性质：如果，且，，那么会有．求（   ） A．19 B．21 C．16 D．40 【答案】B 【分析】本题是材料问题，考查了对数的定义及性质，幂的运算性质，理解题中对数的定义及性质是解题的关键与难点．把化为，再结合新定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ； 故选：B 【题型8】逆用法则解决复杂求值问题 1.核心知识点 幂的乘方、积的乘方逆用； 指数的拆分与组合。 2.解题方法技巧 指数拆分：将待求幂的指数拆分为已知幂指数的倍数或和差形式，逆用法则转化； 整体代入：结合已知条件，整体代入求值，避免单独求字母值的繁琐计算。 【例题8】.（2026七年级下·全国·专题练习）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)[理解]根据上述规定，填空： ； (2)[说理]记．试说明； (3)[应用]若，求t的值． 【答案】(1)2； (2)见解析 (3)64． 【分析】本题考查了新定义运算与幂的运算性质，解题的关键是理解新定义等价于，并将其转化为熟悉的幂运算问题． （1）根据新定义，找到满足的值； （2）根据新定义将a，b，c转化为幂的形式，利用同底数幂乘法法则证明； （3）根据新定义将等式转化为幂的形式，利用幂的乘方与同底数幂乘法法则求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． 故答案为：． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：设，，， 则，，． ∵， ∴． ∵， 又， ∴． 答：的值为64． 【变式题8-1】.（24-25七年级下·全国·课后作业）逆向运用幂的运算法则可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)的结果是________． (2)若，求的值． (3)比较大小：已知，，，，则，，，的大小关系是什么？（提示：如果，为正整数，那么） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握幂的运算的逆运算，是解题的关键： （1）逆用积的乘方进行计算即可； （2）利用幂的乘方，以及同底数的乘法法则进行求解即可； （3）先将各数化为同指数的形式，再比较底数的大小即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：， ， ， ， 解得． （3）解：，， ，， 又∵， ， ． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·河南南阳·期末）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：；其中m，n为正整数．结合以上材料解决下列问题． (1)已知，请直接把a，b，c用“”连接起来 ； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)200 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘，幂的乘方和积的乘方，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）逆用幂的乘方公式，将幂变为指数相同的幂，然后比较大小即可； （2）逆用同底数幂和幂的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴； （2）解：， ∵， ∴原式． 【变式题8-3】.（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______ ；若，则______ ； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，令，求的值． 【答案】(1)3，125 (2)90 (3)3 【分析】本题考查有理数的乘方，同底数幂的乘法逆用，积的乘方与其逆用，幂的乘方与其逆用．熟练掌握各运算法则是解题关键． （1）由，可直接得出；由，可得出； （2）由题意可得出，，．根据，得出，即，进而即可求出； （3）由题意可得出，，那么，则，故，而，得到，则，故，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：3，125； （2）解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴，即， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 易错点 1.混淆幂的乘方与同底数幂乘法，如误将计算为（正确结果为）； 2.积的乘方运算漏项，如误将计算为（正确结果为）； 3.忽略底数含负号的符号规则，如误将计算为（正确结果为）； 4.混合运算顺序错误，先算乘法再算乘方，导致结果错误； 5.法则逆用时指数拆分不当，如误将拆分为而非（虽结果正确，但需结合题意合理拆分）。 重点 1.熟练掌握幂的乘方、积的乘方的运算法则，能准确进行基础运算； 2.掌握法则的逆用技巧，解决求值、化简问题； 3.能进行幂的乘方与积的乘方的混合运算，明确运算顺序； 4.学会处理底数含负号、多项式的乘方运算，避免符号和漏项错误； 5.能运用乘方运算法则解决简单的实际应用和跨学科问题。 难点 1.幂的乘方与积的乘方的混合运算，尤其是含多重复合乘方和同类项合并的情况； 2.法则的灵活逆用，尤其是复杂指数的拆分和整体代入求值； 3.底数含多项式或符号复杂的乘方运算，需准确进行整体代换和符号判断； 4.幂的大小比较，能根据底数和指数特征选择合适的转化方法； 5.跨学科情境题和说理题的数学建模与逻辑推导。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列属于积的乘方的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查积的乘方的概念，需明确积的乘方的定义：几个因式的积的乘方，即形如（为正整数）的运算，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项是和的乘方，不属于积的乘方； B选项是同底数幂的乘法，不属于积的乘方； C选项是幂的乘方，不属于积的乘方； D选项是2、、的积的5次方，符合积的乘方的定义； 故选：D． 2．下列各图中，能直观解释“”的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方计算，掌握数形结合的思想求解是解题的关键；’根据长方形和正方形的面积计算公式逐项判断即可． 【详解】解：A：，不符合题意； B：，不符合题意； C：，不符合题意； D：，符合题意． 故选：D ． 3．已知，则（   ） A．12 B．6 C．13 D．7 【答案】A 【分析】本题考查幂的运算性质，需将已知条件转化为以3为底的幂，再利用同底数幂乘法法则计算． 【详解】解：∵ ， ∵， ∴， 故选：A． 4．已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，有理数比较大小，掌握幂的乘方运算法则是解题的关键．根据题意，将指数化为相同，底数越大，值越大，即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∴． 故选：D ． 5．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的加减运算与幂的运算法则，需依据同类项定义、合并同类项法则、积的乘方及幂的乘方法则对各选项逐一判断． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故选项错误； B、，故选项错误； C、，故选项正确； D、，故选项错误． 故选：C． 二、填空题 6．计算： （1） ． （2） ． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方法则的应用． （1）利用积的乘方法则，将每个因式分别乘方； （2）同样应用积的乘方法则，并计算有理数的乘方． 【详解】解：（1）原式 ， 故答案为：； （2）原式 ， 故答案为：． 7．若是正整数，且，，则 ． 【答案】900 【分析】本题考查了求代数式的值，积的乘方和幂的乘方综合应用，将原式化为，代值计算，即可求解． 【详解】解：， 故答案为． 8．若，则的值是 【答案】2 【分析】本题考查指数运算，幂的乘方，同底数幂相乘等．根据题意先将等式左边整理，再将等式右边整理即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 9．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方逆运算，利用指数运算法则，将原式化为同指数幂的乘积，再计算底数乘积的幂． 【详解】解： 故答案为：． 10．若，，用含的代数式表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法的逆应用等运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 由解出 ，再将中的化为，代入的表达式即可． 【详解】解：由，得， ， ， 代入，得， 所以， 故答案为：． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据相关运算法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 12．运算能力：已知，求，的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了积的乘方和同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则，是解题的关键．将，看作一个整体，利用积的乘方和同底数幂乘法运算法则，对等式左边进行化简，然后得出，，最后求出，的值即可． 【详解】解：∵ ， 又∵， ∴，， 解得：，． 13．嘉琪在学习幂的乘方时，发现，，两者的结果是相同的，他觉得这是由于在进行指数相乘时，乘法具有交换律，所以是相同的．于是他在计算与时，认为结果也应是相同的．你同意他的观点吗？说说你的理由． 【答案】不同意，理由见解析 【分析】本题考查了幂的乘方运算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据法则计算，再作判断． 【详解】解：不同意． 理由如下： 当时，，， 此时； 当时， ， ， 即， 所以不同意． 14．若（且，m，n是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法以及若（且），则的结论，熟练掌握幂的运算法则和整体代换思想是解题的关键． （1）先将等式左边的底数统一为2，再根据若（且），则的结论，列出关于的方程求解． （2）先提取公因式，将等式左边化简，再把等式右边的数转化为以2为底的幂，最后根据若（且），则的结论，列出关于的方程求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．计算下列各式，并用幂的形式表示结果： (1) ， ； ， ； ， ； ， ． (2)观察第（1）题的计算结果，你有什么发现？把你的发现用适当的数学符号表示出来． 【答案】(1)，；，；，；， (2) 【分析】本题考查幂的乘方，掌握幂的乘方法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法和乘方的意义进行计算，为发现规律作铺垫； （2）观察（1）的计算结果，归纳总结出幂的乘方法则． 【详解】（1）解：，； ，； ，； ，， 故答案为：，；，；，；，； （2）解：符号表示：． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $