专题7.1 同底数幂的乘法（4大知识点+ 8大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年苏科版七年级数学下学期培优讲义

专题7.1 同底数幂的乘法 知识点1：同底数幂的概念 1.定义：底数相同的幂叫做同底数幂，底数可以是单独的数字、字母，也可以是单项式或多项式（如与、与）。 2.注意事项：判断是否为同底数幂，只需关注底数是否相同，与指数无关；当底数含负号或括号时，需统一形式后再判断（如与可化为同底数幂，与需先处理符号）。 知识点2：同底数幂的乘法法则 1.基本法则：对于正整数、，，即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 2.拓展应用： 多个同底数幂相乘：（、、为正整数）； 底数为多项式：（将多项式视为一个整体作为底数）。 知识点3：同底数幂乘法法则的逆用 1.逆用公式：（、为正整数），即指数相加的幂等于两个同底数幂的乘积。 2.应用场景：用于将一个幂拆分为两个同底数幂的乘积，解决求值、化简或说理问题。 知识点4：底数含符号的同底数幂乘法 底数形式 符号处理规则 示例 当为偶数时，；当为奇数时， ； 当为偶数时，；当为奇数时， 【基础必考题型】 【题型1】同底数幂的识别 1.核心知识点 同底数幂的定义； 底数含符号、括号的同底数幂判断。 2.解题方法技巧 统一底数法：将含负号、括号的底数转化为相同形式，再判断底数是否一致； 排除法：排除底数不同（如与）、不是幂的形式（如）的选项。 【例题1】.（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）下列各项中两个幂是同底数幂的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂，同底数幂要求两个幂的底数完全相同，逐项检查底数是否一致即可． 【详解】A、底数分别为和，底数不同，不符合题意； B、底数分别为和，底数不同，不符合题意； C、底数分别为和，，底数不同，不符合题意； D、底数均为，底数相同，符合题意； 故选：D． 【变式题1-1】.（24-25七年级下·全国·课后作业）关于与，下列说法正确的是（    ） A．底数相同，都是，指数也相同，都是2 B．底数不同，指数相同 C．底数相同，指数不同 D．底数和指数都不相同 【答案】B 【分析】本题考查幂的有关概念，分别确定两个式子的底数与指数，再对比判断选项． 【详解】解：∵表示的平方的相反数，其底数为，指数为2，表示的平方，其底数为，指数为2， ∴两个式子底数不同，指数相同． 故选：B． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·甘肃金昌·期中）下列各项中，两个幂是同底数幂的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂，根据同底数幂的定义判断即可． 【详解】解：A、与底数分别是x和a，不是同底数幂，故本选项不合题意； B、的底是，与底数不相同，不是同底数幂，故本选项不合题意； C、与底数分别是和，不是同底数幂，故本选项不合题意； D、与是同底数幂，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式题1-3】.（24-25八年级上·上海浦东新·月考）下列各题能用同底数幂乘法法则进行计算的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法的法则进行分析即可，熟练掌握同底数幂的乘法法则并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：A、的底数不一样，不能用同底数幂的乘法的法则运算，故A不符合题意； B、，底数一样，能用同底数幂的乘法的法则运算，故B符合题意； C、只能用合并同类项的法则运算，故C不符合题意； D、，底数不一样，不能用同底数幂的乘法的法则运算，故D不符合题意； 故选：B． 【题型2】同底数幂的直接乘法运算 1.核心知识点 同底数幂的乘法法则； 单个字母的指数默认为1（如）。 2.解题方法技巧 直接套用法则：底数不变，指数相加，注意单个字母的指数为1； 符号先定：先根据底数符号和指数奇偶性确定结果符号，再计算指数。 【例题2】.（25-26八年级上·广东梅州·期末）已知，则的值是（   ） A．10 B． C．25 D． 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的乘法、有理数的乘方，根据同底数幂的乘法运算法则求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 【变式题2-1】.（2026七年级下·江苏·专题练习）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查同底数幂的运算，解题关键是将常数转化为同底数幂，熟练运用同底数幂相乘，底数不变、指数相加的法则． 先将8转化为以2为底的幂，再运用同底数幂的乘法法则计算，最后匹配选项得到结果． 【详解】解：∵， ∴原式 ． 故选：D． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·山西临汾·期末）若，，则的值为（    ） A．9 B．8 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算．利用同底数幂相乘，底数不变、指数相加的法则，将所求式子转化为已知式子的乘积形式，代入计算即可． 【详解】解：， ，， 原式， 故选D． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·江西赣州·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加可得结果． 【详解】解： ． 故答案为 ：． 【题型3】利用法则求指数的值 1.核心知识点 同底数幂的乘法法则（底数相同，指数相加）； 等式两边幂相等的条件（底数相同则指数相等）。 2.解题方法技巧 列方程：根据法则将等式左边化为形式，与右边幂的指数相等列方程； 求解验证：解出字母值后，代入原式验证是否符合题意。 【例题3】.（25-26七年级上·江苏扬州·期末）若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的运算性质，关键是将已知的幂值转化为以2为底的幂的形式，求出、的值后求和；或利用同底数幂的乘法法则，通过幂的运算直接得出． 【详解】解：方法一：∵， ∴； ∵， ∴； ∴． 方法二：根据同底数幂的乘法法则， ∵， ∴，即； 故答案为：． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·广东东莞·期末）若，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查同底数幂的运算，利用同底数幂的乘法法则，将等式左边化为，右边写成，再比较指数得出结果即可． 【详解】解：∵，， ， ． 故答案为：2． 【变式题3-2】.（25-26七年级上·陕西安康·期末）已知，则m的值为（   ） A．3 B．6 C．8 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，准确的计算是解决本题的关键． 利用同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加，即可求解． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴． 故选B． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·重庆綦江·期末）若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，利用同底数幂的乘法法则，将等式左边化为，右边81写为，通过比较指数求解． 【详解】解：由同底数幂的乘法法则，， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：4． 【题型4】法则逆用基础求值 1.核心知识点 同底数幂乘法法则的逆用（）； 幂的基本运算。 2.解题方法技巧 拆分指数：将待求幂的指数拆分为已知幂指数的和； 代入计算：利用逆用公式转化为已知幂的乘积，代入数值求解。 【例题4】.（25-26六年级下·全国·课后作业）若，，则的值为（     ） A．30 B．10 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法运算是解题的关键． 需利用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则，将待求式转化为已知幂的乘积形式，再代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴ ， 故选A． 【变式题4-1】.（25-26六年级下·全国·课后作业）已知：，，，写出，，之间的一个等量关系． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则，熟练掌握该法则是解题的关键． 观察数据，可得出，即可通过同底数幂的乘法法则得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【变式题4-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）计算所得的结果是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆用、有理数的乘方的意义、因式分解等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先逆用同底数幂的乘法，再根据有理数的乘方运算，然后提取公因式即可解答． 【详解】解： ． 故选D． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可得解． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 【培优高频题型】 【题型5】底数含符号/括号的同底数幂乘法 1.核心知识点 底数含符号、括号的同底数幂处理规则； 同底数幂的乘法法则。 2.解题方法技巧 统一底数：将不同形式的底数转化为相同底数（优先转化为不含负号的形式）； 分步运算：先确定符号，再按法则计算指数，避免符号错误。 【例题5】.（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）将原式变形为，利用同底数幂的乘法运算法则进行计算即可； （2）将原式变形为，利用同底数幂的乘法运算法则进行计算即可； （3）将原式变形为，利用同底数幂的乘法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【变式题5-1】.（2026七年级下·全国·专题练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可； （2）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题5-2】.（25-26七年级上·上海闵行·期末）计算： ．（结果用幂的形式表示） 【答案】/ 【分析】本题主要考查的就是同底数幂的乘法计算法则，属于基础题型．互为相反数的两个数的偶数次幂相等是解决这个问题的关键． 本题首先转化为同底数，然后根据同底数幂的乘法计算法则即可得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·天津西青·月考）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查同底数幂的乘法，掌握知识点是解题的关键． 根据同底数幂的乘法进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：， 【题型6】科学记数法中的同底数幂乘法 1.核心知识点 同底数幂的乘法法则； 科学记数法的表示形式（，其中）。 2.解题方法技巧 转化底数：将科学记数法中的与按同底数幂法则相乘，得到； 调整形式：确保结果符合科学记数法要求，即的取值范围为。 【例题6】.（25-26八年级上·广东江门·期末）卫星绕地球运动的速度（即第一宇宙速度）约是，则卫星绕地球运行走过的路程约是（    ）（结果用科学记数法表示） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解：． 故选：B． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·山东济宁·月考）天文学上计算天体之间的距离常用“光年”作为单位，1光年就是光在真空中沿直线传播一年所经过的距离．光在真空中的速度约为，1年约为，则1光年约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法的乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．根据路程速度时间的公式，代入光速和时间的数值，利用同底数幂的乘法法则计算1光年的距离，再选择正确选项． 【详解】解：1光年约为 （）， 故选：B． 【变式题6-2】.（2026七年级下·全国·专题练习）某种计算机每秒可进行次运算．它工作，可进行多少次运算？ 【答案】 【分析】本题主要考查单项式乘以单项式及同底数幂的乘法，熟练掌握各个运算是解题的关键；由题意可列算式，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：； 答：进行次运算． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·全国·课后作业）中国设计并制造的“神威太湖之光”超级计算机位列全球超级计算机500强的第六名，其运算性能高达次每秒，那么它工作3小时可进行多少次运算？（结果用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数的方法． 用科学记数法表示绝对值大于1的数，将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数，据此解答即可． 【详解】解：（次）， 答：它工作3小时可进行次运算． 故答案为： 【压轴素养题型】 【题型7】逆用法则解决复杂求值问题 1.核心知识点 同底数幂乘法法则的逆用； 指数的拆分与组合。 2.解题方法技巧 指数拆分：将待求幂的指数拆分为多个已知幂指数的和，逆用法则转化为多个幂的乘积； 整体代入：结合已知条件，整体代入求值，避免单独求字母值。 【例题7】.（25-26七年级上·江苏连云港·期末）若（，且，，是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查同底数幂的运算，解一元一次方程，熟练掌握同底数幂运算的法则是关键． （1）根据题意，得到关于的方程，求解即可； （2）先根据同底数幂的运算法则，将转化为，化简并解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可得，当时，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式题7-1】.（24-25七年级下·全国·周测）已知，，． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）可利用同底数幂的乘除运算法则，将转化为，结合已知条件求出其值，再根据指数的唯一性得到的值； （2）利用幂的乘方和同底数幂的乘除法则，将转化为，代入已知值计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴ ∵底数相同的幂相等时，指数相等， ∴． （2）解：． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘除运算、幂的乘方，解题关键是熟练运用幂的运算公式，将所求式子转化为已知幂的组合形式，再代入计算． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）已知，，求的值． （2）若，，求的值． （3）若，，，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法运算法则：底数不变，指数相加是解题的关键． （1）逆用同底数幂的乘法运算法则变形，然后代入运算即可； （2）先逆用同底数幂的乘法运算法则求出，然后代入运算即可； （3）逆用同底数幂的乘法运算法则进行代值求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）∵，， ∴，则， ∴； （3）∵，，， ∴． 【变式题7-3】.（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）（1）试说明能被5整除； （2）若能被8整除，试说明一定也能被8整除． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了同底数幂的乘法， （1）根据即可判断； （2）先逆用乘法分配律将变形为，进而可说明结论成立． 【详解】解：（1） 为整数 能被5整除 （2） 能被8整除，能被8整除 能被8整除 【题型8】新定义运算中的同底数幂乘法 1.核心知识点 同底数幂的乘法法则； 新定义运算的理解与转化。 2.解题方法技巧 翻译定义：将新定义运算（如）转化为同底数幂的乘法； 按则计算：根据新定义列出算式，套用同底数幂乘法法则求解。 【例题8】.（25-26八年级上·山西忻州·月考）定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫作虚数单位，那么和我们所学的实数对应起来就叫作复数，表示为(a,b为实数)，a叫作这个复数的实部，b叫作这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如计算：． (1)填空：______，______，______． (2)计算：①；②． (3)试一试：请利用分数的基本性质(分子和分母同乘一个不为0的数，分数的大小不变)将化简成的形式． 【答案】(1)；； (2)①50；② (3) 【分析】本题考查了复数的运算，解题的关键是利用平方差公式对分母进行有理化，结合进行化简． （1）根据的幂的周期规律（周期为4）计算； （2）利用平方差公式、完全平方公式结合计算； （3）给分子分母同乘，利用平方差公式化简分母，结合将式子化为形式． 【详解】（1）解：∵ ，周期为4， ∴；；． 故答案为：；；． （2）解：① ； ② （3）解： 【变式题8-1】.（2026七年级下·江苏·专题练习）材料，一般地，若（且），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可转化为指数式，根据以上材料，解决下列问题： (1)计算：　　 ，　　 ，　　 ； (2)观察（1）题中的三数，4，16，64之间存在怎样的关系式 ，，，又存在怎样的关系式 ； (3)由（2）题猜想 （且，，）；并结合幂的运算法则：进行证明； (4)已知，求的值．（且） 【答案】(1)2，4，6 (2)， (3)，证明见解析 (4)6 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是理解新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系． （1）根据，写成对数式即可； （2）根据题意对照比较，写出关系式即可； （3）设，则，结合即可得到； （4）根据（3）得出的运算性质计算即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：； （2）解：由（1）可知，4，16，64之间存在怎样的关系式为， ，，之间存在的关系式为， 故答案为：，； （3）解：由（2）得，， 设，则， ∴，即， ∴； 故答案为：； （4）解：∵， ∴． 【变式题8-2】.（25-26七年级上·福建龙岩·期中）某学习小组学习了幂的有关知识后发现：根据，知道，就可以求的值．如果知道，，可以求的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，则．例如：若，则． (1)填空： ； ． (2)若，，求的值． (3)探索，与之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查有理数的乘方、同底数幂的乘法等知识点，熟练掌握乘方的定义、同底数幂的乘法法则是解题的关键． （1）根据乘方的定义求解即可； （2）根据乘方的定义求解即可； （3）根据乘方的定义以及同底数幂的乘法法则求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴；   ， ∴． 故答案为：，． （2）解：∵， ， ∴， ． （3）解：，理由如下： 设， ， ， ， ∴． 【变式题8-3】.（24-25七年级上·山东济南·月考）阅读材料，回答问题． 材料一：因为，，所以． 材料二：求的值． 解：设①， 则②， 用②①得.， 所以，即，所以． 这种方法我们称为“错位相减法”． (1)填空：； (2)“棋盘摆米”是一个著名的数学故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏．阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒…按这个方法放满整个棋盘就行．”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了． ①国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放______粒米； ②设国王输给阿基米德的总米粒数为S，求S． 【答案】(1)9 (2)①；② 【分析】此题主要考查规律型：图形的变化类，有理数的混合运算，数学常识，列代数式，解答本题的关键是能准确理解并运用定义和同底数幂相乘运算法则进行求解． （1）根据材料一进行求解； （2）①由题意可得，第n个格放粒米进行求解； ②根据材料二中的方法进行求解． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：9； （2）解：①由题意得，第一格放的米粒数为； 第二格放的米粒数为； 第三格放的米粒数为； 第四格放的米粒数为； … 第n格放的米粒数为， 在第64格中应放粒米； 故答案为：； ②由题意得： ， 则， ， 即． 易错点 1.混淆同底数幂乘法与整式加法，如误将计算为（正确结果为）； 2.忽略单个字母的指数为1，如误将计算为（正确结果为）； 3.底数含负号或括号时，符号处理错误，如误将计算为（正确结果为）； 4.法则逆用时，指数拆分错误，如误将拆分为（正确拆分应为）； 5.多个同底数幂相乘时，漏加部分指数，如误将计算为。 重点 1.理解同底数幂的概念，能准确识别同底数幂； 2.熟练掌握同底数幂的乘法法则，能正确进行基础运算； 3.掌握底数含符号、括号的同底数幂乘法的符号处理方法； 4.会逆用同底数幂乘法法则解决求值、化简问题； 5.能解决同底数幂乘法与科学记数法、新定义运算的综合问题。 难点 1.底数含符号、括号的同底数幂乘法的符号判断与底数统一； 2.同底数幂乘法法则的灵活逆用，尤其是复杂指数的拆分； 3.同底数幂乘法与整式加减的混合运算，区分不同运算的规则； 4.规律探究题中，从特例提炼通用规律并验证； 5.跨学科情境题与说理题的数学建模与逻辑推导。 【对应练习题】 一、单选题 1．若__________，则横线上应填（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算，利用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则，先计算已知项的指数和，再求出未知项的指数即可解答． 【详解】解：设横线上的式子为，则 = ， ∴， ∴， 即横线上应填， 故选：C． 2．计算的结果是（     ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算及合并同类项，熟练运用计算法则是解题的关键． 先利用同底数幂乘法法则计算乘法部分，再合并同类项得出结果即可． 【详解】解：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴， 则， 故选：C． 3．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆运算，逆用同底数幂的乘法法则，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选：C． 4．下列对幂的变形，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘法逆运算法则，需根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”逐一验证选项的变形是否正确． 【详解】解：A、，则，变形正确，不符合题意； B、，则，变形不正确，符合题意； C、，则，变形正确，不符合题意； D、，，变形正确，不符合题意； 故选：B． 5．若a，b是正整数，且满足，则下列a与b的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算，正确掌握同底数幂的乘法性质是解题关键．先将等式左右两边转化为同底数幂的形式，再利用同底数幂相等则指数相等的性质推导a与b的关系． 【详解】解：∵， ， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题 6．的值为 ． 【答案】8 【分析】将 0.125 转化为 ，然后利用指数运算法则计算 【详解】解： 故答案为： 8. 【点睛】本题主要考查了幂的乘方同底数幂的乘法运算，解决本题的关键是熟练掌握运算法则. 7．若，则 ． 【答案】 6 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法的逆用，根据同底数幂的乘法运算法则，将 转化为 后代入已知条件计算 【详解】解：∵ ，， ∴ ， 故答案为：6． 8．计算： ．（结果用幂的形式表示） 【答案】/ 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则，直接应用法则计算即可． 【详解】根据同底数幂的乘法法则，． 故答案为：． 9．若，则的值为 ． 【答案】27 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法运算，解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则． 根据同底数幂的乘法法则，将原式转化为指数相加的形式，再代入已知条件求解． 【详解】解：由同底数幂的乘法法则，， 已知， 所以， 故答案为：27． 10．运用同底数幂的乘法可以得到（若与算同一个算式），按照要求，只运用同底数幂的乘法计算，运算结果可以得到的不同算式共有 个． 【答案】10 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则．根据同底数幂的乘法法则，写出所有只运用同底数幂的乘法计算，运算结果是的不同算式即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 运算结果可以得到的不同算式共有10个， 故答案为：10. 三、解答题 11．计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可； （2）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可； （3）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 12．健康成年人的心脏每分钟流过的血液约．如果一年按计算，那么健康成年人的心脏全年流过的血液总量是多少？ 【答案】 【分析】此题主要引导学生运用同底数幂的乘法运算性质解决一些实际问题，在解这类应用题时，我们要认真分析题目，列出所求的计算式，然后再根据同底数幂的乘法运算性质进行计算． 利用同底数幂的乘法运算法则计算即可得解． 【详解】． 答：健康成年人的心脏全年流过的血液总量是． 13．先化简，再求值 (1)已知 ，求代数式的值． (2)若，则求的值． 【答案】(1)12 (2) 【分析】（1）根据，得，化简后，求值计算即可． （2）根据单项式乘以单项式的法则计算求值即可． 本题考查了整式的化简求值，单项式乘以单项式，熟练掌握计算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：，得， ． （2）解： ． ∴， 解得：， 故． 14．新定义：两数，之间的一种运算记作，若，则．我们称为“雅对”．例如：因为，所以． (1)①____________； ②若，则____________． (2)若，，，探究，，之间的数量关系． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查的是有理数的乘方运算和同底数幂的乘法，本题是新定义型，掌握新定义的规定，并熟练运用是解题的关键． （1）①②利用“雅对”定义解答即可； （2）利用“雅对”定义得到，，，再根据同底数幂的乘法法则进行计算，即可得到，，之间的数量关系． 【详解】（1）解：①，②． 【提示】①， ； ②， ， ， ，即． （2）解：由题意可知，，，， ， 即， ． 15．小明在预习课本时看到幂的运算章节图里有这样一句话：“乘方的意义、乘法运算律是研究幂的运算性质的基础”，我们知道同底数幂的乘法运算性质为：．（、是正整数）． (1)请结合课本的这句话写出这一运算性质的推导过程； (2)解决问题：已知，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的乘法运算法则的推导． （1）根据乘方的意义解答即可； （2）根据同底数幂的乘法运算法则计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：∵，，∴． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.1 同底数幂的乘法 知识点1：同底数幂的概念 1.定义：底数相同的幂叫做同底数幂，底数可以是单独的数字、字母，也可以是单项式或多项式（如与、与）。 2.注意事项：判断是否为同底数幂，只需关注底数是否相同，与指数无关；当底数含负号或括号时，需统一形式后再判断（如与可化为同底数幂，与需先处理符号）。 知识点2：同底数幂的乘法法则 1.基本法则：对于正整数、，，即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 2.拓展应用： 多个同底数幂相乘：（、、为正整数）； 底数为多项式：（将多项式视为一个整体作为底数）。 知识点3：同底数幂乘法法则的逆用 1.逆用公式：（、为正整数），即指数相加的幂等于两个同底数幂的乘积。 2.应用场景：用于将一个幂拆分为两个同底数幂的乘积，解决求值、化简或说理问题。 知识点4：底数含符号的同底数幂乘法 底数形式 符号处理规则 示例 当为偶数时，；当为奇数时， ； 当为偶数时，；当为奇数时， 【基础必考题型】 【题型1】同底数幂的识别 1.核心知识点 同底数幂的定义； 底数含符号、括号的同底数幂判断。 2.解题方法技巧 统一底数法：将含负号、括号的底数转化为相同形式，再判断底数是否一致； 排除法：排除底数不同（如与）、不是幂的形式（如）的选项。 【例题1】.（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）下列各项中两个幂是同底数幂的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式题1-1】.（24-25七年级下·全国·课后作业）关于与，下列说法正确的是（    ） A．底数相同，都是，指数也相同，都是2 B．底数不同，指数相同 C．底数相同，指数不同 D．底数和指数都不相同 【变式题1-2】.（25-26八年级上·甘肃金昌·期中）下列各项中，两个幂是同底数幂的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式题1-3】.（24-25八年级上·上海浦东新·月考）下列各题能用同底数幂乘法法则进行计算的是（  ） A． B． C． D． 【题型2】同底数幂的直接乘法运算 1.核心知识点 同底数幂的乘法法则； 单个字母的指数默认为1（如）。 2.解题方法技巧 直接套用法则：底数不变，指数相加，注意单个字母的指数为1； 符号先定：先根据底数符号和指数奇偶性确定结果符号，再计算指数。 【例题2】.（25-26八年级上·广东梅州·期末）已知，则的值是（   ） A．10 B． C．25 D． 【变式题2-1】.（2026七年级下·江苏·专题练习）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·山西临汾·期末）若，，则的值为（    ） A．9 B．8 C．5 D．6 【变式题2-3】.（25-26八年级上·江西赣州·期末）计算： ． 【题型3】利用法则求指数的值 1.核心知识点 同底数幂的乘法法则（底数相同，指数相加）； 等式两边幂相等的条件（底数相同则指数相等）。 2.解题方法技巧 列方程：根据法则将等式左边化为形式，与右边幂的指数相等列方程； 求解验证：解出字母值后，代入原式验证是否符合题意。 【例题3】.（25-26七年级上·江苏扬州·期末）若，，则 ． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·广东东莞·期末）若，则 ． 【变式题3-2】.（25-26七年级上·陕西安康·期末）已知，则m的值为（   ） A．3 B．6 C．8 D．16 【变式题3-3】.（25-26八年级上·重庆綦江·期末）若，则 ． 【题型4】法则逆用基础求值 1.核心知识点 同底数幂乘法法则的逆用（）； 幂的基本运算。 2.解题方法技巧 拆分指数：将待求幂的指数拆分为已知幂指数的和； 代入计算：利用逆用公式转化为已知幂的乘积，代入数值求解。 【例题4】.（25-26六年级下·全国·课后作业）若，，则的值为（     ） A．30 B．10 C．6 D． 【变式题4-1】.（25-26六年级下·全国·课后作业）已知：，，，写出，，之间的一个等量关系． 【变式题4-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）计算所得的结果是（　　） A． B．2 C． D． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）若，，则 ． 【培优高频题型】 【题型5】底数含符号/括号的同底数幂乘法 1.核心知识点 底数含符号、括号的同底数幂处理规则； 同底数幂的乘法法则。 2.解题方法技巧 统一底数：将不同形式的底数转化为相同底数（优先转化为不含负号的形式）； 分步运算：先确定符号，再按法则计算指数，避免符号错误。 【例题5】.（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式题5-1】.（2026七年级下·全国·专题练习）计算： (1) (2) 【变式题5-2】.（25-26七年级上·上海闵行·期末）计算： ．（结果用幂的形式表示） 【变式题5-3】.（25-26八年级上·天津西青·月考）计算： ． 【题型6】科学记数法中的同底数幂乘法 1.核心知识点 同底数幂的乘法法则； 科学记数法的表示形式（，其中）。 2.解题方法技巧 转化底数：将科学记数法中的与按同底数幂法则相乘，得到； 调整形式：确保结果符合科学记数法要求，即的取值范围为。 【例题6】.（25-26八年级上·广东江门·期末）卫星绕地球运动的速度（即第一宇宙速度）约是，则卫星绕地球运行走过的路程约是（    ）（结果用科学记数法表示） A． B． C． D． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·山东济宁·月考）天文学上计算天体之间的距离常用“光年”作为单位，1光年就是光在真空中沿直线传播一年所经过的距离．光在真空中的速度约为，1年约为，则1光年约为（   ） A． B． C． D． 【变式题6-2】.（2026七年级下·全国·专题练习）某种计算机每秒可进行次运算．它工作，可进行多少次运算？ 【变式题6-3】.（25-26七年级上·全国·课后作业）中国设计并制造的“神威太湖之光”超级计算机位列全球超级计算机500强的第六名，其运算性能高达次每秒，那么它工作3小时可进行多少次运算？（结果用科学记数法表示） 【压轴素养题型】 【题型7】逆用法则解决复杂求值问题 1.核心知识点 同底数幂乘法法则的逆用； 指数的拆分与组合。 2.解题方法技巧 指数拆分：将待求幂的指数拆分为多个已知幂指数的和，逆用法则转化为多个幂的乘积； 整体代入：结合已知条件，整体代入求值，避免单独求字母值。 【例题7】.（25-26七年级上·江苏连云港·期末）若（，且，，是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 【变式题7-1】.（24-25七年级下·全国·周测）已知，，． (1)求的值． (2)求的值． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）已知，，求的值． （2）若，，求的值． （3）若，，，求的值． 【变式题7-3】.（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）（1）试说明能被5整除； （2）若能被8整除，试说明一定也能被8整除． 【题型8】新定义运算中的同底数幂乘法 1.核心知识点 同底数幂的乘法法则； 新定义运算的理解与转化。 2.解题方法技巧 翻译定义：将新定义运算（如）转化为同底数幂的乘法； 按则计算：根据新定义列出算式，套用同底数幂乘法法则求解。 【例题8】.（25-26八年级上·山西忻州·月考）定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫作虚数单位，那么和我们所学的实数对应起来就叫作复数，表示为(a,b为实数)，a叫作这个复数的实部，b叫作这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如计算：． (1)填空：______，______，______． (2)计算：①；②． (3)试一试：请利用分数的基本性质(分子和分母同乘一个不为0的数，分数的大小不变)将化简成的形式． 【变式题8-1】.（2026七年级下·江苏·专题练习）材料，一般地，若（且），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可转化为指数式，根据以上材料，解决下列问题： (1)计算：　　 ，　　 ，　　 ； (2)观察（1）题中的三数，4，16，64之间存在怎样的关系式 ，，，又存在怎样的关系式 ； (3)由（2）题猜想 （且，，）；并结合幂的运算法则：进行证明； (4)已知，求的值．（且） 【变式题8-2】.（25-26七年级上·福建龙岩·期中）某学习小组学习了幂的有关知识后发现：根据，知道，就可以求的值．如果知道，，可以求的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，则．例如：若，则． (1)填空： ； ． (2)若，，求的值． (3)探索，与之间的关系，并说明理由． 【变式题8-3】.（24-25七年级上·山东济南·月考）阅读材料，回答问题． 材料一：因为，，所以． 材料二：求的值． 解：设①， 则②， 用②①得.， 所以，即，所以． 这种方法我们称为“错位相减法”． (1)填空：； (2)“棋盘摆米”是一个著名的数学故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏．阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒…按这个方法放满整个棋盘就行．”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了． ①国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放______粒米； ②设国王输给阿基米德的总米粒数为S，求S． 易错点 1.混淆同底数幂乘法与整式加法，如误将计算为（正确结果为）； 2.忽略单个字母的指数为1，如误将计算为（正确结果为）； 3.底数含负号或括号时，符号处理错误，如误将计算为（正确结果为）； 4.法则逆用时，指数拆分错误，如误将拆分为（正确拆分应为）； 5.多个同底数幂相乘时，漏加部分指数，如误将计算为。 重点 1.理解同底数幂的概念，能准确识别同底数幂； 2.熟练掌握同底数幂的乘法法则，能正确进行基础运算； 3.掌握底数含符号、括号的同底数幂乘法的符号处理方法； 4.会逆用同底数幂乘法法则解决求值、化简问题； 5.能解决同底数幂乘法与科学记数法、新定义运算的综合问题。 难点 1.底数含符号、括号的同底数幂乘法的符号判断与底数统一； 2.同底数幂乘法法则的灵活逆用，尤其是复杂指数的拆分； 3.同底数幂乘法与整式加减的混合运算，区分不同运算的规则； 4.规律探究题中，从特例提炼通用规律并验证； 5.跨学科情境题与说理题的数学建模与逻辑推导。 【对应练习题】 一、单选题 1．若__________，则横线上应填（    ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（     ） A． B． C．0 D．1 3．若，则（    ） A． B． C． D． 4．下列对幂的变形，不正确的是（    ） A． B． C． D． 5．若a，b是正整数，且满足，则下列a与b的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．的值为 ． 7．若，则 ． 8．计算： ．（结果用幂的形式表示） 9．若，则的值为 ． 10．运用同底数幂的乘法可以得到（若与算同一个算式），按照要求，只运用同底数幂的乘法计算，运算结果可以得到的不同算式共有 个． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)； (3)； 12．健康成年人的心脏每分钟流过的血液约．如果一年按计算，那么健康成年人的心脏全年流过的血液总量是多少？ 13．先化简，再求值 (1)已知 ，求代数式的值． (2)若，则求的值． 14．新定义：两数，之间的一种运算记作，若，则．我们称为“雅对”．例如：因为，所以． (1)①____________； ②若，则____________． (2)若，，，探究，，之间的数量关系． 15．小明在预习课本时看到幂的运算章节图里有这样一句话：“乘方的意义、乘法运算律是研究幂的运算性质的基础”，我们知道同底数幂的乘法运算性质为：．（、是正整数）． (1)请结合课本的这句话写出这一运算性质的推导过程； (2)解决问题：已知，，求的值． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $