专题7.1 同底数幂的乘法（高效培优讲义）数学新教材苏科版七年级下册

专题7.1 同底数幂的乘法 教学目标 1. 理解同底数幂乘法的意义，掌握同底数幂乘法的运算性质（法则），明确法则适用的条件（底数相同、幂的形式、乘法运算）。 2. 能准确叙述同底数幂乘法的法则，熟练运用法则进行简单的同底数幂乘法运算（包括底数为具体数字、字母，以及底数互为相反数的简单运算）。 3. 能结合具体情境，将简单的实际问题转化为同底数幂乘法的运算问题并求解，提升运算能力和知识应用能力。 教学重难点 1.重点 （1）掌握同底数幂的乘法运算； （2）掌握同底数幂的乘法运算的逆用； 2.难点 （1）灵活运用同底数幂的乘法运算解决问题； 知识点01 同底数幂的乘法 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an=·==． 语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用． （m，n，…，p都是正整数）． （2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）． 【即学即练】 1．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段练习）下列幂的运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，逐一判断即可，解题关键是熟练计算． 【详解】解：A、，故原式错误，不符合题意； B、，故原式错误，不符合题意； C、，故原式正确，符合题意； D、，故原式错误，不符合题意， 故选：C． 2．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则，合并同类项，先计算同底数幂的乘法再合并即可． 【详解】解： 知识点02 科学记数法表示数的乘法 若两个数分别用科学记数法表示为和（其中，，、为整数），则它们的积为： 通俗总结，分两步计算： 1 先将两个数中前面的系数（和）相乘； 2 再将10的幂相乘（根据同底数幂乘法法则，底数不变，指数相加）； 3 最后将两步结果结合，整理成规范的科学记数法形式。 【即学即练】 3．（25-26七年级下·江苏淮安·阶段练习）科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为，一张普通唱片的容量约为，则蓝光唱片的容量是普通唱片的（   ）倍．（用科学记数法表示） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可． 【详解】解： ． 故选：C． 4．（24-25七年级下·江苏南京·期中）已知光的速度约为，太阳光射到地球上需要的时间约为，则地球与太阳间的距离约为多少千米？用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，根据科学记数法的表示方法进行表示即可． 【详解】解：； 故选D． 题型01 同底数幂相乘 【典例1】（25-26七年级下·江苏淮安·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加； 本题考查了幂运算，熟练掌握幂运算的方法是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴ ； 故选：C． 【变式1】（25-26七年级下·江苏无锡·阶段练习）计算的结果，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂相乘，解题关键是掌握同底数幂的乘法法则． 根据同底数幂的乘法法则求解即可． 【详解】解：， 故选： B． 【变式2】（25-26七年级下·江苏常州·阶段练习）已知，则m的值为（   ） A．3 B．6 C．8 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，准确的计算是解决本题的关键． 利用同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加，即可求解． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴． 故选B． 【变式3】（25-26七年级下·江苏常州·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加，即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式4】（25-26七年级下·江苏镇江·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)（是正整数）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查同底数幂的乘法．根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可． 【详解】（1）解：∵ （2） （3） （4） 题型02 同底数幂乘法的逆用 【典例1】（25-26七年级下·江苏宿迁·阶段练习）若,,则的值为（   ） A．15 B．8 C．4 D．2 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法，利用指数运算法则，将表示为，再代入已知值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：A． 【变式1】（25-26七年级下·江苏连云港·阶段练习）若，，则的值为（   ） A．2 B．12 C．8 D．6 【答案】C 【分析】此题考查了同底数幂的乘法的逆用，利用指数运算法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【详解】解：∵ ，且 ，， ∴ 故选：C． 【变式2】（25-26七年级下·江苏扬州·阶段练习）若，则 ； 【答案】 15 【分析】本题考查了同底数幂的乘法逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴． 故答案为：15． 【变式3】（25-26七年级下·江苏淮安·阶段练习）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用，掌握运算法则是解题关键． 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，题中出现，可以逆用法则得：，再结合题目中数据运算即可． 【详解】解：， ， ． 【变式4】（25-26七年级下·江苏苏州·期末）已知，求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查同底数幂乘法的逆用，熟练掌握同底数幂乘法的逆用是解题的关键； （1）由可代入进行求解即可； （2）由可代入进行求解即可； （3）由可代入进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴． 题型03 用科学记数法表示数的乘法 【典例1】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）某正方形广场的面积用科学记数法表示为，将该广场进行扩建，使其边长扩大为原来的2倍，则扩建后的广场面积用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题中的数量关系可知，扩建后得广场面积为原来的4倍，再将结果用科学记数法表示即可． 【详解】解：∵正方形广场的边长扩大为原来的2倍， ∴正方形广场的面积扩大为原来的4倍， ∴扩建后的广场面积为． 【点睛】本题考查了科学记数法-表示较大的数，掌握幂的运算法则是解题的关键． 【变式1】（25-26七年级下·江苏镇江·阶段练习）某遥感卫星每秒向地面站传回的数据量为比特．后续发射的升级型号卫星数据传输速率是原遥感卫星的25倍，达到比特，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：C 【变式2】（25-26七年级下·江苏盐城·阶段练习）若某种火箭的飞行速度是米/秒，若火箭飞行秒，那么火箭飞行的距离是 米．（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题考查路程问题及科学记数法等相关知识点，解题关键在于熟练掌握其知识点；根据距离公式，距离等于速度乘以时间，将速度和时间用科学记数法表示后相乘，并化简为标准的科学记数法形式. 【详解】解：火箭飞行的距离为速度乘以时间，即 由于科学记数法要求数字部分在1到10之间，因此将15表示为 ， 故答案为：. 【变式3】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）某卫星绕地球飞行的速度是米/秒，该卫星飞行秒所行的路程是 米．（结果用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为，其中，n为整数，此题根据路程速度时间列出算式，计算即可解答． 【详解】解：（米）， 故答案为：． 【变式4】（25-26七年级下·全国·期末）太阳系的形状像一个以太阳为中心的大圆盘，光通过这个圆盘半径的时间约为，光的速度约为．求太阳系的直径． 【答案】km 【分析】本题考查了同底数幂乘法的应用，根据光通过太阳系半径的时间，利用距离公式（距离 = 速度 × 时间）求出半径，再乘以2即可得到直径． 【详解】解：圆盘半径 ． 直径 ． 答：太阳系的直径为 ． 题型04 已知代数式的值求同底数幂乘法的结果 【典例1】（25-26七年级上·江苏盐城·月考）已知（x，y是正整数），则 ． 【答案】64 【分析】本题考查了同底数幂相乘，求代数式的值，由方程可得，并将转化为，从而简化表达式为，整体代入计算即可得出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：64． 【变式1】（25-26七年级下·江苏徐州·阶段练习）若，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，首先根据，可得：，把写成，再根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：原式，从而可得：结果为． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级下·江苏南通·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法．根据题意得到，进而根据同底数幂的乘法计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】若，求的值． 【答案】1024 【分析】本题主要考查的是同底数幂乘法，首先利用同底数幂的乘法法则进行计算，然后计算指数部分，最后将代入进行计算即可，将整体代入是解题的关键． 【详解】解：， ， 原式． 【变式4】（23-24八年级上·河南南阳·月考）回答下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同底数幂乘法的逆运算解答； （2）根据同底数幂乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以． （2）解：因为， 所以， 所以． 【点睛】此题考查了同底数幂乘法的计算法则及逆运算，正确掌握同底数幂乘法的计算法则是解题的关键． 题型05 同底数幂乘法运算结果正误判断 【典例1】（25-26八年级上·天津·期中）下列四个算式，①；②；③；④．正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查单项式的运算，根据同底数幂的乘法可判断①、③；根据乘方的意义及同底数幂的乘法可判断②；根据合并同类项可判断④．掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解：①∵和的底数不同， ∴指数不能相加，故原算式不正确； ②，故原算式正确； ③，故原算式正确； ④，故原算式正确， 综上，正确的有②③④，共个． 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·山东日照·期中）已知，现给出之间的四个关系式：①；②；③；④．其中正确的关系式是（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算性质，解题的关键是利用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则，将已知条件转化为、、的数量关系，再逐一验证关系式． 根据已知条件，利用同底数幂乘法法则推导、、的关系：由得；由得，即；将上述关系代入四个关系式，验证等式是否成立． 【详解】解：∵，， ∴． 又∵， ∴． 验证①：，，故，①正确； 验证②：，②错误； 验证③：，③错误； 验证④：，，故，④正确； 正确的关系式为①④， 故选：B． 【变式2】（25-26七年级下·江苏常州·阶段练习）定义：如果，那么叫作以为底的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以．下列说法正确的个数为（　　） ①；②若，则；③． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题以新定义题型为背景，主要考查了对数的定义及和乘方意义，同底数幂的乘法；根据对数的定义及和乘方意义逐一判断各说法的正确性． 【详解】解：① 根据定义，若，则．因，故，①正确． ② 若，则： ∵， ∴． ∵ ∴，即， 解得， 故，②正确． ③ （）： 设，， 则，． 故，，③正确． 综上，①②③均正确， 故选：D． 【变式3】（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知，，，下列结论：①；②；③.其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①③ 【分析】本题考查了同底数幂乘法及其逆运算、对指数的大小比较，掌握这些知识点时解题的个关键. 利用同底数幂乘法及其逆运算对等式进行对比可得：①，②，③，可证结果. 【详解】解：（1）∵， ∴，即 ∴ ∴；①正确； （2）∵， ∴ ，即 ∵ ∴ ；②不正确； （3）∵ ∴ ，而，③正确； 故答案为：①③ . 【变式4】（23-24七年级下·广东深圳·期中）已知，，，现给出3个数，，之间的三个关系式： ①； ②； ③． 其中正确的关系式是 （填序号）． 【答案】①③ 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：，， ，， ，，， 故其中正确的关系式是①③， 故答案为：①③． 题型06 同底数幂乘法中指数关系问题 【典例1】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）已知，，，那么a、b、c之间满足的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则及性质是解题的关键． 根据可得，再根据同底数幂的乘法可得出结论． 【详解】解：，，， ， 即：， ， ， ， ， 故选：A． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）若a，b是正整数，且满足，试写出a与b的关系． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 根据相关运算法则进行解题． 【详解】解：8个相加，即， 8个相乘，即， 根据已知得：， ， 即， ． 【变式2】（25-26七年级下·江苏扬州·阶段练习）如果，那么我们规定，例如：因为，所以． (1)【理解】根据上述规定，填空：　　　　　，　　　　； (2)【应用】若，试求之间的等量关系． 【答案】(1)3；2 (2) 【分析】本题考查了有理数的乘方，同底数幂的乘法运算．熟练掌有理数的乘方，同底数幂的乘法运算是解题的关键． （1）由题意知，，，然后作答即可； （2）由题意知，，由，可得，进而可得． 【详解】（1）解：由题意知，∵，， ∴，， 故答案为：3；2； （2）解：由题意知，， ∵， ∴， ∴，即． 【变式3】（25-26七年级下·江苏苏州·阶段练习）已知，那么之间满足的等量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．利用同底数幂的乘法法则，结合可得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式4】（25-26七年级下·江苏南京·阶段练习）如果，那么我们规定．例如，因为，所以． （1）根据上述规定填空： ； （2）记，，，则，，之间的等量关系 ． 【答案】 0； ． 【分析】本题考查新定义运算和同底数幂的乘法，解题的关键是掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加． （1）根据，然后结合新定义运算求解即可； （2）首先根据题意得到，，，进而得到，即可求出． 【详解】（1）∵， ∴； （2）由题意可得，，， ∵ ∴ ∴ ∴． 故答案为：0，． 题型07 同底数幂乘法的规律计算 【典例1】（22-23七年级下·江苏盐城·月考）观察下列等式：，，，……，利用你发现的规律回答：若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等式，得到规律，根据规律求出的值，即可． 【详解】∵，， ， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查整式的知识，解题的关键是分析归纳等式，找到规律，整式的乘法运算． 【变式1】（25-26七年级下·江苏苏州·阶段练习）观察等式：；；；已知按一定规律排列的一组数：，，，…，，，设，用含的式子表示这组数据的和是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据即可求得答案． 【详解】根据题意，得 将代入，得 原式． 故选：C． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘方，能运用同底数幂的乘方的逆运算分析问题是解题的关键． 【变式2】（25-26七年级下·江苏宿迁·阶段练习）按一定规律排列的一列数：2026，若表示这列数中的连续三个数，猜想满足的关系式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字规律、同底数相乘等知识点，灵活运用同底数幂乘法的运算法则成为解题的关键． 经观察这一列数的底数相同，连续的三个数的指数满足前两个之和等于第三个的指数，再结合同底数幂相乘的运算法则即可解答． 【详解】解：观察发现：该列数的底数相同，连续的三个数的指数满足前两个之和等于第三个的指数，则这列数中的连续三个数满足的关系为：． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·江苏南通·阶段练习）探究与应用 ●探究规律：计算下列各式 （1）；（2）；（3）都是正整数） 描述你发现的规律：__________________________________． ●提出猜想：根据你发现的规律，如果m，n都是正整数，那么_____________． ●验证规律： 请补充上述证明过程． ●应用规律：计算下列各式 （1）；     （2）；     （3） 【答案】探究规律：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；提出猜想：；验证规律：见详解；应用规律：（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法有关的规律问题，正确理解题意找到规律是解题的关键． 探究规律：根据乘方的意义计算每个小题即可得到规律； 提出猜想：根据得到的规律即可得到答案； 验证规律：根据乘方的意义计算即可得到答案； 应用规律：根据发现的规律进行计算即可． 【详解】解：探究规律： ； ； ，发现的规律是：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； 故答案为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； 提出猜想：根据发现的规律可得：； 故答案为：； 验证规律：； 应用规律：计算下列各式 （1）；     （2）；     （3）． 【变式4】（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）观察下列各式： ， ， ， …… (1)仔细观察： ______； (2)探究规律： 根据以上的观察、计算，你能发现什么规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立； (3)实践应用： 计算：； (4)深度思考： 计算：． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) (4) 【分析】本题考查了整式的规律探究，同底数幂的乘法．理解题意，推导一般性规律解题的关键． （1）由题意知，； （2）由题意知，第个等式为，然后利用同底数幂的乘法的逆运算求解证明即可； （3）由题意知，，则； （4）令，则，根据，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：； （2）解：由题意知，第个等式为， 由题意知，； ∴第个等式成立； （3）解：由题意知，， ∴， ∴； （4）解：令， 则， ∴， 解得，， ∴． 题型08 同底数幂乘法中的新定义运算 【典例1】（24-25七年级下·广东茂名·月考）定义关于的新运算：，其中为正整数．例如，已知，则．若，则的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是同底数幂的乘法，新定义运算，关键是正确理解新定义，将把新运算化成常规运算．根据新定义进行计算即可求解． 【详解】解：由题意得， ， ∴， 故选：C． 【变式1】（25-26七年级下·江苏连云港·阶段练习）我们知道：，现定义一种新运算：；比如，则，若，那么的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字类规律探索、同底数幂的乘法等知识，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先根据新运算的定义可得、、的值，再归纳类推出（其中为正整数），由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ， ， 归纳类推得：（其中为正整数）， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】在数学的世界里，新定义的运算常常能为我们探索数的规律打开新的窗口．有一种名为“幂记号”的新定义：如果、、是整数，且，那么我们规定一种记号，例如：，那么记作．现已知、是正整数，且，，，利用定义可以得到 ．（用含、的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，关键是根据新定义进行转换； 根据幂记号的定义，将已知条件转化为指数形式，再代入求解. 【详解】解：由已知，，根据定义得：； 同理，，得 ； 则：， 又∵， ∴ ， ∴ ， 故答案为： . 【变式3】我们给出以下两个定义：①三角形 ；②3×3的方格图 ． 请你根据上面两个定义，解答下列问题： (1)填空：=__________ (2)填空：= ． (3)若，求的值． 【答案】(1)16 (2)48 (3)18 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法及有理数的混合运算． （1）根据①中所给公式直接进行求解即可； （2）根据②中所给公式直接进行求解即可； （3）根据题中所给公式直接代值求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ； 故答案为16； （2）解：由题意得： ； 故答案为48； （3）解：由题意得：， ∴， ∴． 【变式4】（25-26七年级下·全国·周测）新定义：两数，之间的一种运算记作，若，则．我们称为“雅对”．例如：因为，所以． (1)①____________； ②若，则____________． (2)若，，，探究，，之间的数量关系． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查的是有理数的乘方运算和同底数幂的乘法，本题是新定义型，掌握新定义的规定，并熟练运用是解题的关键． （1）①②利用“雅对”定义解答即可； （2）利用“雅对”定义得到，，，再根据同底数幂的乘法法则进行计算，即可得到，，之间的数量关系． 【详解】（1）解：①，②． 【提示】①， ； ②， ， ， ，即． （2）解：由题意可知，，，， ， 即， ． 1．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知，则m的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘的法则，将左边各数转化为2的幂次形式，利用同底数幂相乘法则计算，再解方程求m.熟练掌握同底数幂相乘法则是解题的关键. 【详解】解：由， 得 ， ∴， ∴， 得， 解得. 故选：D 2．（24-25七年级下·江苏常州·期末）已知，其中，，，是正整数，则下列说法中正确的是（    ） A．是偶数 B．是偶数 C．是偶数 D．是奇数，是偶数 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂乘法．熟练掌握同底数幂乘法的法则，奇数偶数性质，是解题的关键． 将等式右边统一为3的幂，结合完全平方数的性质确定指数为偶数，进而分析各选项的奇偶性，即得． 【详解】∵，且左边为完全平方数， ∴必为偶数． ∵，且为偶数， ∴也需为偶数． 若为偶数，为偶数，则需为偶数； 若为奇数，为奇数，则需为奇数． ∴与奇偶性相同， ∴必为偶数． A：如为奇数时，可能为奇数，错误； B：是偶数，正确； C：的奇偶性由决定，不一定为偶数； D：的奇偶性不确定，错误． 故选：B． 3．（2025·江苏南京·模拟预测）已知，，，则a，b，c之间满足的等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂相乘，掌握同底数幂乘法法则是解题关键．根据指数运算法则，将30分解为已知的2的幂次相乘，进而比较指数得出关系式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选A． 4．（24-25七年级下·湖南怀化·月考）式子此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即），一般地，若（且），则n叫做以a为底b的对数，记为（即），如，则4叫做以3为底81的对数，记为则同理由此可以得到下列式子： 根据以上的信息及运关系，若则 （   ） A． B． C．7 D． 【答案】A 【分析】本题考查新定义，同底数幂的乘法，设，，，则，，，再根据同底数幂的乘法及新定义得到，和的关系，求解即可．正确理解新定义是解题的关键． 【详解】解：设，，， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 解得：． 故选：A． 5．（25-26七年级下·江苏淮安·阶段练习）观察下面三行数： ① ② ③ 设分别为第①②③行的第个数，则的值为（　　） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字规律、同底数幂相乘等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 先观察数据，发现规律，确定的值，然后代入计算即可． 【详解】由题知，第①行是以2为底数，从1开始的连续自然数为指数，奇数位置为负，偶数位置为正的数，所以第①行的第20个数为， 第②行的数比第①行对应的数大2，所以第②行的第20个数为，即， 第③行的数由第①行对应的数除以2所得，所以第③行的第20个数为， 所以 ． 故选B． 6．（25-26七年级下·江苏苏州·阶段练习）我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：，如：．若，那么的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是同底数幂的乘法，新定义运算，关键是正确理解新定义，将把新运算化成常规运算．根据新定义进行计算即可求解． 【详解】解：∵ 由新运算，可知， 故选D． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）我们知道下面的结论：若（，且），则．利用这个结论解决下列问题：设，则三者之间的关系式正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的乘法，解题的关键是熟练运用同底数幂的乘法公式，本题属于中等题型． 根据同底数幂的乘法公式即可求出的关系． 【详解】解：∵， ， ， ， ，， 故选：C． 8．（25-26七年级上·四川成都·月考）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法与乘法分配律的逆运算，先利用同底数幂的乘法逆运算法则将原式变形为，再利用乘法分配律逆运算进行计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 9．已知，，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了同底数幂相乘及其逆运算，掌握其运算法则是解题的关键． 根据同底数幂乘法法则，将和相乘得到，计算其值并化为以为底的幂，从而求出． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（25-26七年级下·江苏扬州·阶段练习）若，是正整数，且满足，则，满足的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，将等式两边分别化简，利用同底数幂的乘法运算性质，得到指数相等的条件，即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（25-26七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在甲、乙、丙三只袋子中分别装有球个、个、个，先从甲袋中取出个球放到乙袋中，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，先表示每个袋子中球的个数，再根据总数可知每个袋子中球的个数，进而求出，，最后逆用同底数幂相乘法则求出答案，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，调整后三只袋中的球数， 甲袋：（个）， 乙袋：（个）， 丙袋：（个）， ∵此时三只袋中球的个数都相同， ∴， 解得：，， ∴， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·河南郑州·月考）定义一种新运算：规定．若，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了定义新运算，同底数幂的乘法，读懂题意是解题的关键．根据题意可知，，然后解方程即可． 【详解】解： 故答案为：1． 13．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）已知，，，满足，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，解答的关键是对同底数幂的乘法的法则的掌握与应用． 对进行通分、合并计算，然后结合已知条件进行整理，从而可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ． 故答案为：． 14．（25-26七年级下·江苏无锡·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)（m、n是正整数）； (4)（n是正整数）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了同底数幂乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键．同底数幂相乘，底数不变指数相加，即（m，n为正整数）． （1）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （2）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （3）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （4）先根据同底数幂的乘法法则计算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 15．（25-26七年级下·江苏苏州·阶段练习）计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的运算，有理数的混合运算，掌握算理是解决问题的关键． （1）利用同底数幂的乘法法则运算即可； （2）先算乘方，再算乘法，最后算加减； （3）利用同底数幂的乘法法则运算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ． 16．（2025七年级下·全国·专题练习）解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解方程，幂的相关运算： （1）逆用同底数幂的乘法，将等号左边式子变形为，再提取公因式后得，即可求解； （2）逆用同底数幂的乘法，将等号左边式子变形为，合并同类项后得，即可求解． 【详解】（1）解：原方程可化为， 即， ∴， 即， 解得：； （2）解：原方程可化为， 即， ∴， 即， ∴ ， ∴ ． 17．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如果，那么我们规定，例如：因为，所以． (1)（理解）根据上述规定，填空：________，________； (2)（说理）记，，，试说明：； (3)（应用）若（且），求的值． 【答案】(1)3，4 (2)见解析 (3)80 【分析】本题主要考查有理数的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握有理数的乘方、同底数幂的乘法法则是解决本题的关键． （1）根据规定的两数之间的运算法则解答； （2）根据规定的运算可得，，，结合同底数幂的乘法法则计算即可； （3）设，，，根据规定的运算和同底数幂乘法的逆用进行求解即可． 【详解】（1）解∶∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3，4； （2）解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （3）解∶设，，，且， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18．我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m，n为正整数）．类似的，我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：（其中m，n为正整数）． 例如，若，则．． (1)若， ①填空：_______； ②当，求的值． (2)若，化简：． 【答案】(1)①125；② (2) 【分析】（1）①根据新的运算，再将相应的值代入运算即可； ②根据新的运算，再将相应的值代入运算即可； （2）结合新的运算，利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可． 本题主要考查同底数幂的乘法，数字的变化规律，解答的关键是理解清楚所给的新的运算． 【详解】（1）解：①， ∴ ； ②， ， ， ， ， ； （2）解： ， ， ， ， ． 19．（24-25八年级上·河南周口·期中）规定两数a、b之间的一种运算，记作：如果 ，那么 ． 例如： ，． (1)根据上述规定，填空： ； (2)小明在研究这种运算时发现一个现象： 他给出了如下的证明： 设 ，则 ，即， ，即， ． 请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由． ． 【答案】(1)3；2；0 (2)见解析 【分析】本题考查有理数的乘方运算，同底数幂的乘法，理解同底数幂的乘法运算法则（底数不变，指数相加）是解题关键． （1）根据新定义运算结合有理数乘方运算法则进行分析求解； （2）根据新定义运算，结合同底数幂的乘法运算法则进行分析计算． 【详解】（1）解：， ； ， ； ∵， ∴． （2）解：设，， 则， ， ， ， ， 即． 等式成立． 20．（25-26七年级下·江苏淮安·阶段练习）（1）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 　　；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么　　，　　； （2）为了求的值， 可令①， 则②， 由②式﹣①式，得， ，即． 仿照以上推理，计算． 【答案】（1）2，，；（2） 【分析】本题考查数字类规律探索，同底数幂的乘法运算，有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，根据题意进行求解． （1）观察可知：第二项与第一项之比为2；第三项与第二项之比为2；第四项与第三项之比为2；所以每一项与前一项之比是2，总结规律得到答案； （2）仿照题干中的求法解答即可． 【详解】（1）解：2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是2； ∵， ∴类推得到：， ∴， 故答案为：2，，； （2）解：为了求的值，可令①， 则②， 由②式﹣①式，得， ， 即． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.1 同底数幂的乘法 教学目标 1. 理解同底数幂乘法的意义，掌握同底数幂乘法的运算性质（法则），明确法则适用的条件（底数相同、幂的形式、乘法运算）。 2. 能准确叙述同底数幂乘法的法则，熟练运用法则进行简单的同底数幂乘法运算（包括底数为具体数字、字母，以及底数互为相反数的简单运算）。 3. 能结合具体情境，将简单的实际问题转化为同底数幂乘法的运算问题并求解，提升运算能力和知识应用能力。 教学重难点 1.重点 （1）掌握同底数幂的乘法运算； （2）掌握同底数幂的乘法运算的逆用； 2.难点 （1）灵活运用同底数幂的乘法运算解决问题； 知识点01 同底数幂的乘法 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an=·==． 语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用． （m，n，…，p都是正整数）． （2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）． 【即学即练】 1．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段练习）下列幂的运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）计算：． 知识点02 科学记数法表示数的乘法 若两个数分别用科学记数法表示为和（其中，，、为整数），则它们的积为： 通俗总结，分两步计算： 1 先将两个数中前面的系数（和）相乘； 2 再将10的幂相乘（根据同底数幂乘法法则，底数不变，指数相加）； 3 最后将两步结果结合，整理成规范的科学记数法形式。 【即学即练】 3．（25-26七年级下·江苏淮安·阶段练习）科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为，一张普通唱片的容量约为，则蓝光唱片的容量是普通唱片的（   ）倍．（用科学记数法表示） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·江苏南京·期中）已知光的速度约为，太阳光射到地球上需要的时间约为，则地球与太阳间的距离约为多少千米？用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 题型01 同底数幂相乘 【典例1】（25-26七年级下·江苏淮安·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·江苏无锡·阶段练习）计算的结果，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·江苏常州·阶段练习）已知，则m的值为（   ） A．3 B．6 C．8 D．16 【变式3】（25-26七年级下·江苏常州·阶段练习）计算： ． 【变式4】（25-26七年级下·江苏镇江·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)（是正整数）． 题型02 同底数幂乘法的逆用 【典例1】（25-26七年级下·江苏宿迁·阶段练习）若,,则的值为（   ） A．15 B．8 C．4 D．2 【变式1】（25-26七年级下·江苏连云港·阶段练习）若，，则的值为（   ） A．2 B．12 C．8 D．6 【变式2】（25-26七年级下·江苏扬州·阶段练习）若，则 ； 【变式3】（25-26七年级下·江苏淮安·阶段练习）已知，求的值． 【变式4】（25-26七年级下·江苏苏州·期末）已知，求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 题型03 用科学记数法表示数的乘法 【典例1】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）某正方形广场的面积用科学记数法表示为，将该广场进行扩建，使其边长扩大为原来的2倍，则扩建后的广场面积用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·江苏镇江·阶段练习）某遥感卫星每秒向地面站传回的数据量为比特．后续发射的升级型号卫星数据传输速率是原遥感卫星的25倍，达到比特，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·江苏盐城·阶段练习）若某种火箭的飞行速度是米/秒，若火箭飞行秒，那么火箭飞行的距离是 米．（用科学记数法表示） 【变式3】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）某卫星绕地球飞行的速度是米/秒，该卫星飞行秒所行的路程是 米．（结果用科学记数法表示） 【变式4】（25-26七年级下·全国·期末）太阳系的形状像一个以太阳为中心的大圆盘，光通过这个圆盘半径的时间约为，光的速度约为．求太阳系的直径． 题型04 已知代数式的值求同底数幂乘法的结果 【典例1】（25-26七年级上·江苏盐城·月考）已知（x，y是正整数），则 ． 【变式1】（25-26七年级下·江苏徐州·阶段练习）若，的值为 ． 【变式2】（25-26七年级下·江苏南通·阶段练习）若，则 ． 【变式3】若，求的值． 【变式4】（23-24八年级上·河南南阳·月考）回答下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求x的值． 题型05 同底数幂乘法运算结果正误判断 【典例1】（25-26八年级上·天津·期中）下列四个算式，①；②；③；④．正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1】（25-26八年级上·山东日照·期中）已知，现给出之间的四个关系式：①；②；③；④．其中正确的关系式是（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 【变式2】（25-26七年级下·江苏常州·阶段练习）定义：如果，那么叫作以为底的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以．下列说法正确的个数为（　　） ①；②若，则；③． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3】（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知，，，下列结论：①；②；③.其中所有正确结论的序号是 . 【变式4】（23-24七年级下·广东深圳·期中）已知，，，现给出3个数，，之间的三个关系式： ①； ②； ③． 其中正确的关系式是 （填序号）． 题型06 同底数幂乘法中指数关系问题 【典例1】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）已知，，，那么a、b、c之间满足的关系是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）若a，b是正整数，且满足，试写出a与b的关系． 【变式2】（25-26七年级下·江苏扬州·阶段练习）如果，那么我们规定，例如：因为，所以． (1)【理解】根据上述规定，填空：　　　　　，　　　　； (2)【应用】若，试求之间的等量关系． 【变式3】（25-26七年级下·江苏苏州·阶段练习）已知，那么之间满足的等量关系是 ． 【变式4】（25-26七年级下·江苏南京·阶段练习）如果，那么我们规定．例如，因为，所以． （1）根据上述规定填空： ； （2）记，，，则，，之间的等量关系 ． 题型07 同底数幂乘法的规律计算 【典例1】（22-23七年级下·江苏盐城·月考）观察下列等式：，，，……，利用你发现的规律回答：若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·江苏苏州·阶段练习）观察等式：；；；已知按一定规律排列的一组数：，，，…，，，设，用含的式子表示这组数据的和是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·江苏宿迁·阶段练习）按一定规律排列的一列数：2026，若表示这列数中的连续三个数，猜想满足的关系式是 ． 【变式3】（25-26七年级下·江苏南通·阶段练习）探究与应用 ●探究规律：计算下列各式 （1）；（2）；（3）都是正整数） 描述你发现的规律：__________________________________． ●提出猜想：根据你发现的规律，如果m，n都是正整数，那么_____________． ●验证规律： 请补充上述证明过程． ●应用规律：计算下列各式 （1）；     （2）；     （3） 【变式4】（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）观察下列各式： ， ， ， …… (1)仔细观察： ______； (2)探究规律： 根据以上的观察、计算，你能发现什么规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立； (3)实践应用： 计算：； (4)深度思考： 计算：． 题型08 同底数幂乘法中的新定义运算 【典例1】（24-25七年级下·广东茂名·月考）定义关于的新运算：，其中为正整数．例如，已知，则．若，则的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·江苏连云港·阶段练习）我们知道：，现定义一种新运算：；比如，则，若，那么的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2】在数学的世界里，新定义的运算常常能为我们探索数的规律打开新的窗口．有一种名为“幂记号”的新定义：如果、、是整数，且，那么我们规定一种记号，例如：，那么记作．现已知、是正整数，且，，，利用定义可以得到 ．（用含、的代数式表示） 【变式3】我们给出以下两个定义：①三角形 ；②3×3的方格图 ． 请你根据上面两个定义，解答下列问题： (1)填空：=__________ (2)填空：= ． (3)若，求的值． 【变式4】（25-26七年级下·全国·周测）新定义：两数，之间的一种运算记作，若，则．我们称为“雅对”．例如：因为，所以． (1)①____________； ②若，则____________． (2)若，，，探究，，之间的数量关系． 1．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知，则m的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25七年级下·江苏常州·期末）已知，其中，，，是正整数，则下列说法中正确的是（    ） A．是偶数 B．是偶数 C．是偶数 D．是奇数，是偶数 3．（2025·江苏南京·模拟预测）已知，，，则a，b，c之间满足的等式是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·湖南怀化·月考）式子此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即），一般地，若（且），则n叫做以a为底b的对数，记为（即），如，则4叫做以3为底81的对数，记为则同理由此可以得到下列式子： 根据以上的信息及运关系，若则 （   ） A． B． C．7 D． 5．（25-26七年级下·江苏淮安·阶段练习）观察下面三行数： ① ② ③ 设分别为第①②③行的第个数，则的值为（　　） A．0 B． C． D． 6．（25-26七年级下·江苏苏州·阶段练习）我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：，如：．若，那么的结果是（    ） A． B． C． D． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）我们知道下面的结论：若（，且），则．利用这个结论解决下列问题：设，则三者之间的关系式正确的是（  ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·四川成都·月考）计算： ． 9．已知，，则 ． 10．（25-26七年级下·江苏扬州·阶段练习）若，是正整数，且满足，则，满足的关系式为 ． 11．（25-26七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在甲、乙、丙三只袋子中分别装有球个、个、个，先从甲袋中取出个球放到乙袋中，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则的值为 ． 12．（24-25七年级下·河南郑州·月考）定义一种新运算：规定．若，则的值为 ． 13．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）已知，，，满足，，则的值为 ． 14．（25-26七年级下·江苏无锡·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)（m、n是正整数）； (4)（n是正整数）． 15．（25-26七年级下·江苏苏州·阶段练习）计算 (1) (2) (3) 16．（2025七年级下·全国·专题练习）解方程： (1)； (2) 17．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如果，那么我们规定，例如：因为，所以． (1)（理解）根据上述规定，填空：________，________； (2)（说理）记，，，试说明：； (3)（应用）若（且），求的值． 18．我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m，n为正整数）．类似的，我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：（其中m，n为正整数）． 例如，若，则．． (1)若， ①填空：_______； ②当，求的值． (2)若，化简：． 19．（24-25八年级上·河南周口·期中）规定两数a、b之间的一种运算，记作：如果 ，那么 ． 例如： ，． (1)根据上述规定，填空： ； (2)小明在研究这种运算时发现一个现象： 他给出了如下的证明： 设 ，则 ，即， ，即， ． 请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由． ． 20．（25-26七年级下·江苏淮安·阶段练习）（1）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 　　；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么　　，　　； （2）为了求的值， 可令①， 则②， 由②式﹣①式，得， ，即． 仿照以上推理，计算． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $