5.1分式及其基本性质寒假 预习讲义-2025-2026学年北师大版八年级下学期数学（知识点+题型解读+过关测试）

5.1分式及其基本性质寒假预习讲义（北师大版） 💧预习内容概览 1. 课前预习★目标 2.重点知识★梳理归纳 2. 核心考点★精讲精练 4.强化巩固★过关演练 ☘课前预习★目标 ◆能说出分式的定义，分清分式与整式的区别； ◆记住分式有意义、无意义及值为0的条件； ◆会求使分式有意义的字母取值范围； ◆能根据分式基本性质对分式进行同乘同除变形。 ❉预习重点 分式概念；分式有意义的条件；分式的基本性质。 ❉预习难点 分式值为0的条件（分子为0且分母不为0）；分式基本性质的正确应用。 ✏ 重点知识★梳理归纳 【知识点1】分式的概念 1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，B≠0，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 2.分式与整式区别： 整式：分母无字母；分式：分母有字母。 【重点提示】判断一个代数式是否为分式，关键看分母是否含有字母，与分子无关，且无需考虑字母取值是否使分母为零。 【知识点2】分式有意义，无意义或等于零的条件 1.分式有意义的条件：分母不等于零. 2.分式无意义的条件：分母等于零. 3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.（必须满足两个条件，缺一不可） 【知识点3】分式的基本性质 分式的分子与分母同乘（或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）. 【知识点4】分式的变号法则 分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变； 【知识点5】分式的约分、最简分式 约分：利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值； 最简分式：分子与分母没有相同的因式（1除外）。 ★重点提示1.会识别分式；2.会求分式有意义的取值范围；3.会用基本性质进行简单变形。 ✍核心考点★精讲精练 题型1分式的判断 例1．下列代数式是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的定义，掌握形如（、是整式，且中含有字母）的式子叫做分式是解题的关键．根据分式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、的分母是常数，不含字母，不是分式； B、的分母是常数，不含字母，不是分式； C、的分母是含字母的整式，符合分式定义，是分式； D、的分母是常数，不含字母，不是分式． 故选：C． 变式1．有下列代数式：①；②；③；④；⑤．其中是分式的是 （填序号）． 【答案】④⑤ 【分析】本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是解题的关键． 分式的定义是分母中含有字母的代数式，因此需要检查每个代数式的分母是否含有字母． 【详解】解：①分母为常数，不含字母，不是分式； ②分母为常数，不含字母，不是分式； ③分母为常数，不含字母，不是分式； ④分母为，含有字母，是分式； ⑤分母为，含有字母，是分式． 故答案为：④⑤． 变式2．下列各式，哪些是整式，哪些是分式？ ，，，，，，． 【答案】，，，是整式，，，是分式 【分析】本题考查整式与分式，根据整式和分式的定义判断：整式是分母中不含字母的式子，包括单项式和多项式；分式是分母中含有字母的式子． 【详解】解：是多项式，是整式； 的分母不含字母，是多项式，是整式； 是单项式，是整式； 的分母含字母，是分式； 的分母含字母，是分式； 是单项式，是整式； 的分母含字母，是分式； 综上，，，，是整式，，，是分式． 题型2分式的规律问题 例2．观察下列各等式：，，，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了分式的规律性问题． 观察各等式，两个分数的分子之和恒为8，且每个分式的分母均为其分子减去4，据此即可得到答案． 【详解】解：∵ 给出的等式中，两个分子之和均为8，且分母为分子减4， ∴ 一般形式应为分子为x和，分母分别为和， 即一般性的等式为， 故选：B 变式1．已知，，，，（为正整数）．像，，，这样分子为1，分母是正整数的分数叫作单位分数．借助上述思路解决以下问题： 对于任意正整数，将写成两个不同的单位分数相加，即 ．（结果用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了分式的规律性问题．理解题意，结合，得，则令，代入，即可作答． 【详解】解：由已知条件中的等式 ，可得． 令，代入，得． ∴对于任意正整数 ，有 ． 故答案为：． 变式2．观察下列分式：，，，，…．其中． (1)试写出第5个分式 ． (2)试写出第（为正整数）个分式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的规律探究，掌握分别观察符号、分子、分母的变化规律，再整合得到通式是解题的关键． （1）拆解分式的符号、分子的指数、分母的指数三部分，分别推导第项的规律，再组合； （2）拆解分式的符号、分子的指数、分母的指数三部分，用含的代数式表示规律，再组合． 【详解】（1）解：观察分式符号：第个正，第个负，第个正，第个负，规律为奇正偶负，第个为正； 分子中的指数：， 第个指数为； 分母中的指数：， 第个指数为， 所以第个分式为． （2）解：符号：； 分子的指数：； 分母的指数：， 故第个分式为． 题型3按要求构造分式 例3．浓度为的盐水m公斤与浓度为的盐水n公斤混合后的溶液浓度是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列分式．根据溶液浓度两种浓度的盐水中的盐的总质量两种浓度的盐水总质量，把相关数值代入即可． 【详解】解：∵浓度为的盐水m公斤中含盐，浓度为的盐水n公斤中含盐， ∴混合后溶液的浓度为， 故选：D． 变式1．某工厂原计划天生产60件产品，若现在需要比原计划提前1天完成任务，则现在每天要生产 件产品（用含的式子表示）．当时，现在每天要生产 件产品． 【答案】 15 【分析】本题考查列分式以及求值，理解题意，准确列出代数式是解题关键． 根据工作总量、工作时间与工作效率的关系，原计划每天生产件，现在提前1天，每天生产件，代入计算得15． 【详解】解：原计划x天生产60件产品，则原计划每天生产件产品， 现在需要比原计划提前1天完成任务，即现在所用时间为天，工作总量仍为60件，因此现在每天生产件产品． 当时，现在每天生产件产品． 故答案为：，15． 变式2．每千克m元的糖果x千克与每千克n元的糖果y千克混合成杂拌糖，请写出混合后每千克糖果的价格的式子． 【答案】混合后糖果的价格为 【分析】本题主要考查了列分式， 先表示出总价元，再除以总质量千克，可得答案. 【详解】解：根据题意，得 混合后每千克糖果的价格是元. 题型4分式无意义的条件 例4．对于分式，当时，下列正确的是（    ） A．分式无意义 B．分式的值为1 C．分式的值为0 D．分式的值为 【答案】A 【分析】此题主要考查了分式无意义，当时，分母的值为0，分式无意义，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵当时，， ∴分式无意义， 故选：A． 变式1．当 时，分式无意义． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式无意义，解题的关键是明确分式无意义的条件是分母等于0． 根据分式无意义的条件是分母为零，因此令分母即可求解． 【详解】解：∵分式无意义， ∴分母， 解得：． 变式2．如果分式 无意义，那么的值为 【答案】 【分析】本题考查了分式无意义的条件，解题的关键是明确分式无意义时分母为零，进而解绝对值方程． 根据分式无意义的条件，令分母，解此绝对值方程即可得到的值． 【详解】解：分式无意义， ， ， 故答案为：． 题型5分式有意义的条件 例5．若分式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式有意义的条件，即分式的分母不能为0，据此列出关于x的不等式求解即可. 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故选：D 变式1．若分式有意义，则满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件：分式的分母不等于零．据此列出不等式求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 变式2．若分式有意义，则 x 的取值范围是？ 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零，因此需满足分母． 【详解】解：要使分式有意义， 则分母， 解得． 故答案为：． 题型6分式值为零的条件 例6．若，则的值为（    ） A． B． C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查分式的值为零的条件，正确理解和掌握分式的值为零的条件是解题的关键． 根据分式的值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，注意：“分母不为零”这个条件不能少，据此计算即可． 【详解】解：∵分式， ∴分子，且分母， 由，得， 当时，，满足分母不为0的条件， ∴x的值为3． 故选：D． 变式1．若分式的值为0，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为的条件，根据分式的值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，得到且，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， 解方程得：或． 当时，分母，分式无意义，故舍去， 当时，分母，满足条件， 故答案为：． 变式2．分式的值能等于0吗？说明理由． 【答案】不能，理由见解析 【分析】此题考查了分式值为0的条件，分式值为0的条件：分式的分子为0，且分母不为0，首先根据题意得到，求出，然后代入验证即可． 【详解】解：当分式的值为0时， ∴， 解得； 将代入分母：得，无意义， ∴该分式的值不能等于0． 题型7分式的求值 例7．如果，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式求值． 将拆分为，代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵ ∴． 故选：C． 变式1．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查分式求值． 将拆分为，代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 变式2．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查利用比例的性质求分式的值．关键是通过已知比例关系将分式中的未知量转化为可计算的形式，可采用设参数法，将、用同一参数表示，代入分式约分． 【详解】∵， ∴设，， 则． 故答案为：． 题型8求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 例8．当代数式的值为正时，的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的值，二次根式有意义的条件，正确计算是解题的关键． 根据题意列出，即可求出x的取值范围． 【详解】解：当代数式的值为正时，， 不等式组解集为：， 故选：D． 变式1．若分式的值为正，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为正数或负数时字母的取值范围，解不等式；由题意得，解不等式即可． 【详解】解：∵分式的值为正，且， ∴， ∴． 故答案为 ． 变式2．当为何值时，分式的值为正数． 【答案】 【分析】本题考查分式的值的正负性，根据分式有意义的条件及分子分母的正负性来确定的取值范围，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由分式的值为正数，已知分子为正数，只需分母为正数即可． 【详解】解：由题意得，，解得， 即时，分式的值为正数． 题型9求使分式值为整数时未知数的整数值 例9．是有理数，则的值不能是（　　） A．1 B． C．0 D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的值，掌握分式的值为零的条件是解题的关键．根据分式值为零的条件是分子为，分母不为，因为分式的分子不为，所以分式的值不能为，即可解答． 【详解】解：A、当时，，故选项不符合题意； B、当时，，故选项不符合题意； C、因为分式的分子，所以分式值不可能为，故选项符合题意； D、当时，，故选项不符合题意； 故选：C． 变式1．若分式的值为整数，则整数的值为 ． 【答案】0或2或4或6 【分析】本题主要考查了根据分式的值的情况求参数，由分式的值为整数，可推出3能被整除，则可得或或或，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵分式的值为整数， ∴3能被整除， ∵x为整数， ∴是整数， ∵， ∴或或或， 解得或或或， 故答案为：0或2或4或6． 变式2．当整数x取何值时，分式的值是整数？ 【答案】当整数x取，0，2，3，5，6，8，12时，分式的值是整数 【分析】本题考查的是分式的值，把分式化为，再进一步求解即可． 【详解】解：， ∴能整除8的，又使分母不为0的可以为，，，， ∴或或或， ∴当整数x取，0，2，3，5，6，8，12时，分式的值是整数． 题型10判断分式变形是否正确 例10．下列各式从左到右的变形一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质，即分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、的分子乘2，分母乘3，得到，不是同一个整式，变形错误； B、∵， ∴，分子分母同时除以，得，变形正确； C、，变形错误； D、的分子乘，分母乘，只有当或时等式成立，不是一定正确，变形错误． 故选：B． 变式1．下列从左到右的变形：①；②；③；④．其中正确的是 （填序号）． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了分式的基本性质的知识点，掌握“分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为的整式，分式的值不变”最关键． 本题根据分式的基本性质，对每个变形进行分析，判断其是否符合该性质，进而得到哪些变形是正确的结论，即可解决判断分式变形是否正确的问题． 【详解】解：①当时，此时分母，分式不成立，无意义，不符合题意； ②由知，分子分母同时乘以，分式的值不变，即，符合题意； ③由知，分子分母同时除以，分式的值不变，即，符合题意； ④∵∴，分子分母同时乘以，分式的值不变，即，符合题意． 故答案为：②③④． 变式2．下列等式的右边是怎样从左边得到的？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)分子、分母同时乘c (2)分子、分母同时除以x (3)分子、分母同时除以 【分析】本题考查了分式的基本性质，利用了分式的基本性质：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变． （1）根据分式的性质：分式的分子分母都乘以c，可得答案； （2）根据分式的性质：分式的分子分母都除以x，可得答案； （3）根据分式的性质：分式的分子分母都除以，可得答案． 【详解】（1）解：，即分子、分母同时乘c； （2）解：，即分子、分母同时除以x； （3）解：， 即分子、分母同时除以． 题型11求使分式变形成立的条件 例11．已知为大于的实数，要使等式成立，则内应填入(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的性质，根据题意两边同乘，得，即可求解． 【详解】解：∵，且保证， ∴两边同乘，得， ∴. 故选：C． 变式1．若，等式成立，则x应满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质：分子和分母都乘以一个不等于0的数或整式，分式的值不变，解答即可． 【详解】解：分式的分子和分母都乘以x（），得， 所以x应满足的条件是. 故答案为：． 变式2．下列等式的右边是怎样从左边得到的？ (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了分式的基本性质，利用了分式的基本性质：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变． （1）根据分式的性质：分式的分子分母都乘以，可得答案； （2）根据分式的性质：分式的分子分母都除以x，可得答案． 【详解】（1）解： ； （2） 解：． 题型12利用分式的基本性质判断分式值的变化 例12．下列各式的值一定与的值相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的基本性质，需依据“分式的分子、分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变”这一性质判断各选项． 【详解】解：∵分式的基本性质为：分式的分子、分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变 ∴选项A中，∵，是的分子、分母同乘c得到的，故 选项B中，，与不一定相等 选项C中，分式分子、分母同时加3不符合分式基本性质，取值不一定与相等（如时，） 选项D中，，与不一定相等 综上，与的值一定相等的是选项A． 故选：A． 变式1．将分式中的和都扩大10倍，那么分式的值变为原来的 ． 【答案】10倍 【分析】本题属于考查了分式的基本性质，将和都扩大10倍后代入分式，化简即可． 【详解】解：设原分式为， 当和都扩大10倍时，新分式为： ， 因此分式的值变为原来的10倍． 故答案为：10倍． 变式2．某数学兴趣小组探究了分式的值与字母取值的变化关系，请你帮助完成相关问题： (1)①当，时，分式的值为__________； ②当，时，分式的值为__________； (2)当分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍时，分式的值如何变化？为什么？ 【答案】(1)， (2)将变为原来的倍 【分析】本题考查分式的值； （1）把x，y的值代入计算解答即可； （2）用，代换x，y，计算分式的值，然后计算即可． 【详解】（1）解：当，时，， 当，时，； 故答案为：，； （2）解：当x，y的取值都扩大为原来的k倍，， ∴分式的值将变为原来的倍. 题型13将分式的分子分母的最高次项化为正数 例13．不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可． 【详解】解：． 故选B． 【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号． 变式1．不改变分式的值，使分子、分母的第一项系数都是正数，则 ． 【答案】 【分析】把分子分母同时除以，即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变是解题的关键． 变式2．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母中的最高次项的系数是正数： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的基本性质． （1）原式分子分母分别提取变形，即可得到结果． （2）分式分母提取变形即可得到结果； （3）分式分子提取变形即可得到结果； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 题型14将分式的分子分母各项系数化为整数 例14．不改变分式的值，把的分子、分母中含x项的系数化为整数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是分式的基本性质的应用，把分子分母扩大100倍即可. 【详解】解：． 故选：C 变式1．不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数： （1）括号内填： ； （2）括号内填： ． 【答案】 【分析】本题考查了将分式的分子和分母的各项系数化为整数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）将分子和分母同乘以10，使系数化为整数； （2）将分子和分母同乘以20，消除分数系数，得到整数系数分式． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：． 变式2．不改变分式的值，将下列各式的分子和分母的各项系数都化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式基本性质的应用，掌握分式基本性质是关键． （1）根据分式分子分母中小数最多是两位小数，由分式基本性质，分式分子分母都乘100即可； （2）分式的分子系数和分母系数都乘60即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型15约分 例15．若分式，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的求值，约分等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 通过已知条件用含的式子表示，再代入所求分式化简计算，也可利用分式基本性质将所求分式转化为含的形式求解． 【详解】解：∵， ∴， 将代入得， 原式 ， 故选：D． 变式1．若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，正确计算是解题的关键． 将分子因式分解为完全平方式，分母提取公因式，然后约分简化表达式，最后将，代入求值即可． 【详解】解：原式 当 ，时， 原式， 故答案为：． 变式2．约分： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的约分． （1）直接进行约分即可； （2）先将分子分母因式分解，再约分即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型16最简分式 例16．下列分式中是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了最简分式的判断，根据最简分式的定义（分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式），逐一判断各选项的分子分母是否存在公因式即可． 【详解】解：选项A中，分子分母有公因式，可化简为，不是最简分式，故A不符合题意； 选项B中，分子分母有公因式，可化简为，不是最简分式，故B不符合题意； 选项C中，分子与分母没有公因式，是最简分式，故C符合题意； 选项D中，分子分母有公因式，可化简为，不是最简分式，故D不符合题意． 故选：C． 变式1．任意写一个分母含和的最简分式为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了构造最简分式． 构造一个分母同时含有和且分子与分母无公因式的分式即可． 【详解】解：分式的分母为，含有和，分子为1，分子与分母没有公因式，因此是最简分式． 故答案为：． 变式2．计算：． 【答案】 【分析】分式的分子、分母同乘以，然后根据同底数幂的乘法法则进行计算． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了分式的化简，负整数指数幂，同底数幂的乘法，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． ✍强化巩固★过关演练 一、单选题 1．下列代数式中，是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的定义．根据分母中含有字母的是分式，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、是多项式，属于整式，故选项不符合题意； B、是单项式，属于整式，故选项不符合题意； C、是分式，故选项符合题意； D、是单项式，属于整式，故选项不符合题意； 故选：C． 2．若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的求值，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 通过拆分分式，将所求式子转化为已知分式与常数的和，再代入已知条件计算求解． 【详解】解：∵=+=1+， 又∵=， ∴原式=， 故选：B． 3．某校12月组织a名师生到红旗渠风景区开展红色教育活动．租用的旅游车每辆可乘坐b人，师生全部上车后还剩一个位置，由此可知租用的旅游车的辆数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列代数式，理解题意是解题的关键，先计算出所有旅游车坐满的人数，即可列数代数式． 【详解】解：∵人刚好坐满， ∴租用的旅游车的辆数为：， 故选：A． 4．当取哪个数时，分式的值不存在（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式无意义的条件，根据当分母为零时分式的值不存在得到，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值不存在时， ∴， ∴， 故选：D． 5．若分式有意义，则的取值范围为（    ） A． B． C．且 D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件．熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 解得． 故选：B． 6．若分式的值为，则的值为（ ）． A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的概念，掌握好相关的知识是关键． 分式值要为，需满足分子为且分母不为，据此求解的值． 【详解】解：∵分式的值为 ∴， 由，得， ∴或， 又∵， ∴， ∴． 故选：A． 7．观察下列式子：，依照此规律，第8个式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查式子的规律，掌握知识点是解题的关键． 观察分子和分母的规律：分子是连续偶数，分母是的幂次递增． 【详解】解：分子依次为2， 4， 6， 8， …，；分母依次为， ， ， ， …， 因此第个式子为． 当时，． 故选：D． 8．若，则，的值可能是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题是考查了分式性质，不等式与数的取值范围，解题关键在于依据、的正负性和取值范围，分析的取值情况，判断是否满足． 【详解】解：A、当，时，，，则， 不可能大于，故选项不符合题意； B、当，时，，，则， 不可能大于，故选项不符合题意； C、当，时，，则， 不可能大于，故选项不符合题意； D、当，时，取，，， 存在满足的情况，故选项符合题意， 故选：D． 9．2022年是宁波外国语学校建校31周年，则满足建校n周年的正整数n能整除对应年份的n的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查分式的值为整数，根据题意求出建校n周年对应年份为，列出式子，化为，则要使得能够整除，则n为1991的因数，据此即可解答． 【详解】由题可知，建校n周年对应年份为， 则年份除以建校周年n为， 要使得能够整除，则n为1991的因数， ∵， ∴或或或，共4个， 故选：B． 10．下列约分正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了约分，判断分式变形是否正确等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 依据分式的基本性质，即分子分母同时除以它们的公因式，且分子为多项式时不能随意拆分，逐一分析选项即可． 【详解】解：分子无公因式， 不能直接约去中的， 故A错误； 当时，， 故B错误； 的分子分母公因式为，同时除以得， 故C正确； 的公因式为，约去后得， 故D错误， 故选：C． 二、填空题 11．根据分式的基本性质填空：，． ， ， 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质． 根据分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变．对于第一个分式，分母从变为，需除以，分子相应变化；对于第二个分式，分母从变为，需乘以，分子相应变化． 【详解】解：， ， 故答案为：，． 12．填空： （1）括号里填 ． （2）括号里填 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质. 根据分式的基本性质即可求出答案. 【详解】解：（1）分母由变为，分子与分母应同时乘， 故， 故答案为：； （2）分母由变为，分子与分母应同时乘， 故， 故答案为：. 13．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母中的最高次项的系数为正数． （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． （1）将分母中的负号提到分式前面即可； （2）分子和分母都乘以即可； （3）分子和分母都乘以即可． 【详解】（1） 故答案为： （2） 故答案为： （3） 故答案为： 14．约分： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的约分，关键是找出公因式然后运用分式的基本性质进行化简． 根据分式的基本性质约分即可． 【详解】解：， 故答案为：． 15．化简分式： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简． 通过约去分子和分母的公因式进行化简即可． 【详解】解：原分式为， 分子和分母的公因式为， 约分后得． 故答案为：． 16．分式的值为0时，的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的值为0的条件，根据分式的值为0的条件是分子等于0且分母不等于0，进行求解即可． 【详解】解：令分子， 解得或， 又分母，即， 所以， 故答案为：． 17．观察下面一列数：，，，，，，则第个数为 ． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化规律，根据所给的一列数发现分子和分母的变化规律是（为正整数），然后利用规律解决问题． 【详解】解：∵， ∴第个数的符号为，分子为，分母为：， ∴第个数为（为正整数）， 当时，， 即第100个数为． 故答案为：． 18．请你写出一个分式，同时满足以下三个条件：①当时，分式无意义；②当时，分式的值为0；③当时，分式的值为4．这个分式可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了最简分式，分式值为零的条件，分子为分式的值为，分母为分式无意义． 根据条件①，分式在时无意义，故分母包含因式 ；根据条件②，分式在时值为 0，故分子包含因式 ，且分母在时不为零；根据条件③，分式在时值为 4，代入分式方程求解系数． 【详解】解：设分式为 ， 由条件③，当时，， 解得 ， 取 ，则 ，故分式为 ， 验证满足所有条件， 故答案为：（答案不唯一）． 三、解答题 19．约分： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了约分，完全平方公式分解因式，平方差公式分解因式，综合提公因式和公式法分解因式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）利用分式的基本性质约分； （2）先将分子、分母分别分解因式，再约分． 【详解】（1）解：． （2）解：． 20．计算或化简： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算和分式化简，熟练应用相关运算法则是解题的关键． （1）先计算立方根、零指数幂和绝对值计算，再计算加减即可； （2）利用完全平方公式和分配律展开后，再合并同类项即可； （3）根据多项式除以单项式，逐项相除即可； （4）先对分子提取公因式，再对分子和分母进行约分即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 21．（1）已知，且，求分式的值． （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1）-3（2）3 【分析】本题考查了分式的值，通过将分式的分子、分母分别分解因式，以及掌握整体代入思想是解题的关键． （1）由得，将其整体代入分式的分子和分母，化简即可； （2）先将分式的分子、分母分别分解因式，约分化为最简结果，然后代入求值即可． 【详解】解：（1），且， ，且， ． （2）， ， ． 22．仔细阅读下面的材料并解答问题． 例：当取何值时，分式的值为正数？ 解：由题意，得，则有①或②解不等式组①，得；解不等式组②，得该不等式组无解．∴当时，分式的值为正数． 按照上面的方法，求当取何值时，分式的值为负数． 【答案】当且时 【分析】此题考查了已知分式的值求未知数的范围，解不等式组，解题的关键是正确列出不等式组． 首先将因式分解为，然后类比题干的方法得到①或②，然后分别求解即可． 综合运用因式分解、分式值为负，解不等式等知识． 【详解】解：∵， ∵分式的值为负数， ∴或， ∴①或② 解不等式组①，得且； 解不等式组②，得该不等式组无解． ∴当且时，分式的值为负数． 23．解答下列问题： (1)某项工程，甲队需t天完成，该队每天完成的工作量是多少？ (2)一段长的路，小明步行需，骑自行车所用的时间比步行所用时间的一半少．骑自行车的平均速度是多少？ (3)某商品降价后的售价为a元，该商品的原价是多少元？ 【答案】(1) (2) (3)元 【分析】本题主要考查了列分式，正确理解题意是解题的关键． （1）把工作总量看做单位“1”，根据工作效率等于工作总量除以工作时间即可得到答案； （2）由题意得骑自行车需要的时间为，再根据速度等于路程除以时间即可得到答案； （3）根据题意可得现价是原价的，据此列式求解即可． 【详解】（1）解：∵某项工程，甲队需t天完成， ∴该队每天完成的工作量是； （2）解：由题意得，骑自行车的平均速度是； （3）解：∵某商品降价后的售价为a元， ∴该商品的原价是元． 24．（1）计算： ①； ②； （2）如果分式 无意义，的值为0， 求的值． 【答案】（1）①；②；（2）6． 【分析】此题考查了分式无意义的条件、分式的基本性质、分式的值为0的条件、求代数式的值等知识，熟练掌握分式无意义的条件、分式的基本性质、分式的值为0的条件是解题的关键． （1）根据分式的基本性质即可得到答案； （2）根据分式无意义的条件得到，根据分式的值为0的条件得到，把字母的值代入代数式求值即可． 【详解】解：（1）① 故答案为： ②； 故答案为： （2）∵分式无意义， ∴， ∴； ∵的值为0， ∴且， ∴； ∴． 25．阅读理解： 材料1：我们为了研究分式的值与分母x的关系，制作如下表格： x … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着x的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着x的增大，的值也随之减小． 材料2：对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式． 例如：； 请根据上述材料解答下列问题： (1)当时，随着m的增大，的值 ；当时，随着m的增大，的值 ；填“增大”或“减小” (2)当时，随着m的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数． 【答案】(1)减小，减小 (2)的值无限接近 【分析】本题考查了分式的性质，掌握分式的基本性质是解题的关键． （）根据表格得当时，随着的增大，的值随之减小，从而得到的值随之减小；当时，随着的增大，的值随之减小，从而得到的值随之减小，即的值随之减小； （）当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近于零，从而得出的值无限接近； 【详解】（1）解：当时，随着的增大，的值随之减小， ∴当的值随之减小，从而得到的值随之减小； 由于，则当时，随着的增大，的值随之减小，从而的值随之减小，即的值随之减小； 故答案为：减小；减小； （2）解：∵， ∴当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近于零， ∴的值无限接近； 即当时，随着的增大，的值无限接近． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1分式及其基本性质寒假预习讲义（北师大版） 💧预习内容概览 1. 课前预习★目标 2.重点知识★梳理归纳 2. 核心考点★精讲精练 4.强化巩固★过关演练 ☘课前预习★目标 ◆能说出分式的定义，分清分式与整式的区别； ◆记住分式有意义、无意义及值为0的条件； ◆会求使分式有意义的字母取值范围； ◆能根据分式基本性质对分式进行同乘同除变形。 ❉预习重点 分式概念；分式有意义的条件；分式的基本性质。 ❉预习难点 分式值为0的条件（分子为0且分母不为0）；分式基本性质的正确应用。 ✏ 重点知识★梳理归纳 【知识点1】分式的概念 1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，B≠0，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 2.分式与整式区别： 整式：分母无字母；分式：分母有字母。 【重点提示】判断一个代数式是否为分式，关键看分母是否含有字母，与分子无关，且无需考虑字母取值是否使分母为零。 【知识点2】分式有意义，无意义或等于零的条件 1.分式有意义的条件：分母不等于零. 2.分式无意义的条件：分母等于零. 3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.（必须满足两个条件，缺一不可） 【知识点3】分式的基本性质 分式的分子与分母同乘（或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）. 【知识点4】分式的变号法则 分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变； 【知识点5】分式的约分、最简分式 约分：利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值； 最简分式：分子与分母没有相同的因式（1除外）。 ★重点提示1.会识别分式；2.会求分式有意义的取值范围；3.会用基本性质进行简单变形。 ✍核心考点★精讲精练 题型1分式的判断 例1．下列代数式是分式的是（   ） A． B． C． D． 变式1．有下列代数式：①；②；③；④；⑤．其中是分式的是 （填序号）． 变式2．下列各式，哪些是整式，哪些是分式？ ，，，，，，． 题型2分式的规律问题 例2．观察下列各等式：，，，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为（   ） A． B． C． D． 变式1．已知，，，，（为正整数）．像，，，这样分子为1，分母是正整数的分数叫作单位分数．借助上述思路解决以下问题： 对于任意正整数，将写成两个不同的单位分数相加，即 ．（结果用含的代数式表示） 变式2．观察下列分式：，，，，…．其中． (1)试写出第5个分式 ． (2)试写出第（为正整数）个分式． 题型3按要求构造分式 例3．浓度为的盐水m公斤与浓度为的盐水n公斤混合后的溶液浓度是（    ） A． B． C． D． 变式1．某工厂原计划天生产60件产品，若现在需要比原计划提前1天完成任务，则现在每天要生产 件产品（用含的式子表示）．当时，现在每天要生产 件产品． 变式2．每千克m元的糖果x千克与每千克n元的糖果y千克混合成杂拌糖，请写出混合后每千克糖果的价格的式子． 题型4分式无意义的条件 例4．对于分式，当时，下列正确的是（    ） A．分式无意义 B．分式的值为1 C．分式的值为0 D．分式的值为 变式1．当 时，分式无意义． 变式2．如果分式 无意义，那么的值为 题型5分式有意义的条件 例5．若分式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式1．若分式有意义，则满足的条件是 ． 变式2．若分式有意义，则 x 的取值范围是？ 题型6分式值为零的条件 例6．若，则的值为（    ） A． B． C．4 D．3 变式1．若分式的值为0，则 ． 变式2．分式的值能等于0吗？说明理由． 题型7分式的求值 例7．如果，则（   ） A． B． C． D． 变式1．若，则 ． 变式2．已知，求的值． 例8．当代数式的值为正时，的取值范围是（　　） A． B． C． D． 变式1．若分式的值为正，则的取值范围是 ． 变式2．当为何值时，分式的值为正数． 题型9求使分式值为整数时未知数的整数值 例9．是有理数，则的值不能是（　　） A．1 B． C．0 D． 变式1．若分式的值为整数，则整数的值为 ． 变式2．当整数x取何值时，分式的值是整数？ 题型10判断分式变形是否正确 例10．下列各式从左到右的变形一定正确的是（    ） A． B． C． D． 变式1．下列从左到右的变形：①；②；③；④．其中正确的是 （填序号）． 变式2．下列等式的右边是怎样从左边得到的？ (1)； (2)； (3)． 题型11求使分式变形成立的条件 例11．已知为大于的实数，要使等式成立，则内应填入(   ) A． B． C． D． 变式1．若，等式成立，则x应满足的条件是 ． 变式2．下列等式的右边是怎样从左边得到的？ (1)； (2)． 题型12利用分式的基本性质判断分式值的变化 例12．下列各式的值一定与的值相等的是（   ） A． B． C． D． 变式1．将分式中的和都扩大10倍，那么分式的值变为原来的 ． 变式2．某数学兴趣小组探究了分式的值与字母取值的变化关系，请你帮助完成相关问题： (1)①当，时，分式的值为__________； ②当，时，分式的值为__________； (2)当分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍时，分式的值如何变化？为什么？ 题型13将分式的分子分母的最高次项化为正数 例13．不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 变式1．不改变分式的值，使分子、分母的第一项系数都是正数，则 ． 变式2．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母中的最高次项的系数是正数： (1)； (2)； (3)． 题型14将分式的分子分母各项系数化为整数 例14．不改变分式的值，把的分子、分母中含x项的系数化为整数为（   ） A． B． C． D． 变式1．不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数： （1）括号内填： ； （2）括号内填： ． 变式2．不改变分式的值，将下列各式的分子和分母的各项系数都化为整数． (1)； (2)． 题型15约分 例15．若分式，则（    ） A． B． C． D． 变式1．若，，则的值为 ． 变式2．约分： (1)； (2)． 题型16最简分式 例16．下列分式中是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 变式1．任意写一个分母含和的最简分式为 ． 变式2．计算：． ✍强化巩固★过关演练 一、单选题 1．下列代数式中，是分式的是（    ） A． B． C． D． 2．若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 3．某校12月组织a名师生到红旗渠风景区开展红色教育活动．租用的旅游车每辆可乘坐b人，师生全部上车后还剩一个位置，由此可知租用的旅游车的辆数为（   ） A． B． C． D． 4．当取哪个数时，分式的值不存在（　　） A． B． C． D． 5．若分式有意义，则的取值范围为（    ） A． B． C．且 D． 6．若分式的值为，则的值为（ ）． A． B． C．或 D． 7．观察下列式子：，依照此规律，第8个式子是（   ） A． B． C． D． 8．若，则，的值可能是（ ） A．， B．， C．， D．， 9．2022年是宁波外国语学校建校31周年，则满足建校n周年的正整数n能整除对应年份的n的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 10．下列约分正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．根据分式的基本性质填空：，． ， ， 12．填空： （1）括号里填 ． （2）括号里填 ． 13．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母中的最高次项的系数为正数． （1） ； （2） ； （3） ． 14．约分： ． 15．化简分式： ． 16．分式的值为0时，的值是 ． 17．观察下面一列数：，，，，，，则第个数为 ． 18．请你写出一个分式，同时满足以下三个条件：①当时，分式无意义；②当时，分式的值为0；③当时，分式的值为4．这个分式可以是 ． 三、解答题 19．约分： (1)； (2)． 20．计算或化简： (1) (2) (3) (4) 21．（1）已知，且，求分式的值． （2）已知，求代数式的值． 22．仔细阅读下面的材料并解答问题． 例：当取何值时，分式的值为正数？ 解：由题意，得，则有①或②解不等式组①，得；解不等式组②，得该不等式组无解．∴当时，分式的值为正数． 按照上面的方法，求当取何值时，分式的值为负数． 23．解答下列问题： (1)某项工程，甲队需t天完成，该队每天完成的工作量是多少？ (2)一段长的路，小明步行需，骑自行车所用的时间比步行所用时间的一半少．骑自行车的平均速度是多少？ (3)某商品降价后的售价为a元，该商品的原价是多少元？ 24．（1）计算： ①； ②； （2）如果分式 无意义，的值为0， 求的值． 25．阅读理解： 材料1：我们为了研究分式的值与分母x的关系，制作如下表格： x … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着x的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着x的增大，的值也随之减小． 材料2：对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式． 例如：； 请根据上述材料解答下列问题： (1)当时，随着m的增大，的值 ；当时，随着m的增大，的值 ；填“增大”或“减小” (2)当时，随着m的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $