专题10分式的运算题型突破讲义(知识点梳理+题型精析+强化巩固专练+寒假预习)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题10分式的运算题型突破讲义 . 基础 过关题 1.分式乘法 2.分式除法 3.分式乘除混合运算 4.同分母分式加减法 5.最简公分母 6.通分 7.异分母分式加减法 8.整式与分式相加减 能力 提升题 9.分式乘方 10.含乘方的分式乘除混合运算 11.分式加减混合运算 12.分式加减乘除混合运算 13.分式化简求值 14.分式加减的实际应用 拓展 拔高题 15.已知分式恒等式确定分子分母 16.分式最值 一、分式的基本性质（运算基础，必掌握） 1.核心公式：，​（M0，A.B.M 为整式） 2.关键应用：分式约分、通分的依据，注意分母不能为 0。 3.符号规则：，分子、分母、分式本身符号，改变其中两个，值不变。 二、分式的乘除 1.乘法法则：（分子乘分子，分母乘分母） 2.除法法则：（除以分式 = 乘它的倒数） 3.关键步骤： (1)先因式分解（多项式优先分解） (2)再约分（约到最简分式，分子分母无公因式） (3)结果化为最简分式 / 整式 三、分式的乘方 法则：()n=（n 为正整数，b0） 注意：分子、分母分别乘方，负数乘方注意符号。 四、分式的加减（核心难点） 1. 同分母分式加减 ±，分母不变，分子相加减，最后约分。 2. 异分母分式加减（必考） 1.步骤：找最简公分母 → 通分 → 同分母运算 → 约分 2.最简公分母确定： 系数取各分母系数最小公倍数 字母 / 因式取所有不同字母 / 因式的最高次幂 3.关键：多项式分母先因式分解，再定公分母。 五、分式的混合运算 1.运算顺序：先乘方 → 再乘除 → 最后加减，有括号先算括号内。 2.核心技巧：每一步计算后及时约分，简化运算。 3.结果要求：必须化为最简分式或整式。 六、易错点（必避坑） 1.运算时分母不能随意去分母（只有等式 / 不等式可去分母，单纯运算不行）。 2.分子是多项式时，加减要加括号，避免符号错误。 3.结果未约分为最简分式，属于步骤不完整。 4.忽略分母不为 0的隐含条件。 【题型1.分式乘法】 1．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式乘法、约分等知识点，掌握分式的乘法运算法则是解题的关键． 根据分式乘法的运算法则（分子和分子相乘、分母和分母相乘）运算，然后再约分即可解答． 【详解】解：． 故答案为：． 2．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是分式的乘方及乘法运算，熟练掌握分式的乘方及乘法运算法则是解题关键，应用分式的乘方及乘法运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 3．警犬日常训练中在跑一段山坡，上山速度是80米/分，到达山顶后再下山，下山的速度是上山速度的3倍，如果上、下山的路程相同，那么警犬跑这段山路的平均速度是 【答案】120米/分 【分析】本题考查了分式乘法的应用，正确理解题中的数量关系是解答本题的关键，设上山的路程为S，则上、下山的总路程为，可逐步求得上下山的总时间，最后利用平均速度等于上、下山的总路程除以总时间，计算即得答案． 【详解】解：设上山的路程为， 则由题意得，平均速度为(米/分)， 故答案为：120米/分． 4．的计算结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的乘法运算，熟知运算法则和因式分解是解题的关键．通过因式分解分母并利用符号变化简化表达式． 【详解】解：原式 = ， 故选： C． 【题型2.分式除法】 5．化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简，熟练掌握分式的分子分母同乘一个不等于零的整式，分式的值不变是解决此题的关键．根据分式的基本性质进行化简即可． 【详解】解：， 故答案为： ． 6．若分式运算结果为，则在“”中添加的代数式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的除法，根据，可得，化简即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以“”中添加的代数式为． 故选：A． 7．化简：的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的除法，将分式的除法转化为分式的乘法，同时将分式的分子、分母进行因式分解，然后进行约分得到最简分式．掌握相应的运算法则、公式是解题的关键． 【详解】解： ， 即的结果是． 故答案为：． 8．下列各式，正确的是（     ） A． B． C． D．=2 【答案】A 【分析】本题考查分式的化简与运算．选项A中分子与分母相等，故值为1；选项B、C、D通过取特殊值或运算规则可判断错误． 【详解】解：∵ ， ∴ ，故A正确． 不能约分，故B错误． ，故C错误． ，故D错误． 故选A． 解答题 9．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分数乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）根据分式乘法法则计算，然后再化简为最简分式即可； （2）根据分式乘法法则计算，然后再化简为最简分式即可； （3）先转化为分式乘法，然后根据分式乘法法则计算，然后再化简为最简分式即可； （4）先转化为分式乘法，然后根据分式乘法法则计算，然后再化简为最简分式即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 （4）解：原式 【题型3.分式乘除混合运算】 10．计算： ． 【答案】 【分析】本题先将除法统一成乘法，然后化为最简分式即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是将除法一定要先统一成乘法再进行运算． 11．下列计算中，一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】约分：利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．根据分式的约分规则和分式的乘除法对选项逐一分析求解． 【详解】解：A、中，分子分母没有公因式，不能约分，故错误．不符合题意． B、，约去公因数2，故正确．符合题意． C、中，分子分母没有公因式，不能约分，故错误．不符合题意． D、考查分式的乘除混合运算，，故错误．不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查分式的约分和分式乘除混合运算，解决本题的关键在熟练应用化简和计算法则，不混淆乘除法． 12．化简：＝ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的乘除法，先将除法运算转化为乘法运算，再约分化简． 【详解】解：原式＝ ＝ ＝ ＝ 故答案为： 13．化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的乘除运算，因式分解，掌握分式乘除运算的步骤是解题的关键． 将除法转化为乘法，并对各多项式进行因式分解，然后约分化简． 【详解】解： 原式 = = ∵ ，， ∴ 原式 = =   =   = ∴ 化简结果为，对应选项A． 故选：A． 解答题 14．计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，分式的乘方运算，熟知相关运算法则是解题的关键． （1）（2）根据分式的乘方运算法则求解即可； （3）根据分式的乘除法运算法则求解即可； （4）先把对应分式的分母分解因式，再根据分式的乘除法运算法则求解即可； （5）先计算乘方，再根据分式的乘除法运算法则求解即可； （6）先计算乘方，再把对应分式的分母分解因式，最后根据分式的乘除法运算法则求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 【题型4.同分母分式加减法】 15．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了同分母分式的加法运算，根据同分母分式的加法运算法则即可求解，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 16．如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被遮盖的是（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查分式的加减运算，用根据分式加减法的运算法则，将等式两边变形，求出被遮盖的部分即可． 【详解】解：∵， ∴； 因此，被遮盖的部分是1， 故选D． 17．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，分式的约分，解题关键是将已知式子适当变形，再整体代入求值． 先将，变形为，再整体代入求值． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为：． 18．若，互为倒数，且，则分式的值为（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了同分母分式的减法，分式的化简求值，倒数的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据分式的减法进行计算，再化简，结合倒数的定义，最后求得答案． 【详解】，互为倒数， 故选：D． 解答题 19．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式加减法，掌握通分和同分母分式加减法法则是解题的关键． （1）通过观察分母和互为相反数，将第二个分式变形后合并分式，再利用因式分解约分简化即可； （2）通过观察分母和互为相反数，将第二个分式变形后合并分式，再利用因式分解约分简化即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【题型5.最简公分母】 20．分式的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】根据最简公分母的确定方法可得答案．本题考查了分式的最简公分母的概念，详解时注意以下步骤：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式确定；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【详解】解：因为中的系数的最小公倍数是2，a的最高次幂是2，b的最高次幂是2，c的最高次幂是1，所以三分式的最简公分母是． 故答案为：． 21．分式的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，即可得出答案． 此题考查了最简公分母，解题的关键是要掌握确定最简公分母的方法． 【详解】解：分式的最简公分母是：， 故选：C． 22．已知分式与与(a，b是常数且b≠0)的最简公分母为，则 【答案】或 【分析】根据题意可知2与的最小公倍数是10，由此可解． 【详解】解：依题意得：2与的最小公倍数是10， ∴或 ∴或 故答案为：或 【点睛】本题考查最简公分母，掌握最简公分母的系数是分母数字因式的最小正公倍数是解题的关键．注意若分母出现多项式时确定最简公分母需要先因式分解． 23．下列说法正确的是（　　） A．若分式的值为0，则x＝2 B．是分式 C．与的最简公分母是ab（x﹣y）（y﹣x） D． 【答案】B 【分析】根据分式的值为零的条件，分式的定义，最简公分母的确定方法以及分式的性质进行判断． 【详解】解：A、若分式的值为0，则x2-4=0且x-2≠0，所以x=-2，该选项不符合题意； B、的分母中含有字母，是分式，该选项符合题意； C、与的最简公分母是ab(x-y)，该选项不符合题意； D、当x=0时，该等式不成立，该选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了最简公分母，分式的定义，分式的值为零的条件．注意：分式的分母不等于零． 【题型6.通分】 24．要对，，进行通分，则它们的最简公分母是 ． 【答案】12x3yz 【分析】取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母． 【详解】解：xy、4xy3、6xyz中，各单项式的系数1、4、6的最小公倍数为12，字母x的最高次幂为3，y、z的最高次幂均为1，所以它们的最简公分母为：12x3yz， 故答案为：12x3yz． 【点睛】本题考查了最简公分母的确定，解题的关键是掌握最简公分母的定义． 25．化简结果正确的是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式加减，解题的关键是熟练掌握异分母分式加减运算法则． 根据异分母分式加减运算法则进行计算即可． 【详解】解： 故选：C． 26．对于任意的值都有，则值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的加法运算，涉及异分母分式加法运算、通分、多形式相等的条件等知识，由题中给的等式，将右边异分母分式通分后相加，再由等式左右两边分子相等列方程组求解即可得到答案，熟记分式的加法运算法则是解决问题的关键． 【详解】解： ， ，解得， 故答案为：． 解答题 27．（1）约分：； （2）通分：与． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题主要考查约分和通分： （1）原式先将分子、分母因式分解，再约去公因式即可； （2）找出分母的最简公分母求解即可； 【详解】解：（1） ； （2）              【题型7.异分母分式加减法】 28．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简，掌握分式的性质，分式的混合运算法则是解题的关键． 先通分，再计算，化成最简分式即可． 【详解】解： ， 故答案为： ． 29．化简的结果是（   ） A．m B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的运算是解题的关键． 先将分式进行通分，再进行分式的加减运算即可． 【详解】解： ， 故选A． 30．A，B为常数，如果，则 ， 【答案】 4 【分析】本题考查分式的通分与恒等式的系数匹配，解题的关键是通过通分将左边化为同分母分式，再比较分子系数建立方程组求解． 先对左边分式通分，将其化为与右边同分母的形式，再通过分子多项式的系数对应关系，列方程组求出的值． 【详解】解：对左边通分：， 因为左边等于右边，所以分子需相等， ， 展开左边：， 比较等式两边的系数和常数项，得方程组： ， 解得：，． 故答案为：． 31．照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中表示照相机镜头的焦距，表示物体到镜头的距离，表示胶片（像）到镜头的距离．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加减，掌握异分母分式的加减是解题的关键． 把等式变形，利用分式的基本性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 【题型8.整式与分式相加减】 32．化简的结果为 ． 【答案】 【分析】先通分，再根据同分母分式的加法法则计算即可 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题考查了分式和整式的减法，熟练掌握运算法则是解题的关键 33．如图是嘉琪同学在作业中计算的过程，作业是从第几步开始出现错误（    ） 嘉琪的作业 ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 【答案】B 【分析】本题考查了分式的减法运算，掌握分式的减法运算法则是解题的关键． 根据分式的减法运算法则计算即可． 【详解】解： ． 所以观察嘉琪的作业步骤，发现从第二步开始出现错误，计算时不应去分母． 故选：B． 34．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】先通分再化简即可． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的减法运算，平方差公式；当分母不同时，要先通分化成同分母的分式，再相减，最后结果能约分的要约分． 解答题 35．【方法策略】对于分式，求它的最大值． 解：原式． ， 的最小值是2． 的最大值是2． 的最大值是4． 即分式的最大值是4． 【问题解决】根据上述方法，求分式的最大值． 【答案】5 【分析】本题考查了分式的加减法，理解【方法策略】的解题思路是解题的关键． 按照【方法策略】的解题思路，进行计算即可解答． 【详解】解：． ， 的最小值是1． 的最大值是3． 的最大值是5． 分式的最大值是5． 【题型9.分式乘方】 36．计算： ． 【答案】 【分析】分式乘方的法则是：把分式的分子、分母分别乘方即为乘方结果． 【详解】解： 故答案为； 【点睛】本题考查分式的乘方运算．掌握相关运算法则即可． 37．计算的结果是（   ） A．m B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的乘法运算．先计算乘方，再计算乘法，即可求解． 【详解】解： ， 故选：A． 38．计算 ． 【答案】 【分析】先算分式的乘方，然后再按分式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了分式的乘方和运算乘法运算，掌握分式的乘方运算法则是解答本题的关键． 【题型10.含乘方的分式乘除混合运算】 39．计算 ． 【答案】 【分析】根据分式的运算法则计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知其运算法则． 40．下列式子计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 根据分式的加减乘除运算法则逐项排除即可． 【详解】解：、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意． 故选：． 41．计算（﹣）3÷（﹣）2的结果是 ． 【答案】﹣ 【分析】原式先计算乘方运算，再计算除法运算即可得到结果． 【详解】解：原式＝ = =． 故答案为：﹣． 【点睛】本题考查含乘方的分式乘除混合运算，熟练掌握含乘方的分式乘除混合运算的法则和顺序是解题关键． 解答题 42．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算． （1）先计算分式的乘方，再将除法转化为乘法，最后计算分式的乘法即可； （2）先分解分式，将除法转化为乘法，计算分式的乘法，最后计算减法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型11.分式加减混合运算】 43．计算的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把分式进行通分，然后计算分式的加减，即可得到答案． 【详解】解：原式． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 44．计算： ． 【答案】 【分析】根据分式的运算求解即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的有关运算法则． 45．当x分别取值，，，…，，1，2，…，2017，2018，2019时，计算代数式的值，将所得结果相加，其和等于（    ） A．1 B． C．1009 D．0 【答案】D 【分析】本题考查的是分式的求值， 先把和代入代数式，并对代数式化简求值，得到它们的和为0，进而求解即可． 【详解】解：当和时， ， ∴， ∵当时，． ∴其和等于0． 故选：D． 解答题 46．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)2； (3)． 【分析】本题考查了分式的加减运算，掌握分式的加减运算法则是解题的关键． （1）原式先通分，再化简即可； （2）先利用平方差公式，再化简即可； （3）先对前两项进行计算，再对最后一项约分，接下来通分，再化简即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【题型12.分式加减乘除混合运算】 47．计算： ． 【答案】/ 【分析】依据题意，根据分式的混合运算法则进行计算可以得解． 【详解】解：由题意，原式． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解题时要能熟练运用法则进行计算． 48．一辆汽车以千米每小时的速度行驶，从地到地需要小时，若该汽车的行驶速度在原来的基础上增加千米每小时，那么提速后从地到地需要的时间比原来减少（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了代数式，分式的实际应用，根据题意求出全程，及提速后行驶的速度，相除即可得到提速后行驶的时间，原来行驶时间减去提速后行驶的时间，即得比原来减少的时间． 【详解】解：A地到B地的路程为千米，提速后的速度：千米每小时，提速后的时间：小时， ∴提速后从A地到B地比原来减少的时间：（小时）． 故选：B． 49．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握处理符号统一分母，合并后因式分解约分，再进行乘法运算是解题的关键． 先观察括号内的表达式，利用进行化简，合并分数后约分，再与前面的分数相乘，最后化简得到结果． 【详解】解：原式为，其中， 所以括号内化为（其中）， 然后与前面相乘：， 故答案为：． 解答题 50．化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【详解】解： ． 【题型13.分式化简求值】 51．若，则 ； 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本运算．根据，进而求得． 【详解】解：， ． 故答案为：． 52．若是非负整数，则表示的值的点落在如图所示的数轴上的范围是（   ） A．① B．② C．③ D．以上都有可能 【答案】B 【分析】本题考查了分式的加减，熟练掌握分式的运算方法是解题的关键； 对题干给出的式子进行化简，再根据x的范围判断化简结果的范围即可得知原式的范围． 【详解】解：原式 ∴原式的值为1 观察数轴可知1在范围②内； 故选：B ． 53．若，则代数式的值为 【答案】2025 【分析】本题考查了代数式求值，平方差公式的运用，掌握整式，分式的混合运算，平方差公式是关键． 根据题意得到，根据整式，分式的混合运算将原式变形得到，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ， ∴原式， 故答案为： ． 解答题 54．先化简，再求值：，其中． 【答案】；5 【分析】本题考查了分式的除法，分式的化简求值，解题的关键是先把代数式化简，然后再代入求值． 把除法运算转化成乘法运算，进行因式分解、约分化到最简，最后代值计算即可． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 【题型14.分式加减的实际应用】 55．甲乙两个码头相距s千米，某船在静水中的速度为a千米/时，水流速度为b千米/时，则船一次往返两个码头所需的时间为（    ）小时 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了分式的运用，列代数式，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．船只往返两个码头一次，会有一次顺流、一次逆流，顺流速度静水速度水流速度，逆流速度静水速度水流速度，据此可以列出关系式． 【详解】解：船一次往返两个码头所需的时间为小时， 故选：D． 56．某人沿一条河流顺流游泳米，然后逆流回到出发点，设此人在静水中的游速为，水流速度为．则他来回一趟所需的时间为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的加减运算的实际应用，灵活运用相关知识是解题的关键． 首先得顺流速度为，逆流速度为，结合游泳距离米，然后根据来回一趟所需时间顺流游一趟所用的时间逆流游一趟所用的时间，列出整理即可得出答案． 【详解】∵此人在静水中的游速为，水流速度为 ∴顺流速度为，逆流速度为， ∴ ． 故答案为：． 57．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了200千克，那么“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量相比，（    ） A．“丰收1号”高 B．“丰收2号”高 C．一样高 D．无法确定哪个高 【答案】B 【分析】先求出两块试验田的面积，再根据“单位面积产量=总产量面积”得到两块试验田的单位面积产量，最后用“丰收2号”的单位面积产量除以“丰收1号”的单位面积产量，再比较结果与1的大小关系即可. 本题考查了分式的实际应用，依题意求出两块试验田的单位面积产量是解题关键. 【详解】由题意得：“丰收1号”的面积为；“丰收2号”的面积为 则“丰收1号”的单位面积产量为；“丰收2号”的单位面积产量为 则， ∵， ∴， ∴ 即， ∴“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量相比“丰收2号”高， 故选：B 解答题 58．甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料．两次饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买；乙每次用去800元，而不管购买多少饲料．甲、乙所购饲料的平均单价各是多少？ 【答案】甲：（元）；乙：（元） 【分析】根据平均单价＝ 总钱数 两次购买的质量和 ，求出甲、乙所购饲料的平均单价即可； 【详解】解：设两次购买的饲料单价分别为元和元（，是正数，且）， 则甲两次购买饲料的平均单价为（元）， 乙两次购买饲料的平均单价为（元）． 【点睛】本题考查的是分式的混合运算，解决本题的关键是读懂题意，熟知分式混合运算的法则． 【题型15.已知恒等式确定分子分母】 59．若，，为常数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法，先通分，然后进行同分母分式加减运算．通过通分得到分子的对应项，从而求得A、B的值，代入即可求出的值． 【详解】 ， ∵， ∴， ∴，， 解得，， ∴． 故答案为：1． 60．若的值为，则的值为（　　） A． B． C． D．． 【答案】D 【分析】根据条件先求出的值，然后整体代入求解即可． 【详解】由题意可得，，则， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查分式求值问题，灵活根据条件变形，并熟练运用整体思想是解题关键． 61．已知，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查根据分式恒等式求解参数，二元一次方程组的应用；将等式右边通分后与左边比较分子，得到关于m和n的方程，通过比较系数建立方程组，求解m和n后计算差值； 【详解】解：右边通分得： 与左边比较分子得： 展开左边得： ∴ 比较系数得： 解得： ∴. 故答案为：1. 【题型16.分式最值】 62．若a为正整数，下列关于分式的值的结论正确的是（   ） A．有最大值是2 B．有最大值是 C．有最小值是1 D．有最小值，没有最大值 【答案】B 【分析】本题考查了分式的求值，先把化简，再根据分式的特点分析即可． 【详解】解：， 分式要有意义， ， 且， a为正整数， ∴a的最小值为2． 分式的值随着a的值的增大而减小， ∴当a取最小整数2时，原式有最大值，最大值，且原分式无最小值． 故选：B． 63．如图，若x为正整数，则表示的值的点落在（　　） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 先将分式化简、变形为，由为正整数知，据此可得，从而得出答案． 【详解】解： ， ∵为正整数， ， ， ， ∴表示的值的点落在段②． 故选：B． 解答题 64．已知，且，求的最小值． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式，分式，完全平方公式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得，当，时，由得：，计算，利用上述不等式即可得出，即可求解． 【详解】解：首先证明：当，时，； ∵, ∴， 即； ∵，，， ∴； ∵， 而， ∴， ∴， 当且仅当，即时取等号， ∴的最小值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10分式的运算题型突破讲义 . 基础 过关题 1.分式乘法 2.分式除法 3.分式乘除混合运算 4.同分母分式加减法 5.最简公分母 6.通分 7.异分母分式加减法 8.整式与分式相加减 能力 提升题 9.分式乘方 10.含乘方的分式乘除混合运算 11.分式加减混合运算 12.分式加减乘除混合运算 13.分式化简求值 14.分式加减的实际应用 拓展 拔高题 15.已知分式恒等式确定分子分母 16.分式最值 一、分式的基本性质（运算基础，必掌握） 1.核心公式：，​（M0，A.B.M 为整式） 2.关键应用：分式约分、通分的依据，注意分母不能为 0。 3.符号规则：，分子、分母、分式本身符号，改变其中两个，值不变。 二、分式的乘除 1.乘法法则：（分子乘分子，分母乘分母） 2.除法法则：（除以分式 = 乘它的倒数） 3.关键步骤： (1)先因式分解（多项式优先分解） (2)再约分（约到最简分式，分子分母无公因式） (3)结果化为最简分式 / 整式 三、分式的乘方 法则：()n=（n 为正整数，b0） 注意：分子、分母分别乘方，负数乘方注意符号。 四、分式的加减（核心难点） 1. 同分母分式加减 ±，分母不变，分子相加减，最后约分。 2. 异分母分式加减（必考） 1.步骤：找最简公分母 → 通分 → 同分母运算 → 约分 2.最简公分母确定： 系数取各分母系数最小公倍数 字母 / 因式取所有不同字母 / 因式的最高次幂 3.关键：多项式分母先因式分解，再定公分母。 五、分式的混合运算 1.运算顺序：先乘方 → 再乘除 → 最后加减，有括号先算括号内。 2.核心技巧：每一步计算后及时约分，简化运算。 3.结果要求：必须化为最简分式或整式。 六、易错点（必避坑） 1.运算时分母不能随意去分母（只有等式 / 不等式可去分母，单纯运算不行）。 2.分子是多项式时，加减要加括号，避免符号错误。 3.结果未约分为最简分式，属于步骤不完整。 4.忽略分母不为 0的隐含条件。 【题型1.分式乘法】 1．计算： ． 2．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 3．警犬日常训练中在跑一段山坡，上山速度是80米/分，到达山顶后再下山，下山的速度是上山速度的3倍，如果上、下山的路程相同，那么警犬跑这段山路的平均速度是 4．的计算结果为（   ） A． B． C． D． 【题型2.分式除法】 5．化简： ． 6．若分式运算结果为，则在“”中添加的代数式为（   ） A． B． C． D． 7．化简：的结果是 ． 8．下列各式，正确的是（     ） A． B． C． D．=2 解答题 9．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型3.分式乘除混合运算】 10．计算： ． 11．下列计算中，一定正确的是（    ） A． B． C． D． 12．化简：＝ ． 13．化简的结果为（   ） A． B． C． D． 解答题 14．计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【题型4.同分母分式加减法】 15．计算： ． 16．如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被遮盖的是（   ） A． B． C．2 D．1 17．已知，则 ． 18．若，互为倒数，且，则分式的值为（    ） A．0 B． C． D．1 解答题 19．计算： (1)． (2)． 【题型5.最简公分母】 20．分式的最简公分母是 ． 21．分式的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 22．已知分式与与(a，b是常数且b≠0)的最简公分母为，则 23．下列说法正确的是（　　） A．若分式的值为0，则x＝2 B．是分式 C．与的最简公分母是ab（x﹣y）（y﹣x） D． 【题型6.通分】 24．要对，，进行通分，则它们的最简公分母是 ． 25．化简结果正确的是（    ） A．1 B． C． D． 26．对于任意的值都有，则值为 ． 解答题 27．（1）约分：； （2）通分：与． 【题型7.异分母分式加减法】 28．计算的结果是 ． 29．化简的结果是（   ） A．m B． C． D． 30．A，B为常数，如果，则 ， 31．照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中表示照相机镜头的焦距，表示物体到镜头的距离，表示胶片（像）到镜头的距离．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【题型8.整式与分式相加减】 32．化简的结果为 ． 33．如图是嘉琪同学在作业中计算的过程，作业是从第几步开始出现错误（    ） 嘉琪的作业 ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 34．计算的结果是 ． 解答题 35．【方法策略】对于分式，求它的最大值． 解：原式． ， 的最小值是2． 的最大值是2． 的最大值是4． 即分式的最大值是4． 【问题解决】根据上述方法，求分式的最大值． 【题型9.分式乘方】 36．计算： ． 37．计算的结果是（   ） A．m B． C． D． 38．计算 ． 【题型10.含乘方的分式乘除混合运算】 39．计算 ． 40．下列式子计算正确的是（    ） A． B． C． D． 41．计算（﹣）3÷（﹣）2的结果是 ． 解答题 42．计算： (1)； (2)． 【题型11.分式加减混合运算】 43．计算的正确结果是（    ） A． B． C． D． 44．计算： ． 45．当x分别取值，，，…，，1，2，…，2017，2018，2019时，计算代数式的值，将所得结果相加，其和等于（    ） A．1 B． C．1009 D．0 解答题 46．计算： (1)； (2)； (3)． 【题型12.分式加减乘除混合运算】 47．计算： ． 48．一辆汽车以千米每小时的速度行驶，从地到地需要小时，若该汽车的行驶速度在原来的基础上增加千米每小时，那么提速后从地到地需要的时间比原来减少（    ） A． B． C． D． 49．计算的结果是 ． 解答题 50．化简：． 【题型13.分式化简求值】 51．若，则 ； 52．若是非负整数，则表示的值的点落在如图所示的数轴上的范围是（   ） A．① B．② C．③ D．以上都有可能 53．若，则代数式的值为 解答题 54．先化简，再求值：，其中． 【题型14.分式加减的实际应用】 55．甲乙两个码头相距s千米，某船在静水中的速度为a千米/时，水流速度为b千米/时，则船一次往返两个码头所需的时间为（    ）小时 A． B． C． D． 56．某人沿一条河流顺流游泳米，然后逆流回到出发点，设此人在静水中的游速为，水流速度为．则他来回一趟所需的时间为 ． 57．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了200千克，那么“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量相比，（    ） A．“丰收1号”高 B．“丰收2号”高 C．一样高 D．无法确定哪个高 解答题 58．甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料．两次饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买；乙每次用去800元，而不管购买多少饲料．甲、乙所购饲料的平均单价各是多少？ 【题型15.已知恒等式确定分子分母】 59．若，，为常数，则的值为 ． 60．若的值为，则的值为（　　） A． B． C． D．． 61．已知，则 ． 【题型16.分式最值】 62．若a为正整数，下列关于分式的值的结论正确的是（   ） A．有最大值是2 B．有最大值是 C．有最小值是1 D．有最小值，没有最大值 63．如图，若x为正整数，则表示的值的点落在（　　） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 解答题 64．已知，且，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $