第21讲 分式的运算（7知识点+14大题型+过关测）（寒假预习讲义）八年级数学新教材北师大版

第21讲 分式的运算 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：分式的乘法 乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为：． 知识点2：分式的除法 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘． 用式子表示为：． 知识点3：分式的乘方 乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示为：为正整数，． 知识点4：同分母分式的加减 同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为：． 知识点5：最简公分母 最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母． 知识点6：分式的通分 分式的通分：利用分式的性质，将分式的分母变成最小公倍数，分子根据分母扩大的倍数相应扩大，不改变分式的值。 具体步骤：①通过短除法，求出分式分母的最小公倍数；②分母变为最小公倍数的值，确定原式分母扩大的倍数;③分子对应扩大相同倍数. 知识点7：异分母分式的加减 异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减． 用式子表示为：． 注意：分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似. 【题型1 分式的乘法运算】 例1．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的乘除法以及乘法公式．熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键． （1）按照分式的乘除法运算法则，进行计算即可； （2）按照分式的乘除法运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 例2．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的乘法计算，熟知分式的乘法计算法则是解题的关键． （1）先把乘号后面的分式的分母分解因式，再约分即可得到答案； （2）先把乘号后面的分式的分子分解因式，再约分即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式1．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分式的乘法，熟练掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键． （1）按照分式的乘法运算法则，进行计算即可； （2）按照分式的乘法运算法则，进行计算即可； （3）按照分式的乘法运算法则，进行计算即可； （4）按照分式的乘法运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ． 变式2．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分式的乘法，熟练掌握分式的乘法法则是解题的关键： （1）先进行因式分解，再约分化简即可； （2）先进行因式分解，再约分化简即可； （3）先进行因式分解，再约分化简即可； （4）先进行因式分解，再约分化简即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 【题型2 分式的除法运算】 例1．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的除法，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）根据分式的除法法则进行计算即可； （2）根据分式的除法法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 例4．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分式的乘除法以及乘法公式．熟练掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键． （1）按照分式的乘除法运算法则，进行计算即可； （2）按照分式的乘除法运算法则，进行计算即可； （3）按照分式的乘除法运算法则及乘法公式，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 变式1．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分式的乘除法以及乘法公式．熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键． （1）按照分式的乘除法运算法则，进行计算即可； （2）按照分式的乘除法运算法则，进行计算即可； （3）按照分式的乘除法运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 变式2．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分式的除法以及乘法公式．熟练掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键． （1）按照分式的除法运算法则，进行计算即可； （2）按照分式的除法运算法则，进行计算即可； （3）按照分式的除法运算法则和乘法公式，进行计算即可； （4）按照分式的除法运算法则和乘法公式，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型3 分式乘除混合运算】 例5．计算： (1) (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据分式的除法计算法则求解即可； （2）（3）（4）根据分式的乘除混合计算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 例6．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据分式乘除混合运算的法则按运算顺序计算即可； （）根据分式乘除混合运算的法则按运算顺序计算即可； 本题考查了分式的乘除混合运算，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 变式1．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分式的乘除运算，熟练掌握分式的乘除运算法则，是解题的关键： （1）直接约分化简即可； （2）除法变乘法，约分化简即可； （3）先进行乘方运算，除法变乘法，约分化简即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式． 变式2．计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查的是分式的乘除法，掌握其运算法则是解决此题的关键． （1）（2）（3）将各分式的分子，分母因式分解，将除法转化为乘法，再约分化简． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 【题型4 分式的乘方运算】 例7．计算： （1） ；（2） ；（3） ． 【答案】 【知识点】分式乘方 【分析】本题考查了分式的乘方，解题的关键是掌握分式的乘方的运算法则． （1）根据分式的乘方法则直接计算即可； （2）根据分式的乘方法则直接计算即可； （3）根据分式的乘方法则直接计算即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：． 例8．计算： （1） ．            （2） ． 【答案】 【知识点】分式乘方 【分析】本题考查了分式的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式利用分式的分子分母分别平方即可得到结果； （2）原式利用分式的分子分母分别求立方即可得到结果． 【详解】解：（1）原式； （2）原式． 故答案为：；． 变式1．计算： ． 【答案】 【知识点】分式除法、分式乘方 【分析】本题考查分式的乘除，先算乘方再算除法即可． 【详解】原式， 故答案为：． 变式2．当，时， . 【答案】 【知识点】分式乘法、分式除法、分式乘方 【分析】先计算分式的乘方，再计算分式的乘除，然后代值计算即得答案. 【详解】解： ； 当，时，原式； 故答案为：. 【题型5 含乘方的分式乘除混合运算】 例9．计算：． 【答案】 【知识点】含乘方的分式乘除混合运算 【分析】本题主要考查了含乘方的分数乘除法混合计算，先计算乘方，再把除法变成乘法，最后根据分式乘法计算法则求解即可． 【详解】解： ． 例10．计算：． 【答案】 【知识点】含乘方的分式乘除混合运算 【分析】本题主要考查了含乘方的分式乘除混合计算，先计算乘方，再计算分式乘除法即可． 【详解】解： ． 变式1．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】含乘方的分式乘除混合运算 【分析】此题考查了分式的乘除混合运算，关键是掌握运算法则． (1) 分子的积作积的分子，分母的积作积的分母再约分即可； (2)先算乘方，再把除法变为乘法同时进行因式分解，约分即可得到答案． (3) 先把除法运算转化成乘法运算，把分子分母分解因式再进行分式乘法运算即可． 【详解】（1）解：， （2）解： ； （3）解： ． 变式2．计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】运用平方差公式进行运算、分式乘除混合运算、含乘方的分式乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的运算，掌握分式的运算法则，运算顺序是解题的关键． （1）先把除法变成乘法，再利用分式的乘法法则计算； （2）先算乘方，再算分式的乘法即可； （3）先因式分解，把除法变乘法，再利用分式的乘法法则计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 【题型6 同分母分式加减法】 例11．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了同分母分式减法，根据同分母分式减法法则计算即可． （1）根据同分母分式减法法则计算，再约分即可； （2）根据同分母分式减法法则计算，再约分即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 例12．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了同分母分式加减，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）根据同分母分式加减运算法则计算即可； （2）根据同分母分式加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 变式1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方差公式，分式的加减运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据分母相同的分式减法法则：分母不变，分子直接相减，即可作答． （2）先整理原式，再根据分母相同的分式减法法则：分母不变，分子直接相减，得，再化简，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查分式的加减运算，分式加减法分为同分母分式加减和异分母分式加减，同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，异分母分式相加减，先通分，化为同分母分式，然后按照同分母分式的加减法则进行计算；解题的关键是熟练掌握分式运算法则．（1）（2）（3）分母相同，按照同分母分式加减法则进行计算即可；（4）分母互为相反数，提取负号，变为相同的分母，然后按照同分母分式加减法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：； （4）解： ． 【题型7 最简公分母】 例13．分式与的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求两个分式的最简公分母，两个分式的最简公分母通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，即可得解． 【详解】解：与的最简公分母是， 故答案为：． 例14．分式和的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】根据最简公分母系数等于各分母系数的最小公倍数，字母指数的最高次幂乘积即为最简公分母． 本题考查了最简公分母计算，熟练掌握最简公分母的构成是解题的关键． 【详解】解：和的最简公分母是， 故答案为：． 变式1．分式，，的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的最简公分母，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 根据最简公分母的定义解答即可． 【详解】解：分式，，最简公分母是． 故答案为：． 变式2．下列三个分式的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母．找到最简公分母的步骤是：数字因数的最小公倍数和各个字母的最高次幂的乘积，若分母为多项式的要先进行因式分解，据此即可解答． 【详解】解：分式的分母分别为，，，最简公分母为． 故答案为：． 【题型8 通分】 例15．通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了通分的定义，异分母分式的通分，关键是确定它们的最简公分母，通分的依据是分式的基本性质． （1）根据通分的定义把分式变形即可． （2）根据通分的定义把分式变形即可． （3）根据通分的定义把分式变形即可． （4）根据通分的定义把分式变形即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 例16．通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查了通分的定义，异分母分式的通分，关键是确定它们的最简公分母，通分的依据是分式的基本性质． （1）根据通分的定义把分式变形即可； （2）根据通分的定义把分式变形即可； （3）根据通分的定义把分式变形即可； （4）根据通分的定义把分式变形即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：，； （3）解：，； （4）解：，． 变式1．通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)，， 【分析】本题考查分式的基本性质-通分，准确求得最简公分母是解答的关键． （1）根据最简公分母是进行通分即可； （2）根据最简公分母是进行通分即可； （3）根据最简公分母是进行通分即可； （4）根据最简公分母是进行通分即可； 【详解】（1）解：，； （2）解：，； （3）解：，； （4）解：，，． 变式2．通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)，， (3)， (4)， 【分析】本题主要考查了分式的性质，分式的通分，掌握分式的最简公分母的计算是关键． 最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母,这样的公分母叫做最简公分母，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化为同分母的分式的过程，叫作分式的通分，由此即可求解． （1）最简公分母是，结合分式的性质通分即可； （2）最简公分母是，结合分式的性质通分即可； （3）最简公分母是，结合分式的性质通分即可； （4）最简公分母是，结合分式的性质通分即可． 【详解】（1）解： ，； （2）解： ，，； （3）解： ，； （4）解： ，． 【题型9 异分母分式加减法】 例17．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的加减计算，先把三个分式通分，再把分子合并同类项后进行约分即可得到答案． 【详解】解： ． 例18．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （ 1）根据异分母分式的加减，先通分，再加减，可得答案； （ 2）根据互为相反数的偶次幂相等，可得同分母分式的加减，根据分子相加减，可得答案； （ 3）根据异分母分式的加减，先通分，再加减，可得答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 变式1．计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的加减运算； （1）先通分，然后根据分式的加减运算，进行计算即可求解； （2）先通分，然后根据分式的加减运算，进行计算即可求解； （3）先通分，然后根据分式的加减运算，进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 变式2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分式的加减运算； （1）先通分化成同分母分式，再计算加减即可； （2）先通分化成同分母分式，再计算加减即可； （3）先通分化成同分母分式，再计算加减即可； （4）先通分化成同分母分式，再计算加减即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型10 整式与分式相加减】 例19．计算：． 【答案】 【详解】解：原式． 例20．化简： 【答案】 【分析】根据分式的加减法则计算，然后根据分式的性质化简 【详解】解：原式 【点睛】本题考查了分式的加减运算，掌握分式加减运算法则是解题的关键． 例20．化简：． 【答案】． 【详解】． 变式1．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本运算法则和运算顺序． （1）先通分，然后加减约分化为最简分式即可； （2）先通分化为同分母的分式加减解题即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【题型11 已知分式恒等式，确定分子或分母】 例21．若（其中，为常数），则 ， ． 【答案】 【知识点】加减消元法、异分母分式加减法 【分析】本题考查了分式的加减，计算，根据，为常数，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 解得：， 故答案为：，． 例22．已知，求，，的值． 【答案】，，的值分别为，，． 【知识点】异分母分式加减法、三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查异分母分式的加减法及解三元一次方程组，首先通分化为同分母分式，再按照分母不变，把分子相加减的方法计算．已知等式右边两项通分并利用异分母分式的加法法则计算，利用多项式相等的条件构造方程组，求解方程组即可． 【详解】解： ， 解得 即，，的值分别为，，． 变式1．阅读下列材料： 若，试求A、B的值 解：等式右边通分，得 根据题意，得，解之得． 仿照以上解法，解答下题． (1)已知（其中M、N为常数）求M、N的值； (2)若对任意自然数n都成立，则_________，_________． (3)计算：_________． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据阅读材料中的方法计算即可求出M与N的值； （2）根据阅读材料中的方法计算即可求出a与b的值； （3）由，，，利用裂项相消，即可求解． 【详解】（1）解：等式右边通分，得 ， 根据题意，得，解之得； （2）解：等式右边通分，得 ， 根据题意，得，解之得； 故答案为：，； （3）解： 故答案为：． 【题型12 分式的混合运算】 例23．． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简即可．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 例24．化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题关键是注意运算的顺序． 先将小括号内的式子通分，同时将除法转化为乘法，再计算分式的乘法，最后计算分式的加法． 【详解】解：原式 ． 变式1．计算 (1) (2) (3) 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了分式的混合运算． （1）根据分式的乘法法则计算即可； （2）先通分，再根据平方差公式计算，最后计算同分母分式减法即可； （3）先将括号里的分式通分，根据平方差公式和完全平方公式化简，再计算乘法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： ． 变式2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查分式的混合运算，掌握分式的性质是关键． （1）根据分式的性质把整理得，再结合分式的混合运算法则计算即可； （2）根据分式的性质把整理得，再结合分式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型13 分式的混合运算错解复原问题】 例25．这是淇淇解答试题的具体过程： 化简： 解： ① ② ③ ④ (1)淇淇的解答过程是从第几步开始出现错误的，错误的原因是什么？ (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)淇淇的解答过程是从第①步开始出现错误的；错误的原因是运算顺序错了，应该先计算小括号里的，再计算括号外的乘除； (2)见解析 【分析】本题考查分式的混合运算，分式的约分，利用平方差进行因式分解，掌握知识点是解题的关键． （1）根据应该先计算小括号里的，再计算括号外的乘除，可判定出第①步开始出现错误，即可解答． （2）先将小括号里的分式通分计算，再计算括号外的乘除，最后约分，即可解得． 【详解】（1）解：淇淇的解答过程是从第①步开始出现错误的；错误的原因是运算顺序错了，应该先计算小括号里的，再计算括号外的乘除； （2） ． 例26．下面是小华化简分式的过程： 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 …… (1)小华的化简过程中，从第______步开始出现错误，涉及分式的约分的步骤是第______步； (2)请你写出正确的化简过程，并从2，3，4，5中选择一个合适的数代入求值． 【答案】(1)二、三 (2)； 时，值为7，时，值为6． 【分析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算法则． （1）根据小华的解答过程及小华的化简过程从第二步开始出现错误，他在分式的减法出现了错误，根据分式的约分方法可得涉及约分的步骤； （2）先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，选择一个使分式有意义的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：小华的化简过程中，小华的化简过程从第二步开始出现错误，涉及分式的约分的步骤是第三步， 故答案为：二、三； （2）解：原式= = = = ∵，， ∴，2，3 ∴可取4，5 当时，原式（或当时，原式） 变式1．数学课上，老师让同学们完成课本121页第3题： 用两种方法计算． 下面是甲、乙两位同学的部分计算过程： 甲同学：原式 乙同学：原式 (1)甲同学计算的依据是________，乙同学计算的依据是________（填序号）； ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法交换律；④乘法分配律． (2)选择其中一种你喜欢的解法，写出完整的计算过程，再从中选取一个合适的整数代入求值． 【答案】(1)②，④ (2)见解析，原式；当时，原式；当时，原式 【分析】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据分式的基本性质，以及乘法分配律，即可解答； （2）若选择甲同学的解法，先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答；若选择乙同学的解法，利用乘法分配律进行计算，即可解答，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律， 故答案为：②，④； （2）解：若选择甲同学的解法， 原式 ； 若选择乙同学的解法， 原式 ； ∵，，， ∴，，， ∴在中，可取， ∴当时，原式； 当时，原式． 变式2．王老师在黑板上写了一道题目，计算：．丹丹同学做得最快，立刻拿给王老师看（如图），王老师看完摇了摇头，让丹丹同学回去认真检查．请你仔细阅读丹丹同学的计算过程，帮助丹丹同学改正错误． 解： ① ② ③ ④ (1)上述计算过程中，哪一步开始出现错误？ ；（用序号表示） (2)从①到②是否正确？ ；（填“是”或“否”）若不正确，错误的原因是 ； (3)请你写出此题完整正确的解答过程．并求出当，时的值． 【答案】(1)① (2)否；错用去括号法则 (3)完整正确的解答过程见解析，原式的值为 【分析】本题考查分式的化简求值．熟练掌握分式的运算法则和运算顺序，零指数幂，负整数指数幂的法则，是解题的关键． （1）根据运算顺序，先算除法可知，第①步开始出现错误； （2）去括号时，出现错误； （3）按照分式的运算法则和运算顺序，进行计算，根据负整数指数幂和零指数幂的法则，求出x的值，将x，y的值代入化简后的式子中，进行计算求值即可． 【详解】（1）解：根据分式的运算顺序，应该先算除法，丹丹同学第①步先算的减法， ∴从第①步开始出现错误； 故答案为：①； （2）解：在去括号时，括号前面是“”号，括号里面的每一项都要变号，丹丹同学括号里的第二项没有变号，出现错误， ∴从①到②不正确，错用去括号法则； 故答案为：否，错用去括号法则； （3）解：原式 ； ， 原式． 【题型14 分式的混合运算之化简求值】 例27．先化简：，再从1、2、3三个数中选择一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则、分式有意义的条件是解题的关键． 根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定a的值，代入计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴当时，原式． 例28．先化简，再从，0，2中选取一个适当的数作为的值代入求值． 【答案】； 【分析】本题考查分式的化简求值，先根据分式的运算法则进行化简，然后根据分式有意义的条件找出符合题意的x的值，最后代入化简后的式子即可求出答案． 【详解】解：原式 ． ，， ，． ． 当时，原式． 变式1．先化简再求值：，其中是从中选取的一个合适的数． 【答案】； 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再选取合适的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ∵ ∴时，原式 变式2．已知． (1)化简． (2)请从，2，0，3中选取合适的整数代入，求出的值． 【答案】(1) (2)当时， 【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键． （1）根据分式混合运算法则，进行化简即可； （2）根据分式有意义的条件，选择合适的数，代入求值即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：当时，没有意义， 所以可以为或0． 当时，原式； 当时，原式． 一、单选题 1．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）把分式与通分，它们的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的最简公分母，熟练掌握最简公分母的定义是解题的关键．最简公分母是分母系数的最小公倍数与各变量最高次幂的乘积． 【详解】解：分母和的系数4和6的最小公倍数为12，变量的最高次幂为，变量的最高次幂为， 最简公分母为， 故选：A． 2．（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的加减乘除运算，需根据分式的运算法则逐一验证每个选项即可． 【详解】解：A、，故选项A正确； B、，故选项B错误； C、，故选项C错误； D、，故选项D错误． 故选：A． 3．（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）已知，其中A、B为常数，则的值为（    ） A．6 B．7 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，异分母分式加减法，构造二元一次方程组求解，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先将等式右边通分，根据等式两边相等，得到关于A、B的方程组求解，再代入求值． 【详解】解： ， ∵， ∴，解得：， ∴， 故选：B． 4．（25-26八年级上·山东烟台·期中）一份文件需要打印，打字员甲单独打印需小时，打字员乙单独打印需小时，那么两人一起打印这份文件的50%，所需要的时间是（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】C 【分析】此题考查分式混合运算的实际应用，根据工作效率和合作效率，计算完成50%工作所需时间 【详解】设总工作量为1，则甲的工作效率为，乙的工作效率为， ∵ 合作效率为， 完成50%工作，工作量为，， ∴ 所需时间 = ， 故选：C 5．（2024·河北·模拟预测）“” 是化简的部分解题步骤，则“ ”上可以填（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 题干完成通分后，再根据同分母的分式加减法运算法则求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 二、填空题 6．（2026·全国·模拟预测）化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据同分母分式减法运算法则计算即可得答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）分式，，的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母，解题关键是掌握最简公分母并能熟练运用求解． 根据最简公分母的求法，需将各分母因式分解后，取所有不同因式的最高次幂的乘积． 【详解】解：分式、、的分母分别为、、． 其中可因式分解为， 因此所有分母的因式为和， 最简公分母为， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）若，则 ． 【答案】 2 【分析】本题考查分式的通分与等式求解，解决本题的关键是先对等式右边进行通分，然后根据等式两边分子相等来确定的值． 将右边通分后比较分子，得到关于和的方程组，解方程组求得即可． 【详解】解：∵， ∵， 即， ∴． 即， 则有，解得， 综上，的值为． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）对于任意两个非零实数a，b，定义新运算“*”如下．例如：．若，则＝ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，理解定义的新运算是解题的关键．根据定义新运算可得，从而可得，然后代入式子中进行计算即可解答． 【详解】解：， ，（不为0） ，即 ∴ 故答案为：． 10．（25-26七年级上·上海·月考）已知为整数且满足代数式的值为整数，则的所有取值为 【答案】或或 【分析】本题考查了分式的特殊解，熟悉掌握因式分解化简分式是解题的关键． 先简化代数式，将除法转化为乘法并约简，得到最简分式；令分式值为整数，利用整数条件求解，并排除使分母为零的值． 【详解】原式= = = = =， 设 （为整数），则， 整理得：， ∴， 令（为整数且），则， 由于为整数，需为整数，故为的因数：，， 代入求： 时，； 时，； 时，； 时，（舍去，因分母为零）； 时，（舍去，因分母为零）； 时，（舍去，因分母为零） 综上，的所有取值为：，，， 故答案为：，，． 三、解答题 11．（25-26八年级上·天津·月考）分式计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，平方差公式，完全平方公式等知识点，熟练掌握其运算法则是解决此题的关键． （1）先算括号内的减法，再进行除法运算即可得解； （2）先算括号内的减法，再进行除法运算即可得解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 12．（25-26八年级上·江苏南通·月考）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分式的化简运算，因式分解，幂的运算，掌握因式分解法是解题关键． （1）先对分式的分子进行因式分解并约分得到，再与合并同类项即可得出结果； （2）先将分母因式分解，把两个分式通分后，分子相减，再约分即可得出结果； （3）先将负整数指数幂转化为分式形式，再依次进行乘方、乘除运算即可得出结果； （4）先将多项式因式分解，然后将除法转化为乘法后约分，再统一分母合并分式，化简即可得出结果​． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 13．（25-26八年级上·辽宁盘锦·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 14．（25-26八年级上·山东聊城·月考）先化简：，然后再从，，1，2中选取一个合适的数代入求值． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据分式有意义的条件选取合适的x的值代入进行计算，即可解题． 【详解】解：原式 ， 分式有意义， ， ， 当时， 原式=． 15．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）先化简，再求值：，并在，0，1，2中选择一个你喜欢的数代入求值． 【答案】；． 【分析】本题考查了分式的化简求值，考虑分式无意义的情况是解题的关键． 按照分式的化简法则，将分式化简，再根据分式无意义的条件，选择合适的值，代入求值即可． 【详解】解： ； ∵计算过程中出现的分母以及除数不能为0， ∴，且， ∴的取值为， 故原式 ． 16．（25-26九年级上·贵州遵义·期末）下面是一位同学化简代数式的解答过程： 解：原式        第一步                 第二步                     第三步                                 第四步 (1)这位同学的解答，在第 步出现错误． (2)请你写出正确的解答过程，并在中选一个你喜欢的整数代入求值． 【答案】(1)二； (2)，当时，原式的值为或当时，原式的值为． 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． （）根据分式混合运算顺序和运算法则计算即可判断； （）原式括号中两项进行分式的减法计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，然后把有意义的的值代入计算即可． 【详解】（1）解：这位同学的解答，在第二步出现错误，去括号没有变号， 故答案为：二； （2）解： ， ∵（为整数），且，，， ∴当时，原式； 当时，原式． 17．（25-26九年级上·山东威海·期中）先化简，再求值： (1)，再从，，0，1，2中取一个数代入求值； (2)已知为整数，且为整数，求所有符合条件的的值． 【答案】(1)；当时，原式；当时，原式（计算其中一种情况即可） (2)或或或． 【分析】本题考查了分式的化简求值． （1）先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把合适的所给字母的值代入计算； （2）首先把分式进行化简，然后根据x是整数，分式的值是整数的条件，确定x的值即可； 【详解】（1）解： ， 由题意：、、， ∴， 故a取1或0， 当时，原式； 当时，原式； （2）解：原式 由为整数，原式结果为整数， ∴或， 解得：或或或，即或或或． 18．（25-26八年级上·四川南充·周测）阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即． 所以．故的值为． 该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的题目： (1)已知，求的值． (2)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了新的解题方法—“倒数法”，正确理解题意是解题关键． （1）首先利用“倒数法”可得，然后将整理为，代入数值计算，进一步求解即可获得答案； （2）首先利用“倒数法”可得，，，易知，然后将整理为，代入数值计算，进一步求解即可获得答案． 【详解】（1）解：由知， 所以，即， ∴， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 19．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即，则称分式N是分式M的“关联分式”．如与，因为，，所以是的“关联分式”． (1)请判断分式与分式是否为“关联分式”，并说明理由； (2)小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法： 设的“关联分式”为N，则， ∴，∴． 请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”； (3)①观察（1）、（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：______； ②用发现的规律解决问题：若是的“关联分式”，求实数m，n的值． 【答案】(1)是，见解析 (2) (3)①；② 【分析】本题主要考查分式的运算，解题的关键是理解“关联分式”的定义； （1）根据“关联分式”的定义可进行求解； （2）设的“关联分式”为N，则，然后根据分式的运算即可求解； （3）①由题意可设分式，，则根据“关联分式”的定义可知：，然后可得，进而问题可求解； ②根据①中规律可得，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∴分式与分式的“关联分式”； （2）解：设的“关联分式”为N，则， ∴， ∴，即， ∴． （3）解：①由题意可设分式，，则根据“关联分式”的定义可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的“关联分式”为， ∴分式的“关联分式”为； ②由①可知： ∵是的“关联分式”， ∴， ∴， 解得：． 20．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）定义：如果两个分式与的和为常数，则称与互为“和常分式”，常数称为“和常值”．例如：分式，，，则与互为“和常分式”，“和常值”． (1)分式，，判断与是否互为“和常分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和常值”的值； (2)分式，，若与互为“和常分式”，且“和常值”． 求代数式（用含的式子表示）； 若分式的值为正整数，求的值； (3)分式，（，为整数），若与互为“和常分式”，求“和常值”的值． 【答案】(1)与互为“和常分式”，且“和常值” (2)；或 (3) 【分析】本题考查了分式的加法计算，正确理解“和常分式”的定义是解题的关键． （1）根据分式的加法计算法则求出的结果即可得到结论； （2）先根据分式的加法计算法则表示出，再根据“和常分式”的定义且“和常值”，列式计算即可；先表示出，再根据分式的值为正整数求解即可； （3）根据分式的加法计算法则表示出，根据与互为“和常分式”，列式后化简整理，然后对比系数列方程求解即可． 【详解】（1）解：与互为“和常分式”．理由如下： ， 与互为“和常分式”，且“和常值”． （2）解： ， 与互为“和常分式”，且“和常值”， ， ，即， ． 由可知，． 分式的值为正整数， 或， 或． （3）解： ． 与互为“和常分式”， ． ， ， ，解得， 由得， ，均为整数，满足题意， “和常值”的值为． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第21讲分式的运算 风内容导航 一一预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 01 析教材学知识 ☑知识点1：分式的乘法 乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。用式子表示为：方·，日 ac_a·c ☑知识点2：分式的除法 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘. 用式子表示为： a:cad ad b d bcb·c ☑知识点3：分式的乘方 方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方，用式子表示为：(=加为正整数，万0 ☑知识点4：同分母分式的加减 同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减。用式子表示为：二±=口生C bb b ☑知识点5：最简公分母 最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分 母，这样的分母叫做最简公分母. ☑知识点6：分式的通分 分式的通分：利用分式的性质，将分式的分母变成最小公倍数，分子根据分母扩大的倍数相应扩大，不改 变分式的值。 具体步骤：①通过短除法，求出分式分母的最小公倍数；②分母变为最小公倍数的值，确定原式分母扩大 1/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 的倍数，③分子对应扩大相同倍数 ☑知识点7：异分母分式的加减 异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减. 用式子表示为： a±C-ad+bc_ad±bc b d bdbd bd 注意：分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似 02练题型强知识 =一==一===== 【题型1分式的乘法运算】 例1.(25-26八年级上全国课后作业)计算下列各式： (①)a-b.2a26 ab a2b2 a器 例2.(25-26八年级上全国·课后作业)计算： 0)*+1 xx2+2x+19 2)1-4.4xr2+12x+9 2x+3 4x-1 变式1.(25-26八年级上·全国课后作业)计算下列各式： 1)ac2 be ai 3y20x 2)49y (3)8a2b2. 1263: ④y-x）y x-y 变式2.（25-26八年级上·全国课后作业)计算下列各式： 0+2y+y.y x'y+xy2 x+y ② x2 x x2+2xy+y: x-2y x+2y 6)2+4y+4y^x2-2y a2-b2 2a-b (④4d-4ab+Ba+ab 2/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【题型2分式的除法运算】 例1.(25-26八年级上全国·课后作业)计算： ①9ry23xy2 4a2ab (2)0+3。a2+3a 1-aa2-2a+1 例4.(25-26八年级上全国·课后作业)计算下列各式： y÷y 2x 4x @2-6(x-3列； x-2 ⑧0 .a+3b 变式1.(25-26八年级上·全国课后作业)计算下列各式： 020÷a 3m'n 6m 22 ÷2x-x2）: x+1 (3)a-b3.(a+b2 a2+2ab a+2b 变式2.(25-26八年级上·全国·课后作业)计算下列各式： ①2a2 *2b 2)-÷(x-; xy (3)(x-2)÷-4x+4 x+2 (4，a-2÷a2-4 a2+8a+16a+4 【题型3分式乘除混合运算】 例5.计算： (①)+x-6x+3 x-3 x2-6-x 2y-x)+-2w+y.x-y x2 3/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)a-30÷a-3a+1 a'+a a2-1'a-li ④a2-81÷9-aa+3 a2+6a+92a+6a+9 例6.计算 0x2-1 x2-4x+4 (x-)-2 x2+x @(女/曾 a 变式1.计算： (1)4a'b.Se'd 2abe 3cd2 4ab2 3d (281-a2 ÷a-9.a+3 a2+6a+92a+6a+9 j=j品 变式2.计算： 12 x=÷x-y2÷1: x+v x+v x2 x2-2x-3 【题型4分式的乘方运算】 例7.计算： 例8.计算： 2 变式1.计第： 4/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 变式2.当a=2, b1时，(w( 【题型5含乘方的分式乘除混合运算】 例9.计算： 例10.计算： ( 变式1.计算： (①)3ab.4ca 2ed 3a'bsi -C -ab 6)P-2x2+4x2-2x+4 x2-4x+4 x-2 变式2.计算： oa-品j(） ej{e】 】 【题型6同分母分式加减法】 例11.计算： (0+11 (②0+1b。1 a-b a-ba-b 例12.计算： 2x+5x (1 3y3y 2y y-x (2) x+yy+x' 变式1.计算： (①2m+3m+2 m-1m-1 (2)m+3-m_m+1 一+ 2-mm-22-m 5/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 变式2.计算： ①2b+1, aa (2a-2b_(a+2b2 ab ab (3)-a+a-b a+b a+b (④)4x+2 x-22-x 【题型7最简公分母】 例13. 分式与 3 。,的最简公分母是 例14. 分式6和女位最简公分鲜是 1 变式1.分大品品的做尚公分码是一 15x-14 变式2.下列三个分式27‘4m-川x的最简公分母是 【题型8通分】 例15.通分： 15 o41 6是 11 (03212 ④x2+xx2-x 例16.通分： ①L1 ac'2ab ②32 x-2'6-3r9 1 2 3)(x-4(x+1'(x-4 2 -1 (4)4-xx-22 变式1.通分： (I)xy ab'bc Z X Qyy: 6/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5 v 6)8y'3元 231 (4 y2’2y'5x2y 变式2.通分： (002x'3x+1 521 (2) ab2'3ab'2a'bi 32a+2'3a+3 (4 1 x+2’x2+4x+4 【题型9异分母分式加减法】 例17.计算：x,-2x+1 x-1x2-1x+1 例18.计算： 、23 a2 b2 11-x6 (2 (a-b)2(b-a)2 3x-3+6+2x-91 变式1.计算： (①2a+2ab a+b a2+ab x+2 x-1 22-2xx2-4r+4 3)a+b_b+c ab bc 变式2.计算： 23 (1 x239 (2)2 b2 (a-b)2b-a2 3)1+1-x。6 x-36+2xx2-99 112.4 ④+x+-++文++： 一十 【题型10整式与分式相加减】 7/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 例19.计算： -x-2 x-2 例20. 化简： 号司 例20.化简： 变式1.化简： 02x1 x2-4x-2 (2)2 术*1x+1 【题型11己知分式恒等式，确定分子或分母】 例21. 5x-7-A+B 若x4x-5x+1x-5 (其中A,B为常数)，则A=一， B 1 A Bx+C 例22. 已知1+2x1+x1+2x+1+r,求A,B,C的值. 变式1.阅读下列材料： 4只试球8的面 解：等式右边通分，得 Ax-1)+B(x+I）（A+B)x+(-A+B (x+1(x-1 x2-1 [A+B=-3 根据题意， -A+B=1'解之得 A=-2 B=-11 仿照以上解法，解答下题 x+6 ()已知x+2x-3x+12x-3(其中M、N为常数)求M、V的值： 1 ②若(2n-l2n+12n-2n+1对任意自然数n都成立，则a= ，b= 3)计算： 1+1+1 1×33×55×7 2019×2021 【题型12分式的混合运算】 例23 a-2- 4）a-4 -2a2-4 例24. 化简： 8/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 变式1.计算 (04r-4.92 3x2y x2-y2 (2 -x-1 x2-x 5m+3 m2-6m+9 变式2.计算： 0x-2-x+2）xx2-2x x+2x-2 x2 x+2 x-1.x-4 ②x-2-4x+4x 【题型13分式的混合运算错解复原问题】 例25.这是淇淇解答试题的具体过程： 化简： 解： s、3 3+3÷1① x+1x2-1x+1x+1 =3x+1x-山+3x+@ x+1 3 x+11 =x-1+3③ =x+2④ (1)淇淇的解答过程是从第几步开始出现错误的，错误的原因是什么？ (②)请你写出正确的解答过程. 例26.下面是小华化简分式 x一3的过程： x2-4 2x-5_x-2 x-3 解：原式= x-2--2x-20x+2 第一步 2x-5-x-2（x-2)(x+2】 x-2 第二步 x-3 _x-7(x+2…第三步 x-3 …… ()小华的化简过程中，从第步开始出现错误，涉及分式的约分的步骤是第步： 9/15 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)请你写出正确的化简过程，并从2,3,4,5中选择一个合适的数代入求值. 变式1.数学课上，老师让同学们完成课本121页第3题： 用两种方法计算 3xx）x2-4 x-2x+2 下面是甲、乙两位同学的部分计算过程： 3xx+2 x(x-2)1x2-4 甲同学：原式= (x+2)(x-2)(x+2)(x-2)x 乙同学：原式=3x.2-4xx2-4 x-2x x+2 x ()甲同学计算的依据是 乙同学计算的依据是 (填序号)； ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法交换律；④乘法分配律. (2)选择其中一种你喜欢的解法，写出完整的计算过程，再从-2≤x≤2中选取一个合适的整数代入求值. x+2)产+4+4·丹丹同学做得最快，立刻拿给 变式2.王老师在黑板上写了一道题目，计算：1-x-卫÷，- 王老师看（如图），王老师看完摇了摇头，让丹丹同学回去认真检查.请你仔细阅读丹丹同学的计算过程， 帮助丹丹同学改正错误. 解：1xy x2-y2 x+2y x2+4xy+4y2 =x+2y-(x-卫÷（x+x=O x+2y (x+2y)(x+2y) =-y (x+2x+2y② x+2y (x+y)(x-y) x+2y)-③ （x+y(x-y) y+2y④ x2-y2 (1)上述计算过程中，哪一步开始出现错误？一；（用序号表示） (2)从①到②是否正确？一；（填“是”或“否”）若不正确，错误的原因是_： (3)请你写出此题完整正确的解答过程.并求出当x 2 +(2025-π)°，y=2时的值. 【题型14分式的混合运算之化简求值】 例27. 先化简：2a-4 3-a÷a+2-5 再从1、2、3三个数中选择一个合适的数作为a的值代入求值。 a-2 10/15