专题19 双曲线-【创新大课堂】2026年高考数学五年真题分类汇编168优化重组卷

专题19 考向1双曲线的定义与方程 (2021·北京卷，4分)双曲线。23 -=1(a>0, b>0)过点(2，√3)，离心率为2，则双曲线的方 程为 ( T A.2—y2三11 B.x2、y =1 c- 32 2.(2023·新课标I卷，5分)已知双曲线C. 2 b2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2. r 点A在C上，点B在y轴上，F1A⊥F1B,F2A 号F点.则C的离心率为 考向2双曲线的几何性质 郑 1.(2025·全国卷I,5分)已知双曲线C的虚轴 长是实轴长的√7倍，则C的离心率为 ( 量 A.√2 B.2 C.7 D.2√2 2.(多选)(2025·全国卷Ⅱ，6分)双曲线C:二 弥 y2 b2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2, 左、右顶点分别为A1,A2,以F1F2为直径的圆与 和 C的一条渐近线交于M,N两点，且∠NA1M 赵 =晋则 A.∠AMA2=否 濫 B.|MA1|=2|MA2 C.C的离心率为√/13 黑 D.当a=√2时，四边形NA1MA2的面积为 85 y2 8.(2025·天津卷，5分)双曲线2=1(a0 b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以右焦点F2 问 为焦点的抛物线y2=2px(p>0)与双曲线在第 一象限的交点为P,若|PF+|PF2|= 3F1F2,则双曲线的离心率e= 双曲线 A.2 B.5 C.2+1 2 D.5+1 2 4.(2025·上海卷，5分)已知A(0,1),B(1,2), C在T:x2-y2=1(x≥1，y≥0)上，则△ABC 的面积 () A.有最大值，但没有最小值 B.没有最大值，但有最小值 C.既有最大值，也有最小值 D.既没有最大值，也没有最小值 y2 6(2024·渐深标卷，5分)设双围线C:名习 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过 F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点，若 |F1A|=13,|AB=10,则C的离心率为 6.(2024·全国甲卷·理T5,文T6,5分)已知双 曲线的两个焦点分别为(0,4)，(0，一4)，点 (一6,4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为 ( A.4 B.3 C.2 D.√2 24·天津卷，5分)已知双曲线2一 1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是 双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2， △PF,F2是面积为8的直角三角形，则双曲线 的方程为 ( ) B.2y -=1 84 8.2023·全国甲卷·理，5分)已知双曲线C:号 L y 6 =1(a>0,b>0)的离心率为√5，C的一条 渐近线与圆(x一2)2十(y一3)2=1交于A,B两 点，则|AB|= h25 C.3⑤ 5 045 9.(2022·全国乙（理）T11)双曲线C的两个焦点 为F1,F2,以C的实轴为直径的圆记为D,过 F,作D的切线与C的两支交于M,N两点，且 cOs∠FNF,-子则C的离心率为 ( A号 B c. D.7 2 10.(2023·天津卷，5分)双曲线 2-2=1(a 0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2.过F2作 其中一条渐近线的垂线，垂足为P.已知|PF, =2,直线P,的斜率为原，则双圃线的方 程为 ( B.2y2 ”481 c-=1 n号-- 11.(2021·全国甲卷理，5分)已知F1,F2是双曲 线C的两个焦点，P为C上一点，且∠FPF? =60°，PF1=3PF2|,则C的离心率为 A 2 B.①3 C.√7 D.√/13 2 12.(2021·全国甲卷文，5分)点(3,0)到双曲线 、6一1的一条渐近线的距离为 ( A昌 R号 c. 4 0. 3.(202·全国甲（文）T15记双曲线C名-为 1 (a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件“直线 y=2.x与C无公共点”的e的一个值 14.(2022·北京卷T12)已知双曲线y2+之=1 的渐近线方程为y=士 3,则m= 15.(2022·浙江卷T16)已知双曲线-岁 a26=1 (a>0,b>0)的左焦点为F,过F且斜率为 4a 的直线交双曲线于点A(x1y),交双曲线的 渐近线于点B(x2y2)且x1<0<x2.若FB| =3|FA|,则双曲线的离心率是 16.(2021·全国乙卷理5分)已知双曲线C:-y =1(m>0)的一条渐近线为√3.x十my=0,则C 的焦距为 17.(2021·会回乙客文5分)双前线号苦-1的 右焦点到直线x十2y一8=0的距离为 考向3直线与双曲线的综合问题 1.(2024·北京卷，5分)若直线y=k(x一3)与双 线 一y2=1只有一个公共点，则的一个 取值为 2.(2023·全国乙卷·理，5分)设A,B为双曲线 x2一=1上两点，下列四个点中，可为线段 9 AB中点的是 () A.(1,1) B.(-1,2) C.(1,3) D.(-1,-4) 3.(2024·新课标Ⅱ卷，17分)已知双曲线C:x2 y2=m(m>0),点P1(5,4)在C上，k为常数， 0<k<1.按照如下方式依次构造点P,(n=2, 3,…):过Pm-1作斜率为k的直线与C的左支 交于点Qm-1,令Pm为Qm-1关于y轴的对称 点.记Pm的坐标为(xnyn). (1)若k=,求 (2)证明：数列{z,一是公比为甚套的等比 数列. (3)设Sm为△PnPm+1Pm+2的面积.证明：对任 意正整数n,Sm=Sn+1: 4.(2024·上海卷，18分)本题共有3个小题，第1 小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满 分8分 已知双曲线：2-若=1(6>0，左、有顶点分 别为A1,A2,过点M(一2,0)的直线交双曲线T 于P,Q两点 : (1)若T的离心率为2，求b. 2)若b三26△MAP为等腰三角形，且点P 在第一象限，求点P的坐标 (3)连接QO(O为坐标原点)并延长交Γ于点 R,若A1R·A2P=1,求b的取值范围. 5.(2023·新课标Ⅱ卷，12分)已知双曲线C的中 心为坐标原点，左焦点为（一2√5,0），离心率 为√5 (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点（一4， O)的直线与C的左支交于M,N两点，M在第： 二象限，直线MA1与NA2交于点P,证明：点 P在定直线上. 63 6.(2022·新高考I卷T21)已知点A(2,1)在双 曲线c- ,=1(a>1)上，直线1交C于 P,Q两点，直线AP,AQ的斜率之和为0. (1)求1的斜率； (2)若tan∠PAQ=2√2，求△PAQ的面积. 7.(2022·新高考Ⅱ意T21)已知双前线C, =1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0),渐近线 y 方程为y=士√3.x. (1)求C的方程； (2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A, B两点，点P(x1y1),Q(x2,y2)在C上，且x1> x2>0,y1>0.过P且斜率为一√3的直线与过Q 且斜率为√3的直线交于点M.从下面①②③中 选取两个作为条件，证明另外一个成立. ①M在AB上；②PQ∥AB;③|MA|=|MB|. 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解 答计分.2=m8,x1x2=2hm2.FA∥F2B=y（一1）=%(1 1)台k(mx1-m.x2-x1-x2十2m)=0 ① 持十器代入叁理得，①式导价于红一十品由 -2 于（红1一）2+4红=（红1十x)2,代入整理得m=2+2不 ② 由于存在直线1使得FA与F2B平行等价于关于及的方程②式在 m<一√2的条件下始终有解，②式有解是显然的，故存在直线1使 得F1A与F2B平行. 17.解(1)因为椭图E过点A(0,一2)，所以b=2.又以四个顶点围成的 四边形面积为45，故号×2aX2=2ab=45,则a一5.因此精国E 的标准方程为号+兰-1 (2)由题意可得，直线1的方程为y=kx-3,设B(1y1),C(x2, ）.联立了v=k红-3， 消去y整理得(5k2十4)x2-30kx十 Γ4.x2+5y2=20, 25=0,由△=(-30k)2-4(5k2+4)×25=400(k2-1)>0,故k> 1或k<-1.由根与系数的关系，得x1十2= -30k30k 5k2+45k2+41 美进而可得到十=红十6=买4 24 (k-3)(k2-3)=k212-3k(1十2)十9=3620k.直线 5k2+4 AB的方程为y十2=”十2 ,令y=一3，则x=十2故点 M(千2一3直线4C的方程为十2 x,令y=-3, 则x= IPMI+IPNI-+ x1(2+2)+x2(M+2) (y+2)(y2+2) x1(kx2-1)十x2(kx1-1) V1y2+2(M+y2)+4 2k.x1x2-（x1十x2） y1y2+2(y1十y2)+4 2k×牛45及+4 25 30k 36-20k2 =|5k|≤15， 即|k≤3，解得一3k≤3」 综上，k的取值范围为[-3，-1)U(1,3]. 专题19双曲线 考向1双曲线的定义与方程 1.B[双曲线离心率e=￡=2，故c=2a,b=5a,将点(w25)代入 a 双南线方程，得号忌-1，故a=16长以南线方根为2 苦-1，故选B] 2.35[由题意可知，F1(-c,0),F,(c,0),设A(1M),B(0,), 所以FA=(-c)Fi=(-co),因为FA=-号FB,所 Fi-(号，号）F店=(ew,周为i1F可店.所以Fi, 可店=0，即号-号6=0，解得6=4 1 因为点A(号，号w）在双南我C上，所以-签=1，又 9a29b 6=4c,所以25g-16c=1,即25a+)-16(a+ 9a29b2 9a2 9b2 2=1,化 5 考向2双曲线的几何性质 1.D[双曲线离心率十基本量计算依题意得b=√7a,又c2=a2十 b2,所以c2=a2十（√7a)2=8a2,即c=2√2a,故e=2√2.故选D.] 2.ACD[双曲线十余弦定理 A(/)根据双曲线和圆的对称性，知四边形A1MAgN为平行四边 形，因为∠NAM=否，所以∠A1MA,=吾 错误项分析B(X)解法一（余弦定理） 如图，在△A1MO中，|MA1|2=|AO12十 OM-2AO OM Cos/MOA=2+ c2-2accos/MOA =a2+2+2acx a 3a2+c2,在△A2M0中，lMA212=a2+c2 -2accos/MOA:=a'+e-2ac x a=c2 -a2 【此思路是从“数”的角度分析，在两个三角形中，分别将需要求解 关系的两条线段的长度用a,c表示出来，但是并不能直接得a,c的 关系，需要找到这两条线段长度间的关系】在△A1MA2中，AA1|2 =IMA 2+MA:12-2IMA I IMA:Icos 4a2=2+2a2- 2V3a+e×√ea×5,则13a2=c,所以1MA11=16a, |MA2|2=12a2,所以|MA1≠2|MA2. 解法二（解析几何法）设M(x0,)(xo>0,%>0),则x十v c2,又w=合0a2+62=c2,联立可得x=a,%=6,所以Ma, b),所以MA2⊥x轴， 【此思路找到直角三角形，减少了运算量，从“形”的角度分析了线 段的比值关系】在Rt△AAM中，周为∠AMA:=否，所以 MA2 C(√)根据13a2=c2,得e=√13. D(/)当a=E时，|MA1|=√32，|MA2|=√24，所以四边形 NA1MA的面积为MA:IMA,sin若=V反XV网X分 85.] 3.A[双曲线、抛物线的定义十双曲线的离心率由 题意知c=号，所以抛物线方程为y=4,因为 |PF1|+PF2|=3|F1F2|,IFF2|=2c,所以|PFI 十PF2|=6c,又点P在双曲线上且在第一象限，由 双曲线的定义可得|PF,一PF2|=2a,所以PF1 =3c十a,|PF2=3c-a,如图所示，过点P作抛物 线准线的垂线，垂足为P‘,因为，点P在抛物线上，所以|PF2|= |PP'|=xp十c=3c-a,所以xp=2c-a,yp=√TPF1-Pp下 =√(3c十a)2-(3c-a)2=2√3ac,把，点P的坐标代入抛物线方 程，可得2√Ba2=4(2c-a),化简得后-=2，故选A.] 4,A[双曲线的渐近线十三角形的面积直 线AB:y=x十1，双曲线x2-y2=1的渐近线 方程为y=士x,所以直线AB与渐近线y=x 平行，如图，当点C无限趋近于渐近线y=x 时，点C到AB的距离越来越小，无限趋近于 直线AB与渐近线y=x之间的距离，故 S△A=7ABd(d为点C到AB的距离) 没有最小值；易知当C位于(1,0)时，d取得最大值，即S△C= 子ABd取得最大值.] 5.号[双曲线的定义，离心率、对称性（理性思维） 解法一（直接法）由|AB|=10及双曲线的对称性得|AF2|= AB=5,因为1AF=13,所以2a=lAF1-1AF,=13-5=8, 2 2c=|F1F2=√AF1-AF2严=√132-5=12，所以a=4, (=6:别C的离心率e=台=号=是 解法二（二级结论）因为4B=10,所以25=10，所以仁=一C a a 5.又A5=13,所以F=2c=√A5P-()=12,得c 2 6,所以a2+5a-36=0,得a=4,所以C的离心率e=S 6.C[双曲线的方程与几何性质（理性思雏、数学探索） 解法一（方程组法）根据焦点坐标可知c=4,根据焦点在y轴上， 了镜议城的方程务兰言-10>0心>0.周侣要-1，程 a2+b2=16 (a-2 {6=2g所以商心率e=合=2 解法二（定义法）根据双曲线的定义，得2=1 √(-6-0)2+(4-4)严-√(-6-0)2+(4+4)1=16-10|=4，根 据焦点坐标可知=4，所以高心率e=无=号=2] 7.C[双曲线的标准方程十焦点三角形（理性思雏、数学探索）由 题意可知，∠F1PF2=90°，又直线PF2的斜率为2，可得 PF an∠PFF=PF-2,根据双南线定义PF-|PE,=2a,得 1PF,l=4a,PR,=2a,Sam,5=号|PE,lIpF:=×4aX 2a=4a2,又S△F,5,=8,所以a2=2,所以|FF212=|PF11P+ 1PF212=(4a)2+(2a)2=20a2=40.又|F1F2|2=4c2,所以c2= 10,又。2+公=，所以公=8，所以双南我的方程为号一苦-1， 故选C.] &.D[根据双曲线的离心率e=5=合，得c=5a,即=5a,即 a2十6=5a2,所以=4a2,=4,所以双曲线的渐近线方程为 ’a2 y=士2.x,易知渐近线y=2x与圆相交.则图心(2,3)到渐近线y= 2x的距离d三2二号，所以AB1=2V三 9.C[依题意不妨设双曲线焦点在工轴，设过F,作圆D的切线切点 为G, 所以OGLNF,因为cos∠FN5=号>0，所以N在双南线的 右支 所以|OG引=a,|OF|=c,|GF1|=b,设∠FNF2=a,∠F2FN=B, 由s∠ENE=号即sa=号，则ne=号n月os名 在△F2F1N中，sin∠F1F2N=sin(元-a-B)=sin(a+B) =nee计a0m号×名十学X兰-克兰 5c 由正弦定理得2e=NF, sin a sin NF _5c sin∠F1F2N2 所以NF=多sin∠FF,N= 2 ×-+,1NF-号 5c 2 又INF:I--1NF,1=3a十4b-5a 2 2 14 _4b24=2a, 2 所以2=3,子， 所以双曲线的离心率e=￡ 2 故选C.] 10.D[不妨取渐近线y= b ax,此时直线PF,的方程为y (x= 因为直线P℉，与渐近线y=合，垂直，所以PF:的长度即为点 F,(,0)到直线y=力z(即br一ay=0)的距离，由点到直线的距 a 离公式得1P5,=c一=c=h,所以6=2. va+b c 因为F(-0.P(号兰)且直线P所的斜率为票所以 ab =生，化简得的-是，又b=2c2三a2十，所以红 2a2+4 c 整理得d-2a十2=0，即（a=0,解得a=反 所以双岛线的方程为号兰1，试或n] 11.A[设|PF2|=m,|PF1|=3m,则1FF2|= √m+9一2·3m·m·os60=7m,所以C的离心率e=台 先-9」 2c |FF2| 12.A[由双曲线的方程知，a=4,b=3,焦点在x轴上，所以双曲线 的一条渐近线方程为y=子，即3红一4y=0,由点到直线的距高 公式得，点(3,0)到双曲线的一条渐近线的距高为3X34×0 /32+(-4)2 -号故选A门 13.2(满足1<e√5皆可)[根据题千信息，只需双曲线渐近线y= 土台中0台<2即可求得满足要求的e值，脚答<4， 可满足条件“直线y=2x与C无公共点” 所以=台+培≤用-5 又因为e>1,所以1<e≤5， 故答案为：2（满足1<e≤√5皆可）] 14.-3[双曲线y十工=1的渐近线方程为y=士 一，故m三 -3.] 15.3y5[过F且斜率为6的直线AB: Aa y=名十c0,断近我：y b . b 联立{ 6 由FB=3FA1,得A(号) 而点A在双曲线上，于是25C-B已 c281 是81a8061,解得：-2，所以 离心率e=3y5 41 故谷套为2] 7 16.4[双商线君-=1(m>0)的渐近线为y=士 1 x,即x士 √m =0,又双曲线的一条渐近线为，y5x十m=0,即x十后=0， 对比两式可得，m=3.设双曲线的实半轴长为a,虚半轴长为b,半 焦距为c,则有a2=m=3,b2=1,所以双曲线的焦距2c=: 2a2+b2=4.] 17.√5[由双曲线的性质知c2=a2十b2=4十5=9，则c=3,双曲线！ 右焦点的坐标为(3,0)，所以双曲线的右焦点到直线x十2y一8=0！ 的距离d=3-8L =5.1 /12+29 考向3直线与双曲线的综合问题 1.之（答案不唯一）[双曲线的方程及性质（理性思维、最学深索） 由题意，知该双曲线的渐近线方程为y=士2工，直线y=(工一3) 过定点(3,0)，因为点(3,0)在双曲线内，所以要使过该点的直线与！ 双曲线只有一个公共点，则该直线与双曲线的渐近线平行，所以· 考向预见双曲线是高考常考内容，常考类型有四点：第一，双曲 线的定义和标准方程：第二，双曲线的简单儿何性质：第三，直线与 双曲线的位置关系；第四，直线与双曲线相交，弦长问题.预测2025！ 年高考大概率考查双曲线的定义与性质、直线与双曲线的位置关： 系的问题，求解与双曲线儿何性质有关的问题时，常结合图形进行： 分析.当涉及双曲线的顶点、焦点、实轴、虚轴等时，需要厘清它们！ 之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系，] 2.D[设A(z1,y1),B(x2,2),AB的中点为M(xo,y%),由点A,B: (xi 9 在双曲线上，得 ,两式作差，得-=。正，即 y吃 9 =1 9 （M-y2)(y1十y2)1 （一)十)””十2化简得乙十 9 y1十y2 =9,即1一y2， 2 =k·业=9，因此kAB=9· x1一x2x1十x2 2 由双曲线方程可得渐近线方程为y=士3x,如 图对于A选项，因为k=9×十=9>3，所 以直线AB与双曲线无交点，不符合题意：对 9<-3, 于B选项，因为地三9X2=) -4-20 24 所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意； 对于C选项，=9X宁-3，此时直线AB -o 与渐近线y=3x平行，与双曲线不可能有两个 文点·不特合题意：对于D造项，周为如=9X日号 <3,所以直！ 线AB与双曲线有两个交点，满足题意.故选D.] 3.直线与双曲线的位置关系十等比数列十三角形的面积 解(1)将点P1(5,4)的坐标代入C的方程得52一42=m,解得 m=9,所以C:x2-y=9. （1进点P(54)且斜率=合的直线方程为y=之5)十4，与C 的方程联立，消去y化简可得x2一2x一15=0，即(x一5)(x十3)=0，！ 所以点Q1的横坐标为一3，将x=一3代入直线方程，得y=0, 因此Q1(一3,0)，从而P2(3,0), 即x2=3,y2=0. (2)解法一由题意，Pn(xnyn),Pn+1(x+1y+1),Q（一xn+1, yn+1). 设过点P(x,yn)且斜率为飞的直线为1n:y=k(x-xn)十yn,将1n} 的方程与C的方程联立，消去y化简可得(1一k2)x2十(2kxn一】 2kyn)x-(kzn-y)2-9=0, 由根与系数的关系得一工n+1十工n= 2k2xn-2kyn 1一k2 所以工m十1 2626+,-.+2 1-k2 1一k2 14 又Qn(一x+1yn+1)在直线1n上， 所以yn+1=(一工+1-xn)十yn=一bz+1一kx,十yn 从而工+1一y+1=x+1十kxn+1十kx,一y,=(1十k)x+1十kx, =1+).+2+, 1十k 1一9 ·(xn-yn）, 易知三，%≠0，所以载到，是公比为的等比载列 解法二由题意，Pn（xnyn),Pn+1(xn+1·yn+1),Qn（一工n+1, ym+1). 由点P,Qn所在直线的斜率为k,可知k=少+L xn十xn+1 又点PQ都在C上，所以=9 (x后+1-+1=9 即x一)(xn十n)=9 (xn+1-n+1)(zn+1十yn+1)=9 易知xn一yn≠0， 1+y+ 工n十+1_n十xn+1十yn-yn+1 1- xn十xn+1一yn十yn+1 xn十xn+1 2m+1+1十9 xn一yn 9 xm一yn十 xn+1一Vm+1 1[x,+1-y+1(x。)十] In yn 1—[(x,-y)(xn+1-y+1)+9] xn+1一Vn+1 xn+1一Vm+1 In yn 即数列。是公比为告的等比教列 (3)解法一 由(2)知，数列{xn-yn}是首项为x1-y1=5-4=1, 1十的等比数列. 公比为一k 1+k 令=有，由0<<1可知>1，则x,一，=-1， 9 又=9.所以x,十可 9 可得xn=9十0-2 21-1,yn 9-12m-9 1n-1 所以Pn9十-29-- ）,Pn+1 9+2m9-2m 2-1 21”-1 2121” Pa+2 9十12+29-2+2 21n+1 21+1 51(y-y, 所以直线PP+1的方程为工一，一+1 即(9十t2m-1)x-(9-t2m-1)y-91"-1(1十)=0. 易知，点Pn+2到直线PnPn+1的距离 19+.8-09--,.9 21+1Γ -9r"-1(1+t) d= √/(9+2m-1)2+(9-2m1)2 |9-2(t-1)2(t+1) √(9十t2-1)2+(9-42-1) 又PnPm+1 (9+t2知9+t2m-21 入2 2-1 +9”9 2n 21-1 =√1)(9-)]+(9+)巧 21 1 则5n一2 ·1PnP+11·d=91)3(1+1)_36k3 412 (1-2)2,即Sn为 定值，所以Sn=S+1 解法二由(2)知，数列{xn一y}是首项为x1一y1=5-4=1,公比 为吉的等比列。 令1H会南0<1可知>1，则，x=, =9 又后=9，所以x十 9 可得xn 9十t2m-2 _9-12-2 21-1,y, 24-1 所以P,= 9十2n-29-2m-2\ 2-1T,210-1 P+1=9+9- 221" Pn+2 9十t+29-2+2 9十2m+19-t2m+1、 2+1, 2T）P+（2 2n+2 9+2+19+2m-2 所以+3二工 21+2 21-1 9-2m+1工n+2工n土1= Vn+3Vn 9-t2m+19-42m-2 9十12m+7: Vn+2Vn+1 21m+2 21- 9十t2nm+29十2n 2n+1 2” 9-t2m+1 9-t+29-tm9+a+· 21+1 2 即n+2一工n1=n+32 Yn+2 yn+1 Yn+3 Vn 所以PnPa+3∥Pn+1Pn+2, 所以点P,和点Pm+3到直线Pn+1Pn+2的距离相等， 因此△PnPn+1Pn+2和△Pn+1Pn+2Pn+3的面积相等，即Sn=Sn+. 4.双曲线的方程及性质十直线与双曲线的位置关系十双曲线中的取 值范围问题十向量的数量积运算（理性思维、数学探索） 解(1)第1步：由双曲线的方程求a 由双曲线的方程知a=1, 第2步：由离心率公式与a,b,c间的基本关系求b c=√十正，因为离心率为2，所以二=中6=2，得6=5 (2)第1步：求出等腰三角形MA2P的腰长 当6=25时，双南线：x2-3=1,且A,1,0. 3 8 因为点P在第一象限，所以∠PA2M为钝角. 又△MA2P为等腰三角形，所以A2P|=|A2M|=3. 第2步：由点在双曲线上与两点间距离公式求点P的坐标 1√(x0-1)2+话=3 设点P(x0y0),且x0>0,y%>0,则 {--1 8 得了西2 1=2v2所以P2,2w2. (3)第1步：设出相关点的坐标 由双曲线的方程知A1(一1,0)，A2(1,0),且由题意知Q,R关于原 点对称. 设P(x1y1),Q(x2y2),则R(-2,-y2). 第2步：设出直线PQ的方程，与双曲线方程联立，写出根与系数的！ 关系 设直线PQ的方程为x=my一2. x=my-2 联立直线与双曲线的方程得 2--1消去，得6m-1y- 4y+6=0,且-1≠0，即≠ 3b2 由根与系数的关系，得十为一m1边一m-了 第3步：由向量的数量积运算求m,b的关系式 因为A1R=(-x2十1，-2)，A2P=(1-1y1), 由A1R·A2P=1,得(-x2十1)(x1-1)-y1y2=1, 所以(x2-1)(z1-1)十M2=-1,即(m2-3)(mM-3)+yM2= -1, 整理，得(m十1)y1y2-3m(y十y2)+10=0, 3b2 46m十10=0， 所以(m+1)·6m=一3m‘6m 梦，得分m+36-10=0,所以=9550号 第4步：根据的取值范围求出b的取值范围 +36得关. 又m≠京，所以6≠100 所以∈0,3U(3,号1，又6>0， 14 故6的取位范国是0wU5,四， 考向预见解析几何作为高中数学重要的内容之一，一直受到高 考命题人的青睐，认真研究历年高考数学试题就会发现，和解析儿 何有关的题型具有多样化的特点，预测2025年高考会考查圆锥曲 线的定义十圆锥曲线的方程及几何性质十直线与圆锥曲线的位置 关系的试题 v2 设双由线C的方程为。 =1(a>0,b>0),c为双曲线 C的半焦距， c=2√5 tc=2√5 由题意可得了 =5,解得{a=2· a c2=a2+62 (b=4 所以风面线C的方程为号言-1. (2)解法一设M(x1M),N(z2,),直线MN的方程为x=y一4， 则x1=my1一4，x2=my2一4. x=my-4 联立得 ,得(4m2-1)y2-32my十48=0. (416 因为直线MN与双曲线C的左支交于M,N两点，所以42一1≠0， 且△>0. 32m (V1十g 由根与系数的关系得 4m2-1 48 所以y1十y2 y1y2-4m2-1 因为A1,A2分别为双曲线C的左、右顶点， 所以A1(-2,0),A,(2,0). 直线MA1的方程为” 9十2十2，直线NA,的方程为” 3 x2-2-2 所以1十2 x十2 y 释名-帚器 2-2 x-2 my为一6y1=x-2 myi y-2y2 x+2 因为my1”一6y myiy:-2y2 my1y2一6(y1+y2)+6yw my y2-2y? m1一6·1w十6 myy2-2y2 二3my12+6y my12-2y2 -3, 所以 x十2 =一3，解得x=一1， 所以点P在定直线x=一1上 解法二由题意得A1(一2,0)，A2(2,0). 设M(x1,1),N(x2,y2),直线MN的方程为x=my-4, =1,即4x1-y1=16 如图，连接MA2, x4 4元-16=4①. i-4 尚号芳-=1，得-了=16,4[12)+ 2 2]2-y2=16, 4(x-2)2+16(x-2)+16-y=16,4(x-2)2+16(x-2)-y=0. 由x=my-4,得x-2=my-6,my-(红-2)=6，合[my-(红 2]=1.4x-2y2+16(x-2).[my-(x-2]-=0,4(x 2+号6-20my（-2-y=0 两造同时隆以（红一2，得号+智·产2（产）=0， 由根与系教的关系得km,·,=一子@ 由①@可得k41=-3k42 1A1:y=km1（x+2)=-3k42(x+2),lNA2:y=kvA,(x-2 由=-364，(a+2) ,解得x=一1 ly=kNA,(x-2) 所以点P在定直线x=一1 6.解(1)：点A(2,1)在双曲线C:后a- 2 =1(a>1) aa白=1，解得a2=2. 1 六双南线C的方程为号y= 显然直线l的斜率存在，可设其方程为v=kx十， （v=k.x+m, 联立得方程组 22 (zy2=1. 消去y并整理，得(1-2k2)x2-4kmx-2m-2=0. △=16k2m2+4(1-2k2)(2m2+2)=8m2+8-16k2>0. 设P(x1y1),Q(x2y2), 则x1十x2 Akm -2m2-2 12621=126 由k加十ka=0,得+当-1 x1-2 2220, 即(x2-2)(kx1十m-1)十(x1-2)(k.x2十m-1)=0. 整理，得2k1x2十(m-1-2k)(x1十x2)-4(m-1)=0, 即2送，02+m1-2·04a10=0 即(k+1)(m十2k-1)=0. 直线1不过点A,,k=一1. (2)设∠PAQ=2a,0<a<受，则1am2a=2E, 2.2反，解得an8-号（负准已合去 tan'd 由(1)得k=-1,则x1x2=2m2十2>0， .P,Q只能同在双曲线左支或同在右支 当P,Q同在左支时，ana即为直线AP或AQ的斜率. 设k心9：号为双曲线一条渐运线的斜率。 直线AP与双曲线只有一个交点，不成立. 当卫.Q月在右支时，a(受--品 1即为直线AP或AC 斜率 设k和=后=厄，则友阳=一2 √2 .直线AP的方程为y一1=√2(x-2), 即y=√2x-2√2+1. y=V2x-2V2+1, 联立得方程组{ 消去y并整理，得3x2-(16-4√2)x十20-8√2=0， 期p·2=208正，解得p=10-4区 3 3 .xA一xP= \2 10-4√2 4(W2-1) 3 同理可得zA一xQ- 4(W2+1) tan 2a-22sin 2a-2 3 .S△PAQ= AP·AQ1·sin2a=子×5X1xA-xpx5X 2 xA-xa|×sin2a 合×3x9×2g2_16 3 9 b =5 7.解 (1)由题意可得 解得∫a1, √a2+b=2 1b=√5. 所以C的方程为x” =1. (2)当直线PO斜率不存在时，x1=x2,但x1>x2>0,所以直线PO 斜率存在，所以设直线PQ的方程为y=kx十b(k≠0)， y=k.x十b, 联立得方程组 x2-3 1. 消去y并整理，得(3-k2)x”-2kb.x一b2-3=0. 2kb 则x1十=3Rx1 b+3 k2-3 x1-xg=√/(x1十x2)2-4x1x2 _2√3(6+3-k2) |3-k21 因为x1>x2>0, 62+3>0,即k2>3, 所以x1一一3 2√3(b十3-k2) 所以x1一x2 k2-3 设点M的坐标为(xMyM), yMy2=3(M-),yM-y=-3(M1), 两式相减，得y1一2=2√5xM一√3(x1十x2). 因为M一y2=(k1十b)-(k.十b)=(1一x2), 所以2V3xM=k(x1-x2)十√3（王1十x2), 解得M=6十3一P也 k2-3 两式相加，得2yM-(M十y2)=√5(1一x2). 因为yM十y2=(kx1十b)十(k.x2十b)=k(x1十x2)十2b: 所以2yw=k(x1十x2)十√3(x1-x2)十2b, 解得w=3V+3--33 k2-3 3 所以点M的轨迹为直线y=石，其中为直线PQ的斜率 选择①②. 因为PQ∥AB,所以kAB=k 设直线AB的方程为y=b(红一2)，并设点A的坐标为（红A,yA),点 B的坐标为(xB,yB,则 yA=(xA-2), yA=V3A 解得xA 2k 2√3k k= k-√3 同理可得=，2张 的 k+5%--2③ k+√5 此时工A十xB 4k2 12k 3十咖23 因为点M在AB上，且其轨迹为直线y= 6, (XM=k(zM-2). 所以 3 yM-kM. 2k2=A十理，w=B3 解得xM一2一3 6kyA十yB 2 2 所以点M为AB的中点，即|MA|=|MB| 选择①③. 当直线AB的斜率不存在时，点M即为点F(2,0),此时点M不在 3 直线y=广x上，与题设矛后，故直线AB的斜率存在. 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=m(x一2)(m≠ 0),并设点A的坐标为(xA·yA),点B的坐标为（工ByB), 则4=m(xA-2), yA=V3A. n5-23 解得xA=2m m-√3 150 m十5%--2③m 同理可得6=2m m+√3 此时xM= 2m3w=4十6m A十xB_2m2 2 m2-3 由子点M同时在直线y=是上，故6m=是·2m,解得表=m, 3 因此PQ∥AB. 选择②③. 因为PQ∥AB,所以kB=k. 设直线AB的方程为y=(x一2)，并设点A的坐标为(xAVA),点 B的坐标为(xBVB), 则了1=(xA-2), 2k 2√3k yA=3A 解得A名万A5 同理可得十百物 2 k十√3 设AB的中点为C(xcyc), 则=4十工=22 2 2 k2-3' 因为|MA|=|MB引，所以点M在AB的垂直平分线上，即点M在 直线y=u0)上 3 2k2 6k: 将该直线方程与y=方x联立，解得w=3心w一3 灯，即点M恰为AB的中点，所以点M在直线AB上. 专题20抛物线 考向1抛物线的定义与方程 1.C[直线与抛物线的位置关系根据直线y=一2x十2得 F(1,0),所以C的准线方程为x=-1,C的方程为y2=4x,所以 B(-1,4),所以A(4,4),所以|AF|=AB=5.] 2.B[由题意得，F(1,0),则AF=BF=2, 即点A到准线工=一1的距离为2，所以点A的横坐标为一1十 2=1, 不妨设点A在x轴上方，代入得，A(1,2), 所以|AB引=√/(3-1)2十(0-2)2=2√2. 故选B.] 3.号[将点A的坐标代入抛物线方程，得5=2p,于子是y=5,则 抛物线的准线方程为工=一 ?,所以A到准线的距高为1 ()=÷] 4.x=-立[法一由题意易得OF=多，PF1=p,∠OPF 3 .OFPF 2 ∠PQF,所以tan∠OPF=an∠PQF,所以PP=FQ,即 号，解得力=3，所以C的准线方程为x= 3 2 法二由题意易得OF=专，PF=p,1PFP=OF1·FQ, 即D=号·6，解得p=3或p=0(舍去)， 所以C的准线方程为x=一受.] 3 考向2抛物线的几何性质 1.BCD[将点A1,1的坐标代入2=2(p>0),解得b=子所 以抛物线C:x=八，其准线方程为y=一，所以A错误.由y= x2,得y=2x,当x=1时，y=2,所以抛物线在点A(1,1)处的切线 方程为y=2x一1.令x=0,得y=一1，即切线y=2x一1过点B,所 以B正确.设直线PQ:y=kx-1,P(x1,x),Q(x2,x).将PQ:y= kx一1与C:x2=y联立，得x2一kx十1=0，所以△=k2一4>0，x1十 2=k,1x2=1,所以OP|·1OQ|=√+x·√+z=x12 √1十x·√1+=√2十+>√2+2x1x2=2|OA2,所 以C正确.因为|BP|·|BQ=√1十k|x1|·√1十k|x2|=1十 k2>5=|BA|2,所以D正确.故选BCD.] 1& 2.ACD[选项A:设FM中点为N,则xA=xN= 2 力，所以 片=2p=2p·÷p=号p(>0,所以⅓9，故w =26 3 选项B品十晾=子三 =2→BF= 。+BF可=力 =十专→=号，所以暖=2专-答所以0B 5 39 4 选项C:1AB1=子计号+b号>2=40F 选须D:由选项A.B知A(受b,号>） (合，p)所以i.=(子p）·(传，p） 子-P=-子p<0,所以∠A0B为纯角： i.流=（冬）（影，p)告=音< 0,所以∠AMB为钝角： 所以∠OAM十∠(OBM180° 故选ACD.] 3.(4,0)[抛物线的方程及性质（理性思雏）由题意，知p=8,则 多=4，所以抛物线y=16x的焦点坐标为(40).] 2 4,5[圆的几何性质十抛物线的定义十点到直线的距离（理性思 维、数学探索)由题意知图(x一1)2十y2=25的圆心坐标为(1， 0),则F(1,0),故号-1，力=2，由抛物线的定义得1AF=xa十1= 5,得xA=4,由对称性不妨设A(4,4),则直线AF的方程为y 冬红1D,即4红3y4=0,所以原点到直线AF的距离是 J 4 5.4√瓦[抛物线的性质设P(xo,%),因为点P到准线x=一1的 距离为9，所以x0十1=9，则x0=8,y哈=4x0=32,则0=土4√2， 即点P到x轴的距离为4√2.] B∠ 6.号[知图，∠AC即为直线AB的领斜角，由 抛物线的定义知BC=BD一CD=BF一AE=BF AF=2AB=9→AC-5m0-5] 考向3直线与抛物线的综合问题 1.ACD[抛物线的定义十抛物线的几何性质 A(√)直线1为抛物线的准线，由抛物线的定义，可知|AD|= AF. 通解 错误项分析B(X)当AB⊥x轴时，A(受3) B(号，-3）E(-号0）AB1=6,AE=3E,此时1AE≠ AB. C(√)易知直线AB的斜率不为0，设直线AB:x=my十立，A(x1: 3 y1),B(x2y2）,由 x=mv+2,得y2-6my-9=0,则M+y2 ly=6x 6m,M=-9,x1十x2=m(y1十y2)+3=6m2+3,AB|=x1十x2 +3=6m+66. D(√)当m=0,即AB⊥x轴时，由B知，|AE=|BE=3√2，AE· |BE1=18.当m≠0时，直线EF:x=一六y十立E(是3m小