专题18 椭圆-【创新大课堂】2026年高考数学五年真题分类汇编168优化重组卷

MN,MQ,则当∠PBA最小时，点P与N重合，|PB|= √MB?-MN平=√52+(5-2)2-4F=3√2；当∠PBA最大 时，点P与Q重合，|PB|=3√2，故C,D都正确.综上，选ACD.] 4Y >M NA 2.C[数形结合，m为直线在y轴上的裁距，m=士√22一1下= 士√5.故选C.] 专题18椭圆 考向1椭圆的定义与方程 1.A[由已知得=@巨，==9，因为4=51，所 2 2 以5-5×巨，得a=25故选A.] 2 a 3 2.B[解法-依题意a=3,b=√6，c √a2一b2=5.如图，不妨令F(-√3,0)， F2(5,0).设|PF1|=m,|PF2|=n,在 △FPF,中，os∠F,PF,=m+-12=3 2mn 5 ①，由椭图的定义可得m十n=2a=6②.由①②，解得m= 5设OP=五在△EOP和△F,OP中，∠EOP+∠F,OP= 、由余孩定理得十3m三2，得十”6 23x 2 十n)2一2mn一6=号，所以1Op1=√30 2 解法二依题意a=3,b=√6，c=√a一b=5.如图（图同解法 一)，设点P的坐标为(x0,yo),a=∠F1PF2,则cos∠F1PF2= cos a 号，故n∠FPF,=ne= 2sin号cos÷ sin号+os2号 2am号 十a2 =号则an号=合或am号=2（含去）.故△FPF: 的面积5a所，=份am号-6X号=8又Sa所=宁X2= %放8=8又号+号-1所以-号，0即=+坊 克loP- 2 解法三依题意a=3,b=√6，c=√a-b=√3.如图（图同解法 一)，设点P的坐标为(0，)，利用焦点三角形面积公式知 Sa两，年周为RPE:=子所以RPF,号 3又号+普-1，所以6=号，0=+空，0p-] 3.B[根据离心率及BA1·BA2=-1,解得关于a2,b2的等量关系 6=号，A14,分到为C的左右预点，则A1(-a,0).A(a,0 B为上顶点，所以B(0,b).所以BA1=(-a,-b),BA2=(a,-b), 周为BA·BA,=-1,所以-公2+62=-1，将B=令2代入，解 得。2-9，公=8，故精湖的方程为号+苦-1.故选B] 4.C[由圈C,号+兰-1，得Mm+Mm,-2x8-6,别ME· IMI≤(M+IME 2 =32=9,当且仅当MF1=|MF2=3 时等号成立.故选C] 5.A[法-（消元转化法）设点P(红，)，则根据点P在椭圈号十 y=1上可得x2=5-5y2.易知点B(0,1),所以根据两点间的距离 公式得|PB|2=x2+(y-1)2=5-5y2+(y-1)2=-4v2-2y+ 6= 4(+)+5 当叶宁=0，即y=子（满足1y<)时，PB:取得装大位 1 2空所以PBl=号.故选A 5 法二（利用椭圆的参数方程）因为点P在椭圆号十y=1上，所 以可设点P(√5cos0,sin). 易知，点B(0,1),所以根据两，点间的距离公式得引PB2=(√5cos)十 (n0-1)2=4cos20-2sin0+2=-4sin26-2sin0+6= 1 PB取得装大位空，所以PBlm言，放选A.] 61日[黄周商心牵方女，不故设C后十兰 =1,且△AFF2为正 三角移，别直线DE针率质-怎由等腰三角形性质可得，AB1 EF2|,AD|=|DF2,由椭图性质得△ADE的周长等价于 1DE十|DF2+EF,|=4a,另设直线DE方程为y=S(x十c), 与椭图方程联立得13x2十8cx-32c2=0. 由弦长公式|DE|=√+I·|x1一x2|=√十I· √(1十x2)-4x1x2得 DEl-√+1·√()+g=6c4a 8c=13.] 考向2椭圆的几何性质 1,B[周为P屈，P元=0，所以PEPF,则S5,=合P51 P听=mFP,得安PF1·PF=1Xm罗，所以 2 |PF·|PF2|=2,故选B.] 2.C[法一依题意，B(0,b),设P(aco50,bsin),0∈[0,2π)，因为 |PB引≤2b,所以对任意8∈[0,2π)，(ac0s0)2+(bsin0-b)2≤4b 恒成立，即(a2-b)sin20+2bsin0+3b2-a2≥0对任意0∈[0,2π) 恒成立.令sin0=1,t∈[-1,1]，f(1)=(a-b2)t十2bt十3b a2,则原问题转化为对任意t∈[一1,1]，恒有f(t)≥0成立.因为 2b2 f代-1)=0，所以只需2a≤-1即可，所以26≥a,则离 心来√<9所以C 法二依题意，B(0,b),设摘圆上一点P(x%,则1≤6， 十 答-1，可得=。名6：剩PBP=6十(ob=+奶 2h%十6=- 存6-2b%十公+≤4.因为当0=一b时，PB1: ,所以会<6：得2<，所以高心率e台<号，故造C] 2 3.x十√2y一2√2=0[令AB的中点为E,因为|MA|=|NB|,所以 ME=NE, 设A.B,期号+号-1，要+号-1 6 3 6 (y1+y2)(y-Y22=0 3 所以高名即E如=一士设直线AB y=k.x十m,k<0,m>0, 令=0得y=m,y=0得=一兴 即M(0小N0m).所以E(张·罗)） 即X② 合，解得大=一号或=竖（合去） 2 4 又MN|=25,即|MN|=√m2+(2m)2=25,解得m=2或 m=-2(舍去)， 所以直线AB:y= √2 +2，即x+2y-2厄=0.] B M 4.8[根据椭圈的对称性及「PQ|=|FF2|可以得到四边形 PF1QF2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PFQF2为矩 形.设|PF1|=m,则|PF2|=2a-|PF1|=8-m,则|PF12十 1PF2|2=m2十(8-m)2=2m2+64-16m=|F1F2|2=4c2=4(a2 b2)=48,得m(8-m)=8,所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|· 1PF2l=m(8-m)=8.] 5.255[设过F,的直线与圈的切点为M,图心A(c0）小则 55 1AM=cAFI=之c,所以M-c,所以浅直线的针率 AM=二-25.因为PF,⊥x轴，所以PF,=公，又FE1= 5 所以-25会-是-是解得。(e=5谷 2ac 5 去).] 考向3直线与椭圆的综合问题 1.C[由题意，F1(-√2,0)，F2(W2,0),△F1AB面积是△F2AB面 积的2倍，所以点F到直线AB的距离是点F2到直线AB的距离 的2格，即E+m=2×E十m,解得m=-或m=-3V2 2 3 (舍去)，故选C.] 2.椭圆方程十动点的轨迹问题十两动点间距离的最值问题（逻辑思 维能力、运算求解能力、化归与转化思想) 解1)由题意知二=22，所以二=8 3 设a2=9t,t>0,则c2=8t,所以6=t. 又|AB|2=a2+b2=101=10, 所以1=1.所以C的方程为号+少=1. (2)(1)设R(y),由(1)知A(0,-1),又P(m,n), 【关键一步：线段长度的乘积如何运用？常规思路是用两点间的距 离公式，但计算量很大，再看看题目给的点R在射线AP上这个条 件，想到使用向量的数量积计算，将模长计算与坐标运算相结合， 就更方便了】 所以AP·AR=(m,n十1)·(x,y十1)=mz十(n+1)(y十1)= API. 1 AR|·cos0=3.① 【共线条件如何转化？共线这个条件正常就用斜率（斜率存在）转 化较为简单，如果用向量，写起来就相对麻烦了】 由=银，得驶-生，@ 【如何消元？这也是本题的一个难点，这里很关键的一点是将y十1 作为整体代入消元，这样计算量就小很多】 3m 由①②得x一m2+(n十1)2V=m”, m2十(n+1)2 3mn十2-m2-n2 故R(m+m+1·m+(n+1)产 （)由(1)得限=n十2m=36p=温，得m2+2+8m- 37m m 2=0, 【轨迹方程的几何意义？借助，点P的轨迹为圈，很快就能想到要转 换，否则两个动点间距离的最值问题很难求解】 即m2+(n十4)2=18. 【图上的点为何转换为圆心？这应该是高中数学中一个较为常见 的问题，看到椭圆上的点应该能很快想到三角换元（或椭圆的参数 方程，其本质上是同角三角函数的平方关系，这在高考中经常使 用)，求最值时变量越少，思雏就越简单，计算才会越方便】 由题设Q(3cosA,sin0),K(0,-4), 则|KQ2=(3cos0)2+(sin0+4)2=-8sin20+8sin0+25, 【代数换元转化为二次函数？这里不进行代数换元也可以，但换了 之后书写更方便，同时借助二次西数求最值也更加方便】 设s=sim,则KQ12=-82+8s+25=-8(-号)）+27(-1≤ 1), 故当5=sim0=之时，KQ取得装大值，且KQ1=35, 故|PQ|的最大值为|KQmx十3√2=3(W5+√②). 3.椭圆的方程与几何性质十直线与椭圆的位置关系十弦长公式 解(1)第1步：根据长轴长求a的值 由2a=4,得a=2. 第2步：根据离心率及a,b,c之间的关系求b的值 由题富得e=台-竖别-号。=区又公=。2-所以6=反 Γ2 第3步：得C的方程 所以C的方程为号+兰-1 (2)第1步：联立直线与椭圆的方程，得到根与系数的关系 由题意得1的斜率存在，设1：y=红一2，代入号十号-1消去y并 化简得(1十2k2)x2一8kx十4=0， 由4=16(2-10>0，得k2>2。 8k （x1十x2=1+2k 设A(z1y1),B(x2y2),则 4 x1x2=1+2k 第2步：利用三角形的面积公式求k的值 X2X1-41=√a1+z2)41 SAONB-2 4√2k2-1 1+2k2 -E,解得=是 第3步：利用弦长公式求AB 所以AB1=√1+Rxx1√1+2XE=5. 4.椭圆的方程与性质十直线与椭圆的位置关系 解1：PF的斜率为子， .PAI-FAl, ∴Sam=XIPAIXIFAI=2X号Xa+e)2=受， 得a十c=3, 又÷=a=2c=1,则6-5。 的方程为+芳-1 (2)由(1)知F(-1.0).剩PF:y=号(z+1P2,1 易知直线PB的斜率存在，设PB:y-1=b(x一2)， (y-1=(x-2) 得(4k2十3)x2-8k(2k-1)x十8(2k2-2k-1=0, ·PB与椭圆仅有一个交点， ∴.△=64k2(2k-1)2-32(4k2+3)(2k2-2k-1)=0, 解得k=一立· .xB- 22-1则w=冬B(,受） 2(4k2+3) 、2 直线BF的斜率为--=4 3 "'tan2∠PFA ) ∠BFA=2∠PFA, 3 1- 即PF平分∠AFB. 5.椭圆的离心率十直线与椭圆的位置关系（逻辑思维能力、运算求解 能力) 解(1)由已知得a2-5=22,所以a2=9. 所以a=3,又c=2, 2 所以e= 【本问的关键是记得椭圆中a,b,c三者之间的关系】 (②)当a=4时，n后+号-1，到A4,01. 因为PA=2M市，所以OA-OP=2(OP-OM),其中O为坐标！ 原点， 0亦-+号0成i=专4.0)+号0m)=(号 【利用向量的坐标运算或直接利用定比分点公式正确求出OP的坐· 标】 又P在T上，所以 16 又m>0, 所以m=√10. 【点P在椭图上，直接将坐标代入椭图方程即可，同时别忘了>0} 这个已知条件】 (3)设C(x1,y1),D(x,2),由题知A(a,0),M(0,m),则kAM= m 故=品=2，即a=2m 【由已知垂直关系及斜率公式得出a,m的关系式是本问最初一步， 千万不能出错，否则前功尽弃】 直线1进线段AM的中点（受，罗）即(m,受）则1：y-受 2(x-m),即1：y=2x-之m, 3 【正确写出1的方程是基本功，不容有失，也是基础的一步】 3 y=2x-2m 联立得 +苦 消去y得(5+16m2)x2-24m3x+9m-20m2=0, 消去x得4(5+16m2)y2+60my-275m-0, 【关键一步：这里消两次是本题的最关键一步，如采只消一次，测只！ 得一个方程，还是得转换，不如直接消两次】 由∠CMD为钝角知，MC.M而=(x1y-m)·(x2,2-m)= x12十(M一m)(y一m)=x1x2十y12-m(y1十y)+m2=! 9m-20m+ -60mm 5+16m2 45+6A516m+m=00m'275m -275m2 4(5+16m2) <0, 14 【要善于运用根与系数的关系，转化钝角这个条件的最好方式就是 利用向量，这里没有共线的情况，故只需数量积小于零即可（这是 由方程本身决定的)】 即254m-11m2)<0,又m>0,所以0<m< 2 又a=2m,且a>√5，所以5<a<√/1T, 故a的取值范围为（√5，√II). 【最后下结论时别忘了a>√5这个条件，同时注意是求a的取值范 围而不是的取值范围，本题是高考中很常规的一道题，重，点在于 选择什么样的求解方式，使得运算又快又准，这对数学运算的能力 要求较高，理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算 方法，设计运算程序，求得运算结果，数学运算这一核心素养从来 不是一句口头禅，而应该是刻在骨子里的记忆，是运算的程序化 操作！】 6.椭圆的离心率十三角形的面积公式（理性思维、数学应用 解(1)第1步：代入A,P坐标求解a,b 9 61 由题知 {是+- 9 ,解得∫a=2 b=3 第2步：根据a,bc的关系求解c,得出C的离心率e 6=不=6，C的离心率e=台= (2)第1步：求解PA 1+(5. 第2步：得出点B到直线PA的距离h 设，点B到直线PA的距离为h,则△ABP的面积为S= h=9,解得h=125 5 第3步：求解点B坐标 易知直线PA:x十2y一6=0，设B(x,y), [lx+2y-61_12⑤ √5 5 则 22 解得工=0或 x=-3 3 3B(0,-3)或B(-3,-立)， 2 第4步：求直线1的方程 故1y=号x-3或y=分x 7.椭圆的标准方程十直线与椭圆的位置关系 解(1)解法一（直接法）第1步：构造关于a,b,c的方程组 +品 由题意知 c=1 a2=b2十c2 第2步：求解方程组，并写出椭圆方程 /a=2 得{b=3, (c=1 所以C的方为号+号-1 解法二第1步：构造关于a,b,c的方程组 由题意知〈 c=1 a2=b2+c2 第2步：求解方程组，并写出椭圆方程 a-2 得{b=3 （c=1 所以满圈C的方程为号+号-1。 解法三（巧用椭圆的定义） 设F为C的左焦点，连接MF', 则1MF=之，FF=2. 在Rt△MFF中， |MF'I=√TMF2+FF平 由椭圈的定义知2a=|MF'|+|MF|=4,2c=|FF'|=2, 所以a=2,c=1, 又a2=b2+c”,所以b=√5. 所以脑圈C的方程为号+苦-1 (2)第1步：联立方程，消元得出关于y的一元二次方程，写出根与！ 系数的关系 分析知直线AB的斜率存在. 易知当直线AB的斜率为0时，AQ⊥y轴， 当直线AB的斜率不为0时， 设直线AB:x=ty十4(1≠0)，A(x1y1),B(x2y2),Q(1,n), x=ty十4 消去x得(312+4)y2+24y十36=0，△>0， -24t 36 则1十=3+4y1-32+4 第2步：将三点共线代数化，建立关于n的代数式 因为N的线段FP的中点，F1,0),所以N(号0） 由N,Q,B三点共线，得kN=kQ, 即业 5 =”三得-= 3 x2一2 1-2 -3y2 得m=2π号 第3步：证明n=y -3y2 -3y2 所以n一y1=2x2兰5一当=201w十40-5 -21×36+3×24 -2ty1y2-3(y1+y2)3t2+4 31+4 0， 2ty2+3 2ty2+3 所以n一y1,所以AQ⊥y轴. 8.椭圆的方程与几何性质十直线与椭圆的位置关系十向量的数量积 解(1)第1步：用c表示a和b 因为e=台=子，所以a=,6=V匠7-， 第2步：写出点A,B,C的坐标 由题知A(-a,0),B(0,-),C0,-合)， 第3步：用c表示出S△AC,并求出c 所以Sarc=合·BC·1OA1=子·合·a=号 1 .2c 39得5 第4步：求出a和b,并写出椭图方程 所以a=2√3，b=3. 故罐菌的方银为后+ =1. (2)第1步：设点的坐标，并讨论直线PQ斜率不存在的情况 设P(x1y1),Q(x2y2),T(0,t). 当直线PQ的斜率不存在时，不妨设P(0,3),Q(0,一3)，则TP·} TQ=(0,3-t)·(0,-3一t)=t2-9≤0，解得-3≤t≤3. 第2步：讨论直线PQ斜率存在的情况，设出直线方程 3 当直线PQ的斜率存在时，设其方程为y=k虹一， 第3步：联立方程，消去y,判断判别式符号，写出根与系数的关系 3 由 【y-2可得（3十42)x2-12x-27=0,所以△=14462十 ）x2y2 (12+9 =1 12k 4×27(3+42)>0,1+=3十4级212= 27 3+4k2 14 第4步：表示出TP.TQ,代入根与系数的关系并化简 因为T币.T0=(x1,M-)·(x22-)=1x十(M-)y-)= +(红号)(，号）=1+)4-k(受+） ++(+）= 27(1+2) 12(+ 3十4k2 3十4k2 2+(3+) -27-27k-18-121+27+3r+91+96+46+121 3+4k2 4k212-36k2+312+91 81 3十4k2 0 第5步：求出t的范围 所以4kF-36k+32+9-<0对k∈R恒成立， /412-360 x+1-<0解得-31K2 3 则有 第6步：得出结论 综上可得，-3≤1≤号，即点T的纵坐标的取值范周是 [-3] 椭圆的标准方程十直线与椭圆的位置关系 解(1)解法一（直接法）第1步：构造关于a,b,c的方程组 +品 9 由题意知 c=1 a2=b2+c2 第2步：求解方程组，并写出椭圆方程 a-2 得{b=3, (c=1 所以精图C的方程为宁+号-1。 解法二第1步：枸造关于a,b,c的方程组 由题意知) c=1 a2=b2+c2 第2步：求解方程组，并写出椭圆方程 得{b=3, (c=1 所以错园C的方程为号+号-1。 解法三（巧用椭圆的定义） 设F为C的左焦点，连接MF,剥MF=之，F'=2。 在R△MFF中.MFI=√MF+FFT√（号）+2=， 由椭图的定义知2a=|MF|十|MF=4,2c=|FF'|=2, 所以a=2,=1, 又a2=b2十c2,所以b=5, 所以描国C的方程为子十苦-1. (2)第1步：联立方程，消元得出关于y的一元二次方程，写出根与 系数的关系 分析知直线AB的斜率存在. 易知当直线AB的斜率为0时，AQ⊥y轴， 当直线AB的斜率不为0时，设直线AB:x=1y十4(t≠0)，A(x1, M),B(x2,y2),Q(1,n), x=y十4 联立方程得 +号 消去x得(31+4)y+24y+36=0,△>0， -241 36 则1十业=3千1边=32+4 第2步：将三点共线代数化，建立关于n的代数式 因为N为线段FP的中点，F1,O),所以N(受0）) 由N,Q,B三点共线，得kv=kQ,即 3 5 5,得- x2-2 1 =n(3各）得=2兴 -3y2 第3步：证明n=1 -3y2 -3y2 所以nM=2x5一y=20m十0-5” -21×36+3X24出 -21y1y2-3(y1+y2)_3t2+4T3t'+4 2ty2+3 2ty2+3 0 所以n=y1,所以AQ⊥y轴 10.直线与椭圆的位置关系（理性思维、数学探索） 解(1)第1步：结合题意得到b,c 由题意可知b=√2，c=√2， 第2步：由椭图的基本量间的关系求a 所以a=√62十c2=2, 第3步：写出椭图E的方程、离心率 故精国E的方根为号+号-1，高心率。=二一写 2 (2)第1步：设出点A,B的坐标及直线AB的方程 设A(x1y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx十1(k≠0)， 第2步：联立方程，利用根与系数的关系得工1十2与1x2 =1 ,得(1十2k2)x2十4kt.x十212-4=0. (y=kx+t 所以△=(4k1)2一4(1十2k2)(2t2-4)>0,即4k2一12十2>0， 4k1 x1十x9=一1+2k 由根与系数的关系得 ① 22-4 x1x2一1+2 第3步：由共线关系列等式 由椭圈的对称性可得D(一x2·V2), 因为A,C,D三点共线，所以kc=kD, 所以当1-当，即1十y一(1十=0， x2 第4步：代入直线方程消元 由=k.x1十t,y2=kx2十t,得x1(kx2十t)十x2(kx1十t)一（x1十 x2)=0, 整理得2kx1x2十(1-1)(x1十x2)=0②， 第5步：将①代入②求得t 所以2·牛2是+1一-D·1+提=0， 1+2k2 解得t=2. 1,解1)周为点A(-2,0)在C上，所以是=1，得=4， 国为舞图的海牵台5所以=言，又=十 4计号d,所以a=9c=5, (2)由题意知，直线PQ的斜率存在且不为0，设10y-3=k(x十 2),P(x1y1),Q(x2,yg）, (y-3=(x+2) 得(4k2十9)x2十(16k2+24k)x+16k2+48k=0, 则△=(16k2十24k)2-4(4k2+9)(16k2+48k)=-36×48k>0, 故x1十x2= 16k2+24 4k2+9 ,42=16k2+48 4k2+9 2y1 直线AP:y十2x十2)，令x=0,解得w=十2，同理得 2y2 y- 2十2 14 则w十w=2(十2)+（红1+2） (x1+2)(x2+2) =2kx1十2k+3)(x2十2)+(kx2十2k+3)(x1+2) (x1十2)(x2十2) =226x19十(4k+3)(c1十x2)+8k+12 工1x2十2(x1十2)十4 =22k(16k+48)+(4h+3)(-162-24k)+(8k+12)(42+9 16k2+48k+2(-16k2-24k)+4(4k2+9) =6. 所以MN的中点的纵坐标为M十少=3，所以MN的中点为定点0,3》. 2 12.解1)如图，由题意可知a十c-3 a-c=11 故∫a2 {c-1则62=a2-c2=3 所以精调的方程为宁+号-1 此简阔的离心率=合-宁 (2)由题易知直线A2P的斜率存在且不为0，所以可设直线A2P 1y=k(x-2) 的方程为y=k(x一2).由 +号 22 = ,可得(3+4k2)x2-16k2x +16k-12=0, 16k2 设P(xP,yp),则由根与系数的关系可知xp十2= 3+46,即xp= 8k2-6 -12k 3+42,则p=(xp一2)=3+4 由直线A2P交y轴于点Q可得Q(0,一2k), 所以SA4Po=zX4Xp-a,SaA,p=2X1X1p, 因为S△A,P阳=2S△4，P,所以2lyp一a=lp, ①当21p1-21o=1p时，p=21a,即有=2 3十4k |一2k1,解得k=0,不符合题意，舍去. ②当2lya-2|yp|=1yp|时，2|ya|=3|yp,即有4k|= 弹品好得=± 故直线A,P的方程为y=士-2. 13.解(1)设椭圆E的方程为m.x2十ny2=1,过A(0,一2)， B(受-) 4n=1 则9 (4m+n=1 1 1 解得m=3n=4, 所以精圆E的方程方：号+专-1. (2)A(0,-2),B(号，-1)，所以AB:y+2=3x, 3 2 ①若过点P1,-2)的直线斜率不存在，直线=1.代入号+ 3 1， y 可得M1,2.N1,29,代入AB方程y=子2，可得 3 T5+825.由府=方得到H(25+5,25).求得HN 3 方程： y=(225)z-2,过点(0，-2. 3 ②若过点P(1,一2)的直线斜率存在，设飞.x-y一(k十2)=0， M(1,1),N(z2,v2). kxy-(k+2)=0 联立{x21 ,得(3k2+4)x2-6k(2+k)x十3k(k十4)=0，！ (3+4 =1 x1十2 6k(2十k) -8(2+k) 3k2+4 y1十2= 3k2+4 可得 3k(4十k) 4(4+4k-2k2) x12 3k2+4 V2V2= 3k2+4 且x1y2十x2y1= 一24k(*). 3k2+4 (y=y 联立 22,可得T(3+3,v1),H(3y1十6x1·w1)月 2 可求得此时HN:y一必一3M+6一西一x2 : (x一x2）, 将(0，-2)，代入整理得2(x1十x2)-6(十2)十x1十x2y一 3y2-12=0, 将(*)代入，得24+1252+96+48k-24k-48-48k+24-一362 -48=0, 显然成立， 综上，可得直线HN过定点(0，一2) b=1, 1a=2, 14.解(1)由题意，得{2c=2√5，解得 b=1, （a2=6+c2, (c=5, ∴格圈E的方程为号+=1. (2)由题意可设直线BC的方程为y一1=k(x十2). 联立得方程组4 +y2=1, （y-1=k(x+2). 消去y并整理，得(42十1)x2十(16k2十8k)x十16k2+16k=0, 则△=(16k2+8k)2一4(4k2+1)(16k2+16k)>0, 解得<0. 设B(x1,y),C(x2,2),1十x2= 16k2+8k 4k2+1 x1x2= 16k+16k.① 4k2+1 “直线AB的方程为y=当十1，则直线AB与工轴交点M的 坐标为 一x2 西+2,0 同理得点N的坐标为(x干20) x1 .|MN|=2,. 一x1 k(x+2k(a+2=2, |x1-x2=|[x1x2十2(x1十x2)十4]， V团+z)-4西=[x1x十2(x1十x2)+4].@ 将①代入②，得 16k2+8歇1 4(16+16)=2[16k2+16k 4k2+1 4k2+1 4k2+1 2(16k2+8k) 十4 4k2+1 整理，得k2十4k=0.又k0,k=-4. 15.解(1)设M(2√3cos8,sin0)是椭图上一点，P(0,1), 则1PM2=12cos20+(1-sin0)2=13-11sin20-2sin0= 144 11 2 144 故IPM的最大值为2Y四 11 (2)由题意，知直线AB的斜率存在， 故授直线AB的方程为y=红十宁 y=x+, 将直线方程与椭圆方程联立，得 2+y2=11. 145 消去y并整理，得(+立)r+红孚-0， 设A(21y),B(x2y2),则x1十x2=-B 3 (+) 直线PA:y-x十1与直线y=合x十3文于点C,剥= 1 4x1 4x1 x1+2y1-2(2k+1)x1-1 4x2 同理可得，n=2十202(2k+1)x2可 4x1 4x2 2(2k+1)z1-1(2k+1)z2-1 -2w5 x1一x2 [(2k+1)z1-1[(2k+1)x2-1丁 =2√5 x1一x2 (2k+1)x1x2-(2k+1)(x1+x2)+1 35.√16k+1_5, 1合+ 2 3k+1 5 3k+1 5 当且仅当=品时等号成主. 故CD的最小值为55 5 16.解()B1=a=反=PF1=-1一m→m=-1-反 (2)如图 E 3-25-2-1-4050 5152 0.5 FA.F2A=AF.AF=(A0+OF)·(AO+OF,)=|Aò2 0示=号→0=号 (x2+v2 4 设A(z,),则 (√后√写)或A(√层√骨)A在线即上) 当A(√后√写)时，设直线1的方粒为y(+√层)十 L-4压32-10k+3=0k=3 √/1十k 15 k=3 当k=3时，m= 4,及>-（含） 3V3 故直我1的方程为y=宁十g 当A(√层。√层)时：直线1的方报为y=古 9 (3)考虑两种极端情况：直线与椭圖相切时，FA与F2B夹角为锐 角，且两个向量的终点重合；直线与x轴重合时，A与F2B方向 相反，由于夹角连续变化，故必有中间某一位置，使得两向量平 行，以下证明： 设直线1的方程为y=k(x一m),(k≠0)，与椭图交于A(x1y1), B(x22),联立得(1十2k2)x2-4mk2x十22m2-2=0,从而x1十 2=m8,x1x2=2hm2.FA∥F2B=y（一1）=%(1 1)台k(mx1-m.x2-x1-x2十2m)=0 ① 持十器代入叁理得，①式导价于红一十品由 -2 于（红1一）2+4红=（红1十x)2,代入整理得m=2+2不 ② 由于存在直线1使得FA与F2B平行等价于关于及的方程②式在 m<一√2的条件下始终有解，②式有解是显然的，故存在直线1使 得F1A与F2B平行. 17.解(1)因为椭图E过点A(0,一2)，所以b=2.又以四个顶点围成的 四边形面积为45，故号×2aX2=2ab=45,则a一5.因此精国E 的标准方程为号+兰-1 (2)由题意可得，直线1的方程为y=kx-3,设B(1y1),C(x2, ）.联立了v=k红-3， 消去y整理得(5k2十4)x2-30kx十 Γ4.x2+5y2=20, 25=0,由△=(-30k)2-4(5k2+4)×25=400(k2-1)>0,故k> 1或k<-1.由根与系数的关系，得x1十2= -30k30k 5k2+45k2+41 美进而可得到十=红十6=买4 24 (k-3)(k2-3)=k212-3k(1十2)十9=3620k.直线 5k2+4 AB的方程为y十2=”十2 ,令y=一3，则x=十2故点 M(千2一3直线4C的方程为十2 x,令y=-3, 则x= IPMI+IPNI-+ x1(2+2)+x2(M+2) (y+2)(y2+2) x1(kx2-1)十x2(kx1-1) V1y2+2(M+y2)+4 2k.x1x2-（x1十x2） y1y2+2(y1十y2)+4 2k×牛45及+4 25 30k 36-20k2 =|5k|≤15， 即|k≤3，解得一3k≤3」 综上，k的取值范围为[-3，-1)U(1,3]. 专题19双曲线 考向1双曲线的定义与方程 1.B[双曲线离心率e=￡=2，故c=2a,b=5a,将点(w25)代入 a 双南线方程，得号忌-1，故a=16长以南线方根为2 苦-1，故选B] 2.35[由题意可知，F1(-c,0),F,(c,0),设A(1M),B(0,), 所以FA=(-c)Fi=(-co),因为FA=-号FB,所 Fi-(号，号）F店=(ew,周为i1F可店.所以Fi, 可店=0，即号-号6=0，解得6=4 1 因为点A(号，号w）在双南我C上，所以-签=1，又 9a29b 6=4c,所以25g-16c=1,即25a+)-16(a+ 9a29b2 9a2 9b2 2=1,化 5 考向2双曲线的几何性质 1.D[双曲线离心率十基本量计算依题意得b=√7a,又c2=a2十 b2,所以c2=a2十（√7a)2=8a2,即c=2√2a,故e=2√2.故选D.] 2.ACD[双曲线十余弦定理 A(/)根据双曲线和圆的对称性，知四边形A1MAgN为平行四边 形，因为∠NAM=否，所以∠A1MA,=吾 错误项分析B(X)解法一（余弦定理） 如图，在△A1MO中，|MA1|2=|AO12十 OM-2AO OM Cos/MOA=2+ c2-2accos/MOA =a2+2+2acx a 3a2+c2,在△A2M0中，lMA212=a2+c2 -2accos/MOA:=a'+e-2ac x a=c2 -a2 【此思路是从“数”的角度分析，在两个三角形中，分别将需要求解 关系的两条线段的长度用a,c表示出来，但是并不能直接得a,c的 关系，需要找到这两条线段长度间的关系】在△A1MA2中，AA1|2 =IMA 2+MA:12-2IMA I IMA:Icos 4a2=2+2a2- 2V3a+e×√ea×5,则13a2=c,所以1MA11=16a, |MA2|2=12a2,所以|MA1≠2|MA2. 解法二（解析几何法）设M(x0,)(xo>0,%>0),则x十v c2,又w=合0a2+62=c2,联立可得x=a,%=6,所以Ma, b),所以MA2⊥x轴， 【此思路找到直角三角形，减少了运算量，从“形”的角度分析了线 段的比值关系】在Rt△AAM中，周为∠AMA:=否，所以 MA2 C(√)根据13a2=c2,得e=√13. D(/)当a=E时，|MA1|=√32，|MA2|=√24，所以四边形 NA1MA的面积为MA:IMA,sin若=V反XV网X分 85.] 3.A[双曲线、抛物线的定义十双曲线的离心率由 题意知c=号，所以抛物线方程为y=4,因为 |PF1|+PF2|=3|F1F2|,IFF2|=2c,所以|PFI 十PF2|=6c,又点P在双曲线上且在第一象限，由 双曲线的定义可得|PF,一PF2|=2a,所以PF1 =3c十a,|PF2=3c-a,如图所示，过点P作抛物 线准线的垂线，垂足为P‘,因为，点P在抛物线上，所以|PF2|= |PP'|=xp十c=3c-a,所以xp=2c-a,yp=√TPF1-Pp下 =√(3c十a)2-(3c-a)2=2√3ac,把，点P的坐标代入抛物线方 程，可得2√Ba2=4(2c-a),化简得后-=2，故选A.] 4,A[双曲线的渐近线十三角形的面积直 线AB:y=x十1，双曲线x2-y2=1的渐近线 方程为y=士x,所以直线AB与渐近线y=x 平行，如图，当点C无限趋近于渐近线y=x 时，点C到AB的距离越来越小，无限趋近于 直线AB与渐近线y=x之间的距离，故 S△A=7ABd(d为点C到AB的距离) 没有最小值；易知当C位于(1,0)时，d取得最大值，即S△C= 子ABd取得最大值.]专题18 考向1椭圆的定义与方程 1.(2023·新课标I卷，5分)设椭圆C1:2十y2= 1a>1).C:号+y2=1的离心率分别为 e2,若e2=√3e1,则a= T A.2⑤ B.√2 C.3 D.√6 2.(2023·全国甲卷·理，5分)设O为坐标原点， E1E,为椭圆C:十=1的两个焦点，点卫 6 在C上，cos∠F1PF2= 则Op1= r A号 B.③0 2 C14 5 D③5 8,202·全国甲（文）TD已知椭圆C.+ 1(a>b>0)的离心率为写，AA2分别为C的左、 右顶点，B为C的上顶点.若BA1·BA2=一1，则 C的方程为 量 空 x2,y2 A.8+=1 B.2 c苦- n号ty-i 4.(2021·新高考卷I,5分)已知F1,F2是椭圆 罗 C 。+=1的两个焦点，点M在C上，则 4 ( 训 |MF,|·|MF2|的最大值为 A.13 B.12 C.9 D.6 、5.(2021·全国乙卷文，5分)设B是椭圆C:+ 濫 y2=1的上顶点，点P在C上，则|PB的最大 值为 ( ) 氨 A.2 B.√6 C.√5 D.2 6.(2022·新高考1卷16)已知稀圆C:号+号=1 a 2 (a>b>0),C的上顶点为A,两个焦点为F1,F2, 问 离心率为2，过F且垂直于AF,的直线与C交 于D,E两点，|DE=6,则△ADE的周长是 椭圆 考向2椭圆的几何性质 1.(2023·全国甲卷·文，5分)设F1,F2为椭圆 C号+y=1的两个焦点，点P在C上若PF· PF2=0,则PF·PF2= ( A.1 B.2 C.4 D.5 021·全国乙卷理，5分)设B是椭圆C: b2 =1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意 P都满足|PB≤2b,则C的离心率的取值范 围是 () ) B[2) c(o,] D.(0,2] 3.(2022·新高考Ⅱ卷T16)已知直线1与椭圆 6十1在第一象限交于A,B两点，与 x轴，y轴分别交于M,N两点，且|MA|=|NB|, |MN|=2√3，则1的方程为 4.(2021·全国甲卷理，5分)已知F1,F2为椭圆 C后+苦-1的两个焦点，P.Q为C上关于坐 标原点对称的两点，且|PQ=FF2|,则四边 形PF1QF2的面积为 5(2021·浙江客6分已知椭圆5+ 62=1(a> b>0),焦点为F1(一c,0),F2(c,0)(c>0).若过 F,的直线和圆(-2)月 十y2=c2相切，与椭 圆在第一象限交于点P,且PF2⊥x轴，则该直线 的斜率是 ;椭圆的离心率是 考向3直线与椭圆的综合问题 1.(2023·商球标Ⅱ《5分)已知椭圆C:专+y =1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x十m 与C交于A,B两点，若△F1AB面积是 △F,AB面积的2倍，则m= ( 2 A.3 B号 3 D.一3 2.(2025·全国卷1,17分)已知椭圆C, 1(a>b>0)的离心率为22.下顶点为A,石 顶点为B,AB=√10. (1)求C的方程. (2)己知动点P不在y轴上，点R在射线AP 上，且满足AP·AR=3. （i)设P(mn),求R的坐标（用m,n表示）； (ⅱ)设O为坐标原点，Q是C上的动点，直线 OR的斜率是直线OP的斜率的3倍，求|PQ| 的最大值. 3.(2025·全国卷Ⅱ，15分)已知椭圆C:名+ b2 =1a>6>0)的离心率为号，长轴长为4 (1)求C的方程， (2)过点(0，一2)的直线1与C交于A,B两点， O为坐标原点.若△OAB的面积为√2，求 AB. 4.(2025·天津卷，15分)已知椭圆号+茶=1 (a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,P为直 线x=a上一点，且直线PF的斜率为令，△PFA 的面积为号，离心率为分 (1)求椭圆的方程； (2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B(异于点 A),求证：PF平分∠AFB. 5.(2025·上海卷，18分)本题共有3个小题，第1 小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满 分8分. 已知桶圆r芹+号-1a>5,M0,m(m 0),A是Γ的右顶点， (1)若T的一个焦点是(2,0)，求T的离心率e; (2)若a=4,且T上存在一点P,满足PA= 2MP,求m的值； (3)若线段AM的垂直平分线1的斜率为2，l与 下交于C,D两点，∠CMD为钝角，求a的取值 范围 6.(2024·新课标I卷，15分)已知A（0,3)和 Pe)为精因C后若 =1(a>b>0)上 两点 (1)求C的离心率； (2)若过P的直线I交C于另一点B,且△ABP 的面积为9，求1的方程， 2.(2024·全国甲卷·里，12分)已知椭圆C,兰 2 +若-1a>b>0)的右焦点为F,点M(1,) b2 在C上，且MF⊥x轴， (1)求C的方程； (2)过点P(4,0)的直线交C于A,B两点，N为 线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q, 证明：AQ⊥y轴. 8.(2024·天津卷.15分)已知椭圆子+ =1 62 (a>b>0)椭圆的离心率e=?,左顶点为A,下 顶点为B,O为坐标原点，C是线段OB的中点， 其中S6C=35 (1)求椭圆的方程， (2)过点(0，一)的动直线与椭圆有两个交点 P,Q,在y轴上是否存在点T使得TP·TQ≤ 0？若存在，求出点T纵坐标的取值范围；若不 存在，请说明理由. 9.(2024·全国甲卷·文，12分)已知椭圆C,号 ? +若=1(a>>0)的右焦点为F,点M(1,2) 在C上，且MF⊥x轴， (1)求C的方程； (2)过点P(4,0)的直线交C于A,B两点，N为 线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q, 证明：AQ⊥y轴. 0.(2024·北京表，5分已知椭圆E子十片 1(a>b>0),以椭圆E的焦点和短轴端点为顶 点的四边形是边长为2的正方形.过点(0，) (>√2)且斜率存在的直线与椭圆E交于不同 的两点A,B,过点A和C(0,1)的直线AC与 椭圆E的另一个交点为D. (1)求椭圆E的方程及离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t的值. 1.(2023·金国乙·理，12分)已知椭圆C: 2=1(a≥b一0)的离心率是3，点 A(-2,0)在C上. (1)求C的方程； (2)过点（一2,3）的直线交C于P,Q两点，直 线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N,证明： 线段MN的中点为定点. 202吗·天津卷，15分)已知椭圆十 1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,右焦 点为F,A1F=3,A2F=1. (1)求椭圆的方程和离心率e; (2)己知点P是椭圆上一动点（不与端点重 合)，直线A2P交y轴于点Q,若三角形A1PQ 的面积是三角形A2FP的面积的二倍，求直线 A2P的方程. 13.(2022·全国乙（理）T20)已知椭圆E的中心 为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过 A0,-2》,B(是-两点 (1)求E的方程； (2)设过点P(1,-2)的直线交E于M,N两 点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交 于点T,点H满足MT=TH.证明：直线HN 过定点. 14.(202·光京卷T19)已知椭圆E:子+ 62 =1:16 (a>b>0)的一个顶点为A(0,1),焦距为 2√3. (1)求椭圆E的方程 (2)过点P(一2,1)作斜率为k的直线与椭圆 E交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与 x轴交于点M,N.当|MN|=2时，求k的值. 15.（2022·浙江卷 T21)如图，己知 稀圈号十y2=. 设A,B是椭圆上 异于P(0,1)的两 点，且点Q(0,)在线段AB上，直线PA,PB 分别交直线y=-?x+3于C,D两点」 (1)求点P到椭圆上点的距离的最大值； (2)求|CD的最小值. 60 (2021·上海卷，16分)已知椭圆r:号十y2 1,F1,F2分别是它的左右焦点，P(m,0)(m< 一√2)，直线1过点P交椭圆下于A,B两点， 且A在线段BP上. (1)若B是上顶点，BF1|=|PF1I,求m; (2)若A·FA=了，且原点0到直线1的距 离为西，求直线1的方程， (3)是否存在过P(m,0)(m<-√2)且不与x 轴重合的直线1，使得FA∥F2B, .(2021·北京卷，15分)已知椭圆E:三十龙- 1(a>b>0)过点A(0,一2)，以四个顶点围成 的四边形面积为4√5. (1)求椭圆E的标准方程； (2)过点P(0,一3)的直线1斜率为k,交椭圆 E于不同的两点B,C,直线AB,AC交y=一3 于点M,N,若PM+|PN|≤15，求k的取值 范围