专题17 直线与圆-【创新大课堂】2026年高考数学五年真题分类汇编168优化重组卷

专题17 考向1直线、圆的方程 1.(2022·北京卷T3)若直线2x十y-1=0是圆 (x-a)2+y2=1的一条对称轴，则a=() A司 R-司 C.1 D.-1 2.(2022·全国甲（文）T14)设点M在直线2x十 y-1=0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则 ⊙M的方程为 3.(2022·全国乙（理）T14)过四点(0,0)，(4,0)， (一1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为 4.(2021·上海卷，4分)若圆的方程为x2十y2 2x一4y=0,则圆心坐标为 考向2直线与圆、圆与圆 1.(2025·全国卷I,5分)已知圆x2+(y十2)2= r2(r>0)上到直线y=√5x十2的距离为1的点 有且仅有两个，则r的取值范围是 A.(0,1) B.(1,3) C.(3,+∞) D.(0,+∞) 2.(2024·全国甲卷·理，5分)已知b是a,c的等 差中项，直线a.x+by十c=0与圆x2十y2+4y 一1=0交于A,B两点，则|AB|的最小值为 A.1 B.2 C.4 D.25 3.(2024·全国甲卷·文，5分)已知直线ax十y十 2-a=0与圆C:x2+y2+4y-1=0交于A,B 两点，则|AB|的最小值为 A.2 B.3 C.4 D.6 4.(2024·北京卷，4分)圆x2+y2-2x+6y=0 的圆心到直线x一y十2=0的距离为( A.√2 B.2 C.3 D.3√2 直线与圆 5.(2023·新课标I卷，5分)过点(0，-2)与圆 x2十y2-4.x一1=0相切的两条直线的夹角为 a,则sina= ) A.1 B.5 4 C.0 4 D.16 4 6.(2023·全国乙卷·文，5分)已知实数x,y满 足x2十y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大 值是 A.1+3② B.4 2 C.1+32 D.72 7.(2025·天津卷，5分)l1:x一y十6=0与x轴交 于点A,与y轴交于点B,与圆(x十1)2十(y-3)2 =2(r>0)交于C,D两点，|AB|=3|CD|,则 8.(2023·新课标Ⅱ卷，5分)已知直线x一my十 1=0与⊙C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点， 写出满足“△ABC面积为多”的m的一个值 9.(2022·全国甲（理）T14)若双曲线y2名=1 (m>0)的渐近线与圆x2+y2-4y+3=0相 切，则m= 10.(2022·新高考I卷T14)写出与圆x2十y2=1 和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线 的方程 11.(2022·新高考Ⅱ卷T15)设点A(-2,3), B(0,a),若直线AB关于直线y=a对称的直 线与圆(x十3)2十(y十2)2=1有公共点，则a 的取值范围是 12.(2022·浙江卷T17)设点P在单位圆的内接正 (2)设A1,A2,A3是C上的三个点，直线 八边形A1A2…Ag的边A1A2上，则PA+PA A1A2,A1A3均与⊙M相切.判断直线A2A3 与⊙M的位置关系，并说明理由. 十…十PAg的取值范围是 13.(2021·全国甲卷理，12分)抛物线C的顶点 为坐标原点O,焦点在x轴上，直线1：x=1交 C于P,Q两点，且OP⊥OQ.已知点M(2,0), 且⊙M与1相切. (1)求C,⊙M的方程； 考向3与圆有关的最值、范围问题 :1.(多选)(2021·新高考卷I,5分)已知点P在圆 (x-5)2十(y-5)2=16上，点A(4,0),B(0,2),则 () A.点P到直线AB的距离小于10 B.点P到直线AB的距离大于2 C.当∠PBA最小时，|PB|=3√2 D.当∠PBA最大时，|PB|=3√2 :2.(2021·北京卷，4分)已知圆C:x2+y2=4,直 线l:y=kx十m,若当k的值发生变化时，直线1 被圆C所截的弦长的最小值为2，则的取值 为 () A.±2 B.土√2 C.土√3 D.±3 5633√14 、c0s(n2)三n1n万X,万4， 所以二面商A-PM-B的正弦值为√厂0s(m,n)= 14 17,(1)证明因为ABCD-A1B1C1D1为正方体， 所以A1D1∥B1C1,CD∥C1D1. 又因为CD￠平面A1BCD1,CDC平面ABCD1, 所以CD∥平面A1B1C1D1. 因为平面CDEF∩平面A1B1C1D1=EF,且CDC平面CDEF,所 以CD∥EF, 故C1D1∥EF 所以四边形EFC1D1为矩形，又点E为A1D1中点， 故CF=DE=AD=2CB 故点F为B1C的中点， (2)因为ABCD-A1B,CD1为正方体，故DA,DC,DD1两两 垂直， 以D为坐标原点，分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、 ?轴建立如图所示的空间直角坐标系. M、B D A 令正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2， 设A1M=入A1B(0≤A≤1)， 则C(0,2,0),E(1,0,2),F(1,2,2),M2,2λ，2)， CE=(1,-2,2),CF=(1,0,2),CM=(2,2λ-2,2). 设平面CEF的法向量为n1=(x1,M,1), 应·m=0即{1一2n十21=0故1=0。 则 {CF.m1=0,(x1+21=0, 令≈1=一1，则x1=2,故可取n1=(2,0,一1). 设平面CMF的法向量为n2=(x2y2,2), 期/C·w=0, "{CF.2=0, 即22十(2x-2)y2+2=0, (x2十22=0， 1 令2=-1，则x2=2,2=广 1 故可取n,=（2户-1）小 设二面角M-C℉-E的大小为0，由题意知日为锐角， cos 0-lcos(m- n1*n2 4十1 5 2+-D√2+()+(- 好将=宁∈o1,收会0-宁 专题17 直线与圆 考向1直线、圆的方程 1.A[若直线是图的对称轴，则直线过图心，圈心坐标(a,0),所以由 2a十0-1=0解得a=子.] 2.(x-1)2十(y十1)2=5[设出点M的坐标，利用(3,0)和(0,1)均 在⊙M上，求得图心及半径，即可得圆的方程」 点M在直线2.x十y-1=0上， ∴.设点M为(a,1-2a),又因为，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上， ∴点M到两点的距离相等且为半径R, .√(a-3)2+(1-2a)'=√/a2+(-2a)F=R, a2-6a十9十4a2-4a十1=5a2,解得a=1, .M(1,-1),R=5, ⊙M的方程为(x-1)2十(y十1)2=5. 故答案为：(x-1)2+(y十1)2=5] 1 3.(x-2+(y-32=13或x-22+y-12=5或(x-号)+ (子)5或（号）广+-1y=器 [依题意设圆的 方程为x2十y2十Dx十Ey十F=0, F=0 若过(0,0)，(4,0)，(-1,1)，则{16+4D十F=0 (1+1-D+E+F=0 F=0 解得D=一4， E=-6 所以圈的方程为x2十y2-4x-6y=0,即(x-2)2十(y-3)2=13: F=0 若过(0,0)，(4,0)，(4,2)，则{16十4D十F=0 (16+4+4D+2E+F=0 F=0 解得D=-4, E=-2 所以圈的方程为x2十v2-4x-2v=0,即(.x一2)2+(y一1)2=5： ,F=0 若过(0,0)，(4,2)，(-1,1)，则{1十1一D十E十F=0 16+4+4D+2E+F=0 CF-0 ǒ D 解得 3, 14 E= 3 所以圈的方程为x十y 8 14 3x-3y=0, 即()+（子） 9: ,1+1-D+E十F=0 若过(-1,1)，(4,0)，(4,2)，则{16十4D十F=0 16+4+4D+2E+F=0 F=- 16 解得 】D= 6, 5 E=-2 所以圈的方程为x2+十y2 总-2y9-0 即（号）+-1 故答案为：(x-2)2+(y-3)2=13或(x-2)2+(y-1)2=5或 （)+号)9()+器 71 4.(1,2)[配方得(x-1)2十(y-2)2=5,故图心坐标为(1,2).] 考向2直线与圆、圆与圆 1,B[直线与圈的位置关系十点线距 易得图心(0，-2)到直线y=√3x十2的距离d=2.当r=d-1=1 时，图x十(y十2)2=r2(r>0)上到直线y=√5x十2的距离为1的 点有且仅有一个，当r=d十1=3时，圈x2十(y十2)2=r(r>0)上 到直线y=√3x十2的距离为1的点有且仅有三个，故当1<r<3 时，圈x2+(y十2)2=r2(r>0)上到直线y=√5x十2的距离为1的 点有且仅有两个，故选B.] 2,C[直线与圖的位置关系十等差中项（理性思雏、数学应用、数学 探索)根据题意有2b=a十c,即a一2b十c=0,所以直线a.x十by十 c=0过点M(1,-2).设图x2十y2十4y-1=0的圈心为C,连接 CM,则AB⊥CM时，AB最小，将圈的方程化为x2十(y十2)2= 5,则C(0,一2)，所以|MC|=1,所以|AB|的最小值为 2√5-1MC严=4，故选C.] 3.C[圆的方程十直线与圈的位置关系十弦长公式设直线为1： ax十y十2-a=0,即l:a(x-1)十y十2=0，易知1过定，点P(1, 一2)，圈C的标准方程为x2十(y十2)=5，所以圈心为C(0,一2)， 半径为√5，且P在图C内.因为当PC⊥AB时，图心C到直线L的 距离最大，此时|AB|取得最小值，易得|PC=xp一xC|=1,所以 |AB|=2√（√5）2-12=4，故选C.] 4.D[圈的标准方程十点到直线的距离公式（理性思雏）化圆的方 程为标准方程，得(x一1)2十(y十3)=10，所以该图的图心(1， 8 一3)到直线x-y十2=0的距离为1（一3)+2-6 √+(-1)F√2 =3V瓦.故 选D.] 5.B[如图，x2+y2-4x-1=0得(x-2)2+ y2=5,所以圆心坐标为(2,0)，半径r=√5，所 以图心到点(0，一2）的距离为 √(2-0)+(0+2)7=2√2，由于圆心与点 02 《0,一2)的连线平分角a,所以sn号22 -2 点平所以m号-5，所以血a 224 2n号号-2x×5至救选B 444 6.C[将方程x2+y2-4x-2y-4=0化为(x-2)2十(y-1)2=9, 其表示圆心为(2,1)，半径为3的图.设=x一y,数形结合知，只有 当直线工一y一？=0与圈相切时，：才能取到最大值，此时 2-1=3,解得=1士3区，故=x-y的最大值为1十3区， 故选C.门 7.2[直线与图的位置关系对于直线11：x一y十6=0，令x=0,得 y=6,令y=0,得x=-6,所以A(-6,0),B(0,6),所以|AB|= 6√2.因为|AB|=3CD,所以CD|=2√2.图(x十1)2+(y-3)2 =广的圈心为(-1,3)，圆心到直线4的距离d=13+6 √2 E所以r√+（四丁-vT-2] 8.2[设直线x-my十1=0为直线1，由条件知⊙C的图心C(1,0), 丰径R=2.C刻直线1的距离d√十AB=2VR号 (2 2√4（+) 4 m √+m 产后子理得8r-5a1十2=0你得m=士2发0 2 士号，故答案可以为2] 0.[以南线子-后=1(m>0的渐运线为)=士后，即士m=0, 不妨取x十my=0,图x2十y2-4y十3=0，即x2+(y-2)2=1,所 以圈心为(0,2)，半径r=1, 依题意圈心(0,2)到渐近线x十my=0的距离d=2m =1 √1十m 解得m=号我m=(合去. 3 故答案为：9] 10=1,或y务费攻)=一子+受（答对其中之一即可） 7 [由图可知，两圆外切，且均与直线：江=一1相切.另过两圆图心 的直线1的方程为y=合，可得1与4文点为P(-1,号)） 由切线定理得，两阁另一公切线么过点P,设：y十号=(x十 4 1),由点到直线距离公式可得 1,解得= √k2+1 员即： y一子一器芳由于两国外切，因此在公切点处存在公切线， 7 3 5 与1垂直，解得1：y=-子x十子] 3-20 45678 1 1.[号，受][因为=“2，所以AB关子直线y=a的对称在 线为(3a)z-2y十2a=0,所以3a3》十4+2al≤1，整理可得 √/4+(3-a) 12a2-22a+6≤0解得号≤a≤是.】 12.[12十2V2,16][以图心为原点，A7A3所 在直线为x轴，AA1所在直线为y轴建立 平面直角坐标系，如图所示： A01DA(号)A1.0 A,(竖号)Ao-A(号 )A(-1.0A(号号) ,设P(,于是PA+PA+…十 pA=8x2+y2)+8, 因为cos22.5≤0P1≤1，所以1+c0s45≤x2十y≤1，故十 2 p+…+PA的取值范国是[12十22,16].故答案为：[12十 2√2,16].] 13.解(1)由题意，直线x=1与C交于P,Q两点，且OP⊥OQ,设C 的焦点为F,P在第一象限， 则根据抛物线的对称性，得∠POF=∠QOF=45°， 所以P(1,1),Q(1,-1). 设C的方程为y2=2p(p>0),则1=2p,得b=号。 所以C的方程为y2=x 由题意，图心M(2,0)到1的距离即⊙M的半径，且距离为1， 所以⊙M的方程为(x-2)2十y2=1. (2)直线A2A与⊙M相切，理由如下： 设A1(x1y1),A2(x2),A(x3) 当A1,A2,A3中有一个为坐标原点，另外两个点的横坐标均为3 时，A1A2,A1Ag均与⊙M相切，此时直线A2A:与⊙M相切. 当x1≠x2≠x3时，直线A1A2的方程为x一(yM1十y2)y十y1y2=0, 剥一12+2 √(y1+v2)2+1 即(y-1)y+2y1y2+3-y=0, 同理可得(1-1)y+2yy十3一=0， 所以2y是方程（听-1）y2十2yv十3-=0的两个根， 2y 3-yi 剥十=音 直线A2Ag的方程为x-(y2十)y十y2y=0. 设点M到直线AgA3的距离为d(d>0),则d= (2+y2.y)2 1+(y2十y3)9 3-y1 2 2 1,即d=1, 1+() 所以直线A2A3与⊙M相切. 综上可得，直线A2A?与⊙M相切. 考向3与圆有关的最值、范围问题 1.ACD[设圈(x-5)2+(y-5)2=16的圈心为M(5,5),由题意知 直线AB的方程为千十之=1，即x十2y-4=0,则圆心M到直线 AB的距离d=5+2X54=是>4，所以直线AB与圆M相离， 5 √5 11 所以点P到直线AB的距离的最大值为4十d=4中后，又4什后<5】 =10，故A正确： 十5 易知点P到直线AB的距离的最小值为d-4=号4，又号一4< 5 5 -4=1，故B不正确： 5 过点B作圆M的两条切线，切点分别为N,Q,如图所示，连接MB, 9 MN,MQ,则当∠PBA最小时，点P与N重合，|PB|= √MB?-MN平=√52+(5-2)2-4F=3√2；当∠PBA最大 时，点P与Q重合，|PB|=3√2，故C,D都正确.综上，选ACD.] 4Y >M NA 2.C[数形结合，m为直线在y轴上的裁距，m=士√22一1下= 士√5.故选C.] 专题18椭圆 考向1椭圆的定义与方程 1.A[由已知得=@巨，==9，因为4=51，所 2 2 以5-5×巨，得a=25故选A.] 2 a 3 2.B[解法-依题意a=3,b=√6，c √a2一b2=5.如图，不妨令F(-√3,0)， F2(5,0).设|PF1|=m,|PF2|=n,在 △FPF,中，os∠F,PF,=m+-12=3 2mn 5 ①，由椭图的定义可得m十n=2a=6②.由①②，解得m= 5设OP=五在△EOP和△F,OP中，∠EOP+∠F,OP= 、由余孩定理得十3m三2，得十”6 23x 2 十n)2一2mn一6=号，所以1Op1=√30 2 解法二依题意a=3,b=√6，c=√a一b=5.如图（图同解法 一)，设点P的坐标为(x0,yo),a=∠F1PF2,则cos∠F1PF2= cos a 号，故n∠FPF,=ne= 2sin号cos÷ sin号+os2号 2am号 十a2 =号则an号=合或am号=2（含去）.故△FPF: 的面积5a所，=份am号-6X号=8又Sa所=宁X2= %放8=8又号+号-1所以-号，0即=+坊 克loP- 2 解法三依题意a=3,b=√6，c=√a-b=√3.如图（图同解法 一)，设点P的坐标为(0，)，利用焦点三角形面积公式知 Sa两，年周为RPE:=子所以RPF,号 3又号+普-1，所以6=号，0=+空，0p-] 3.B[根据离心率及BA1·BA2=-1,解得关于a2,b2的等量关系 6=号，A14,分到为C的左右预点，则A1(-a,0).A(a,0 B为上顶点，所以B(0,b).所以BA1=(-a,-b),BA2=(a,-b), 周为BA·BA,=-1,所以-公2+62=-1，将B=令2代入，解 得。2-9，公=8，故精湖的方程为号+苦-1.故选B] 4.C[由圈C,号+兰-1，得Mm+Mm,-2x8-6,别ME· IMI≤(M+IME 2 =32=9,当且仅当MF1=|MF2=3 时等号成立.故选C] 5.A[法-（消元转化法）设点P(红，)，则根据点P在椭圈号十 y=1上可得x2=5-5y2.易知点B(0,1),所以根据两点间的距离 公式得|PB|2=x2+(y-1)2=5-5y2+(y-1)2=-4v2-2y+ 6= 4(+)+5 当叶宁=0，即y=子（满足1y<)时，PB:取得装大位 1 2空所以PBl=号.故选A 5 法二（利用椭圆的参数方程）因为点P在椭圆号十y=1上，所 以可设点P(√5cos0,sin). 易知，点B(0,1),所以根据两，点间的距离公式得引PB2=(√5cos)十 (n0-1)2=4cos20-2sin0+2=-4sin26-2sin0+6= 1 PB取得装大位空，所以PBlm言，放选A.] 61日[黄周商心牵方女，不故设C后十兰 =1,且△AFF2为正 三角移，别直线DE针率质-怎由等腰三角形性质可得，AB1 EF2|,AD|=|DF2,由椭图性质得△ADE的周长等价于 1DE十|DF2+EF,|=4a,另设直线DE方程为y=S(x十c), 与椭图方程联立得13x2十8cx-32c2=0. 由弦长公式|DE|=√+I·|x1一x2|=√十I· √(1十x2)-4x1x2得 DEl-√+1·√()+g=6c4a 8c=13.] 考向2椭圆的几何性质 1,B[周为P屈，P元=0，所以PEPF,则S5,=合P51 P听=mFP,得安PF1·PF=1Xm罗，所以 2 |PF·|PF2|=2,故选B.] 2.C[法一依题意，B(0,b),设P(aco50,bsin),0∈[0,2π)，因为 |PB引≤2b,所以对任意8∈[0,2π)，(ac0s0)2+(bsin0-b)2≤4b 恒成立，即(a2-b)sin20+2bsin0+3b2-a2≥0对任意0∈[0,2π) 恒成立.令sin0=1,t∈[-1,1]，f(1)=(a-b2)t十2bt十3b a2,则原问题转化为对任意t∈[一1,1]，恒有f(t)≥0成立.因为 2b2 f代-1)=0，所以只需2a≤-1即可，所以26≥a,则离 心来√<9所以C 法二依题意，B(0,b),设摘圆上一点P(x%,则1≤6， 十 答-1，可得=。名6：剩PBP=6十(ob=+奶 2h%十6=- 存6-2b%十公+≤4.因为当0=一b时，PB1: ,所以会<6：得2<，所以高心率e台<号，故造C] 2