专题12 等差数列与等比数列-【创新大课堂】2026年高考数学五年真题分类汇编168优化重组卷

专题12 等差数列与等比数列 考向1 等差数列、等比数列的基本运算 1.(2023·新课标Ⅱ卷，5分)记Sn为等比数列 {am}的前n项和，若S4=一5，S6=21S2,则 S8= A.120 B.85 C.-85 D.-120 2.(2023·全国甲卷·理，5分)设等比数列{an》 叔 的各项均为正数，前n项和为Sm,若a1=1, 图 S5=5S3-4,则S4= ( A号 B装 C.15 D.40 3.(2023·全国甲卷·文，5分)记Sm为等差数列 p {an}的前n项和.若a2十a6=10,a4ag=45,则 S5= ( ) 图2 A.25 B.22 C.20 D.15 A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9 4.(2023·全国乙卷·理，5分)已知等差数列8.(2021·北京卷，4分){am}和{bn}是两个等差数 }的公差为，集合S={cos∈N"多 列，其中21<k≤)为常值a:=28,as=96, 若S={a,b},则ab= ( b1=192,则b3= ( 量 A.-1 B- C.0 A.64 B.100 C.128 D.132 9.(2024·北京卷，5分)汉代刘歆设计的“铜嘉 5.(2023·天津卷，5分)已知{am}为等此数列，S, 弥 量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其 为数列{an}的前n项和，an+1=2Sn十2，则a4 的值为 ( 中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆 抑 A.3 B.18 C.54 D.152 柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比 6.(2022·全国乙（理）T8)已知等比数列{an}的 数列，底面直径依次为65mm,325mm,325mm, 烂 前3项和为168，a2-a5=42,则a6= ( ) 且斛量器的高为230mm,则斗量器的高为 A.14 B.12 C.6 D.3 mm,升量器的高为 mm.(不计 7.(2022·新高考Ⅱ卷T3)图1是中国古代建筑 量器的厚度) 新 中的举架结构，AA',BB',CC,DD是桁，相邻10.(2024·上海卷，5分)等比数列{am}的首项a 桁的水平距离称为步，垂直距离称为举.图2是 >0,公比g>1,记Im={x-yx,y∈[a1,a2] 蝶 某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1, U[an,a+1]},若对任意正整数n,Im是闭区 郑 CC1,BB1,AA1是举，OD1,DC1,CB1,BA1是 间，则g的取值范围是 相等的步，相邻桁的举步之比分别为OD DD 11.(2023·全国乙卷·理，5分)已知{an}为等比数 母 列，a2a4a5=a3a6aga10=-8,则a?= CC1二k1,CB, 0.5DC AA =kg,已知1,12.(2023·全国甲卷·文，5分)记S,为等比数 k2,k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的 列{an}的前n项和.若8S6=7S3,则{an}的公 斜率为0.725，则3= 比为 33 考向2等差数列、等比数列的性质 8.(2024·新课标Ⅱ卷，5分)记Sn为等差数列 1.(2024·全国甲卷·理，5分)记Sn为等差数列 {am}的前n项和.若a3十a4=7,3a2十a5=5,则 {an}的前n项和，已知S5=S10,a5=1,则a1= S10= ( )考向3 等差数列、等比数列的证明 A司 B c. D.- :1.(2022·全国甲（文T18)(理T17))记S,为数 11 2.(2024·全国甲卷·文，5分)已知等差数列 列a,的前n项和.已知2S十n=2a.十1. {an}的前n项和为Sn,若Sg=1,则a3十a7= (1)证明：{an}是等差数列； ( (2)若a4,a7,ag成等比数列，求Sm的最小值， A.-2 R C.1 3.(2022·全国乙（理）T4)嫦娥二号卫星在完成 探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一 颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号 绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列： /：6=1+-,b2二1十，1，b3=1 a2 1 1+1 ,…,依此类推，其中a∈N*(k=1, 大1 a3 2,…).则 ( A.b1<b5 B.b3<b8 C.b6<b2 D.6< 2.(2021·全国甲卷理，12分)已知数列{am}的各 4.(2022·浙江卷T10)已知数列{an}满足a1=1, 项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面 1 a+1=a,3a2(n∈N*),则 ①②③中选取两个作为条件，证明另外一个 A.2≤100a100<2 A号<10a<3 成立 ①数列{an}是等差数列；②数列{Sn〉是等差数 C.3<100a10<2 D.7100a100≤4 列；③a2=3a1: 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解 5.(2022·北京卷T15)已知数列{am}的各项均为 答计分. 正数，其前n项的和Sm满足am·Sn=9(n=1, 2…).给出下列四个结论： ①{an}的第2项小于3；②{an}为等比数列： ③a,为递减数列：④a,中存在小于10的项。 其中所有正确结论的序号为 6.(2021·北京卷，4分)数列{an}是递增的整数 数列，且a1≥3，a1十a2十a3十…十an=100,则 n的最大值为 ( ) A.9 B.10 C.11 D.12 7.(2021·全国甲卷文，5分)记Sm为等比数列 {an}的前n项和.若S2=4,S4=6,则S6= ( A.7 B.8 C.9 D.10 34 3.(2021·全国甲卷文，12分)记S,为数列{an}:2.(2024·全国甲卷·文，12分)已知等比数列 的前n项和，已知am>0,a2=3a1,且数列{√Sm {an}的前n项和为Sn,且2Sm=3am+1-3. 是等差数列，证明：{an}是等差数列， (1)求{an}的通项公式； (2)求数列{Sn}的前n项和. 4.(2021·全国乙卷理，12分)记S为数列{am} 的前n项和，b,为数列{Sn}的前n项积，已知 2+1=2. (1)证明：数列{bn}是等差数列； (2)求{an}的通项公式. :3.(2023·新课标I卷，12分)设等差数列{am}的 公差为d,且d>1.令n=n+n,记Sn,Tn分 别为数列{an},{bn}的前n项和. (1)若3a2=3a1+a3,S3十T3=21,求{an}的通 项公式： (2)若{bn}为等差数列，且S99-T99=99,求d. 考向4等差数列、等比数列的综合问题 1.(2024·北京卷，5分)设{am}与{bn}是两个不同 的无穷数列，且都不是常数列.记集合M= {ka=b,k∈N*),给出下列四个结论： ①若{an}与{bn均为等差数列，则M中最多有 1个元素； ②若{an}与{bn}均为等比数列，则M中最多有 2个元素； ③若{an}为等差数列，{bn}为等比数列，则M 中最多有3个元素； ④若{an)为递增数列，{bn}为递减数列，则M! 中最多有1个元素 其中正确结论的序号是 35 4.(2022·新高考Ⅱ卷T17)已知{am}为等差数6.(2022·浙江卷T20)已知等差数列{am}的首项 列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2一b2= a1=-1,公差d>1.记{an}的前n项和为 a3-b3=b4-a4. Sn(n∈N*). (1)证明：a1=b1; (1)若S4-2a2a3+6=0,求Sm; (2)求集合{k|bs=am十a1,1≤m≤500}中元素 (2)若对于每个n∈N*,存在实数cn,使an十 个数 cn,am+1+4cn,am+2十15cn成等比数列，求d的 取值范围 5.(2022·北京卷T21)已知Q:a1,a2,…,a6为有 穷整数数列，给定正整数m,若对任意的n∈{1， 2,…,m},在Q中存在aia;+1,a+2,…,ai+j 7.(2021·新高考卷I,10分)已知数列(an}满足 (j≥0)，使得a;十ai+1十a计2十…十a+j=n,则 (an十1，n为奇数， a1=1,am+1= 称Q为m一连续可表数列. (an十2，n为偶数， (1)判断Q:2,1,4是否为5一连续可表数列？： (1)记b,=a2n,写出b1,b2,并求数列{bn}的通 是否为6一连续可表数列？说明理由； 项公式； (2)若Q:a1,a2,…,a6为8一连续可表数列，求 (2)求{an}的前20项和. 证：k的最小值为4； (3)若Q:a1,a2,…,a6为20-连续可表数列， a1十a2+…+ak<20,求证：k≥7. 363.AC[由题意可知，1OP|=V√eosa+sina=1,1OP21 √osB十（一sin)7-1,所以1OP1=|OP,1,故A正确；取a= 子用（停）取要用P(竖) 则AP1≠AP21,故B错误：因为OA·OP=os(a十B),OP· OP,=cos acos月-sin asin-cos(a十，所以OA·OP=OP1.OP, 故C正确：因为O·OP=cosa,OP·OP=cos pos(a十) 如如a+》=a+9,取a=子，日=子则0成.0-号， O成.0屈-m平号所mi.0≠0m.0成D格 4 故选AC.] 4.(1,N5)[平面向量的运算若fa·b)=f(b·c)=f(c·a)=0, (f(a·b)=1 则a,b,c两两垂直，在平面内显然不成立；不妨设{f(b·c)=0, (f(c·a)=-1 a=(cos a,sin a) 即不妨设{b=(0,1) ,则∫sina>0 c=(1,0) {os0可得a(受+2张 π十2kπ，k∈Z,则|a十b+c|=√(1十cosa)2+(1十sina)z √2Esn(e+)十3，由a∈（受+2，x+2kx）k∈Z,得a叶 子∈（要+2x,+2x及∈z.故m(+于） (99）√gm(e+）+3c.p1ah+1的 取值范围为(1,5).] 5号[由1a=1,b1=2,a6=0,不坊夜a=1,0,b=(0,2,所 以a-b=(1,一2).因为(a-b)·c=0,所以可取c=(2m,m)(m> 0).因为向量d在a,b方向上的投影分别为x,y,所以可得d=(x, y),所以d一a=(x-1y),则=d）·c=2红±y2,所以2x十 e 5 y-5x=2,由柯西不等式可得2x十y-5:=2≤ √2+1+(-5)2.√+y+2,化简得x2+y+2≥0 .4 T y 2 5 号，故十十的最小位为号] 6.解(1)由抛物线的定义可知，焦点F到准线的距离为p,故p=2, 所以C的方程为y2=4x. (2)由(1)知F(1,0),设P(1y1),Q(2,2), 则PQ=(x2-Ay2-),QF=(1-2,-y2). 因为P=9Q亦，所以1=9(1-， %-y1=-92, 可得了0=102-9， (y1=102, 又，点P在抛物线C上，所以=4x1, 即10)2=410：一9，化简得8=号4：另 则点Q的税莲方程为广=子，需 设直线0Q的方程为y=,易知当直线0Q与曲线y”号2 9 相切时，斜率可以取最大. 联立y=与y2=号消，得号十品=0 9 令4=（号）—40·务=0解得=士分 所以直线OQ斜率的最大值为3 专题12等差数列与等比数列 考向1等差数列、等比数列的基本运算 1.C[设等比数列{an}的公比为g(g≠0)，由题意易知g≠1，则 〔a11-g2=-5 1-9 9=4 a1(1-g)」 1-9 21ד11-g),化简整理得 a ,所以S8 (1-9-3 1-9 a1(1-g8)1 1-g =3×(1-4)=一85.故选C.] 2.C[若该数列的公比q=1,代入S；=5S:-4中，有5=5×3-4， 不成立，所以1.由号=5X号一4：化商得g-5对十4 0,所以g2=1(舍)或g2=4,由于此数列各项均为正数，所以g=2, 所以s,号-1返故透C] 3.C[由a2十a6=10,可得2a1=10,所以a1=5,又a1a8=45,所以 as=9.设等差数列(a,}的公差为d,则d=g4=95=1,又 8-44 a1=5所以a=2所以S=5a1+5兰×d=20,故选C] 4.B[由题意得a,=a十2(n-1),c0sa+ ms(a+号a+2)）-cos(a+号a+号)）=co(a+子1十 2x- 为周期的周期数列，又0sa=c0s(a+否) 2 cos a1- 9na,osa=os(au十）=子sa+9sna,为 合S中只有两个元素，所以有三种情况：cosa1=cosa2≠c0sa3, c0sa1=c0sa3≠c0sa2,c0sa2=c0sa≠cosa1.下面逐一讨论： 3 ①当cosa41=c0sa,≠c0sa,时，有c0sa1=-zc0sa1-号sina1 1 得tana1=5所以ab=cosa2cosa十号sina月 合csa+5 in 1 os2x1十士2sn红1c0s27— sina1十cosa1 1 13 22 tan'a1 3十1 2 ②当cosa1=c0sa3≠cosa2时，有cosa1= 2cosa+ sima' 得tan1=5,所以ab=cosa（一2cosa4 3 sin a 1 1 cos2a1号sna1c0541一 2 cos'a12 sin ai cos ai sina1十cosa1 15 3 2-2tana1一zz tana1十1 3十1 2 3 ③当c0sa2=c0sa≠c054时，有-20sa1 2 sin a= 2cosa1十 3 3. 受na,得na=0.,所以h=sa（zosa号sn4) 7cosa=-7(1-sina1)=-7 综上，ab=-,故选B.] 5.C[因为an+1-2Sn十2，所以当n≥2时，n=2Sn-1十2，两式相减 得an+1一am=2an,得a+1=3an,所以数列{an}是公比g=2出=3 的等比数列.当n=1时，a2=2S1十2=2a1十2，又a2=3a1,所以 3a1=2a1十2，解得a1=2,所以a1=a1g=2×3=54,故选C.] 6.D[设等比数列{an}的公比为q,q≠0， 若g=1,则a2一a5=0,与题意矛盾， 所以q≠1， 刚了1+红2+a3=1C1之168，解得》 (a1=96 1-q 1 (a2-a5=a19-a19=42 g=2 所以a8=a1g=3. 故选D.] 7,D[本题以数学文化中的中国古代建筑中的举架结构问题为背 景，考查有关等差教列的求值问题，体现了数学运算的核心素养. OD=DCI=CB=BA=1 DD=0.5.CCI=k1BB=2 AA1=ka,由题意，得g=k1十0.2，k=k2十0.1，且 DD1+CC1+BB1十AA OD+DC+CB+BA =0.725,即36：+0.2=0.725，解得k= 4 0.9.故选D.] 8.C[由题意可得g=2,则6，=64，故6，=6十6=192+64 2 2 128.故选C.] 9.2357.5[圆柱的体积公式十等比数列（理性思雏、数学探索、数 学应用)设升、斗量器的高分别为h1mm,h2mm,升、斗、斛量器 的容积分别为V1mm3,V2mm3,Vmm3,因为升、斗、斛量器的容积 成公比为10的等比数列，所以V=10W,即xX(受)×250 10×π× (学)广X屏释=2又=10，甲×（受）× 28=10×x×(受)×所以A=51.5,所以升，+量器的高分别 为57.5mm,23mm.] 10.[2,十∞)[等比数列十集合的并运算十不等式恒成立（理性思 雏)显然等比效列{an}递增，不妨设x≥y,若x,y∈[a1,a2],则 x-y∈[0，a2-a1],若x,y∈[an,am+i],则x-y∈[0，an+1-an], 若x∈[anan+i],y∈[a1,a2],则x-y∈[a,-a2,an+1-a1], (d2-d1 dn-u2 dn+-as :对任意正整数n,1n都是闭区间，an一a2≤an+1一an,如图，又 a1>0, g-2g-1十g≥0，即g”-2(g-2)十1≥0，对任意正整数n,上式 都成立，则必有g≥2.] 11.-2[设数列{an}的公比为q,则由a2a1a5=aga6,得a19·a193· a1g=a1g·a1q.又a1≠0，且q≠0，所以可得a19=1①.又aa1o= a19·a19=q7=一8@，所以由①②可得g5=-8,g=-2,所 以a=a1g=a19·g=-2.] 12.-之[由85=7S,可知数列{a,的公比q≠1，所以8× a112）=7×112）,即81-g)=71-g),即8(1+g)= 1-g 1-9 7所以9=子] 考向2等差数列、等比数列的性质 1.B[等差数列的前n项和公式与性质（理解思雏、数学应用、数学 探索)由S,=S。,得5Ca十a)_10Ca十a1),所以5a,=5(a4十 2 2 a,所以as=0,公差d-gg=-子，所以a1=a-4d=1- 8-5 4×(宁）子故选] 2.D[等差数列的通项公式、前n项和公式十等差中项解法一 设等差数列{a,}的公差为d,由S,=9a1十9X8d=9(a1十4d)=1, 2 得a1+4d=号，则a+a=a1+2d+a十6d=2a1十8d=2(a1十 4d=号放选D 解法二因为{a,为等差数列，所以S,=9〔a1,十a)=9a=1,得 a;=寸，期a,十a,=2a,=号，故选D.] 3.D[方法-周为a4∈N“(k=1,2,…),所以0<1≤1，所以 1 a1a1十 -,所以b1>b5,所以A错误.同理a3< a2十 a1十 1 a3十 1 一，设 -=t1,所以a2十 1 a1十 1 a1十 a5十- 1 a6十 1 1 a8 a十a 1>a2+a a3 1,所以b>b,所 a2十 a3十t1 以B错误.同理a2<ag十 1 一，设 + a十 1 a1十 a十a as十a e所以a1十>a十a 1 一，所以b,<b,所以C错误.同理a1< a2 +设 1>a十 1 -=t3,所以a3十 a1十t3' a十a 1 则a2+1 1一，所以a1十 1 ->a1十 a十a as a2十 a3+ 1 1 a2十 1—,所以b<b,所以D正确.故选D 1 a3 a1十t3 方法二此题可赋特殊值验证一般规律，不必以一般形式做太多 证明，以节省时间 由a,∈N,可令6=1，则=26=子4=号，6=号分子、 分#分别构成变浅纳寺列，可得公是，=器6：=费4 票对比回个选项，可知选D] 4,B[a1=1,易得a号∈(01)，依次类推可得a,∈0,1 由题意a1=a(-寸）脚-aa十。 3 1-1=1>1 an+l an 3-dn3 11> 3(n≥2)， 累加可得-1>-1,脚>号a+2.≥21 a,<2≥2》.脚4w<10aw<9<3. 111<1。 g小0 女<(+）女女<(+号） (+)六六<(+) 累加可得。 -1<3+（分+++）3+专（×4+ a100 ×94）<39. 即<40aw>0即10aw>受 a100 综上：2 <100a10<3.故选B.] 7 5.①③④[n=1,可得a1=9,又各项均为正，可得a1=3,令n=2可 得a,(3十a,)=9,可解得4=35，》<3，故①正确：当≥2时， 由5=2得S1=9,子是可得a,=9-9,即二 an an- anan- an-1 9@,若a,为等比数列，则m≥2时a+1=a,即从第二项起为常 9 数，可检验n=3则不成立，故②错误：an·Sn=9(n=1,2…).可得 4感=5f是-写<1，所以a1子是 1 正确：对于④，若所有项均大于等于100，取n>90000,则a,≥100， Sm>0,于是anSn>9与已知矛盾，所以④正确.] 6.C[要想n最大，前面的项应该越小越好，3,4,5,6,7,8,9,10,11， 12,13,14这12项的和为102，超过了100，故n的景大值为11.如 3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,25.故选C.] 7.A[法一因为S2=4,S1=6,且易知公比g≠士1，所以由等比数 列的前n项和公式，得 1S2=11-g2) 1-q =a1(1十g)=4, a1(1-g） 1-9 =a1(1十g)(1十g)=6, 两式相除， 1a1=4(2-V2),（a1=4(2+2), 得g所以 或 所以S,=2）=7.故选A 1-q 法二易知S2,S1一S2,S；一S1构成等比数列，由等比中项得 S2(S-S1)=(S1-S2)2,即4(S；-6)=22,所以S6=7.故选A.] 8.95[等差数列的通项公式与前n项和 解法一（基本量法）设{an}的公差为d,由a3十a1=a1十2d十a1十 3d=2a1+5d=7,3a2+a5=3(a1+d)十a1十4d=4a1+7d=5,解 得a1=-4,d=3,则S10=10a1+45d=95. 解法二（利用下标和性质）设{an}的公差为d,由ag十a1=a2十 a5=73a2十a5=5,得a2=-1,a5=8,故d=a5g=3,a6=11, 5-2 则S6=+a×10=5(a,十a)=5X19=95.] 2 考向3等差数列、等比数列的证明 1.1证明周为分+=2么+1，即2S.十d=2a十n①， 当n≥2时，2S,-1+(n-1)2-2(n-1)am-1十(n-1)②， ①-②得，2Sn十n2-2S,-1-(n-1)2=2nan十n-2(n-1)am-1- (n-1), 即2an+2n-1=2na,-2(n-1)an-1+1, 即2(n-1)a,-2(n-1)an-1=2(n-1),所以a,-a-1=1,n≥2且 n∈N*, 所以{an}是以1为公差的等差数列. (2)解由(1)可得a1=a1十3，a7=a1十6，ag=a1十8， 又a1,a?,ag成等比数列，所以a号=a1·a4, 即(a1十6)2=(a1十3)·(a1十8)，解得a1=-12, 所以a=-13,所以3，=-12m+2》=士-空0 2 所以，当n=12或n=13时(Sn)in=一78. 2.解①③→②. 已知{an}是等差数列，a2=3a1. 设数列{an}的公差为d, 则a2-3a1=a1十d,得d=2a1, 所以S=a1十2n2卫d=ra 因为数列{an}的各项均为正数， 所以√Sn=n√a, 所以√Sn+1-√Sn=(n十1)√a-n√=√a(常数)，所以数列 {√Sn}是等差数列. 1 ①②→③. 已知{an}是等差数列，{√Sn}是等差数列. 设数列{am}的公差为d, 则s。=a+24=子rd叶(a号)n 因为数列{√Sn}是等差数列，所以数列{√S,}的通项公式是关于n 的一次函数，则a1一2 d =0,即d=2a1,所以a2=a1十d=3a1. ②③→①. 已知数列（√Sn}是等差数列，a2=3a1, 所以S1=a1,S2=a1十a2=4a1. 设数列{√Sn}的公差为d,d>0, 则√S-√⑤=√Aa-√a1=d,得a1=d, 所以√Sn=√S1十(n-1)d=nd, 所以Sn=nd2, 所以an=Sn-Sn-1=nd-(n-1)2d=2d2n-d(n≥2)，是关于 n的一次函数，且a1=d满足上式，所以数列{an}是等差数列， 3.证明由题意可知，数列{√Sn}的首项为√a1,设等差数列{√Sn 的公差为d, 则d=√S,-√Si=Va1+a2-a=√a 所以√n=√a1十(n-1）√a1=n√a1, 即Sn=a1·n2, a1,n=1, 所以a,-{5.5.1=(2m-10aw≥2. 即an=(2n-1)a1, 所以an+1一an=2a1,所以数列{an}是以a1为首项，2a1为公差的 等差数列. 4.(1)证明因为bn是数列{Sn}的前n项积， b… 所以n≥2时，5=6 +上=2可得，6十6 代入+ 2bn-1+1=2, 整里可得2h.1十1=26即6.-6-1=合m≥2). 号+==2，所以6=子， 又奇+6 故6}是以号为首项，号为公差的等差数到。 2 (2)解 2 所以Sn=”十2， n十1" 当1=1时a=S=受 当n≥2时a,=S。-S。-1=十n+1 n十1n n(n十1) 2n=1, 故an 1 （(n+),n≥2. 考向4等差数列、等比数列的综合问题 1.①③④[等差数列十等比数列十集合（理性思雏十数学探索） 对于①：由题知an,b是关于n的一次式，对应的函数为一次函数， 即点(n,an),(n,bn)分别在两条斜率均不为0的直线上，而这两条 直线最多有1个交点，所以M中最多有1个元素，所以①正确. 对于②：不妨取an=2”,bn=（-2)”,则有a26=2必=4，b2g= (-2)2=4(k∈N“),所以a2g=b2(k∈N“),此时M中有无数个 元素，所以②不正确. 对于③：由①知，点(n,a,)在一条斜率不为0 的直线l。上.设bn=b1g”-1(q≠1)，当公比 q>0时，直线。与数列{bn}对应的函数的 图象至多有2个公共点，M中最多有2个 元素；当q<-1时，点(n,bn)在如图所示 0 的曲线C1,C2上，由图易知直线10与曲线 C,C2至多有3个公共点，如当an=3n 4,bn=-1×(-2)”-1时，a1=b1=-1, 8 a2=b2=2,a1=b1=8,两个数列有3项相同，所以M中最多有3个 元素： 当g=一1时，易知M中最多有2个元素：当一1<g<0时，易知M 中最多有3个元素.综上可知，当{an}为等差数列，{bn}为等比数列 时，M中最多有3个元素，所以③正确. 对于④：若数列{an}为递增数列，致列{b}为递减数列，则它们对应 的函数分别为单调递增函数和单调递减函数，两个函数图象的公 共点最多有1个，所以M中最多有1个元素，所以④正确， 综上可知，正确结论的序号为①③④，] 2.等比数列的通项公式十Sm和an的关系 解(1)第1步：将关系式中的n换为n十1 因为2Sn=3am+1-3,所以2Sn+1=3am+2-3, 第2步：两式相减，利用Sn+1-S,=a,转化，求等比数列{an}的 公比 两式相减可得2an+1=3an+2一3am+1, 中a:=号a1,所以等比载列a的公比为。 5 第3步：利用S1=a1求出首项a1,进而得{an}的通项公式 因为2S1=3a2-3=5a1-3,所以a1=1,故an= () 2)调为25=13所以8=受u1-)=受[（停）广”-小 设数列{Sn}的前n项和为T,则Tm=立 3 号[-()] 1-号 2×(3)”子只 3.解(1)因为3a2=3a1十a4,所以3(a2一a1)=a1十2d, 所以3d=a1十2d,所以a1=d, 所以am=nd. 因为，十”，所以6，=心牛=中， an nd d, 所以5，=3a十a)_3d+3d=6d. 2 2 因为S3十T3=21, 所以6d+号-21，解得d=3或d=合， 因为d>1,所以d=3. 所以{an}的通项公式为an=3n. (2)因为6=十”，且6，}为等差数列， 所以%=6+6脚2X兰-兰+号 所以7所以d时-d计2=-0 解得a1=d或a1=2d. ①当a1=d时，a,=d,所以6，=十1=十nn+1 an nd d Sw=99(a,+am2_99d+99d=99X50d, 2 2 2100 T-996+62) 99×51 2 2 d 因为S4n一T4n=99, 所以99×50d-9X51=99, d 即50d2-d-51=0, 解得d品或d=一1（合去）. ②当a1=2d时a,=(n+1)d,所以6，=0十n=产十月=”】 a=(n+1)dd· 99(a1+a)_99(2d+100d2=99X51d. 2 2 T=996+6) (+) 99×50 2 2 d 因为S44一T4=99, 所以99×51d-99X50=99. d 即51d-d-50=0, 解得d=碧（合去）减d=1(合去) 综上，d=50 51 4.解(1)证明设等差数列{am}的公差为d, 由a2-b2=a3-b,知a1十d-2b1=a1十2d-4b1,故d=2b1, 由ag-b=b-a1,知a1十d-2b1=8b1-(a1+3d), 故a1+d-2b1=4d-(a1十3d);故a1十d-2b1=d-a1,整理得 a1=b1,得证. (2)由(1)知d=2b1=2a1, 由bs=an十a1知b1·2*-1=a1十(m-1)·d十a1 即b·2*-1=b1十(m-1)·261十b1,即2-1=2m, 因为1≤m≤500，故2≤2-1≤1000，解得2≤k≤10 故集合{kb=am十a1,1≤m≤500}中元素的个数为9个. 5.解(1)若m=5,则对于任意n∈{1,2,3,4,5}， a2=1,a1=2,a1十a2=2+1=3,a3=4,a2十a3=1十4=5， 所以Q是5一连续可表数列： 由不存在任意连续若千项之和相加为6，所以Q不是6一连续可表 数列： (2)反证法：假设k的值为3，则a1,a2,a3最多能表示a1,a2,a, a1十a2,a?十aa1十a2十a?共6个数字，与Q为8-连续可表数列 矛盾，故k≥4： 现构造Q:1,2,3,4可以表达出1,2,3,4,5,6,7,8这8个数字，即 存在k=4满足题意，故k的最小值为4： (3)以下先证明k≥6： 从5个正整数中，取一个数字只能表示自身，最多可表示5个数字， 取连续两个数字最多能表示4个数字，取连续三个数字最多能表示 3数字， 取连续四个数字最多能表示2数字，取连续五个数字最多能表示1 数字， 所以对任意给定的5个整效，最多可以表示5十4十3十2十1=15个 正整数，不能表示20个正整数，即k≥6， 若k=6,最多可以表示6十5十4十3十2十1=21个正整数， 由于Q为20-可表数列，且a1十a2十ag十…十ag20, 所以有一项必为负数， 既然5个正整数都不能连续可表1一20个正整数， 所以至少要有6个正整数连续可表1一20个正整数 所以至少6个正整数和一个负数才能满足题意，故k≥7 6.解(1)因为S1-2a2a3十6=0，a1=-1, 所以-4十6d-2(-1+d)(-1十2d)+6=0, 所以d-3d=0,又d>1, 所以d=3, 所以an=3n-4, 所以S.=a+a,)”3m2-5n 2 2 (2)因为a,十cn,an+1十4cn,an+2十15cn成等比数列， 所以(am+1十4cn)2=(an十cn)(an+2十15cn), (nd-1+4cn)2=(-1+nd-d+cn)(-1+nd+d+15cn), c+(14d-8nd+8)cn+d2=0, 由已知方程c十(14d-8nd十8)cn十d=0的判别式大于等于0， 即△=(14d-8nd+8)2-4d2≥0， 所以(16d-8nd十8)(12d-8nd十8)≥0对于任意的n∈N"恒 成立， 所以[(n-2)d-1][(2n-3)d-2]≥0对于任意的n∈N“恒成立， 当n=1时，[(n-2)d-1][(2n-3)d-2]=(d+1)(d+2)≥0， 当n=2时，由(2d-2d-1)(4d-3d-2)≥0，可得d2, 当n≥3时，[(n-2)d-1][(2n-3)d-2]>(n-3)(2n-5)≥0， 又d>1,所以1<d2 7.解(1)因为bn=a2n,且a1=1,am+1= an十1，n为奇数， (an十2，n为偶数， 所以b1=a2=a1十1=2， b2=a1=a3+1=a2十2+1=5. 因为bn=a2m· 所以bn+1=a2n+2=an+1+1=a2n+1十1=a2n十2+1=agn十3， 所以b,+1-bn=a2n十3-a2n=3, 所以数列{b}是以2为首项，3为公差的等差数列， 所以bn=2十3(n-1)=3n-1,n∈N“. (an十1，n为奇数， (2)因为a+1={a,十2n为偶数， 所以k∈N时，a2g=a2s-1+1=a张-1十1， 即a24=a2k-1十1， ①1 a2k+1=a2k十2， @ a2k+2=a2k+1+1=a2k+1十1，即a2k+2=a2g+1十1， 所以①十②得a2k+1=a2k-1十3，即a2张+1一a2k-1=3, 所以数列{an}的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列： ②十③得a2+2=a2十3，即a2+2一a2k=3, 又a2=2,所以数列{an}的偶数项是以2为首项，3为公差的等差 数列. 所以数列{an}的前20项和S20=(a1十a3十a5十…十a1)十(a2十 a,+a6+…+a)=10+10X9×3+20+10X9×3=30. 2 2 专题13数列的通项与求和 考向1数列的通项 1.B[等差数列的通项公式十等差数列的前n项和公式根据S?= 3a2=6得a2=2,根据S5=5a3=一5得ag=-1,所以{an}的公差1 d=-a3-a2=-3,所以a6=a十3d=-10,所以S6=S十a6= -5-10=-15.] 2.AD[等比数列的通项公式十前n项和公式 A(W)根据5，=a1十a十a=g2+4+a=之+1十1=7，得 6g2-g-1=0,即(2g-1)(39十1)=0，因为9>0，所以g=2· 错误项分析5X)a,=ag=1×(合)）-子 错误项分折C(X)a=导=4，所以S=1 1-9 4-2)31 1- 4 Da,=ag=4x(）==28-g2 1-g 】-(信门8器8+ 1一2 Sn=8.] 3.2[等比数列前n项和公式十等比数列前n项和的性质 解法一（基本量法）设等比数列为{an},其公比为g,前n项和为 Sn,因为等比数列{an}的各项均为正数，所以q>0,又S1=4,S8=! 68,所以g≠1.由S,=4得104-4①，由S=68得 1-g 28®票得号-学脚1+9心=1+ 1-9 =17,所以g=16,又g>0,所以9=2. 解法二（等比数列前n项和性质法）设等比数列为{an},其公比为： g,前n项和为Sn,因为等比数列{am}的各项均为正数，所以g>0, 因为S1=4,S8=68,所以Sg-S1=64,因为S1,S8-S1,S12-S8, …成等比数列，且公比为g,所以g=S。S=64=16,又g>0, S 所以g=2.] 4.12[等差数列的前n项和解法一该数列的前6项和为6X (-3)+5×2=12. 解法二a6=a1十5d=-3十10=7，则该数列的前6项和为 6(a1十a)_6X(-3+72=12.] 2 2 5.解(1)设(a,}的公差为d,则=a十d=11 (S1o=10a1+45d=401 解得a1=13,d=-2. 12 所以{an}的通项公式为am=13十(n-1)·(-2)=15-2n. (2)由1)得1a,1={5-2n,n≤7 (2n-15,n≥81 当n≤7时，T.=13m+0",D×(-2)=14n-m. 2 当n8时，T,=T2十1十3十5+…+(2n-15)=T2+1十3+5十…十 [2(m-7)-1]=14×7-72+m7)1+2m-7)-1=98 2 14n十n2. 综上，Tn (14n-n2,n7 98-14n+n2,n≥8 考向2分组法求和 1.C[等差数列的通项公式与前n项和公式十an与Sn之问的关系 当n=1时，a1=S1=-1十8=7，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-n2 十8n-[一(n-1)2十8(n-1)]=-2n十9，显然a1=7也符合该式， 所以a,2n+9,所以a,{22”9"54,所以a,的前12 项和为7+)X4+1+15)X8-80,故选C] 2 2 2.解(1)设等差数列{am}的公差为d. an一6，n为奇数 国为b.={2a,n为偶数 所以b=a1-6,b2=2a2=2a1+2d,b3=a3-6=a1+2d-6. 因为S1=32,T3=16, 所以/4a1十6d=32 ((a1-6)+(2a1+2d)+(a1+2d-6)=16 、整理，得{+7，解得1=5 (d=2' 所以{an}的通项公式为an=2n十3. (2)由(1)知an=2n十3， 所以S,-5+(2m+3)】]=m2+4m. 2 当n为奇数时， T,=(-1+14)+(3+22)+(7+30)+…十[(2m-7)+(4n十2)]+ 2n-3=[-1+3+7+…+(2-7)十(2n-3)]+[14+22+30+…+ n+(-1+2m-3)”2(14++23+5m-10 2 2 (4n十2)]= 2 2 2 当n>5时，T.-S。=3m+5”-10-(m+4)=-31-10 2 2 (n-5)(n+22>0, 2 所以Tn>Sn. 当n为偶数时，T,=(-1+14)+(3十22)十(7+30)十…+[(2n一5)+ (4n+6)]=[-1十3+7+…+(2-5)]+[14+22+30+…+(4n十6)]= 兰(-1+25) (14+4+6)3r+7m 2 2 2 2 当n>5时，I,-s,=3m十7n-（㎡+4n)=”-n(nD>0. 2 2 2 所以Tn>Sn· 综上可知，当n>5时，T,n>Sn. 考向3裂项法求和 解1)S=a1=1,所以三-1， 所以侣}是首项为1公差为宁的等差发列 所以经-1+a0方"所以3。。 当≥2时0，=5，一51=子。， 所以aa,=6+1a片w≥ 累积法可得：a,n十1(m≥2)，又a1=1满足该式， 2 所以{a,}的通项公式为a,=nn十1) 2 (2)因为1=2