专题11 平面向量-【创新大课堂】2026年高考数学五年真题分类汇编168优化重组卷

专题11 考向1平面向量的概念与计算 1.(2024·新课标I卷，5分)已知向量a=(0,1), b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x= () A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.(2024·新课标Ⅱ卷，5分)已知向量a,b满足 |a=1,a十2b|=2,且(b-2a)⊥b,则|b|= ( A.司 R号 D.1 3.(2024·全国甲卷·理，5分)设向量a=(x十1， x),b=(x,2),则 A.x=-3是a⊥b的必要条件 B.x=一3是a∥b的必要条件 C.x=0是a⊥b的充分条件 D.x=一1+3是a∥b的充分条件 4.(2023·新课标I卷，5分)已知向量a=(1,1), b=(1,-1),若(a十b)⊥(a十b),则() A.入十u=1 B.λ十=-1 C.4=1 D.λ4=-1 5.(2023·全国甲卷·理，5分)已知向量a,b,c满 足|a=b|=1,c|=√2，且a十b十c=0,则 cos(a-c,b-c〉= A.-号 A号 c.号 D号 6.(2023·全国甲卷·文，5分)已知向量a=(3, 1),b=(2,2),则c0s(a+b,a-b〉=（) A责 B.7 17 C.5 .5 D.25 5 7.(2023·全国乙卷·文，5分)正方形ABCD的 边长是2，E是AB的中点，则EC·ED= A.5 B.3 C.2√5 D.5 8.(2022·全国乙（理）T3)己知向量a,b满足a=1, |b=√5，a-2b=3,则a·b= () A.-2 B.-1C.1 D.2 9.(2022·新高考I卷，T3)在△ABC中，点D在 边AB上，BD=2DA,记CA=m,CD=n,则 CB- ( 平面向量 A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3n 10.(2022·新高考Ⅱ卷，T4)已知向量a=(3,4), b=(1,0),c=a十b,若(a,c〉=(b,c〉，则t= ( A.-6 B.-5 C.5 D.6 11.(2025·全国卷Ⅱ，5分)已知平面向量a=(x, 1),b=（x-1,2x),若a⊥(a-b),则|a|= 12.(2025·天津卷，5分)△ABC中，D为AB中 点，C=}Ci,A店=a,AC=b,则A正= (用a,b表示)；若|AE|=5,AE⊥CB,则 AE.CD= 13.(2024·天津卷，5分)在边长为1的正方形 ABCD中，E为线段CD的三等分点，CE= DE,B正=ABA+rBC,则A+A= F为线段BE上的动点，G为AF中点，则 AF·DG的最小值为 14.(2024·上海卷，4分)已知a=(2,5),b=(6,k), a∥b,则k的值为 15.(2023·天津卷，5分)在三角形ABC中，∠A= 等，BC=1,D为线段AB的中点，E为线段CD 的中点，若设AB=a,AC=b,则AE可用a,b表 示为 若B-专BC,则A,京的最 大值为 16.(2023·新课标Ⅱ卷，5分)已知向量a,b满足 |a-b=5,a+b|=|2a-b,则|b|= 17.(2022·全国甲（理）T13)设向量a,b的夹角的 余弦值为3，且a=1,b=3,则(2a十b)· b= 18.(2021·全国甲卷理，5分)已知向量a=(3, 1),b=(1,0),c=a十b.若a⊥c,则k= 19.(2021·全国乙卷理，5分)已知向量a= (1,3),b=(3,4),若(a-b)⊥b,则入= 20.(2021·全国甲卷文，5分)若向量a,b满足a= 3,a-b=5,a·b=1,则|b1= 21.(2021·全国乙卷文，5分)已知向量a= (2,5),b=(入，4)，若a∥b,则入= 22.(2021·北京卷，5分)已知a=(2,1),b= (2,一1)，c=(0,1),则(a十b)·c= a·b= 23.(2021·上海卷，4分)如图，已知正方形ABCD的 边长等于3，则AB·AC= D B 考向2平面向量的应用 1.(2025·全国卷I,5分)帆船比赛中，运动员可 借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果 在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量 是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向 量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应 的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风 力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆 船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量 与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速 度大小，单位：m/s),则该时刻的真风为( ) 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.63.3 3 微风 3.45.4 4 和风 5.57.9 5 劲风 8.0≈10.7 图1 y 31 视风讽速 2 船速 0123 图2 A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 3 2.(2023·全国乙卷·理，5分)已知⊙O的半径 为1，直线PA与⊙O相切于点A,直线PB与 ⊙O交于B,C两点，D为BC的中点，若 |PO=√2，则PA·PD的最大值为 () A.1+2 B.1+22 2 2 C.1+√2 D.2+√2 3.(多选)(2021·新高考I卷，5分)已知O为坐 标原点，点P1(cosa,sina),P2(cosB,-sinB), P3(cos(a十)，sin(a十)，A(1,0),则() A.OP=OP2 B.API=AP2I C.OA·OP3=OP1·OP2 D.OA·OP1=OP2·OP3 4.(2025·上海卷，5分)已知函数f(x)= f1,x>0 0,x=0,a,b,c是平面内三个不同的单位向 -1,x<0 量.若f(a·b)+f(b·c)+f(c·a)=0,则 |a+b十c的取值范围是 5.(2021·浙江卷，4分)已知平面向量a,b,c(c≠ 0)满足|a=1,|b|=2,a·b=0,(a-b)·c= 0.记平面向量d在a,b方向上的投影分别为x, y,d一a在c方向上的投影为之，则x2十y2十2 的最小值是 6.(2021·全国乙卷文，12分)已知抛物线C:y2= 2p.x(p>0)的焦点F到准线的距离为2. (1)求C的方程； (2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 PQ=9QF,求直线OQ斜率的最大值. 2s∠AC-+匹+3名>1（合. 2ac 6a 综上，cos∠ABC-2 7 21.解(1)如图 B-EA b=2nB=2snCA-→C-吾-msmB=2m(-B (2b-2 sinB=-2nC2 nin C-1pmC号aB=号 6-2一6>→C是锐角，→msC=22 3 ①若B是钝角， →cosB= 5sin A=sin(r-B-C)=sin(B+C)-sin Bcos C+ 3 cos Bsin C 15=mC品5周长=a+6+(=8+ 9 3 3c=3+4√2+√⑤ ②若B是锐角， c0s B-5sin A5=sin Ca 3 9 sin A 3 →周长=a+b+c=3+3c=3+4√2-√5 综上所述，△ABC的周长为3十4V2士5. 2,解)由正弦定理品Bc得mC里， 又c=2 bcos B,所以sinC=2 sin Bcos B=sin2B, 又AB,C为△ABC的内角，C=要， 故C=2B(含)或C+2B=,即B=, 又A+B+C-,所以A=吾 (2)由(1)知，c=√3b,故不能选①. 选②，设BC=AC=2x,则AB=2√5x, 若故周长为(4十2√)x=4十2√5，解得x=1. 从而BC=AC=2,AB=2√5. 设BC中点为D,则在△ABD中，由余弦定理，得 COs B-AB+BD:AD:12+1-AD 2·AB·BD 45 2 解得AD=√T.故BC边上的中线长为√7. 若选③，设BC=AC=2.x,则AB=2√5x,故 5aw=72x·2·sn120-5-8y9, 4 解得x9从而BC=AC-尽，AB=3 设BC中点为D,则在△ABD中，由余弦定理，得 Cos B-AB+BDAD: 9+()-AD 2·AB·BD 3√3 2 解得AD=写故BC边上的中线长为四 2 专题11平而向量 考向1平面向量的概念与计算 1.D[向量垂直十向量的数量积十向量的坐标运算（理性思维、数学 探索) 1 解法一（向量法十坐标法）因为b⊥(b一4a),所以b·(b一4a)= 0,即b2=4a·b.因为a=(0,1),b=(2,x),所以b2=4十x2,a·b x,得4十x2=4x,所以(x-2)2=0,解得x=2,故选D. 解法二（坐标法）因为a=(0,1),b=(2,x),所以b一4a=(2,x) 4(0,1)=(2,x)-(0,4)=(2,x-4).因为b⊥(b-4a),所以b· (b-4a)=0,所以2×2十x(x-4)=0,所以(x-2)2=0,解得x= 2,故选D.] 2.B[向量的模十向量垂直条件的应用 由(b-2a)⊥b,得(b-2a)·b=b2-2a·b=0,所以b2=2a·b.将 a十2b=2的两边同时平方，得a2十4a·b十4b=4,即1十2b2十 46=1十61b1=4,解得1b1=之所以61-号，故选以.] 3.C[平面向量的坐标运算十充分、必要条件的判断（理性思雏、数 学应用、数学探索)a⊥b白x2十x十2x=0台x=0或x=一3，所以 工=一3是a⊥b的充分条件，x=0是a⊥b的充分条件，故A错误， C正确.a∥b台2x十2=x2台x2-2x-2=0台x=1士√5，故B,D 错误.] 4.D[因为a=(1,1),b=(1,-1),所以a十b=(1十入，1-入)，a十 b=(1十以，1-)，因为(a十b)⊥(a十b),所以(a十b)·(a十 h)=0,所以(1十入)(1十)+(1-A)(1一)=0，整理得4=一1. 故选D.] 5.D[,a十b十c=0,∴.c=-a-b,等式两边同时平方得2=a2十 b2+2a·b=1+1+2a·b,∴.a·b=0. 又a-c=a-(-a-b)=2a十b,b-c=b-(-a-b)=a+2b, ∴.(a-c)·(b-c)=(2a十b)·(a十2b)=2a2+5a·b+2b2=4,且 a-c|=|2a十b|=√/(2a+b)2=√4+1=W5,|b-c|=|a+2b|= √a+2b=1+4-5,∴.cos(a-c,b-c)=g0）:(h9 a-c·b-cT 号故选D.] 6.B[由题意知，a十b=(5,3),a-b=(1,-1),所以cos(a十b,a b=a+b:a=5X1+3XD-,2=,故选B.] a+b a-b 34×2 2√717 7.B[解法-由题意知，元=成+记=子A店+市成=成十 ò=2+ò所以武成=(2成+前)·（合 可)=-A,由题意知1=应=2，所以武· ED=4-1=3,故选B. 解法二以点A为坐标原点，AB,AD的方向分别为工，y轴的正方 向建立平面直角坐标系，则E(1,0),C(2,2),D(0,2),则EC=(1 2),ED=(-1,2),EC.ED=-1+4=3,故选B.] 8.C[,|a-2b12=a12-4a·b+4b2,又.a|=1,1b|=5, |a-2b|=3,∴.9=1-4a·b十4×3=13-4a·b,∴.a·b=1.故 选C] 9.B[因为BD=2DA,所有CB=CA+AB=CA+3AD=CA+ 3(CD-CA)=-2CA+3CD=2m十3n,故选B.] 10.C[因为a=(3,4),b=(1,0),所以c=a十b=(3十t,4).由题 意，得msae=m(6.e,即2时5-名解得1=5故 选C.] 11.√2[平面向量的坐标运算十向量的垂直，模a一b=(1,1 2x),根据a⊥(a一b),得a·(a-b)=x十1-2x=1-x=0,所以 x=1,所以a=2.] 12.日十子b-15[平面向量的线性运算十平面向量的数量积 A症-AC+C市=AC+号C市=AC+}(A市-AC)=号AC+ A店=a+号b 解法-：M应=525=（日a+号），即900=公2+166 十8a·b①，易得BC=b-a,A正⊥BC,A正.BC=0,即 (行4+号b）·0a)=0.得46-d-3a…b=0@,由①②得 2700=806-5a2,.166-d2=540,.A正·CD (后a+号）（分4b）=立c-8+2ab)=立[c 8+号(4-d)]-高(a-166)六×(-540)=-15. 解法二如图，延长AE交BC于点O,则AOL BC,以OC,OA所在直线分别为x,y轴建立平面直 角坐标系，设E(0,h),B(n,0),C(m,0),则A(0, +5,D(受生)市=（受m生） i=(-m4.C市-30成.号-m=-3m,生=3h,即n -4m,h=1,∴.CD=(-3m,3),又AE=(0,1)-(0,6)=(0,-5), AE.CD=-15. 解法三C=A店-AC=a-b,C市=A市-AC=号AB-AC 合4-b:从而A症=日a+号6=合a+4b)=吉[6a-) 5a-2b)]-C-5C,别C可=号(C-A面)，故A壶.C市 名A花.C-A)=-号A=-15.] 13号一是[平面向量的线性运年十 数量积（理性思雏、数学探索）坐标法 以点A为坐标原点建立如图所示的 G 平面直角坐标系， 则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1), (学)所=（令）耐 （一1,0)，成-(0，国为成=A威+：成，所以（合1） A(-10+0,).所以A=号=1.所以A+=÷由B1. 0,E(学，1）了得直线BE的方程为y=一3(x一1，设Fa,3 3a)(号<a）剥c(号，32)所以正=(a,3-a =(受)所以.D心=a…号+8a). 50a十号-5（号）广品所以当。=号时立，成承 得最小值，为最] 14.15[两向量平行因为a∥b,所以2k=5×6,得k=15.] 15,子a十合0号[因为E为CD的中点，所以症=号市+ 之C.国为D为AB的中点，所以亦=合，所以正-子A亦计 号a花.又店=a心=6，所以店=子+合b 周为亦=号成，所以市-店=号（花-，即求=号成+ 号衣号+b所以应亦-(4叶）（号+） 日G+高0·b+日6，在三商形ABC中，∠A=子，0=1， 设三角形ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则a= 1,a=c,b1=6,所以a·b=ccos号-空，由余孩定理得a2 B+2-26c0s号，即1=+2-x,所以+c2=bc+1,所以 A弦：A求=日a2+是a·6+吉6=言2+哥c十专B 合(k+1)+c=音c+行 在三商形中，由红孩定题得品气如专 1=25,所以 b25nBc-25aCk-青mnC合mB(号+B） 号（停B+1受2）-号[=（晋）+] 号m(2B若）十子，周为0<B<经，所以-音<2B吾 后，当2B音=会即乃=号时，c取得最大值.且最大位为1， 所以正，市的最大位为音十吉-是] 16.W5[由a-b=3,得a2-2a·b十b2=3,即2a·b=a2+b2- 3①.由a十b1=|2a-b|,得a2+2a·b+b2=4a2-4a·b+b2, 整理得，3a2-6a·b=0,结合①，得3a2-3(a2+b2-3)=0,整理 得，b=3,所以|b1=5.] 17.1[设a与b的夹商为0，因为a与b的夹角的余弦值为号，即 1 cos 0=3 又a=1.bl=3,所以ab=|a·1blms0=1X3×号=1， 所以(2a十b)·b=2a·b+b2=2a·b+|b|2=2×1十32=11. 故答案为：11.] 18.-9[c=(3.1)+(k,0)=(3+,1).周为aLc,所以a·c 3(3+k)+1×1=10+3k=0,得k=-10.] 19.号[法-a-b=(1-3x,3-4).(a-b)1b .(a-b)·b=0,即(1-3x,3-4)·(3,4)=0,.3-9x十12 16以=0，解得入=子 法二由(a-b)⊥b可知，(a-b)·b=0,即a·b-b=0,从而 A=:b_13):3_15=3 b2 32+42 255.] 20.3√2[由a-b|=5得(a-b)2=25,即a2-2a·b+b=25,结合 a=3,a·b=1,得32-2×1+b2=25,所以1b12=18,1b1= 32.] 21.号[法-（定义法）因为a∥，所以存在实数，使a=仙，即 8 （2,5)=a,4),得1=2解得 4k=5, 5 k= 法二（结论法）因为a∥b,所以2X4-5x=0,解得X=号.] 22.03[计算可得(a十b)·c=(4,0)·(0,1)=0,a·b=4 1=3.] 23.9[由数量积的几何意义知AB.AC=AB2=9.] 考向2平面向量的应用 1.A[新情境题十向量加法十向量模真风风 y 速对应的向量=视风风速对应的向量一船行 3视风风速子 风风速对应的向量=视风风速对应的向量十 船速对应的向量=AB,如图，AB|=2√2∈ (1.6,3.3),故选A.1 2.A[连接OA,由题可知OA|=1,OA⊥PA, 01233 因为OP|=√2，所以由勾股定理可得PA| 1,别∠POA=平.设直线OP绕点P按逆时针旋转0后与直线PD 重合，剥-开<0<开，∠APD=平+0，且PD=EosQ所以 i.Pò=1Pi11ò1o(停+）-coso(肾+） Eos0(号s0号n0）=os9tos0=+子s20 5 3.AC[由题意可知，1OP|=V√eosa+sina=1,1OP21 √osB十（一sin)7-1,所以1OP1=|OP,1,故A正确；取a= 子用（停）取要用P(竖) 则AP1≠AP21,故B错误：因为OA·OP=os(a十B),OP· OP,=cos acos月-sin asin-cos(a十，所以OA·OP=OP1.OP, 故C正确：因为O·OP=cosa,OP·OP=cos pos(a十) 如如a+》=a+9,取a=子，日=子则0成.0-号， O成.0屈-m平号所mi.0≠0m.0成D格 4 故选AC.] 4.(1,N5)[平面向量的运算若fa·b)=f(b·c)=f(c·a)=0, (f(a·b)=1 则a,b,c两两垂直，在平面内显然不成立；不妨设{f(b·c)=0, (f(c·a)=-1 a=(cos a,sin a) 即不妨设{b=(0,1) ,则∫sina>0 c=(1,0) {os0可得a(受+2张 π十2kπ，k∈Z,则|a十b+c|=√(1十cosa)2+(1十sina)z √2Esn(e+)十3，由a∈（受+2，x+2kx）k∈Z,得a叶 子∈（要+2x,+2x及∈z.故m(+于） (99）√gm(e+）+3c.p1ah+1的 取值范围为(1,5).] 5号[由1a=1,b1=2,a6=0,不坊夜a=1,0,b=(0,2,所 以a-b=(1,一2).因为(a-b)·c=0,所以可取c=(2m,m)(m> 0).因为向量d在a,b方向上的投影分别为x,y,所以可得d=(x, y),所以d一a=(x-1y),则=d）·c=2红±y2,所以2x十 e 5 y-5x=2,由柯西不等式可得2x十y-5:=2≤ √2+1+(-5)2.√+y+2,化简得x2+y+2≥0 .4 T y 2 5 号，故十十的最小位为号] 6.解(1)由抛物线的定义可知，焦点F到准线的距离为p,故p=2, 所以C的方程为y2=4x. (2)由(1)知F(1,0),设P(1y1),Q(2,2), 则PQ=(x2-Ay2-),QF=(1-2,-y2). 因为P=9Q亦，所以1=9(1-， %-y1=-92, 可得了0=102-9， (y1=102, 又，点P在抛物线C上，所以=4x1, 即10)2=410：一9，化简得8=号4：另 则点Q的税莲方程为广=子，需 设直线0Q的方程为y=,易知当直线0Q与曲线y”号2 9 相切时，斜率可以取最大. 联立y=与y2=号消，得号十品=0 9 令4=（号）—40·务=0解得=士分 所以直线OQ斜率的最大值为3 专题12等差数列与等比数列 考向1等差数列、等比数列的基本运算 1.C[设等比数列{an}的公比为g(g≠0)，由题意易知g≠1，则 〔a11-g2=-5 1-9 9=4 a1(1-g)」 1-9 21ד11-g),化简整理得 a ,所以S8 (1-9-3 1-9 a1(1-g8)1 1-g =3×(1-4)=一85.故选C.] 2.C[若该数列的公比q=1,代入S；=5S:-4中，有5=5×3-4， 不成立，所以1.由号=5X号一4：化商得g-5对十4 0,所以g2=1(舍)或g2=4,由于此数列各项均为正数，所以g=2, 所以s,号-1返故透C] 3.C[由a2十a6=10,可得2a1=10,所以a1=5,又a1a8=45,所以 as=9.设等差数列(a,}的公差为d,则d=g4=95=1,又 8-44 a1=5所以a=2所以S=5a1+5兰×d=20,故选C] 4.B[由题意得a,=a十2(n-1),c0sa+ ms(a+号a+2)）-cos(a+号a+号)）=co(a+子1十 2x- 为周期的周期数列，又0sa=c0s(a+否) 2 cos a1- 9na,osa=os(au十）=子sa+9sna,为 合S中只有两个元素，所以有三种情况：cosa1=cosa2≠c0sa3, c0sa1=c0sa3≠c0sa2,c0sa2=c0sa≠cosa1.下面逐一讨论： 3 ①当cosa41=c0sa,≠c0sa,时，有c0sa1=-zc0sa1-号sina1 1 得tana1=5所以ab=cosa2cosa十号sina月 合csa+5 in 1 os2x1十士2sn红1c0s27— sina1十cosa1 1 13 22 tan'a1 3十1 2 ②当cosa1=c0sa3≠cosa2时，有cosa1= 2cosa+ sima' 得tan1=5,所以ab=cosa（一2cosa4 3 sin a 1 1 cos2a1号sna1c0541一 2 cos'a12 sin ai cos ai sina1十cosa1 15 3 2-2tana1一zz tana1十1 3十1 2 3 ③当c0sa2=c0sa≠c054时，有-20sa1 2 sin a= 2cosa1十 3 3. 受na,得na=0.,所以h=sa（zosa号sn4) 7cosa=-7(1-sina1)=-7 综上，ab=-,故选B.] 5.C[因为an+1-2Sn十2，所以当n≥2时，n=2Sn-1十2，两式相减 得an+1一am=2an,得a+1=3an,所以数列{an}是公比g=2出=3 的等比数列.当n=1时，a2=2S1十2=2a1十2，又a2=3a1,所以 3a1=2a1十2，解得a1=2,所以a1=a1g=2×3=54,故选C.]