专题10 解三角形-【创新大课堂】2026年高考数学五年真题分类汇编168优化重组卷

专题10 考向1正、余弦定理的简单应用 1.(2025·全国卷Ⅱ，5分)在△ABC中，BC=2, AC=1十√3，AB=√6，则A= ( A.45 B.60 C.120 D.135° 2.(2024·全国甲卷·理，5分)在△ABC中，内角 T A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=,b2= ac,则sinA+sinC= 9 圜 A.239 13 B零 n沿 3.(2023·全国乙卷·文，5分)在△ABC中，内角 p A,B,C的对边分别是a,b,c,若acos B-bcos A =c,且C=晋，则B= A是 B于 c语 D. 款 4.(2021·全国甲卷文，5分)在△ABC中，已知 B=120°，AC=√19，AB=2,则BC= 量 A.1 B.√2 C.5 D.3 5.(2022·全国甲（理）T16)已知△ABC中，点D 在边BC上，∠ADB=120°，AD=2,CD=2BD. 当S取得最小值时，BD= 6.(2021·浙江高考，6分)在△ABC中，∠B= 60°，AB=2,M是BC的中点，AM=2√5，则 赵 AC= ;cos∠MAC= 7.(2021·全国乙卷理，5分)记△ABC的内角A, B,C的对边分别为a,b,c,面积为√3，B=60°， 洲 a2十c2=3ac,则b= 考向2正、余弦定理的实际应用 1.(2021·全国乙卷理，5分)魏晋时期刘徽撰写 的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第 尔 一题是测量海岛的高.如图，点E,H,G在水平 线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等 母 高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表 距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的 差称为“表目距的差”，则海岛的高AB= 解三角形 、D C 表高×表距 A.表目距的差 表高 B. 表高×表距 表目距的差 一表高 C袭商要+表距 表高×表距 D.表目距的差 一表距 2.(2021·全国甲卷理，5分) 2020年12月8日，中国和 尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰 最新高程为8848.86（单位： B m).三角高程测量法是珠峰 -4 高程测量方法之一，如图是三角高程测量法的 一个示意图，现有A,B,C三点，且A,B,C在同 一水平面上的投影A',B,C满足∠A'CB'= 45°，∠A'B'C'=60.由C点测得B点的仰角为 15°，BB'与CC的差为100；由B点测得A点的 仰角为45°，则A,C两点到水平面A'B'C‘的高 度差AA'-CC约为（√3≈1.732） ( ) A.346 B.373 C.446 D.473 3.(2025·上海卷，5分) (非上海考生不作要求) 杆 小申同学观察发现，生 活中有些时候影子可以 完全投射在斜面上.某 斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的 杆子，与斜面的接触点分别为A,B,它们在阳 光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光.其 中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米； 另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45 米.则斜面的底角0= .(结果用角度制 表示，精确到0.01°) 4.(2024·上海卷，5分)海上有灯 塔O,A,B,货船T,如图，已知AB 在O的正东方向，B在O的正北 方向，O到A,B的距离相等， ∠BTO=16.5°，∠ATO=37°，则0 ∠BOT= ·(结果精确到0.1°) 5.(2022·浙江卷，T11)我国南宋著名数学家秦 九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把 这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统 数学的一个空白.如果把这个方法写成公式，就 是s=[2a2-(门其中a,6.c 是三角形的三边，S是三角形的面积.设某三角 形的三边a=√2，b=√5，c=2,则该三角形的面 积S= 考向3正、余弦定理的综合应用 1.（多选)(2025·全国卷I,6分)已知△ABC的 面积为子c0s2A十c0s2B十2sinC=2 cos Acos Bsin C=-千，则 A.sin C=sin2 A+sin2 B B.AB=√2 C.sin A+sin B6 2 D.AC2+BC2=3 2.(2024·全国甲卷·文，5分)在△ABC中，内角 A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=号b= 4ac,则sinA十sinC- A.239 B.39 D.33 13 13 C. 13 3.(2023·全国甲卷·理，5分)在△ABC中，∠BAC 60°，AB=2,BC=√6，∠BAC的角平分线交BC于D, 则AD= 4.(2025·天津卷，14分)在△ABC中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知asin B=√3 bcos A, c-2b=1,a=√7. (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求sin(A十2B)的值， 5.(2024·新课标I卷，13分)记△ABC的内角 A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinC= 2cos B;a2+62-c2=2ab. (1)求B; (2)若△ABC的面积为3十√3，求c. 6.(2024·新课标Ⅱ卷，13分)记△ABC的内角 A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA十√3cosA =2. (1)求A; (2)若a=2,W2 bsin C=csin2B,求△ABC的 周长 7.(2024·北京卷，13分)在△ABC中，内角A,9.(2023·新课标I卷，10分)已知在△ABC中， B,C的对边分别为a,b,c,∠A为纯角，a=7,A+B=3C,2sin(A-C)=sinB. sn2B-月s月 (1)求sinA; (2)设AB=5,求AB边上的高. (1)求∠A; (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中 选择一个作为已知，使得△ABC存在，求 △ABC的面积. 条件①：b=7: 条件②：cosB=13, 149 条件③：csin A=5E 2 :10.(2023·新课标Ⅱ卷，10分)记△ABC的内角 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0 A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC面 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按 积为√3，D为BC的中点，且AD=1. 第一个解答计分 I)若∠ADC=子，求1amB: (2)若b2十c2=8,求b,c. 8.(2024·天津卷，14分)在△ABC中，角A,B,C 所对的边分别是a,6.已知csB=是=5,1.2023·会国甲套·文，12分)记AC的肉角 -号 A,B.C的对边分别为a,6c,已知十c0=2. cos A (1)求bc; (1)求a的值； (2)求sinA的值； (2)若acos B-bcos A-么=1，求△ABC acos B+bcos A c (3)求cos(B-2A)的值. 面积. 27 12.(2023·全国乙卷·理，12分)在△ABC中，已14.(2022·全国乙（文）T17)记△ABC的内角A, 知∠BAC=120°，AB=2,AC=1. B,C的对边分别为a,b,c,已知sin Csin(A (1)求sin∠ABC; B)=sin Bsin(C-A). (2)若D为BC上一点，且∠BAD=90°，求 (1)若A=2B,求C; △ADC的面积. (2)证明：2a2=b2+c2」 13.(2023·天津卷，14分)在△ABC中，角A,B, :15.(2022·全国乙（理）T17)记△ABC的内角A,B, C所对的边分別是a,b,c.已知a=√39，b=2, C的对边分别为a,b,c,已知sin Csin(A-B)= A=120°. sin Bsin(C-A). (1)求sinB的值； (1)证明：2a2=b2十c2; (2)求c的值； (3)求sin(B-C)的值. (2若a=5,0sA-引求△ABC的周长。 28 16.(2022·新高考I卷T18)记△ABC的内角A,B,C:18.(2022·北京卷T16)在△ABC中，sin2C= 的对边分别为a,bc,已知十snA1十cos2B cos A sin 2B √3sinC. (1)求∠C: (1)若C 2π，求B: (2)若b=6,且△ABC的面积为6√3，求△ABC 的周长 2)求2士6的最小值 靴 17.(2022·新高考Ⅱ卷，T18)记△ABC的三个内 角分别为A,B,C,其对边分别为a,b,c,分别 以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次 蠻 为5品5，已知S-s十5-县mB= 19.(2022·浙江卷T18)在△ABC中，角A,B,C所 (1)求△ABC的面积； 对的边分别为a,b,c.已知4a=√5c,cosC= 3 (2)若sin Asin C=2. 3,求6 (1)求sinA的值； (2)若b=11,求△ABC的面积. 摇 29 20.(2021·新高考卷I,12分)记△ABC的内角22.(2021·北京卷，13分)已知在△ABC中，c= A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点 2bcos B.C=2x D在边AC上，BDsin∠ABC=asin C. 3 (1)证明：BD=b. (1)求B的大小； (2)若AD=2DC,求cos∠ABC. (2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使 △ABC存在且唯一确定，并求BC边上的中线 的长度 ①=：@周长为4+25，③面积为Sx-35. 4 21.(2021·上海卷，14分)在△ABC中，已知a= 3,b=2c,a,b,c分别是角A,B,C所对的边. 1)若A-2,求△ABC的面积： (2)若2sinB-sinC=1,求△ABC的周长. ! 30第3步：写出x,f(x),f(x)的关系 所以x,f'(x),f(x)的关系如表所示： 0 0,6 6 (] (x) 大于0 0 小于0 f(x) 单调递增极大值 单调递减 第4步：求f(x)在区间[0， π1 的最大值 5π=35 因为f()=5cos-co 所以函教f(x)=5cosx-c0s5x在区间[0，开]的最大值为3. 解法三第1步：求导并化简 由题得f'(x)=-5sinx十5sin5.x=5×2cos 2 10sin 2xcos 3x, 第2步：写出x,f(x),f(x)的关系 由re[, ],得$in2x≥0，故x,f(x),f(x)的关系如表所示： 0 (] f(z) 0 大于0 0 小于0 f(x) 单调递增 极大值 单调递减 第3步：求)在区间[0，牙]的最大值 因为f(告）=5c0s吾-os要-35。 所以函数f()=5c0sx-c0s5x在区间[0，牙]的最大值为35. (2)解法一第1步：根据周期性写出a的范围 因为余弦函数的周期为2π，所以不妨设a∈(0,2π] 第2步：分a≤20和a>20两种情况讨论 当a≤20时，a-≤0，则0∈[a-0,a十θ)，此时存在y=0,使得 c0sv=co50:(6分) 当a>20时，0a-0s≤2x-0, 作出余弦函数的大致图象（如图所示）， a-62m-0 所以c0s(a-0)c0s0, 只需要取v=a-0,即可得到cosy≤cos日. 第3步：得出结论 综上可得，给定θ∈(0，π)和a∈R,存在v∈[a-0,a十0们使得cosy ≤cos6. 解法二（反证法）第1步：假设结论不正确 假设cosy>cos0对任意y∈[a-0,a十]恒成立， 第2步：根据余弦函数的图象与性质得出y的取值范围 由cos y>cos0得2kπ0y<2kπ十0，k∈Z,这与a∈R,任意y∈ [a-0,a十0]矛盾， 所以假设不正确，故一定存在y∈[a-0,a十们使得cosy≤cos0. 解法三（综合法）第1步：利用两角和与差的余弦公式探寻关系 因为cos(a十0)+cos(a-0)=2 cos acos0s≤2cos0, 所以cos(a十0)与cos(a-0)中必有一个小于等于cos0. 第2步：反证法证明以上结论 否则cos(a+0)>cos0,cos(a一0)>cos8,这与cos(a十)+cos(a- 0)=2 cos acos02cos0矛盾. 第3步：得出结论 所以一定存在y=a-0或y=a十0，使得c0s≤cos0, 所以对于给定0∈(0，π)和a∈R,存在v∈[a一0，a十]使得cos≤ cos 0. (3)第1步：特殊值=0探路 令h(x)-5cosx-cos(5x十p),当p=0时，因为h(x)=h(-x), h(x)=h(x十2π)，所以h(x)为偶函数，且2π为h(x)的周期，所以 诗论(x)在[0,2m)上的情况，由(1)可知(x)在(0，否)上单调 1 递增，在（侣，晋）上单洞递减，在（语）上单洞运增，站合对称 性，及h(π)=一4，可知x∈[0,2π)时(x)≤3√5，所以此时b的最 小值为3√5. 第2步：根据©的任意性，将问题进行转化 要证35为b的最小值，对于任意的p,只需要证明h(x)的最大值 不小于3√， 只需要证明存在x0,使得h(x0)≥3√3. 第3步：利用(2)的结论进行求解 当xo|≤6时，令yo=5xo十9，则% [+晋+] 由2)可知取0=晋a=,可得在[十9吾+9] 得co5yo≤cos6 2 所以hxo)=5c0s0-c0s(5十g)=5c0s-cos≥5XY9 2 (9）=35 综上可得，bin=3√3. 专题10解三角形 考向1正、余弦定理的简单应用 1.A[余弦定理的应用通解cosA=+B)+6二4 2(1+√5)X√6 号周为0<A<1,将以A=5 光速解I0秒（根据边的大小关系排除）因为BCAC,BC AB,所以A为最小角，所以A<60°，排徐B,C,D,故选A.门■ 2.C[正、余弦定理在解三角形中的应用（理性思雏，数学探索）由 正弦定理得号sin Asin C=inB,因为B=子，所以sin Asin C- 合inB=号由参孩定理得=d+e一2=a+ ac=号ac,所以d2+e-9ac,所以sinA+sinC-=9 in Asin C, 所以(nA+snCy=sidA+snC+2nAnC=头inAsin C- 子又mA>0:mC0,所以知A十血C9] 3.C[因为acos B-bcos A=c,所以由正弦定理得sin Acos B sin Bcos A=sinC=sin(B+A),则2 sin Bcos A=0.在△ABC中， sinB≠0，则cosA=0,A=受.所以B=元-A-C=x-受-于= 晋故选C门 4.D[法一由余弦定理得AC=AB十BC2-2AB·BCcos B,得 BC十2BC-15=0,解得BC=3或BC=-5(舍去).故选D. 法二由正弦定理品得C-ABicB从 AC 9 而osC-4四(C是锐角)，所以sinA=sin[x-(B+C]= 19 sin(B+C)-血sc叶nC-号×1S子×g 19 3又所以C=AC4-8我意D sin B 5.√5-1[设CD=2BD=2m>0,则在 △ABD中，AB=BD十AD-2BD ·ADeos∠ADB=m2十4+2m,在 △ACD中，AC2=CD十AD2-2CD· B AD c0s☑ADC三4n+4-4m,所以C与 4n+4-4m_4(m2+4+2m)-12(1十m)=4- 12 m2十4十2 m2十4十2m 3 (m十1)十m十 12 4 ==4一2√3，当且仅当m十1= 3 2√m+1)·m中 8 厅-1时，等号成之，所以当侣取最小值时，m=厅-1故答案为： 5-1.] 6.2523型[由∠B=60,AB=2,AM=25,及余弦定理可 13 得BM=4,因为M为BC的中点，所以BC=8.在△ABC中，由余 弦定理可得AC2=AB十BC2一2BC·AB·c0sB=4十64-2X 8X2X2=52,所以AC=2√13，所以在△AMC中，由余弦定理 假cos∠MAC=AC十AMMC-52+1216=2Y539.] 2AC·AM 2×2√13×2w3 7.2E[由题意得Sac=合acsin B=9。 ac=3,则ac=4,所以 a2+c2=3ac=3×4=12,所以6=a2+c2-2 accos B=12-2×4 1 =8,则b=22.] 考向2正、余弦定理的实际应用 1.A[因为FG/AB,所以铝气，所以GC-·CA.周为DE/ AB,所以器需所以H-浩·AH又DE-FG,所以GCEH 需·CAAn-器·HC-器·(G+a-.c-H+ h DE GC).由题设中信息可得，表目距的差为C一EH,表高为DE,表距为 G,剩上式可化为，表目距的差=表高×（表距十表目距的差），所以AB= AB 表高 表商×表距十表高，故 表目距的差义（表距十表目距的差）=表目距的差 选A.] 2.B[如图所示，根据题意过C作CE∥CB',交 BB于E,过B作BD∥A'B',交AA'于D,则 BE100.C=CE=09在△A'C'B中. D B ∠CA'B'=180°-∠A'C'B'-∠A'B'C'=75, 剧BD=AB一CB·m45,又在B志处测字一 C sin 75 A点的仰角为45，所以AD=BD=CB:n45,所以高度羞A4 sin 75 100 CC=AD+BE=CB:45"+100=amF·s血45 +100= sin 75 sin 75 100sin45十100= 10×号 +100=100(√3+1)+ sin15° 100≈373.] 3.12.58°[三角函数的应用解法一设平行光与水平 面的夹角为a,由点A处杆子在水平面上的影子长度为 0.4来，得m。品子点B处杆子的影子完金在针 1 面上，长度为0.45米，如图，BF=0.45,B0=0.45sin0, OF=0.45cos0·tana=an∠BF0=1+0.45sin0 0.45c050 之，结合 sin20十c0s20=1,解得0≈12.58° 解法二如图，由题可设∠D=∠E=α， E ∠EFB=R.在Rt△DAC中，AC=0.4,D AD=1,期ana=号，a= 2 cos。cL A 5在△BEF中，BF=0.45,BE=1,则。=0.45，剥sm月= √29 sin B sin a 40 0V厉cos望，则cos0os(径aP=n(a+ 9v29 naos计c0 sasin月=2V70+200,解得012.58.] 261 4.7.8°[正弦定理十三角恒等变换十弦化切（理性思维、数学应用） 设∠B)T=0,则∠AOT=90°-0，在△BOT中，由正弦定理得 OB OT OA sim16.Fsin(16.5+,在△A0T中，由正弦定理得sn37 mC3790“0=0B.两文相珍得曲品 OT 1 8m6.5+0,sin37”sin(16.5°+0)=sin16.5°sin(37°+90 sin(37°+90°-0) 8),sin0(cos16.5°-sin16.5)sin37°=cos8(c0s37°-sin37) 1 sin 16.5,.'.tan an37-1 ≈0.1376，又0为锐角，.0 an16.5-1 7.8°.] 5. 23 4 [为s√-(+)] 所以S= 故答案为，四] 4 考向3正、余弦定理的综合应用 1.ABC[三角恒等变换十解三角形 A(/)【如何判断A选项呢？发现所给式子中有2A,2B,考虑利用 余弦的二倍角公式化简变形即可判断】cos2A十cos2B十2sinC 1-2sin2A十1-2sin2B+2sinC=2,所以sinA+sin2B=sinC. B(√)【根据正弦定理得出a2十b≥c2,利用分类讨论的方法判断 出a十6=2，得出C=受，再结合题目中的第三个条件 c0 s Acos Bsin C=子，选而求解】令a=BC,b=AC,c=AB,剥 sin A-sin B-sin C=2R(R为△ABC的外接图丰径)，由sn'A十 sin2B=sinC,得a2十b2=c·2R≥c2.若a2十b2>c2,则△ABC为 能角三角形，则A+B>受，即A>受-B,则sinA>sim受-B =cosB,所以sinC=sin2A十sin2B>cos2B十sinB=1,矛盾.故 a'+6=2,即C=A+B=受，所以c0s(A+B)=c0 s Acos B sin Asin B=-0,又Acos Bsin C=--cos Acos B-=子，所以sin Asin B =为Sac=C=b=，所以ab=，所以 1 sin Asin B=(2R)2= ab =2，所以2R=瓦，所以c=2R·nC 4 =√2. C(√/)【一般情况下，多选题各个选项之间有关联，所以利用选项A 及选项B中sin Asin B=有可以作出判断】(sinA十sinB)P= sin'A+sin'B+2sin Asin B-sin C+2sin Asin B1 号，所以sinA十血B-5。 错误项分析D(X)【在直角三角形中，利用勾股定理可快速作出 判断】AC十BC2=AB=c2=2.故选ABC.] 2.C[正、余弦定理在解三角形中的应用（理性思雏、数学探索）由 正弦定理得号sin Asin C=sinB,因为B=子，所以sin Asin C- 9sin2B=3.由余弦定理得b2=a2+c2-2ac·cosB=a2十c2 4 ac,所以a+e2=是ac,所以sin2A+sn2C=nAnC ac=9 4 所以(sinA十sinC)'=simA+n'C+2 2sin Asin C=2头si Asin C= 4 ,又sinA>0,inC>0,所以sinA十nC=7.] 7 2· 3.2[解法-由余弦定理得c0s60=2×2AC,整理得AC 2AC-2=0,得AC=1+5.又SaAc=SABD十S△D,所以号× 2ACin60°=号×2 ADsin30°+号ACX ADsin30,所以AD= 25AC_23×(1+82=2. AC++2 3+√3 9 标法二由商手分线定理得铝是又D十CD=后，所以BD 品CD-4S由角肀分我长公式得AD=ABX AC 2√6 12AC BDXCD=-2ACAC+2.又由解法一知AC1+B,所以AD 2+25-12X0⑤=2+25-(25-2)=4，所以AD=2.] (3+3)2 4,正弦定理与余弦定理十同角三角函数的基本关系十二倍角公式十 和角公式 解(1)第1步：求tanA的值 因为asin B=√3 bcos A, 所以由正弦定理可得sin Asin B=√3 sin Bcos A, 因为B∈(0，π)，所以sinB>0,所以sinA=√3c0sA, 所以tanA=√5. 第2步：确定角A的值 又国为A∈(0，)，所以A=哥 (2)第1步：由余弦定理求b 因为6一2h=1a=厅，0sA=子，所以由a=8+e2-2hc0sA 可得7=8+(25+1)2-26(26+1)×之，化简得6+6-2=0， 又b>0,故b=1. 第2步：求c的值 由c=2b十1，得c=3. (3)第1步：由正弦定理求sinB 南江定显品流得动B解行如 1 ②1 4 sin 第2步：由同角三角函数的基本关系求cosB 因为b=1<3=c,所以B为锐角，6osB=√个一sinB=5 141 第3步：由二倍角公式求sin2B和cos2B sin 2B=2sin Bcos B= 53 14 11 cos 2B=2 cos'B-1-4 第4步：利用和角公式计算sin(A十2B) 所以sin(A+2B)=sin（5+2B）=sin号cos2B+cos子sin2B =5×1+1×554 2X14十2X14 7 5.正弦定理十余弦定理十三角形的面积公式（理性思维、数学探索） 解(1)第1步：利用余弦定理求C 由余孩定理得c0sCa+6C=区 2ab -2” 又0<C<C-平 第2步：将C代入已知等式求B 6os=如C=号msh= 1 又0<B<,B=子 (2)第1步：求A 由1)得A=元一B一C-受， 第2步：利用正弦定理得出a,c的关系 由正孩定里品品C得E升 ”+互 第3步：利用三角形面积公式求c △ABC的面教S=之mB-1中。×9=3十，得( 4 2 2√2. 1 6.辅助角公式十同角三角函数的基本关系十正弦定理（理性思维、数 学探索》 解(1)解法一（辅助角法） 第1步：利用辅助角公式化简已知等式 由SmA+5sA=2,得2snA+9sA=1, 所以A+号）=1. 第2步：判断角的范围，求出角A的大小 因为0<A<,所以<A十<智 3 所以A+号=受，故A=吾 解法二（同角三角函效的基本关系法） 第1步：利用同角三角函数的基本关系求sinA的值 由sinA十√3cosA=2,得√3cosA=2-sinA, 两边同时平方，得3c0s2A=4-4sinA十sin2A, 则3(1-sinA)=4-4sinA十sinA, 整理，得1-4sinA十4sin2A=0, 所以1-2nA)=0,期snA=子 第2步：求角A的大小 因为0<A长，所以A=吾或A-积 当A=否时，smA十5c0sA=2成立，符合条件： 当A=晋时，imA十5c0sA=2不成立，不特合条件 故A=吾 解法三（同角三角函数的基本关系法） 第1步：利用同角三角函数的基本关系求c0sA的值 由sinA十√3cosA=2,得sinA=2-√3cosA, 两边同时平方，得sin2A=4-4√3c0sA十3cos2A,则1一c0s2A= 4-4√3cosA+3cos2A, 整理，得3-4√5c0sA十4cos2A=0, 所以W5-20sA2=0,期csA=9 2 第2步：求角A的大小 因为0<A<元，所以A= 元 (2)第1步：利用正弦定理求B的值 由√2 bsin C=csin2B,得√2 bsin C=2 csinBcos B, 由正孩定理，得c=2 cbeos B,所以cosB= 因为0<B<,所以B=平 第2步：利用两角和的正弦公式及三角形的内角和定理求sinC 的值 Cx-(A+B=径所以nC=m吾=（号+子） nos子十osim-号×号+ 2 4 第3步：求△ABC的周长 解法一（基本量法） 由正弦定 sin A sin B-sin Casin B sin A 2sim4-2, sin 6 7π C-asin C2s1D126+今 sin A n 所以△ABC的周长为a十b十c=2十√6+3√2. 解法二（整体思想法） 由正孩定理品B茹C a十b十c 2 得AsnA十nB计snC =4, sin 所以a十b十c=4(sinA十sinB十sinC)=4× (1++6+2 4 2+√6+3√2， 所以△ABC的周长为2十√6十3√2. 考向预见高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，以解答， 题的形式综合考查正、余弦定理，多与三角形的周长、面积有关，有 时也会与乎面向量、三角恒等交换等结合考查，试题难度控制在中 等或以下，主要考查运算求解能力、推理论证能力、数学应用意识、： 数形结合思想等.预测2025年高考大概率考查三角恒等交换及！ 正、余弦定理，求解时注意三角形内角和定理与诱导公式的应用， 在求角的大小时，注意条件中是否明确给出三角形为锐角三角形！ 或钝角三角形， 7,三角恒等变换十解三角形（理性思维、数学探索》 解(1)第1步：利用二倍角的正弦公式化简 由题知，2sinB·cosB=5 beos B. 7 又A为钝角，所以B为锐角， 故osB≠0，所以2sinB-96. 第2步：利用正弦定理建立a,b,A,B的关系，从而计算出A的正弦1 值 又46 7 3 K5 sin Bsin A-sinA,所以inA=受 第3步：由角的范围及正弦值求出角A 又A为纯角，所以A=三 (2)若选①，结合(1)得2nB-9×7,所以mB-9B=号， A十B=π，则△ABC不存在，所以条件①不符合要求，故不选择条 件①. 若选②，第1步：由同角三角函数的基本关系及正弦定理求出b 由题知sinB=V-cos3B=35, 141 b 义=万，即2元三。后，所以b=3. n2m35 sin3 14 第2步：利用诱导公式及两角和的正弦公式求sinC 又C=π一(A十B),所以sinC=sin(A十B)=sin Acos B+cos Asin B=} 3×131×3553 2142×14=141 第3步：利用三角形面积公式得结果 所以Saw=合binC-合×7X3x5_155 14 4 若选③，第1步：由已知求出c 由题知c.-55,所以c=5 2 2 第2步：由余弦定理建立方程求出b 由a2=b2+c2-2 bccos A得，49=6+25+5b,即(b+8)(b-3)=0, 解得b=3(负值舍去). 第3步：利用三角形面积公式得结果 所以Sac=sin=之×3X5x号_155 8.正、余弦定理十同角三角函数的基本关系十三角恒等变换 解1)由只=号得a=子c, 2 由余孩定理得a2+2-8=2 aceos B,即号e2+e2-25=2,号c· 2 c·16' 9 得3-25=，得c=6 2 故a=3c=4. (2)因为osB=号，所以如B=V广0B=, 16 11 由正弦定理得n有n万，即snA5方 =5,得inA 4 16 (3)因为a<b,所以A<B,则cosA>0, 由mA-只，得sA=， 期os2A=2osA-1=号5in2A=2snAe0sA=3 1 8 cos(B-2A)=cos Bcos 2A+sin Bsin 2A= 品×日+ 16 16 3V7_57 8-64 9.解解法-(1)在△ABC中，A+B=元-C, 因为A十B=3C,所以3C=元-C,所以C=平。 因为2sin(A-C)=sinB, 所以2(A)=m(经-A小： 展开并整理得E(sin Acos)=号(cmsA十sinA。 得sinA=3cosA, 又sin2A十cos2A=1,且sinA>0, 所以sinA=3四 10 AB (2)由正弦定理 BC sin A sin C' 得C-品×inA 5×3=35. √ 10 2 由余弦定理AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos C, 得=AC+(352-2AC·35c0s至 整理得AC2-3√/10AC十20=0， 解得AC=/10或AC=2√/10， 由1)得，amA=3>5,所以号<A<受， 又A+B=,所以B>子， 即C<B,所以AB<AC,所以AC=2√I0, 设AB边上的高为A,则号×ABXA=之KACX BCsinC, 即=2而x35×号. 解得h=6, 所以AB边上的高为6. 解法二(1)在△ABC中，A十B=元-C, 因为A+B=3C,所以3C=元一C所以C=平 因为2sin(A-C)=sinB, 所以2sin(A-C)=sin[π-(A十C)]=sin(A十C), 2sin Acos C-2cos Asin C=sin Acos C+cos Asin C, 所以sin Acos C=3 cos Asin C, 易得cos Acos C≠0， 所以tanA=3anC=3tan4=3, 又sinA>0, 所以sinA= 3=310 √32+1 10 (2)由(1)知sinA=3四，anA=3>0,所以A为锐角， 10 所以cosA=y0 10 所以mB=(A）-号(esA十mA-×( 310Y 25 10 5 由正弦定理AC三AB sin B sin C' 得AC-AB·sinB5X25 5 sin C -=2√/10， 故AB边上的高为ACX sin A=2V0×3四=6. 10 10.解(1)因为D为BC的中点， 所以Sac=2Sax=2X合×AD DCX sin∠ADC=2 ixpex 解得DC=2, 所以BD=DC=2,a=4. 因为∠ADC=号，所以∠ADB=, 3 在△ABD中，由余弦定理，得c=AD十BD一2AD·BDcO =1+4+2=7, 所以c=√7. 解法一在△ADC中，由余弦定理，得b=AD十DC2 DC·cos∠ADC=1+4-2=3, 所以b=√3. 在△ABC中，由余弦定理，得msB=2+aB_7+16-3 2ac 2×4×√7 所以inB=√-cos*B=y四 14 解法二在△ABD中，由正孩定理，得n/ADB-sin B' AD 所以sinB=ADsin∠ADB_V2 c 14” 所以cosB=√个-sinB=5 14 所以tanB=sinB_区 cos B 5 (2)解法一因为D为BC的中点，所以BD=DC 因为∠ADB十∠ADC=π，所以co5∠ADB=一co5∠ADC, 则在△ABD与△ADC中，由余弦定理， 得4D+BDC AD2+DC2-62 2AD·BD 2AD·DC 得1+BD-c2=-(1十BD2-b2), 所以2BD=b十c2-2=6,所以BD=√5，所以a=2√5. 解法二因为D为BC的中点，所以BC=2BD. 在△ABD与△ABC中，由余弦定理， 得c0sB=己+BDAD2a2+c2 2c·BD 2ac 整理，得2BD=b2十c2-2=6, 得BD=√3，所以a=2√5. 在△ABC中，由余弦定理， 得cos∠BAC=十c2-a2 2bc 81卫=-k 2 2bc 所以Sa=宁n∠BAC =子kW小-eo ZBAC 合1-（是） 日02司 =5. 解得bc=4. 则由∫6c-4 {62+c2=g解得6=c=2 11.解(1)由余弦定理知osA-6+a 2bc 代入十上4=2，得2h=2, 故bc=1. (2)由正孩定理及60sBbc0sA么=1. acos B+bcos A c sin Acos B-sin Beos A sin B =1, sin Acos B+sin Bcos A sin C 化简得sin(A-B) sin B =1. sin(A+B)sin C A十B=π-C,∴.sin(A十B)=sinC, .'sin(A-B)-sin B=sin C=sin(A+B), .sin Acos B-cos Asin B-sin B=sin Acos B++cos Asin B, .'.-2cos Asin B=sin B. -X B∈(0，)，sinB≠0，.cosA=-2 1 :A∈(0，)sinA=-cosA= 2 由(1)知k=1,故△MBC的面软S=宁nA=子×I×号- 2 !12.解(1)如图，由余弦定理得BC=AB2十 0 ∠ADBI AC-2AB·AC·cos∠BAC=22+12+2X 2X1X号=7，得BC=√冗 2 AD· 解法一 BC 由正弦定理ABC SB/BAC 1 得sin∠ABC= 2√21 5W7 14 14 厅 解法二 由余弦定理得s∠ABC=A+BC-AC =4十7-1 2AB·BC 2X2X7 5√17 14 所以sin∠ABC=V个-cos'ZABC= 14 (2)解法一 由sn∠ABC=区，得an∠ABC=S 14 又tan∠ABC= DA DA AB 2 所以DA=E 5 故△MC的面款为号DM·AC,血(12W-0)=之×29X1X 5 1E 2=10 解法二△ABC的面积为号AC·AB·Sin∠BAC 1×1×2× _ 2 2 SAADXC 2AC·AD·sin∠CAD sin30° S△BAD AB·AD·sin∠BAD 2Xsin 904 故△ADC的西积为号SAx=号 /3 2101 13.解(1)由正弦定理 √39 2 nA-snB得sn20=snB 解得sinB=√③ 13 (2)解法一（余弦定理）由余弦定理得a=b2十c2一2 ccos A, 即39=4十c2-4cc0s120°， 整理得c2+2c-35=0, 解得c=5或c=-7(舍去). 所以c=5. 解法二因为A=120°，所以B,C均为锐角， 所以0sB=V个sinB=2型 13 由射影定理得(=asB+ksA=V丽×2@+2×（合） 6-1=5. 3)由正孩定里C品后可得如C5, 26 又B,C均为锐角，所以cosC=V-inC=3型， 26 cos B= 112 √1sn25=239,所以sin(BC)=sin Bcos C cos Bsin C x32厘×5E-15 13 26 13 26 261 14.解(1)由A=2B,sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A)可得，sin Csin B= nBn(C-A).而0<B<受，所以snB∈(0.1，即有smC sin(C-A)>0,而0<C<π，0<C-A<π，显然C≠C-A,所以， C+C-A=,而A=2B,A十B+C=,所以C= (2)证明由sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A)可得， sin C(sin Acos B-cos Asin B)=sin B(sin Ccos A-cos Csin A), 再由正弦定理可得， accos B-bccos A=bccos A一abcos C,然后根据余弦定理可知， 合a+e-6)合(+e2-d)=合(6+e-a)合(a+ b2一c2),化简得： 2a2=b2十c2,故原等式成立. 15.(1)证明因为sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A), sin Csin Acos B-sin Csin Bcos A=sin Bsin Ccos A- sin Bsin Acos C, 所以ac.a2+c2- 2ac -2收.+2-a 2bc =-ab.2+-c2 2ab 即2+-&-6+2一a2)=+-c 2 所以2a2=6十c2: (2)解周为a=50sA-票 由(1)得b+c2=50, 由余弦定理可得a2=b2+c2-2 bccos A, 期502c=25, 所以公=婴 故(b+c)2=b2+c2+2bc=50+31=81, 所以b十c=9, 所以△ABC的周长为a十b十c=14. 16.解(1)由已知条件得：sin2B十sin Asin2B=cosA十cos Acos2B, sin 2B=cos A+cos Acos 2B-sin Asin 2B=cos A+cos(A+2B) =cos[x-(B+C)]+cos[x-(B+C)+2B] =-cos(B+C)十cos[π十(B-C)] =-2cos Bcos C, 所以2 sin Bcos B=-2 cos Bcos C,则(sinB十cosC)cosB=0, 由已知条件：1十c0s2B≠0，则B≠受，可得c0sB≠0， 所以sinB=-cosC=2,B=吾 (2)由(1)知sinB=-cosC>0,则B=C-交，sinB= sin(c-受)=-cosc sin A=sin(B+C)=sin (2C)=-cos 2C. 由正弦定理2+b-$inA十sin2Beos2C+cos2C sin2C sinC (1-2sin2C)2+(1-sin2C) sin2C 2+4sin'C-5sin'C. 2 sin2C sin C4sin'C-5 ≥2√cc5=4g-5 当且仅当mC-=号时等号成立，所以份装小值为反-6 17,解：边长为a的正三角形的西软为。 ss+s。-8+) 2 即accos B=1, 由血子子oB-2c=oB3. 13√2 故Sax=acnB=XyX是- 1 2 4 3 8 32 ac 4 (2)由正弦定理得：Bsin A'sin C sin Asin C 故b=sinB=. 1 18.(1)sin 2C-/3sin C,2sin Ceos C-sin C.cos C 6 (2):Se=65,-absinC=65,a=45,由余弦定理2 a2+b2-2 abcos C得 c=2√3，所以△ABC的周长为6√3十6. 10.解(1)由于osC=号，0<C<元，剥nC=号.周为a=5c, 由正孩定理知4sinA=sC,对如A-5如C-9 5 (2)因为4a=5c,由余弦定理，得c0sC=+c 2ab +121911兰 22a 即a2十6a5=0,解得a=5,而mC=号b=1, 所以△ABC的面积S=合abmC=子×5X1X号=2， 20.(1)证明因为BDsin.∠ABC=asin C, 所以由正弦定理得，BD·b=ac, 又b2=ac,所以BD·b=b2, 又b>0,所以BD=b. (2)解如图所示，过，点D作DE∥BC交AB于E, 因为AD=2DC, 所以票提-2 DE 2 BC 3 所以BE=令DE= 3a. 在△BDE中，cOs∠BED=BE+DE-BD 2BE·DE c2 =2+4a2-9b2_2+4a2-9ac Aac Aac 在△ABC中，eos∠ABC-AB+BCAC 2AB·BC -2+a2-&-2+a3-a 2ac 2ac 因为∠BED=π一∠ABC, 所以cos∠BED=-cOs∠ABC, 所以2+4a2-9ac=-c2+a2-ac Aac 2ac 化简得3c2十6a2-11ac=0, 方程两边同时除以，得3（后）-1（后）十6=0， a 当S=号，即c5a时，cs∠ABC二十aaG 2 Zac 12 当￡=3，即c=3a时， a 3 s∠AC-+匹+3名>1（合. 2ac 6a 综上，cos∠ABC-2 7 21.解(1)如图 B-EA b=2nB=2snCA-→C-吾-msmB=2m(-B (2b-2 sinB=-2nC2 nin C-1pmC号aB=号 6-2一6>→C是锐角，→msC=22 3 ①若B是钝角， →cosB= 5sin A=sin(r-B-C)=sin(B+C)-sin Bcos C+ 3 cos Bsin C 15=mC品5周长=a+6+(=8+ 9 3 3c=3+4√2+√⑤ ②若B是锐角， c0s B-5sin A5=sin Ca 3 9 sin A 3 →周长=a+b+c=3+3c=3+4√2-√5 综上所述，△ABC的周长为3十4V2士5. 2,解)由正弦定理品Bc得mC里， 又c=2 bcos B,所以sinC=2 sin Bcos B=sin2B, 又AB,C为△ABC的内角，C=要， 故C=2B(含)或C+2B=,即B=, 又A+B+C-,所以A=吾 (2)由(1)知，c=√3b,故不能选①. 选②，设BC=AC=2x,则AB=2√5x, 若故周长为(4十2√)x=4十2√5，解得x=1. 从而BC=AC=2,AB=2√5. 设BC中点为D,则在△ABD中，由余弦定理，得 COs B-AB+BD:AD:12+1-AD 2·AB·BD 45 2 解得AD=√T.故BC边上的中线长为√7. 若选③，设BC=AC=2.x,则AB=2√5x,故 5aw=72x·2·sn120-5-8y9, 4 解得x9从而BC=AC-尽，AB=3 设BC中点为D,则在△ABD中，由余弦定理，得 Cos B-AB+BDAD: 9+()-AD 2·AB·BD 3√3 2 解得AD=写故BC边上的中线长为四 2 专题11平而向量 考向1平面向量的概念与计算 1.D[向量垂直十向量的数量积十向量的坐标运算（理性思维、数学 探索) 1 解法一（向量法十坐标法）因为b⊥(b一4a),所以b·(b一4a)= 0,即b2=4a·b.因为a=(0,1),b=(2,x),所以b2=4十x2,a·b x,得4十x2=4x,所以(x-2)2=0,解得x=2,故选D. 解法二（坐标法）因为a=(0,1),b=(2,x),所以b一4a=(2,x) 4(0,1)=(2,x)-(0,4)=(2,x-4).因为b⊥(b-4a),所以b· (b-4a)=0,所以2×2十x(x-4)=0,所以(x-2)2=0,解得x= 2,故选D.] 2.B[向量的模十向量垂直条件的应用 由(b-2a)⊥b,得(b-2a)·b=b2-2a·b=0,所以b2=2a·b.将 a十2b=2的两边同时平方，得a2十4a·b十4b=4,即1十2b2十 46=1十61b1=4,解得1b1=之所以61-号，故选以.] 3.C[平面向量的坐标运算十充分、必要条件的判断（理性思雏、数 学应用、数学探索)a⊥b白x2十x十2x=0台x=0或x=一3，所以 工=一3是a⊥b的充分条件，x=0是a⊥b的充分条件，故A错误， C正确.a∥b台2x十2=x2台x2-2x-2=0台x=1士√5，故B,D 错误.] 4.D[因为a=(1,1),b=(1,-1),所以a十b=(1十入，1-入)，a十 b=(1十以，1-)，因为(a十b)⊥(a十b),所以(a十b)·(a十 h)=0,所以(1十入)(1十)+(1-A)(1一)=0，整理得4=一1. 故选D.] 5.D[,a十b十c=0,∴.c=-a-b,等式两边同时平方得2=a2十 b2+2a·b=1+1+2a·b,∴.a·b=0. 又a-c=a-(-a-b)=2a十b,b-c=b-(-a-b)=a+2b, ∴.(a-c)·(b-c)=(2a十b)·(a十2b)=2a2+5a·b+2b2=4,且 a-c|=|2a十b|=√/(2a+b)2=√4+1=W5,|b-c|=|a+2b|= √a+2b=1+4-5,∴.cos(a-c,b-c)=g0）:(h9 a-c·b-cT 号故选D.] 6.B[由题意知，a十b=(5,3),a-b=(1,-1),所以cos(a十b,a b=a+b:a=5X1+3XD-,2=,故选B.] a+b a-b 34×2 2√717 7.B[解法-由题意知，元=成+记=子A店+市成=成十 ò=2+ò所以武成=(2成+前)·（合 可)=-A,由题意知1=应=2，所以武· ED=4-1=3,故选B. 解法二以点A为坐标原点，AB,AD的方向分别为工，y轴的正方 向建立平面直角坐标系，则E(1,0),C(2,2),D(0,2),则EC=(1 2),ED=(-1,2),EC.ED=-1+4=3,故选B.] 8.C[,|a-2b12=a12-4a·b+4b2,又.a|=1,1b|=5, |a-2b|=3,∴.9=1-4a·b十4×3=13-4a·b,∴.a·b=1.故 选C] 9.B[因为BD=2DA,所有CB=CA+AB=CA+3AD=CA+ 3(CD-CA)=-2CA+3CD=2m十3n,故选B.] 10.C[因为a=(3,4),b=(1,0),所以c=a十b=(3十t,4).由题 意，得msae=m(6.e,即2时5-名解得1=5故 选C.] 11.√2[平面向量的坐标运算十向量的垂直，模a一b=(1,1 2x),根据a⊥(a一b),得a·(a-b)=x十1-2x=1-x=0,所以 x=1,所以a=2.] 12.日十子b-15[平面向量的线性运算十平面向量的数量积 A症-AC+C市=AC+号C市=AC+}(A市-AC)=号AC+ A店=a+号b 解法-：M应=525=（日a+号），即900=公2+166 十8a·b①，易得BC=b-a,A正⊥BC,A正.BC=0,即