专题8 三角函数的概念、诱导公式、三角恒等变换&专题9 三角函数的图象和性质-【创新大课堂】2026年高考数学五年真题分类汇编168优化重组卷

专题8三角函数的概念、诱导公式、三角恒等变换 考向1三角函数的概念 6.(2021·新高考卷I,5分)若tan0=-2,则 (2021·北京卷，5分)若P(cos0,sin0)与 sin 0(1+sin 20)- sin 0+cos 0 Qos(0+im叶若》关于y轴对称.写 6 A. B.- 25 D. 65 投 出一个符合题意的0值 考向2三角恒等变换 7.(2021·全国甲卷理，5分)若a∈ 0, ) tan 2a- 1.(2025·全国卷Ⅱ，5分)已知0<a<元，c0s coS a 2-sin a 则tana= ,则sin ( 4 A.①5 15 B.5 D.V15 3 训 c器 n恶 、 8.(2021·全国乙卷文，5分)c0s2 -cos2 5π 12 12 2.(2024·新课标I卷，5分)已知cos(a十3)=m, tan atan B-=2,则cos(a一B)= A.2 B 3 D.3 2 A.-3m B.一 3 c号 D.3m 9.(2022·新高考Ⅱ卷，T6)角a,3角a,3满足sin(a十 蠻 3.(2024·全国甲卷·理T8,文T9,5分)已知 B)+cos(a+B)-2Zcos(a+)sinB. 1( cos a = cos a sin a g,则a(e+）= A.tan(a++B)=1 B.tan(a+3)=-1 A.2W5+1 B.2√5-1 C.tan(a-B)=1 D.tan(a-)=-1 令 C③ 10.(2024·新课标Ⅱ卷，5分)已知a为第一象限角， 2 D.1-月 B为第三象限角，tana十tanB=4,tan atan B= 4.(2023·新课标Ⅱ卷，5分)已知a为锐角，cosa √2+1，则sin(a十)= 1+5 4 则sn 11.(2023·全国乙卷·文，5分)若0∈(0，) 装 A.35 B.-1+5 8 8 1an0=2,则sin0-cos0= C.3-5 12.(2022·北京卷T13)若函数f(x)=Asin x- 4 D.-1+5 4 B0sx的一个零点为弩，则A= 5.(2023·新课标I卷，5分)已知sin(a-3)= 每 f() cos asin B= 6,则cos(2a十29)= ( 13.(2022·浙江卷，T13)若3sina-sin3=√10， 7 A. 9 B.9 9 D.- 7 9 a十月=受，则sina= cos 28- 21 专题9三角函数的图象和性质 考向1三角函数的图象 1.(2024·新课标I卷，5分)当x∈[0,2π]时，曲 Asin周 Bsin(+》 7π 线y=sinx与y=2sin(3x-石)的交点个数为 c.sinf2x一8) D.sin ( )6.(2023·新课标I卷，5分)已知函数f(x)= A.3 B.4 C.6 D.8 cos wx-1(w>0)在区间[0,2π]有且仅有3个 2.(2023·全国甲卷·理，5分)函数y=f(x)的 零点，则ω的取值范围是 图象由函数y=cos(2x十)的图象向左平移智 7.(2021·全国甲卷文，5分)已知函数f(x)= 个单位长度得到，则y=f(x)的图象与直线y= 2cos(x+p)(w>0,g<2)的部分图象如图 司一的交点个数为 ( 所示，则() A.1 B.2 C.3 D.4 3.(2023·全国乙卷·理，5分)已知函数f(x)= sin(wx十p)在区间 九2π 单调递增，直线x= 13 6’3 12 否和x-”为函数y=(x)的图象的两条相邻考向2三角函数的性质及应用 3 1.(2025·天津卷，5分)f(x)=sin(w.x+9)(w> 对称销则() 0,一<g<x)在[一登]上单调递增，且 A.③ B. 2 为(x)图象的一条对称轴，（赁，0）是fx) c D 图象的一个对称中心，当x∈[0，]时，f(x)的 4.(2022·浙江卷T6)为了得到函数y=2sin3x 最小值为 的图象，只要把函数y=2sin(3x+)）图象上所 A. B-专 c.-1 D.0 有的点 2 2.(2024·新课标Ⅱ卷，6分)对于函数f(x)=sin2x A向左平移5个单位长度 和g(x)=sin(2x-),下列说法中正确的有 B.向右平移零个单位长度 C.向左平移无个单位长度 A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值 D.向右平移需个单位长度 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 5.(2021·全国乙卷理，5分)把函数y=(x)图 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 象上所有点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐 3.(2024·天津卷，5分)已知函数f(x)=sin3(x十 标不变，再把所得曲线向右平移苓个单位长度， )的最小正周期为π，则x)在[一是·]的 得到函数y=sinx-)的图象，则f(x)= 最小值为 B.- 2 C.0 0. 22 4.(2024·上海卷，4分)下列函数中，最小正周期 C.直线x=严是一条对称轴 是2π的是 6 A.y=sin x+cos x D.直线y=3 一x是一条切线 B.y=sin xcos x C.y=sin2x+cos2x 9.(2021·北京卷，4分)已知函数f(x)=c0sx一 cos2x,则该函数为 D.y=sin2x-cos2x A.奇函数，最大值为2 5.(2023·天津卷，5分)已知函数f(x)图象的一 B.偶函数，最大值为2 条对称轴为直线x=2,f(x)的一个周期为4，则 f(x)的解析式可能为 C奇函数最大值为号 A.f(r)-sin(z) D.偶函数：最大值为号 B.f(r)-cos() 10.(2021·新高考I卷，5分)下列区间中，函数 c.f)=sim(至刘 f()=7sin(-) 单调递增的区间是( D.f(z)=c0s() A.(0,) B(受 6.(2022·新高考I卷，T6)记函数f(x)= c() D.(2a) sin(ar+)十6(w>0)的最小正周期为T,若1.(2021·会国乙卷文，5分)函数f(x)=sin号 <T<,且y=f(x)的函数图象关于点 2 十cos专的最小正周期和最大值分别是( (,2)中心对称，则()= A.3π和√2 B.3π和2 C.6π和√2 D.6π和2 A.1 12.(2025·上海卷，4分)函数y=c0sx在 c D.3 [一，]上的值域为 13.(2024·全国甲卷·文，5分)函数f(x)=sinx一 7.(2022·北京卷，T5)已知函数f(x)=cos2x sin2x,则 3cosx在[0，π]上的最大值是」 14.(2024·北京卷，5分)在平面直角坐标系xOy A.f(x)在(-，一石)上单调递减 中，角α与角阝均以Ox为始边，它们的终边关 B(x)在（一至，）上单调递增 于原点对称，若a∈[后，]，则osB的最大值 为 C.f(.)在(o,)上单调递诚 15.(2023·新课标Ⅱ卷，5分)已知函数f(x) D.fx)在（至，）上单调递增 sin(ax十g),如图，A,B是直线y=号与曲线 8.(多选)(2022·新高考Ⅱ卷，T9)函数f(x) y=f(x)的两个交点，若引AB=石，则f()= sin(2z十g0<9<x)的图象以（三0）中心对 称，则 A.y=fx)在(0，)单调递减 2π By=x)在(-意·)有2个授值点 23 16.(2025·全国卷Ⅱ，13分)已知函数f(x)=3.(2022·全国甲（理）T11)已知f(.x)=sin(wx+ c0s(2z+p)(0≤g<).f(0)-2 晋)在区间(0x)上恰有三个极值点、两个零点， (1)求9： 则ω的取值范围是 ( (2)设函数g(x)=f(x)+f-),求g() A[3,》 B[) 的值域和单调区间. c(传】 n(传割 4.(2021·上海卷，5分)已知f(x)=3sinx+2, x∈[0，]，若对任意的西∈[0，]，都存在 x∈[0，]使得等式()+2f(+)=3 成立，则侧0的值可取为 ( A B智 C. D. 5 17.(2021·浙江卷，14分)设函数f(x)=sinx十 5.(2022·全国乙（理）T15)记函数f(x)=cos(wx十 Cosx(x∈R) p)(w>0,0<<π)的最小正周期为T.若f(T)= )求函数y=[/(+罗)]的最小正周期： 3 ,x=5为f(x)的零点，则@的最小值为 2)求函数y=)f(x一军)在[0，]上的最 大值 6.(2025·全国卷I,17分)(1)求函数f(x)= 5cosx-cos5x在区间[0，F]的最大值； (2)给定0∈(0，π)和a∈R,证明：存在y∈[a 0,a十0]使得cosy≤cos0; (3)设b∈R,若存在p∈R使得5cosx-cos(5.x 十9)≤b对x∈R恒成立，求b的最小值. 考向3由三角函数的性质求参数 1.(2025·全国卷I,5分)已知点(a,0)(a>0)是 函数y=2an(-爱)的图象的一个对称中心， 则a的最小值为 ( A B哥 c 号 2.(2024·北京卷，4分)设函数f(x)=sinw.x (w>0).已知f(x1)=-1,f(x2)=1,且 一x2的最小值为5，则w= A.1 B.2 C.3 D.4 24再次证明存在b使得x2=x3.· 图为F(x2)=G(x3)=0,所以b=e2一x2=x3一lnx3, 若x2=x3,则e?-2=x2-nx2,即e?-2x2十lhx2=0,所以 只需证明方程e一2x十lnx=0在(0,1)上有解即可， 即证明(x)=e-2x十1nx在(0,1)上有零点， 因为9（日）--子-3K0g1)=e-2>0, 所以g(x)=e-2x十lnx在(0,1)上存在零点，取一零点为xo,令 x2=xg=x0,此时b=e0一x0,则此时存在直线y=b与两条曲线 y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点. 最后证明1十x1=2x,即从左到右的三个交点的横坐标成等差！ 数列. 因为F(x)=F(x2)=F(x6)=G(x)=G(x)=G(x1)=0,所以 F(x)=G(zo)=F(In o). 又因为F(x)在（一∞，0）上单调递减，<0,0<x<1,即lnxo<! 0,所以x1=1nx0, 因为F(xo)=G(e0)=G(x1),又因为G(x)在(1，十∞)上单调递！ 增，x0>0,即e'0>1,x1>1,所以x1=e0, 又因为e0-2xo十lnx0=0,所以x1十x1=lnx0十e'0=2xo, 即存在直线y=b与两条曲线y=f(z)和y=g(x)从左到右的三： 个交点的横坐标成等差数列 17.解)由题意，得f(x)=elh1+)+千，则f0)=eln(1+ e 0)+千0=1.又f0)=en1+0)=0,所以曲线y=f)在点(0. f(0)处的切线方程为y=x. (2)由)知了)=eh1+)+年则g)=eln1+r)+ e 千z所以g(x)=eh(1+x)+年+a十 [(1+x)21n(1+x)+1+2x]e (1+x)2 令h(x)=(1十x)21n(1十x)+1+2x, 则h'(x)=2(1十x)1n(1十x)+x十3， 所以对任意x≥0，h'(x)>0, 所以h(x)在[0，十∞)上是增函数， 所以h(x)≥h(0)=1>0, 所以对任意x≥0，g(x)>0, 所以g(x)在[0，十∞)上单调递增 (3)证明对任意的s,t∈(0，十o∞)，有f(s十t)f(s)十f(t),即 对任意的s,t∈(0，十o∞)，f(s十t)-f(s)一f(t)>0恒成立. 令m(s)=f(s十t)-f(s)-f(t)=e+tln(1十s+t)-eln(1+s) e'ln(1), 则m'(s)=e+t 1 1+s+)+1十]厂c[h1+)+] 由(2)知g(x)在[0，十∞)上单调递增， 故当s>0,t>0时，m'(s)=g(s十1)-g(s)>0, 所以m(s)在(0，十∞)上单调递增， 所以m(s)>m(0)=f(0十t)一f(0)一f(t)=0 所以对任意的5，t∈(0，十o∞)，有f(s十t)>f(s)十f(). 18.解(1)由题意得f(x)=a1na-b. 因为a>1,所以lna>0,a>0, 所以当b≤0时，f'(x)>0, 所以当b0时，函致f(x)在R上单调递增。 当>0时，合fe)>0,则a>品。所以>l0g品 所以当6心0时，函数f()在(-∞0g:合a）上单洞递减，在 (og,a+∞）上单调递增. 综上，当b0时，函数f(x)在R上单调递增： 当6>0时，通教fz)在(-∞，log品)上单调递减，在 (g.ha+o∞）上单调递增. (2)因为函数f(x)有两个不同的零点，所以a一bx十e=0有两！ 个不同的根，即曲线y=a与直线y=bx-e2有两个不同的交点.！ 易知直线y=bx-e2与y轴交于点(0，-e2). 先考虑曲线y=a与直线y=bx一e2相切的情况. 10 设切点坐标为(t,a),则切线斜率为alna, 所以切线方程为y-a'=a'lna(x-t), 则y=(alna)x十a-ta'ln a=bx-e2, 所以a-ta'lna=a-alna'=-e, 令a=m,则m一mlnm=一e,m>0, 令g(m)=m-mlnm十e2,则g'(m)=-lnm, 当m∈(0,1)时，g(m)>0, 当m∈(1，十∞)时，g'(m)<0, 故g(m)在(0,1)上单调递增，在(1，十∞)上单调递减， 观察可知a=e2, 所以要满足条件，则b>alna=elna恒成立. 因为b>2e,所以2e≥elna,得1<ae. 故a的取值范围为(1，e2」. (3)证明当a=e时，f(x)=e-bx十e2, 所以f(x)=e-b, 令f(x)>0,则xlnb, 所以函数f(x)在（一∞，lnb)上单调递减，在(1nb,十∞）上单调递 增， 所以f(x)im=f(lnb)=b-binb十e2<-3e+e2<0. 又f(0)=1+e2>0,f(b)=e-b+e2>e2>0, 所以函数f(x)在(0，lnb)和(lnb,b)上各存在一个零点，分别为 x1,x2(1<x2）, 则e1-bx1十e2=0,所以b1=e1十e2, 所以要运>学十号 只考摆若>急之e十 因为f(2)=2e2-2b<2e2-2e<0,所以可知0<x1<2, 所以+e2<2e2,所以0e+e)2器·2e=ln 2e2 故只需证看号>ln6,即>号+h f(后+lnb）=e+6-6(告+nb）+e 2 2 =e元+inb-b1nb=b(e方-lnb), 2 因为b>e,所以e方-lnb<e交-4<0， 所以f(行+hb）<0, 所以（倍+h6.6所以>+hb 所以x2> 十号成主 bln 6 专题8三角函数的概念、诱导公式、三角恒等变换 考向1三角函数的概念 登(0=受+kkZ,答案不作一）[由题意知，点P,Q每在单 位国上，且0叶什音=十2，A∈Z,所以0=受+kxk∈Z.] 考向2三角恒等变换 ,D[二倍角公式十两角差的正弦公式十同角三角函数的基本关系 os=2o号-1-2X寸-1=号，周为0<<所以ne 2 2.A[切化弦十两角和与差的余弦公式（理性思雏，数学探索） 由cos(a十)=m得cos acos B-sin asin B=m①.由tan atan=2 得月-2@，由0②得{所以cosa- sin asin B=-2m' cos acos B-+sin asin3=-3m,故选A.] 3.B[三角恒等变换（数学应用、数学探索）根据题意有 e-9即1-ang=,所以amg=1-,所以 cos a 2一3=25-1，故选B7 1-tan a 3 4D[由题s=15-1-2m，得n号-3g5 8 6-2V5 16 ）,又a为锐角，所以sin号>0，所以sin号 1十5，故选D.] sin acos B cos asin B-3 5.B[依题意，得 ,所以sin acos B=之， cos asin月6 所以sin(a十)=sin acos十cos asin= +日=号，所以os(2a+ 2012a+0=1-2(号）)广子k选] 6.C[法- 因为tan日=一2，所以角目的终边在第二或第四象限， sin 0=25 25 sin 0=- 5 所以 或 所以sin01十sin20 os0=-5 cos 0-15 sin 0+cos 0 sinθ(sin0+cosθ) sin 0++cos 0 =sin 0(sin 0+cos 0)=sin0+sin 0cos 0= 法二因为tan0=-2, 所以sin01+sin20-sn0(sin0+cos9) sin0+cosθ sin 0+cos 0 =sin 0(sin 0+cos 0)= sin20+sin 0cos 0 sin20++cos20 中吊子载选 法三因为tan0=-2,所以sin0=-2c0s8. 则sin0(1十sin20-sin0sin0+cos0)2 sin 0++cos 0 sin 0+cos 0 -sin sin 0+cos 0)-sin0+sin dcos sin20+cos20 器骨号收意C] 7.A[法-因为tan2a= sin 2a 2 sin acos a,且tan2a= cos 2a 1-2sin2a 2品。所以0器品。解得如 个，因为a∈ (0,受）所以ms。平an8-识。悟北选 cos a 15 2sin a 法二因为an2a= 2tan a cos a 2sin acos a 1-tan'a 1 sin2 a cos a-sin a cos2 a 2sin acos a,tan 2a-2sin a 1-2sin'a 。osa,所以2 sin=,0sa,解得sima 1-2sin a 2-sin a 子因为∈(0受）所以csa=平ama=0g昏故 cos a 15 选A.] &.D[法-（公式法）因为os晋=n(受晋)=n是，所以 os音o晋=cos音一im危=o(2x音）c0s青 t链D 法二（构造法）设cos2受一cos登=a,sim受一sin晋-6，则 a+6=(os吾+sim是）(o登+sin）=1-1=0,① a-6=(os2晋-sim2是）(o2登-in2）) os(2x是)o(2x) ② 所以旅搭①十@可得2a=尽，即a=,即o吾一o沿 盟（送Dn 法三（代值法） 得为是-+m语-6，所以 9.D[解法一 设月=0，则sna十c0sa=0,取a=子，排徐A.C 再取a=0,则sin计cos日=2sin月，取B=于，排除B:选D. 解法=由sin(a十)+cos(a十B)=Esin(a+汁牙) Em[(e+于)+] =Esn(a+牙）os叶ios(a+平)sin月. 故Esn(e+至)）os月-Eo(a+÷）im月 故sin(a+牙)cos cos(a+4)sin月=0， 即sim(a+牙）=0， 故m(e计子)要nam+。 cos(a-)=0, 故sin(a-)=-cos(a-B),故tan(a-)=-1.故选D.] 10.2巨[两角和的正切公式十同角三角函教的基本关系由题 tana十tan3_4 知tan(a+》=—ana·anB1-2-1 =-2W2,即sin(a十) =-22cos(a十)，又sim(a+B)十cos2(a十B)=l,可得sin(a十 0=士29由2<a<2+受k∈z.2mx+<2m+Ξ， m∈Z,得2(k十m)元十π<a十B<2(k十m)元十2π，k十m∈Z.又 ana十<0，所以a+P是第回象限商，故sina十创=29.] 11.-5 [由 5 um0-恶号立.且0∈(0受.g释 sin20+cos20=1 sin0=⑤ 故sim0=5.] os0-25 5 5 12.1[f()=An号-5os号-9A-0解得 A=1. f(r)=sin z-3cos x=2sin ( 故f(登）-2sin(是号）=2in(牙）-E.J 18.3÷[at月吾sin=osa脚3 io=而 10 (n。）-不◆a四 则V而in(a-0)=V而，a-0=受+2k元，k∈Z,即a=0+十 ima=i如(0+受+2km）=6os0=3@ 10 则c0s29=2cos2月-1=2sina-1=5 故答宽为3，号] 专题9三角函数的图象和性质 考向1三角函数的图象 1.C[正弦函数的图象与性质（理性思雏、数学探索） 数形结合法因为画数y=2m(31一吾)的最小正周期T 所以通数y=2sin（3x-百)在[0,2]上的图象浴好是三个周期的 图象，所以作出函数y=2in(3-）与y=simx在[0,2]上的 图象如图所示， 由图可知，这两个图象共有6个交点，故选C.] 2.C[起函数y=0(2红十百)的图象向左平移个单位长度后得 到画数f)=os[2(+晋)十若]os2x+受)=-n2r 的图象.作出函教f()的部分图象和直线y=之一之如图所示， 观察图象知，共有3个交点，故选C.] y=-sin2t 3D[由题含得之×吾-否吾，解得。=2：易知=吾是f) 的最小维点，所以号×2+g=警+2x(k∈2D,得g=吾+2 u∈z.千是f(x)=m(2x+g+2a）=sin(2x+晋） f(登）)-如（登x2+g)=sn号-，选n] 4.D[图为y=2n3=2[(音）+合]所以起画数y 2s(3虹+号）图象上的所有点向右平移需个单位长度即可得到 函数y=2sin3x的图象.故选D.] 5.B[依题意，将y=sin（红-牙)）的图象向左平移号个单位长度， 再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f(x)的 向左平移子个单位长度 图象，所以y=sin(-牙)的图象 如（十音）的图象州有点的装坐标护夫到来的2修f(红)= si(受+是)的图象.故选k] 6.[2,3)[函教f(x)=cosz一1在区间[0,2π]有且仅有3个零点，1 即cos wz=1在区间[0,2π]有且仅有3个根，因为w>0,x∈[0，： 2π]，所以oz∈[0,2aπ]，则由余弦函数的图象可知，4r≤2ωπ<6π， 解得2≤ω<3，即w的取值范国是[2,3).] ?疗[法一（五点作图法）由题因可知子1-竖专-警 （T为f(的接小正周期)，即T=,所以征=，即w=2,故fx) =20s(2十9以.点（号0）可看作“五点作图法”中的第二个点， 故2×号十9=受，得9=-看 10 故fx)=2os(（2x-否） 所以f(受）=2cos(2×受-若）=-2os吾=-5 法三（代点法）由题意加，子T-竖音-子(T为)的表小 玉调期).所以T=x,Ξ=，即w=2又点（号0）在品数)的 图象上.所以20s(2×号+9）=0，所以2×号十g=吾+26m ∈Z.又9<受，所以令k=0,得9=-吾，所以f(x) 2o(2x-6）小所以f(分）=2cos(2x受-音）=-2ams若 -√5. 法三（平移法）由题意知，子T-竖号-(T为f)的最小 正月期)，所以T=,=,即w=2.函数)=200s2x的国象与 轴的-个交点是（牙，0）对应函教f()=20s(2x十p)的图象与 x轴的一个文点是（号，0）所以fx)=2c0s(2x十p)的图象是由 y=2c0s2x的图象向右平移号-于=是个单位长度得到的，所以 fx)=2cos(2x+p)=2cos2(r-是）-=2cos(2x-若），所以 f(受）=2os(2x号-吾)=-2cos吾=-6.] 考向2三角函数的性质及应用 ,A[三角通载的图象与性质国为f)在[一吾音]上单调递 增且音为)周象的一条对际热，所以宁×行≥危 (登)f(是）=m(径+）=1，得0<w≤2，且是+p 受+21x1∈)①，周为（号0）是f(x)图象的-个对称中 心，所以f(子)-sin(行十9）=0，得号十g=(∈z) ②，由①②得w=-2十4(k2-2k1)(k1,k2∈Z),结合0<w≤2，得 。=2,(另解：由题意得直线x=是与点（行，0）是f()图象相邻 的对称轴和对称中心，期子×二=子一立·解得。=2)到9 子十21x(k1∈Z),又-<9<，所以9=号，故f(x) m(2+号当xe[0受]时，2x+号e[紧号]所以 f化)的装小位为（受）=m经=号，故选A] 2 BC[三角函数的图象与性质十零点（理性思维） 直接法对于A,令f(x)=0,则x经，k∈Z,又g(经)≠0，故A 错误； 对于B,f(x)与g(x)的最大值都为1，故B正确： 对于C,f(x)与g(x)的最小正周期都为π，故C正确： 对于D,f代)图象的对称轴方程为2红=受十，k∈Z,即x=牙十 经C乙g)图象的对称轴方程为2江子=吾十kkEZ即 x=暂+经，k∈Z,放)与8)的图象的对称轴不相同，故D 错误，故选BC.] A[三角函数的图象与性质（理性思雏）由f(x)的最小正周期为 ,可得元-恶所以a=号，所以)=n(2x十)=一n2x当 xe[音]时2xe[]sm2xe[号]所 以f(x)nin= 5,故选A] 2 4.A[三角函数的周期性对于A,y=sinx十cosx=√2sin(x十 千)，其最小正周期为2x,A正确：对于B.y=5n0sx=令sin2z, 其最小正周期为π，B错误：对于C,y=sim'x十cos2x=1,为常值函 数，不存在最小正周期，C错误：对于D,y=sin2x-cos2x=-cos2x, 其最小正周期为元，D错误.故选A.] 5.B[对于Af)=(受最小正同期为至=4，周为2) π sinπ=0，所以函数f(x)= 如（受的图象不关于直线=2对称， 故排除A:对于B,f(x)= （受最小正同为=4，周为 f2)=os=-1,所以教f)）=o(受的图象关于直线 2对称，故选项B符合题意；对于C,D,函数y=s (）和 o(牙）的最小正周期均为石-8，均不特合题意，故排珍C,D 4 综上，选B.] 6.A[w-票∈(2,3y=f)的画教图象关于点（受.2）中心对张， 则有6=2，且f(受)=2，所以如（受叶子）十2=2，则受。叶 子-2k,k∈7解得w=。,由a∈(2,3)得表=2，=号，故 f(受)=（号×受+于）+2=-1+2=1.] 7.C[f)=os3xsin3x=cos2,选项A中：2x∈(，号)） 此时f)单调适增，选项B中：2x∈（受，看）此时f()先递 增后造减：选项C中：2x∈(0，）此时f)单调通减，选项D 中：2x∈（受晋）此时f)先递减后适增：所以选C.] &AD[由题意释f(图)=n(货+P)=0, 所以 3 十=k元，即9= 4π十kπ，k∈Z 又0<<，所以=2时9= 故f)=sim(2+号）) 选项A:x∈(0，登)时2z+受∈（受，受）由y=snu图象知 y=f(x)是单调递减的： 选项B:x(吾晋)时2红+受∈（受受）由y=mu国 象知y=)只有1个板值点，由2红十否-受可解得报值点： 选项Cx=7要时2x+2要=3，y=f(x)=0,直线x=7不是对 6 3 6 称轴： 选项D由y-2a(2+号）-1得(2+号)专， 解得2x十登-+2x或2+号-智+2，e2 3 3 所以函数y=)在点(6）)处的切线针幸为=V儿 2=-1. 初线方程为号。一任0)即y-碧] 9.D[函数f(x)的定义域为R,且f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数. f(x)=cos x-cos 2x=cos x-(2cos'x-1)=-2cosx++cosx+1= 1 -2(s一寸）广+令，又m[-1,1],故f的装大值为 号，故选D.] 10.A[法-令-受+2m≤x-名≤受十2m,k∈Z,得-牙十 2≤x≤牙十2k,k∈五取k=0,剥-子≤x≤行因为 (0,受)[哥，号]所以区同(0，受)是函数f)的单调 递增区间.故选A 法二当0<x<受时，-否<x-吾<琴，所以f(x)在 (0,受）上单调递增，故A正确：当受<<元时，号<x-否< 吾，所以f)在（受）上不单洞，故B不正璃：当心<受 时，晋<：一吾<号.所以f)在(，受)上单调递减，故C不 正：当<x<2时，号<吾<，所以f()在 (2)上不单洞，故D不正确，故选A 法三因为受<彩<餐<x,但f()=1m受-7f(晋) 7sn<7,所以区间（受，）不是画数fx)的单调递增区间，排 除B:因为K径<誓<受，但f(侣)=7nx=0f(货)= 7n号=子<0，所以区问(，受)不是函数f()的单调诡增 区间，排路c:周为警<晋<誓<2x,包f(竖)=7n -7m登>-7，f(5)=7sin竖=-7，所以区间（经，2x）不 是函数f(x)的单调递增区间，排除D.故选A.] .C[周为数f(x)=+s=E(号n号十 牙），所以函教f()的最小正周期T=红=6m,最大值为厄.故 选C.] 12[01[余孩数的位由∈[受，]得 cosx∈[0， 1].] 13.2[铺助角公式十三角函数的最值由题意知f(x)=sinx os-2n(吾当0，时-音∈[-吾到， m(子)）∈[-9.1]子是f0x∈[52]：故f0在 [0,π]上的最大值为2.] 14.一之[角的概念十诱导公式十余弦函教的性质（理性思维，数学 探索)因为a与B的终边关于原点对称，所以B=2kπ十元十a(k∈ Z,所以cosB=os(2kx+x+a）=-cosa.周为a∈[若，号]所 以osa[合]所以os【]所以cos的 最大值为一2· 15.- [对比正弦函数y=sinx的园象易知，点（经0）为"五点 (画图)法“中的第五点，所以受。十g=2m①。 由题知AB=xB一xA=6 ∫0xa十9=6 两式相减，得w ωxB十9=6 4)=即解得w=4 代入①，得g=所以f)=如（）=一 2π 16.三角函数的解析式十值域十单调区间 解()因为f0)=c0s9=之，且0≤K,所以g=号 (2)第1步：化简g(x) g)=f)+f(r6）=cos(2x+号)+cos2u =as2os-n2zn号+os2=cos29n2z -5(9os2xsin2x）=5os(2z+晋） 第2步：求g(x)的值域 因为余弦函数y=c0s0的值城是[-1,1]，令0=2红十百，那么函 数y=3cos0的值域就是[-√3，，所以g(x)的值域为[-3， 3. 第3步：求g(x)的单调区间 易知余弦函数y=cos0在[-元十2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增，令 2元2x十后<2（∈2，得x晋≤xx音（∈Z 所以5)的单消递增区间为[x受红是]小水∈Z. 易知余弦函数y=cos0在[2kπ，2kπ十π](k∈Z)上单调递减，令 2kx≤2x十音≤2kx十xk∈Z,得km-是≤x≤kx+径(k∈Z, 所以g)的单洞递减区间为[kx音k+登]∈2 17.解(1)因为fx)=sinx十cosx, 所以f(+)=m(+受)+o(+受) =cos a-sin 所以y-[r(+受)门=(osx-mx)=1-n2x 所以函数)=[f(+受)]的最小正周期T=受=元 2)f(-于)=im(晋)+cos(-平）-n 所以y=ff(r平）-(sinx+cosx) =V2(sin xcos十sin2x) =(合n2x合os2z+号)=m(2x子）+号 当xe[0,受]时，2x-晋∈【冬] 所以当2一子=受，即x=时 函数y=f(x)f(r-)在[0受]上取得最大值，且 1+9 考向3由三角函数的性质求参数 1.B[正切函教图泉的对称性令江一受-受，k∈得=受十 号，k∈，故y=21am(x-受)的图象的对称中心为 (受+受0）k∈工由题意知a=经+受∈N,其最小位为 受，故选B] 2.B[正弦函数的图象与性质（理性思维）因为f(x)=sin wx∈ [-1],且f)=-1f(z2)=1,xxm=分，所以fx） 的最小正周期T=2X受=，所以w-2票=2故选B 1 考向预见对三角函数的图象与性质的考查是历年来高考的热 点，主要从以下两个方面进行考查：(1)三角函数的图象，涉及图象 的乎移变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空 题的形式考查，如2023年全国甲卷文、理科都考查了图象的平移变 换：(2)利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值城、 单调区间等，如本题考查根据正弦型函数的特征求参数，] 3.C[依题意可得仙>0，因为x∈(0，π)，所以x十 要使函数在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，又y=sinx,x∈ (行，3x)的图象如下所示： 2 期受<十≤3，解得<w≤号，即ω∈（号}故 3 选C.] 4.DL∈[0受]时3-fa)取值范[-2，.从而+》 取值范国[-1，）从而十)取值范[-1，]将 选项代入验证知D符合，] 5.3[因为f(x)=c0s(x十p),(a>0,0<π) 所以最小周期T-,周为f(D=s(+p）=0s(2x )=cos o= 2 又0<g,所以9=否，即f(x)=cos(虹+6)） 又x=号为f()的零点，所以哥a十百=受十kx,k∈Z,解得@ 3十9k,k∈Z, 因为w>0,所以当k=0时0mim=3. 故答案为：3.] 6.函数与导数的关系十三角函数的图象与性质 解(1)解法一第1步：求f(x) 因为f(x)=5c0sx-c0s5.x, 所以f(.x)=-5sinx十5sin5.x. 第2步：令f(x)=0,求出导函数的零点，讨论函数f(x)的单调性 令f(x)=0,得sinx=sin5,又x[0,],所以x=5x或x π-5x, 所以x=0或x=T 6 所以x,f'(x,f(x)的关系如表所示： 0 0,6 ( F'(x) 0 大于0 0 小于0 f(x) 单调递增 极大值 单调递减 第3步：求f代x)在区间[0，牙]的最大值 国为f(行)=5cos吾-o晋=35， 所以函数fx)=50s-c0s5x在区同[0，牙]的最大值为3尽. 解法二第1步：求f(x) 因为f(x)=5c0sx-c0s5.x, 所以f(x)=-5sinx十5sin5.x. 第2步：对f(.x)提取公因式，进行分析 f'(x)=5(sin xcos 4x+sin 4xcos x-sin x)=5sin x(cos 4x+ 4cos2x·cos2x-1)=5sinx·4cos2x(1-4sin2x), 易得当x∈[0，子]时，5simx·4cosx≥0.，令f（x)>0.得x∈ (0,晋）)◆f(x)<0.得x(行，于] 第3步：写出x,f(x),f(x)的关系 所以x,f'(x),f(x)的关系如表所示： 0 0,6 6 (] (x) 大于0 0 小于0 f(x) 单调递增极大值 单调递减 第4步：求f(x)在区间[0， π1 的最大值 5π=35 因为f()=5cos-co 所以函教f(x)=5cosx-c0s5x在区间[0，开]的最大值为3. 解法三第1步：求导并化简 由题得f'(x)=-5sinx十5sin5.x=5×2cos 2 10sin 2xcos 3x, 第2步：写出x,f(x),f(x)的关系 由re[, ],得$in2x≥0，故x,f(x),f(x)的关系如表所示： 0 (] f(z) 0 大于0 0 小于0 f(x) 单调递增 极大值 单调递减 第3步：求)在区间[0，牙]的最大值 因为f(告）=5c0s吾-os要-35。 所以函数f()=5c0sx-c0s5x在区间[0，牙]的最大值为35. (2)解法一第1步：根据周期性写出a的范围 因为余弦函数的周期为2π，所以不妨设a∈(0,2π] 第2步：分a≤20和a>20两种情况讨论 当a≤20时，a-≤0，则0∈[a-0,a十θ)，此时存在y=0,使得 c0sv=co50:(6分) 当a>20时，0a-0s≤2x-0, 作出余弦函数的大致图象（如图所示）， a-62m-0 所以c0s(a-0)c0s0, 只需要取v=a-0,即可得到cosy≤cos日. 第3步：得出结论 综上可得，给定θ∈(0，π)和a∈R,存在v∈[a-0,a十0们使得cosy ≤cos6. 解法二（反证法）第1步：假设结论不正确 假设cosy>cos0对任意y∈[a-0,a十]恒成立， 第2步：根据余弦函数的图象与性质得出y的取值范围 由cos y>cos0得2kπ0y<2kπ十0，k∈Z,这与a∈R,任意y∈ [a-0,a十0]矛盾， 所以假设不正确，故一定存在y∈[a-0,a十们使得cosy≤cos0. 解法三（综合法）第1步：利用两角和与差的余弦公式探寻关系 因为cos(a十0)+cos(a-0)=2 cos acos0s≤2cos0, 所以cos(a十0)与cos(a-0)中必有一个小于等于cos0. 第2步：反证法证明以上结论 否则cos(a+0)>cos0,cos(a一0)>cos8,这与cos(a十)+cos(a- 0)=2 cos acos02cos0矛盾. 第3步：得出结论 所以一定存在y=a-0或y=a十0，使得c0s≤cos0, 所以对于给定0∈(0，π)和a∈R,存在v∈[a一0，a十]使得cos≤ cos 0. (3)第1步：特殊值=0探路 令h(x)-5cosx-cos(5x十p),当p=0时，因为h(x)=h(-x), h(x)=h(x十2π)，所以h(x)为偶函数，且2π为h(x)的周期，所以 诗论(x)在[0,2m)上的情况，由(1)可知(x)在(0，否)上单调 1 递增，在（侣，晋）上单洞递减，在（语）上单洞运增，站合对称 性，及h(π)=一4，可知x∈[0,2π)时(x)≤3√5，所以此时b的最 小值为3√5. 第2步：根据©的任意性，将问题进行转化 要证35为b的最小值，对于任意的p,只需要证明h(x)的最大值 不小于3√， 只需要证明存在x0,使得h(x0)≥3√3. 第3步：利用(2)的结论进行求解 当xo|≤6时，令yo=5xo十9，则% [+晋+] 由2)可知取0=晋a=,可得在[十9吾+9] 得co5yo≤cos6 2 所以hxo)=5c0s0-c0s(5十g)=5c0s-cos≥5XY9 2 (9）=35 综上可得，bin=3√3. 专题10解三角形 考向1正、余弦定理的简单应用 1.A[余弦定理的应用通解cosA=+B)+6二4 2(1+√5)X√6 号周为0<A<1,将以A=5 光速解I0秒（根据边的大小关系排除）因为BCAC,BC AB,所以A为最小角，所以A<60°，排徐B,C,D,故选A.门■ 2.C[正、余弦定理在解三角形中的应用（理性思雏，数学探索）由 正弦定理得号sin Asin C=inB,因为B=子，所以sin Asin C- 合inB=号由参孩定理得=d+e一2=a+ ac=号ac,所以d2+e-9ac,所以sinA+sinC-=9 in Asin C, 所以(nA+snCy=sidA+snC+2nAnC=头inAsin C- 子又mA>0:mC0,所以知A十血C9] 3.C[因为acos B-bcos A=c,所以由正弦定理得sin Acos B sin Bcos A=sinC=sin(B+A),则2 sin Bcos A=0.在△ABC中， sinB≠0，则cosA=0,A=受.所以B=元-A-C=x-受-于= 晋故选C门 4.D[法一由余弦定理得AC=AB十BC2-2AB·BCcos B,得 BC十2BC-15=0,解得BC=3或BC=-5(舍去).故选D. 法二由正弦定理品得C-ABicB从 AC 9 而osC-4四(C是锐角)，所以sinA=sin[x-(B+C]= 19 sin(B+C)-血sc叶nC-号×1S子×g 19 3又所以C=AC4-8我意D sin B 5.√5-1[设CD=2BD=2m>0,则在 △ABD中，AB=BD十AD-2BD ·ADeos∠ADB=m2十4+2m,在 △ACD中，AC2=CD十AD2-2CD· B AD c0s☑ADC三4n+4-4m,所以C与 4n+4-4m_4(m2+4+2m)-12(1十m)=4- 12 m2十4十2 m2十4十2m 3 (m十1)十m十 12 4 ==4一2√3，当且仅当m十1= 3 2√m+1)·m中 8