专题2 常用逻辑用语-【创新大课堂】2026年高考数学五年真题分类汇编168优化重组卷

专题2常用逻辑用语 考向充分条件与必要条件 5.(2023·新课标I卷，5分)设Sm为数列{am}的 1.(2025·天津卷，5分)设x∈R,则“x=0”是 前n项和，设甲：a}为等差数列：乙：倍}为 “sin2x=0”的 等差数列.则 A.充分不必要条件 A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.必要不充分条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.充要条件 C.甲是乙的充要条件 D.既不充分也不必要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要 2.(2024·新课标Ⅱ卷，5分)已知命题p:Hx∈R, 条件 x十1|>1；命题q:3x>0,x3=x.则 ( 6.(2023·全国甲卷·理，5分)设甲：sina十sin3= A.饣和q都是真命题 1,乙：sina十cos3=0,则 ( B.7p和q都是真命题 A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 C.p和q都是真命题 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 D.一p和一g都是真命题 C.甲是乙的充要条件 3.(2024·北京卷，4分)设a,b是向量，则“(a+b)· D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要 (a-b)=0”是“a=-b或a=b”的 ( 条件 A.充分不必要条件 7.(2023·天津卷，5分)“a2=b2”是“a2+b2= B.必要不充分条件 2ab”的 C.充要条件 A.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 B.必要不充分条件 4.(2024·天津卷，5分)设a,b∈R,则“a3=b3”是 C.充分必要条件 “34=3b”的 D.既不充分又不必要条件 A.充分不必要条件 8.(2021·浙江卷，4分)已知非零向量a,b,c,则 B.必要不充分条件 “a·c=b·c”是“a=b”的 C.充要条件 A.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 B.必要不充分条件 3 C.充分必要条件 (1)给定数列A:1,3,2,4,6,3,1,9和序列2： D.既不充分也不必要条件 (1,3,5,7),(2,4,6,8),(1,3,5,7),写出 9.(2021·全国甲卷理，5分)等比数列{am}的公 2(A); 比为g,前n项和为Sm.设甲：g>0,乙：{Sn}是 (2)是否存在序列，使得2(A)为a1十2，a2+ 递增数列，则 6,a3+4,a4+2,a5+8,a6+2,a7+4,a8+4? A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 若存在，写出一个，若不存在，请说明理由； B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 (3)若数列A的各项均为正整数，且a1十a3十 C.甲是乙的充要条件 a5十a7为偶数，求证：“存在序列2，使得2(A) D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要 的各项都相等”的充要条件为“a1十a2=a3十 条件 a4=a5十a6=a7十ag”. 10.(2021·北京卷，4分)已知f(x)是定义在 [0,1]上的函数，那么“函数f(x)在[0,1]上单 调递增”是“函数f(x)在[0,1]上的最大值为 f(1)”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 11.(2024·北京卷，15分)已知集合M={(i,j,k, w)|i∈{1,2}，j∈{3,4}，k∈{5,6}，w∈{7,8}， 且i十j十k十w为偶数).给定数列A:a1,a2, …,ag和序列2：T1,T2…,T,其中T,=(i, j,k,w,)∈M(t=1,2,…,s),对数列A进行 如下变换：将A的第i1,j1,k1,w1项均加1，其 余项不变，得到的数列记作T1(A):将T1(A) 的第i2j2,k2,w2项均加1，其余项不变，得到 的数列记作T2T1（A)；…;以此类推，得到 数列T…T2T1(A),简记为2(A).参考答等 专题1集合 考向1集合的含义与表示 1,D[集合的运算（理性思雏、数学应用、数学探索）B={1,4,9, 16,25,81},A∩B={1,4,9},则04(A∩B)={2,3,5}.故选D.] 2.B[依题意，有a-2=0或2a-2=0.当a-2=0时，解得a=2,此 时A={0,一2}，B={1,0,2},不满足A二B:当2a-2=0时，解得 a=1,此时A={0,一1}，B={-1,0,1},满足A二B.所以a=1,故 选B.」 3.[4,5][集合的补集由题意得A=[4,5].(注意：非上海考卷这 里为CA=[4,5])] 4.{1,3,5}[集合的补集A={1,3,5},] 5.329[集合的性质十排列组合由题意可知集合中最多有一个奇 数，其余均为偶数.个数为0的无重复数字的三位正整数有P=72 (个)：个位为2,4,6,8的无重复数字的三位正整数有CCC8=256 (个).所以集合中最多有72十256=328（个）偶数，再加上一个奇 数，则集合中元素个数的最大值为328十1=329.] 考向2集合的基本运算 1.C[集合补集十集合中元素个数U={1,2,3,4,5,6,7,8},A= {1,3,5},故CA={2,4,6,7,8},故CA中有5个元素.故选C.] 2.D[集合的交运算由题可得B={一1,0,1}，所以A∩B={0, 1},故选D.] 3.D[集合的并、补运算由题可得AUB={1,2,3,5},所以 C(AUB)={4},故选D.] 4,A[集合的交运算十三次不等式的解法（理性思雏、数学探索） 通解（直接法）因为A={x|一5<x3<5}=|x|-5<x<5), (注：ab=a<b3)B={-3,-1,0,2,3},所以A∩B={-1,0}, 故选A 优解（验证法）因为(-3)2=-27<-5，(-1)3=-1∈(-5,5)， 03=0∈(-5,5)，23=8>5,33=27>5，所以-1∈A,0∈A,-3 A,2庄A,3￠A,所以A∩B={-1,0},故选A.] 5.C[集合的交运算因为B={xx十1∈A},分别令x十1=1，x十 1=2,x十1=3，x十1=4，x十1=5，x十1=9，得x=0,1,2,3,4,8 所以B={0,1,2,3,4,8},于是A∩B={1,2,3,4},故选C.」 6.C[集合的并运算（理性思雏）由集合的并运算，得MUN={x| 3<x<4}.故选C.] 7.B[集合的交集运算（理性思维）因为A={1,2,3,4},B={2,3, 4,5},所以A∩B={2,3,4},故选B.」 8.C[因为N={x|x2-x-6≥0}={x|x≥3或x-2},所以M∩ N={-2}.故选C.] 9.A[M={…,-2,1,4,7,10,…},N={…,-1,2,5,8,11…,所 以MUN={…,-2,-1,1,2,4,5,7,8,10,11,…},所以Cv(MU N)={…,一3,0,3,6,9，…}，其元素都是3的倍数，即C口(MUN) {xx=3k,k∈Z},故选A.门] 10.A[由题意知，CM={2,3,5},叉N={2,5},所以NUCM= {2,3,5},故选A.] 11.A[MUN={x|x<2},所以C(MUN)={xx≥2}，故选A.] 12.A[由题意知，CN={2,4,8},所以MUCEN={0,2,4,6,8}. 故选A.门] 13.A[因为U={1,2,3,4,5},B={1,2,4},所以CB={3,5},又 A={1,3},所以(CB)UA={1,3,5}.故选A.] 14.B[因为A={x|-2<x<4},B={2,3,4,5},所以A∩B={2, 3},故选B.] 15.D[因为集合A={x|x≥1}，B={x|-1<x<2},所以A∩B {x|1x<2}.故选D.] 16.B[MnN={g<<4}] 17.C[法一在集合T中，令n=k(k∈Z☑)，则t=4n十1=2(2k)十1 (k∈Z),而集合S中，s=2n十1(n∈Z),所以必有T二S,所以S∩ T=T,故选C 法二S={…,一3，一1,1,3,5，…}，T={…,-3,1,5,…},观察 可知，T二S,所以S∩T=T,故选C.] 18,B[由题意得集合N={z>子}所以MnN=5,79.] 案与详解 19.A[法一（先求并再求补）因为集合M={1,2},N={3,4}, 所以MUN={1,2,3,4}. 又全集U={1,2,3,4,5},所以C(MUN)={5}.故选A 法二因为C(MUN)=(CM)∩(CN),CM={3,4,5}. CN={1,2,5},所以Cu(MUN)={3,4,5}∩{1,2,5}={5}.故 选A.] 20.B[由集合并集的定义可得AUB={x一1<x2},故选B.] 21.{一1,0}[由交集的定义知，结果为{一1,0}.] 专题2常用逻辑用语 考向充分条件与必要条件 1.A[三角求值十充要关系的判断由x=0得sin2x=0,所以充 分性成立：由sin2x=0得x=严(k∈Z),所以必要性不成立.故 “x=0”是“sin2x=0”的充分不必要条件，故选A.] 2.B[全称量词命题与存在量词命题的真假判断十命题的否定 通解因为Hx∈R,x十1≥0，所以命题b为假命题，所以一b为 真命题.因为x3=x,所以x一x=0,所以x(x2一1)=0，即 x(x十1)(x一1)=0，解得x=一1或x=0或x=1,所以3x>0,使 得x3=工，所以命题q为真命题，所以门g为假命题，所以力和g 都是真命题，故选B 优解（特殊值法）在命题p中，当x=一1时，x十1一0，所以命 题p为假命题，一p为真命题.在命题g中，因为立方根等于本身的 实教有一1,0,1，所以3x0,使得x3一x,所以命题g为真命题， g为假命题，所以一力和g都是真命题，故选B.] 3.B[充分条件与必要条件十向量的数量积（理性思维、数学探索） 由(a十b)·(a-b)=0,得a2-b2=0,即a2-|b|2=0,所以|a =|b|,当a=(1,1),b=(-1,1)时，a|=|b|,但a≠b且a≠-b, 故充分性不成立；当a=一b或a-b时，(a十b)·(a-b)=0,故必 要性成立，所以“(a十b)·(a一b)=0”是“a=一b或a=b”的必要不 充分条件，] 4.C[充分、必要条件（数学探索）由函数y=x3单调递增可知，若 a3=b,则a=b:由函数y=3单调递增可知，若3“=3，则a=b. 故“α3=b3”是“3=3b”的充要条件，故选C.] 5.C[若{an}为等差数列，设其公差为d,则an=a1十(n-1)d,所以 3=+02,所以是-a1十a-D·号，所以别三 n十1 a1十(n十1-1)· d 2 a1+(n-1)· 2 ,为常数，所以 {三}为等差数列，即甲一乙：若{三}为等差数列，设其公差为1， n n 十(n-1)1=a1十(n-1)t,所以Sn=a1十n(n-1)t,所 以当n≥2时，an=Sn-Sm-1=a1十n(n-1)1-[(n-1)a1+(n 1)(n-2)t]=a1十2(n一1)1，当n=1时，S1=a1也满足上式，所以 an=a1十2(n-1)1(n∈N*),所以an+1-a,=a1十2(n十1-1)t [a1十2(n一1)t]=2t,为常数，所以{an}为等差数列，即甲←乙.所 以甲是乙的充要条件，故选C.] 6,B[甲等价于sin2a=1-sinB=cos2B,等价于sina=士cosB,所以 由甲不能推导出sina十cosB=0,所以甲不是乙的充分条件；由 sina十cos3=0,得sina=一cos3,平方可得sina=cos3=1-sin3, 即sina十sin=1,所以由乙可以推导出甲，则甲是乙的必要条件.综 上，选B.] 7.B[若a2=仔，则当a=-b≠0时，有a2十=2a2,2ab=-2a2,即a2十 b2≠2ab,所以由a2=b2台u2十b2=2ab:若a2十b=2ab,则有a2十b2 2ab=0,即(a-b)2=0,所以a=b,则有2=b2,即a2十b2=2ab→a2= b.所以“a2=b2”是“a2十}=2ab”的必要不充分条件.故选B] 8.B[由a·c=b·c可得(a一b)·c=0,所以(a-b)⊥c或a=b,所 以“a·c=b·c”是“a=b”的必要不充分条件，故选B.] 9.B[当a1<0,9>1时，an=a1g-1<0,此时数列{Sn}递减，所以甲 不是乙的充分条件.当数列(Sn}递增时，有S+1一S=an+1=a19> 0,若a1>0,则q”>0(n∈N"),即q>0:若a10,则q”<0(n∈ N”),不存在，所以甲是乙的必要条件，综上，甲是乙的必要条件但 不是充分条件.」 10.A「若函数f(x)在[0,1]上单调递增，则f(x)在[0,1]上的最大 值为f(1),若f(x)在[0,1]上的最大值为fx),比如f(x)在z 专）但f=(号）在[0，号]上为减画数，在[号 1]上为增函数，故fx)在[0,1]上的最大值为f(1)推不出f(x) 在[0,1]上单调递增，故函数f(x)在[0,1]上单调递增是f(x)在 [0,1]上的最大值为f(1)的充分而不必要条件，故选A] 11.新定义十充要条件（理性思维、数学探索） 解(1)(A):3,4,4,5,8,4,3,10. (2)不存在.理由如下： 若存在n,则a1,a2与ag,a1增加值之和应该相等，注意到a1a2 一共增加了8，而a,a1一共增加了6，从而不存在符合题意的2. (3)第1步：证明必要性 因为存在序列2，使得a1=a2=…=ag,所以a1十a2=a3十a1-a5 十a6=ar十a8, 又每次进行变换时，a1十a2,a十a1,a5十a6a?十ag均增加1， 故经过n(n∈N")次变换后，a1十a2十n=ag十a1十n=a5十a6十m =a,十a%十n,可得a1十a2=a4十a1=a5十a6=a?十ag恒成立. 第2步：证明充分性 如果a1十a2=ag十a1=a5十a6=a;十a8, 且还有a1一a2=a3一a1=a5-a6=a7一ag=0, 则有a1=a2=ag=a1=a5=a6=a;=a%,即n(A)为常数列， 由于每次变换后均有a1十a2=ag十a1=a5十a6=a,十a8, 故我们只需证明可在某一步变换后有a1一ag=ag一a1=a5一a6= a7-a8=0. 设(S1,S2,S3,S1)=(a1-a2,a3-a1,a5-a6,a7-ag), 从而(S1,S,,S,S1)在每次变换后相当于偶数个位置上加1，其余 减1， 由a1十a2=a十a1=a十a6=a?十ag,可得初始情况下S1,S2, S,S1同时为奇数或同时为偶数， 不妨设为偶，则a1十ag十a5十a?为偶，所以S1十S2十S十S1为4 的倍数，且在变换后仍同时为奇数或同时为偶数，且和为4的 倍数. 经过若千次变换后，不妨设maxS,|达到最小值，且取max|S,的 S,最少， 不妨设成|S1|且S1>0. 当S1≥2时， ①假设还有1S2|≥2. 若S2≥2， 则(S1,52,S,S1)→(S1-1,S2-1,S4-1,S1-1)→(S1-2,S2 2,S3,S1), 若S2-2, 则(S1,S2,S3,S1)→(S1-1,S2十1，S3-1,S1十1)→(S1-2,S2十 2,S3,S1),() 总可使|S,,|S,|同时减小，与假设矛盾」 ②假设1S21,1S1,S4<1, 若S2,S3,S1中有小于零的，设为S2,同()即可， 若S2,S3,S1均大于等于零，所有位置同时减2， 与假设矛盾， 当S11时，S:要么为0，要么为士1， 由于S1十S2十S3十S1是4的倍数，只可能为以下几种及其轮换， a.(0,0,0,0), b.(1,1,-1,-1)→(0,0,0,0)， c.(1,1,1,1)-(0,0,0,0), d.(-1,-1,-1,-1)→(0,0,0,0)， 故均与假设矛盾，即maxS,|最小时为0， 即总能使得(S1,S2,S,S1)(0,0,0,0),即3n,使得2(A)为常数列 专题3函数的图象和性质 考向1函数的概念及其表示 1.√3[分段函数求值因为3>0，所以f(3)=3.] 2.C[由(x)=1+2,得f(-x)=1+2 1 1 2+1 2E 2 1十2，所以f《-)+f)=1十g十1十2=1.故选C.] 2,0)U(0,1门[由题意可得120.解得x≤1且x≠0 以函数f(x)的定义域为（一∞，0）U(0,1].] 4.2[因为√6>2，所以f(√6)=6一4=2， 所以f(f(√6))=f(2)=1十a=3,解得a=2.] 考向2函数的奇偶性 1.A[分段函数十函数性质通解当x∈[一1,0]时，-x十2∈ [2,3],所以当x∈[-1,0]时，f(x)=f(一x)=f(一x十2)=5 2(-计2)=1+2，所以f(子）=1-号-之故选A 光速解15秒f(-)=f(子)=f(+2)=5-2× (+2）=-1 2.ABD[奇函数的性质十函数的极值 A(√)根据奇函数的定义有f(0)=0. B(√)当x<0时，一x>0,所以f(一x)=(x2一3)ex十2，因为 f(-x)=-f(x),所以f(x)=-(x2-3)ex-2. 错误项分析C(X)当x>0时，f(x)=(x2十2x-3)e= (x一1)(x十3)e,所以函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞) 上单调递增，又f(3)=2,当x→0+时，f(x)→一1，所以由f(x) ≥2得x≥3：当x<0时，f(一1)=2(e-1)>2,满足f(x)≥2，但 -1度[5，+o∞). D(/)根据C解析知x=1是函数f(x)的极小值点，根据奇函数图 象关于原点对称，知x=一1是函数f(x)的极大值点，] 3.D[函数图象的识别十函数的奇偶性由题图可知函数f(x)的 定义城为(xx≠士1}，且f(x)为偶函数，易得f(x)=1工与 f代x）=z均为奇函数，排除选项A,B.由题图可知当x>1时， f0>0,易得当x>1时，fx)= z<0,fx)=x>0,排 x2-1 除C,故选D.」 4.0[函数的奇偶性通解因为f(x)是奇函数，所以f(一x)= -f(x),即(-x)十a=-(x十a),得a=0. 优解因为f（x)是奇函数，所以f(0)=a=0.] 5.B[镜)=h司，易知g)的定又战为(-，号）U 2x1 (合+小里-=h异-经寻 2x-1 2.x十1 g(r),所以g(x)为奇函数.若f(x)=(x十a)ln2+ 2x-1 为偶函数， 则y=x十a也应为奇函数，所以a=0,故选B.] 6.D[f(x)的定义城为{xx≠0}，因为f(x)是偶函数，所以f(x) eF。即e1-r-e=-e十e,即 f(-x),即e 一xe e1-ar十ea-1a=er十ex,所以a-1=士1，解得a=0(含去)或 a=2,故选D.] 7.B[法- 为f)-卡是，所以f代x一)=中西☒ 1-(x-1)_2-x f(x+1)= 1-(x十1)-x 1十(x+1)x+2 对于A,F()=f(x-1)-1=2_工-1=222，定义拔关于原点 对称，但不满足F(一x)=一F(x),故不是奇函数： 对于B,G(x)=f(x-1)十1=2工+1=2，定义城关于原点对 称，且满足G(一x)=一G(x),故是奇函数： 对于C,f(x十1)-1= x+2 -1=2=一2十，定义域不 x十2 x+2 关于原点对称，故不是奇函数； 对于D,x+1)+1主2十1三十=2 x十2 十2，定义城不关 于原点对称，故不是奇函数.故选B. 法二f(x)=1+x 2 1十x ·一1，为保证函数变换之后 为奇函数，需将西数y=f(x)的图象向右平移1个单位长度，再向 上平移1个单位长度，得到的图象对应的函数为y=f(x一1)十1， 故选B.]