第十九章 函数（复习课件）数学新教材冀教版八年级下册

单元复习课件 第十九章 函数 新教材冀教版·八年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.理解函数是描述变量之间对应关系的数学模型，能准确判断两个变量是否构成函数关系，掌握自变量取值范围的确定方法，体会函数思想的核心——对应与变化. 3.能从实际问题中抽象出函数关系，建立函数模型，特别是能处理分段函数等常见实际情境，培养数学建模能力和应用意识. 2. 熟练掌握函数的三种表示方法（列表法、解析法、图像法），能根据需要进行相互转化，会用描点法画简单函数的图像，感悟数形结合的思想方法. 单元学习目标 实际问题 函数 常量与变量 概念 表示 应用 自变量与函数 自变量的取值范围 数值表 图像 表达式 单元知识图谱 考点一、常量与变量 1.常量的定义 在一个变化过程中，数值始终保持不变的量叫做常量. 例如：圆周率π约等于3.14159...，无论在什么计算中，它的值都是固定不变的；一辆汽车以每小时60公里的速度匀速行驶，这个速度60km/h就是常量. 注意事项： 常量不一定是具体的数字，也可以用字母表示一个固定不变的数值，比如在公式中用一个固定的k值 π永远是常量，不要误以为π是变量，因为它代表的是一个固定的数学常数 常量是相对于"某个变化过程"而言的，脱离具体过程谈常量没有意义 考点串讲 注意事项： 变量必须是在同一个变化过程中讨论的，不同过程中的变量没有直接关系 同一个量在不同情境下可能是常量也可能是变量，关键看它在这个特定过程中是否发生变化 判断时要仔细审题，明确题目描述的是怎样的变化过程 考点一、常量与变量 2.变量的定义 在一个变化过程中，数值可以发生变化的量叫做变量。 例子：汽车行驶的时间t可以是1小时、2小时、3小时等，行驶的路程s会随着时间的变化而变化，时间和路程都是变量。 考点串讲 注意事项： 分析问题时首先要明确研究的是哪个变化过程 同一个公式在不同条件下，常量与变量的身份可能互换 做题时务必先确定哪个量固定、哪个量变化，再下结论 3.常量与变量的相对性 常量和变量不是绝对的，而是相对于具体的变化过程而言的. 例子：在公式s=vt（路程=速度×时间）中： 如果汽车匀速行驶，速度v保持不变，那么v是常量，t和s是变量 如果是100米赛跑，路程s固定为100米，那么s是常量，v和t是变量 考点一、常量与变量 考点串讲 注意事项： "每一个"意味着自变量x在其取值范围内的所有值都要考虑到，不能遗漏 "唯一确定"是核心要求，即一个x只能对应一个y，不允许出现一个x对应多个y的情况 反过来，不同的x可以对应同一个y，这是允许的（比如中，和都对应） 考点二、函数 1.函数的定义 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 函数描述的是两个变量之间的一种特殊对应关系——一个输入对应唯一一个输出. 考点串讲 注意事项： 自变量和函数值是两个不同的概念，不要混淆 求函数值本质上是代入求值，但要注意代入的自变量值必须在自变量的取值范围内 函数值会随着自变量的变化而变化，体现了函数的对应关系 2.自变量与函数值 在函数关系中，主动变化的量x叫做自变量，随着自变量变化而变化的量y叫做因变量，也就是函数. 当时，，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值. 考点二、函数 考点串讲 注意事项： 不要仅凭"y随x的变化而变化"就判断为函数，必须检验唯一性 用图像法判断时，要想象或画出垂直于x轴的直线，观察交点个数 牢记：圆、抛物线（开口向左或向右）都不是函数图像 3.判断是否为函数关系 判断一个关系是否为函数，关键看是否满足：对于每一个自变量的值，函数值是否唯一确定. 图像判断法（垂直于x轴的直线检验法）： 在平面直角坐标系中，任意作一条垂直于x轴的直线，如果该直线与图像最多只有一个交点，那么这个图像表示的就是函数关系； 如果存在垂直于x轴的直线与图像有两个或两个以上的交点，则不是函数关系. 考点二、函数 考点串讲 注意事项： 求自变量取值范围时，要考虑解析式本身有意义，要考虑实际问题有意义 分式函数中，分母等于零的点要排除 根式函数中，被开方数小于零的点要排除 实际问题中，即使解析式允许，不符合实际的值也要排除 4.自变量的取值范围 使函数有意义的自变量的取值范围，叫做函数的自变量取值范围. 确定原则： 解析式角度：分母不能为零；偶次根号下的被开方数必须大于或等于零 实际问题角度：要符合实际意义，如时间不能为负、人数必须为正整数等 考点二、函数 考点串讲 注意事项： 列表法只能表示出自变量的部分取值及其对应的函数值，无法表示所有可能的取值 选取的自变量值要有代表性，尽量覆盖不同的情况（正数、负数、零等） 列表时要注意数据的排列顺序，通常按自变量从小到大排列 考点三、函数的表示方法 1.列表法 通过列出自变量与函数值的对应表来表示函数关系的方法叫做列表法. 适用场景：当自变量的取值为有限个或离散的数据时，列表法直观明了. 例子：平方表、立方表、银行利率表等. 考点串讲 注意事项： 并不是所有函数都能写出解析式，有些函数关系只能用图像或列表表示 解析法虽然精确，但要注意自变量的取值范围限制 用解析法表示时，要注明自变量的取值范围（特别是实际问题） 2.解析法 用数学式子（解析式）来表示函数关系的方法叫做解析法。 适用场景：当函数关系可以用数学公式明确表达时 例子：，，等。 考点三、函数的表示方法 考点串讲 注意事项： 图像法直观但不精确，从图像上读取的数值往往是近似值 画函数图像时要用平滑曲线连接，不能画成折线（一次函数除外） 图像要向两边适当延伸，表示函数的连续性 实际问题中的函数图像可能只是一部分，不要无限延伸 3.图像法 用平面直角坐标系中的图形来表示函数关系的方法叫做图像法。 适用场景：需要直观展示函数变化趋势时。 例子：气温随时间变化的曲线、股票走势图等。 考点三、函数的表示方法 考点串讲 注意事项： 列表取值时要有代表性，兼顾正负数和零，注意对称性 描点要准确，特别是与坐标轴的交点、顶点等特殊点 连线必须用平滑曲线，体现函数的连续性，除非是离散的点 要分析图像的变化趋势，合理延伸，不要只画有限的几点之间的线段 对于实际问题，要根据实际意义确定图像的范围，不能盲目延伸 4.描点法画函数图像 画函数图像的基本步骤： 第一步：列表——在自变量取值范围内取若干值，计算出对应的函数值 第二步：描点——在坐标系中准确描出这些点 第三步：连线——按自变量由小到大的顺序用平滑曲线连接各点 考点三、函数的表示方法 考点串讲 注意事项： 审题时要仔细，找准关键词和等量关系 建立函数关系时要确保单位统一，不同单位要先换算一致 自变量的取值范围必须同时满足解析式有意义和实际问题有意义两个条件 解完后一定要检验答案是否符合实际，不能只看数学上是否正确 考点四、函数的实际应用 1.建立函数模型的基本步骤 解决实际问题时，建立函数模型的过程： 第一步：认真审题，理解题意，找出问题中的变量 第二步：分析变量之间的关系，确定哪个是自变量，哪个是函数 第三步：根据等量关系，建立函数解析式 第四步：确定自变量的取值范围 第五步：利用函数知识求解问题 第六步：检验结果是否符合实际意义，写出最终答案 考点串讲 注意事项： 选择模型时要分析变量间的实际关系，不能生搬硬套 一次函数中，b=0时就是正比例函数，正比例函数是一次函数的特殊情况 实际问题中常出现分段函数，如阶梯电价、分段计费等，要注意分界点的处理 建立模型后要通过实际数据验证模型的合理性 2.常见函数模型 正比例函数模型： 适用场景：两个量成正比例关系，如单价固定时总价与数量的关系. 一次函数模型： 适用场景：均匀变化的问题，如匀速运动、电话计费、出租车计费等. 反比例关系模型： 适用场景：两个量的乘积为定值，如路程一定时速度与时间的关系. 考点四、函数的实际应用 考点串讲 注意事项： 处理分段函数时，首先要明确各段的自变量取值范围 特别注意分界点属于哪一段，通常在数学表达中要明确写出 画分段函数图像时，在分界点处要注意是实心点还是空心点，表示是否包含该点 求分段函数的函数值时，要先判断自变量属于哪一段，再代入相应的解析式 考点四、函数的实际应用 3.分段函数问题 在实际问题中，函数关系可能不是单一的，而是根据自变量的不同取值范围有不同的对应关系，这种函数叫做分段函数。 考点串讲 题型一、变量与常量 例1.张三上学时以的速度行走，他所走的路程与时间 之间可用公式 来表示，则下列说法正确的是( ) C A.，和5都是变量 B.是常量，5和 是变量 C.5是常量，和是变量 D.是常量，5和 是变量 【解析】根据题意可知，速度为常量，路程和时间为变量，故选C 题型剖析 题型一、变量与常量 解决方法和注意事项 解决方法： 第一步：仔细阅读题目，找出题目中涉及的所有量 第二步：分析每个量在这个变化过程中是否发生变化 第三步：数值始终不变的确定为常量，可以取不同数值的确定为变量 第四步：用"在这个变化过程中"作为前提表述答案 注意事项： 不要急于下结论，一定要明确"在哪个变化过程中"讨论，脱离过程谈常量变量没有意义 常量不一定是具体数字，也可以是字母表示的固定值，比如公式中固定的k值 同一个量在不同情境下身份可能不同 圆周率π永远是常量，不要误判 题型剖析 题型一、变量与常量 【解析】 . 常量是;变量是， . 变式1.如图，已知直线，直线，之间的距离是3， 的顶点在直线上， 边在直线上，设边的长为， 的面积为，请用含的式子表示 ，并指出 式子中的常量与变量. 题型剖析 题型二、函数的判断 【解析】在函数关系中，自变量x的每一个值都对应唯一的函数值， D项中，时，每一个的值都对应两个值， 所以不是的函数，故选D项 例2.下面说法错误的是( ) D A.在圆的面积公式中，是 的函数 B.在匀速运动公式中，是 的函数 C.在正方形周长公式中，是 的函数 D.表达式中，是 的函数 题型剖析 题型二、函数的判断 解决方法和注意事项 解决方法（代数判断法） 第一步：明确哪个是自变量x，哪个是函数y 第二步：思考：给定一个x值，y是否有唯一确定的值与之对应 第三步：如果能找到反例（一个x对应两个或多个y），则不是函数 第四步：如果每个x都对应唯一的y，则是函数关系 解决方法（图像判断法——垂直于x轴的直线检验法） 第一步：在坐标系中画出该关系的图像（如果题目已给图像则直接用） 第二步：想象或实际作多条垂直于x轴的直线 第三步：观察这些直线与图像的交点个数 第四步：如果所有垂直于x轴的直线与图像最多只有一个交点，则是函数；如果存在某条垂直于x轴的直线与图像有两个或两个以上交点，则不是函数 注意事项 判断时不要凭感觉，要严格依据"唯一性"标准，即一个自变量值只能对应一个函数值 常见非函数的例子要牢记：（抛物线开口向右）、（圆）、等 用图像法判断时，一定要在图像上实际找或想象垂直于x轴的直线，不要只看整体形状 函数关系中，不同的自变量值可以对应同一个函数值，这不违反唯一性，比如中x=2和都对应 题型剖析 题型二、函数的判断 【解析】做一条垂直于x轴的直线，可以发现，C项的直线与图像有两个交点，表示一个x的值对应不止一个y值，所以C项不能表示y是x的函数 变式2.下列各曲线中不能表示是 的函数的是( ) C A. B. C. D. 题型剖析 题型三、自变量的取值范围 例3.求下列函数中自变量 的取值范围： （1） ； 解： 可为任意实数. （2） ； 解： . （3） ; 解： . （4） . 解：且 . 题型剖析 题型三、自变量的取值范围 解决方法和注意事项 解决方法 第一步：分析解析式中含有哪些运算，确定限制条件 第二步：分式中分母不能为零，列出不等式：分母 第三步：偶次根式中被开方数必须大于或等于零，列出不等式：被开方数 第四步：如果有多种限制，列出不等式组，求各不等式解集的公共部分 第五步：用区间形式表示最终结果 注意事项 求自变量取值范围时，必须同时考虑所有限制条件，不能遗漏 分母不为零和根号内非负是最常见的两种限制，要熟练掌握 如果是实际问题，即使解析式本身没有限制，也要考虑实际意义，比如时间不能为负、人数必须为正整数等 结果表示要规范，可以用不等式、区间描述 题型剖析 题型三、自变量的取值范围 【解析】根据题意可知，解得 变式3.函数中，自变量 的取值范围是( ) D A. B.且 C. D.且 题型剖析 题型四、求函数值 【解析】(1)行驶路程x是自变量，油箱中的油量y是x的函数，它们的关系为. (2)仅从式子看，x可以取任意实数.但是考虑到x代表的实际意义为行驶路程，因此x不能取负数.行驶中的耗油量为0.1x，它不能超过油箱中现有汽油量50, 即.因此，自变量x的取值范围是. (3)汽车行驶200 km时，油箱中的汽油量是函数在时的函数值. 将 代入， 得. 汽车行驶200 km时，油箱中还有30 L汽油. 例4.汽车油箱中有汽油50 L.如果不再加油，那么油箱中的油量y(单位：L)随行驶路程x(单位：km)的增加而减少，耗油量为0.1 L/km. (1)写出表示y与x的函数关系的式子； (2)指出自变量x的取值范围； (3) 汽车行驶200 km时，油箱中还有多少汽油？ 题型剖析 题型四、求函数值 解决方法和注意事项 解决方法（已知自变量求函数值） 第一步：明确函数解析式和要代入的自变量值 第二步：将自变量的值代入解析式中的x 第三步：按照运算顺序进行计算 第四步：得出函数值 解决方法（已知函数值求自变量） 第一步：令函数解析式等于已知的函数值，得到方程 第二步：解这个方程，求出x的值 第三步：检验求出的x值是否在自变量的取值范围内 第四步：如果在范围内，则是有效解；如果不在，要舍去 注意事项 代入求值时要注意运算顺序，特别是有乘方、乘除、加减混合运算时 已知函数值求自变量时，解方程可能得到多个解，一定要检验是否在自变量的取值范围内 实际问题中，即使数学上解有效，也要检验是否符合实际意义 代入负数或分数时，建议加括号避免符号错误，比如代入，应写成 如果自变量值是代数式，同样直接代入，按代数式运算规则处理 题型剖析 题型四、求函数值 【解析】根据图中信息可知函数值y最大值为3，最小值为0， 所以，选D项 变式4.如果两个变量x，y之间的函数关系如图所示，则函数值y的取值范围是(　　) A．　 B． C．　 D． D 题型剖析 题型五、画函数图像 【解析】(1)如图所示. (2)从8月6日起水位开始全面回落． 例5.下表是某年一条河流自8月1日至8月10日的水位记录: (1)试画出这个函数的图像. (2)观察图像，判断从哪天起水位开始全面回落. 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 水位/m 7.3 7.5 8.4 8.6 9.1 8.8 8.1 7.3 6.9 6.4 题型剖析 题型五、画函数图像 解决方法和注意事项 解决方法 第一步：列表——在自变量取值范围内选取有代表性的值 第二步：描点——在平面直角坐标系中准确描出各点 第三步：连线——用平滑曲线按顺序连接各点 注意事项 列表取值要有代表性，不能只取正值或只取负值，尽量对称取值 描点要准确，建议先用铅笔轻轻描点，确认位置正确后再描重 连线必须用平滑曲线，体现函数的连续性，不能简单地用线段连接 实际问题中的函数，图像可能只是一部分，不要无限延伸 画完后要标注函数解析式，有实际背景的还要标注横轴、纵轴的实际意义 题型剖析 题型五、画函数图像 【解析】 (1)当时，； 当时，； 当时，. 点A，B不在函数的图象上，点C在其图象上． (2)点P在函数的图象上， ，解得. 画出函数y＝2x－1的图象． 变式5. (1)判断点A(－3，－5)，B(2，－3)，C(3，5)是否在函数y＝2x－1的图象上； (2)若点P(m，9)在函数y＝2x－1的图象上，求出m的值． 题型剖析 题型六、从函数图像中获取信息 【解析】由图像可知，当时，絮凝剂的体积越大，净水率越低，A项错误 未加入絮凝剂时，净水率为，B项错误 絮凝剂的体积每增加0.1mL时，净水率的增加量各不相等，有增有减，C项错误 当时，，D项正确 例6.化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降， 从而达到净水的目的.实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下列说法 正确的是( ) D A.加入絮凝剂的体积越大，净水率越高 B.未加入絮凝剂时，净水率为0 C.絮凝剂的体积每增加 ，净水率的增加量相等 D.加入絮凝剂的体积是 时，净水率达到 题型剖析 题型六、从函数图像中获取信息 解决方法和注意事项 解决方法 第一步：明确横轴、纵轴分别表示什么量，单位是什么 第二步：观察图像的整体形状和趋势 第三步：找最高点（函数值最大）、最低点（函数值最小） 第四步：看上升段（从左向右图像向上）和下降段（从左向右图像向下） 第五步：找特定点：过该点作垂直于横轴的直线，与图像交点的纵坐标即为所求 注意事项 首先要看清横轴和纵轴分别代表什么，单位是什么，避免张冠李戴 读取具体数值时，只能得到近似值，因为图像精度有限 找最高点、最低点时，要注意是整个图像的最高最低，还是某一段的 判断上升下降时，要从左向右看，这是标准的观察方向 实际问题中，图像可能是离散的点或线段，不要想当然地连成光滑曲线 题型剖析 题型六、从函数图像中获取信息 【解析】(1)由图像信息可知，提速前甲队5天修440米，速度为每天修路88米，提速后每天修路， 乙队2天修路440米，每天修路220米 (2)由图像可知，乙队一共修路1100米，修路天数为天 (3)根据图像信息可得，甲队修路米， 总长度为米. 变式6. 甲、乙两支工程队共同修建A，B两地之间的道路.两队分别从A，B两地相向修建，已知甲队先施工3天，乙队才开始施工，乙队施工几天后因另有紧急任务暂停施工，因考虑工期，由甲队以原速的2倍修建，乙队完成紧急任务后又以原速恢复施工，直到道路修通.甲、乙两队各自修路长度（米）与时间（天）之间的关系如图所示.结合图中信息，解答问题. （1） 在施工的过程中，甲队在提速后每天修路 米；乙队每天修路 米. （2） 乙队共参与施工的天数是 ⁠. （3） A，B两地之间的道路长度是 米. 176　 220　 5　 2 508　 题型剖析 题型七、函数的表示 【解析】根据表格信息可知，一开始y随x增大而增大，然后y随x增大而减小 再观察数据可知，增大时函数值增长速度固定，应该是一条线段，减小时速度逐渐变小，应是一条曲线，故选D项 例7.某校对教室采用药熏消毒法进行消毒，现测得不同时刻的教室内的含药量与药物 点燃后的时间的部分数据如下表，则与 之间的函数关系对应的图象可能是( ) 0 2 4 6 8 10 12 16 20 0 1.5 3 4.5 6 4.8 4 3 2.4 D A. B. C. D. 题型剖析 题型七、函数的表示 解决方法 建立列表的方法 第一步：确定自变量的取值范围，选取有代表性的自变量值 第二步：根据函数关系或实际测量，计算或确定每个自变量对应的函数值 第三步：按照自变量从小到大（或按一定顺序）排列，制成表格 建立解析式的方法 第一步：分析变量之间的关系，确定函数类型 第二步：设出解析式的一般形式 第三步：根据已知条件，列出方程或方程组 第四步：解方程或方程组，确定解析式中的待定系数 第五步：写出完整的解析式，并注明自变量的取值范围 画图像的方法（描点法） 第一步：列表——在自变量取值范围内选取若干有代表性的值，计算对应的函数值 第二步：描点——在平面直角坐标系中，根据坐标准确描出各点 第三步：连线——按自变量由小到大的顺序，用平滑曲线（或直线）连接各点 题型剖析 题型七、函数的表示 【解析】根据横截面可知，水的深度一开始增长快，然后增长慢，所以图像为两段线段，一开始陡峭，然后平缓，故选C项 变式7.如图是某蓄水池的横截面示意图，分深水区和浅水区，如果这个蓄水池以固定的流 量注水，下面能表示水的最大深度和时间 之间的关系的大致图象是( ) C A. B. C. D. 题型剖析 题型八、函数的实际应用 【解析】 一天只生产，生产了后开始包装， 到生产结束时包装了 . 生产了 （件）玩具，包装了（件）玩具， ， 这天生产结束时，包装同时完成. 例8.某工厂生产一种益智玩具，每天只生产.某天，生产了 后 开始包装（生产不停且生产效率不变），如图是这天未包装的玩 具数量 （件）和时间 的变化关系图象.根据图象解决下列问题： （1）每小时生产_____件玩具，包装_____件玩具； 200 320 （2）请通过计算说明：这天生产结束时，包装是否同时完成. 题型剖析 题型八、函数的实际应用 解决方法和注意事项 解决方法 第一步：审题，找出问题中的常量、变量 第二步：分析变量之间的关系，确定函数类型 第三步：建立函数解析式 第四步：确定自变量取值范围 第五步：利用函数解决问题 注意事项 审题时要仔细，找准所有已知条件和所求问题，特别是隐含的常量 建立函数关系时，要找到正确的等量关系，可以借助公式或实际意义 自变量取值范围必须同时考虑数学上有意义和实际有意义，这是最容易丢分的地方 实际问题中的函数，自变量往往有多个限制条件，要全部列出 解完后要检验答案是否符合实际，比如时间、长度、数量是否为正，是否在合理范围内 注意单位的统一，如果题目中单位不一致，要先换算再建立关系 题型剖析 题型八、函数的实际应用 【解析】A 选项：前 件每件 3 元，当薪金为 60 元时，生产件数为 60÷3=20 件，所以 ，A 正确。 B 选项：从 20 件到 40 件，多生产了 40−20=20 件，薪金从 60 元增加到 140 元，多了 140−60=80 元。因此超过 20 件的部分每件是 80÷20=4 元。生产 46 件时，超过 20 件的部分为 46−20=26 件，薪金为 60+26×4=164 元，不是 160 元，B 错误。 C 选项：由 B 的计算可知，超过部分每件 4 元，即 ，C 正确。 D 选项：薪金 180 元超过了 60 元，说明生产件数超过 20 件。超过部分的薪金为 180−60=120 元， 超过的件数为 120÷4=30 件。总件数为 20+30=50 件，D 正确。 变式8.某公司规定员工每天的薪金如下：生产的产品不超过件，每件3元； 超过 件，超过的部分每件元.如图是一名员工一天获得的薪金 （元） 与其生产的产品件数 （件）之间的函数关系图 象，则下列结论错误的是( ) B A. B.若该员工一天生产了46件产品，则其当天获得的薪金是160元 C. D.若该员工一天获得的薪金是180元，则其当天生产了50件产品 题型剖析 题型九、动点问题 【解析】点 P 从 A 出发，以 1 cm/s 的速度沿 A→C→B 运动。图②中，当 y 达到最大值 6 时，P 点到达 C 点，此时 △ABP 的面积最大。当 时，P 点到达 B 点，运动结束. 当 P 在 AC 上运动时，△ABP 的面积. 当 P 到达 C 点时，AP=AC，此时 。 从 A 到 C 再到 B 共用时 7 秒，所以 。 从图②可知，当 P 到达 C 点时，，此时 x 对应 AC 的长度，即 ，那么。 代入面积公式：得，不难得出AC=4 cm，BC=3 cm. 利用勾股定理可得AB长为5cm 例9.如图①，在 中， ，点从 点 出发沿以 的速度匀速运 动至点，图②是点 运动时，的面积 随时间 变化的函数图象，则该三角形 的斜边 的长为( ) A A. B. C. D. 题型剖析 解决方法和注意事项 解决方法 第一步：分析动点的运动路径，确定各段的分界点 第二步：分段分析函数关系 第三步：根据各段的函数类型，判断图像形状 注意事项 动点问题关键是找准分界点，通常是图形的顶点或特殊位置 每一段要重新分析几何关系，不能想当然地认为关系不变 画图像草图时，要注意各段的斜率变化（上升、水平、下降） 对于选择题中的图像选择，可以用特殊点法排除错误选项，比如计算几个关键位置的函数值 注意动点是否包含端点，这影响图像的实心点和空心点 题型九、动点问题 题型剖析 【解析】由图②可知，当 t=3 秒时，点 P 到达点 B，此时 AP=AB. 已知点 P 的速度为 2 cm/s，因此：AB=2×3=6 cm又因为 AB=AC， 所以 AC=6 cm。 点 Q 是曲线部分的最低点，此时 AP 的长度最短，即当点 P 在 BC 上运动时，AP⊥BC，AP 的最小值为 4 cm。设 AP⊥BC 于点 D，则 AD=4 cm 在 Rt△ABD 中，由勾股定理可得. 因为 AB=AC，△ABC 是等腰三角形，所以 计算 △ABC 的面积 变式9.如图①，在中，.动点从点 出发，以的速度沿 匀速运动回到点.图②是点 运动过程中，线段的长度随时间 变化的图象，其中点 为曲线部分的最低点，则的面积是_____ . 题型九、动点问题 题型剖析 【解析】根据函数解析式可知，20是常量，t和S为变量，故选A项 1. 在函数S＝－t＋20中，关于常量和变量，下列说法中正确的是（　A　） A. －1和20是常量，S和t是变量 B. 20是常量，－1，S和t是变量 C. －1是常量，20，S和t是变量 D. S是自变量，t是S的函数 A 针对训练 【解析】C项中，当时，每一个自变量x的取值，都对应两个y值，所以y不是x的函数，选择C项 2. 下列各式中，y不是x的函数的是（　C　） A. y＝2x B. y＝x2 C. y＝± （x≥0） D. y＝｜x｜ C 针对训练 【解析】根据题意可得解得且，故选B项 3. 函数y＝ 的自变量x的取值范围是（　B　） A. x≥1 B. x≥1且x≠2 C. x＞1 D. x可取任意实数 B 针对训练 【解析】根据题意可得，整理得，故选C项 4. 在△ABC中，AB＝BC，设∠A的度数为y°，∠B的度数为x°，则y与x之间的函数表达式为（　C　） A. y＝2x B. y＝90－x C. y＝90－ x D. y＝180－2x C 针对训练 【解析】把代入到中，得 把代入到中，得，故选B项 5. 按照如图所示的程序计算函数y的值时，若输入x的值是3，则输出y 的值是－7；若输入x的值是1，则输出y的值是（　B　） A. －3 B. －2 C. 0 D. 2 B 针对训练 【解析】由题意可得为一条匀速上升的线段，中间有一段水平的线段，且最后与汇合到一点，故选C项 6. 新龟兔赛跑故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头.骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来.当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点.用s1，s2分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，t为赛跑时间，则下列图像中与故事情节相吻合的是（　C　） A B C D C 针对训练 【解析】当时，，A正确， 发现t每增加10，y增加20，当时，，B正确 当时，，故C正确 每加热10，油的温度升高20℃，D错误 7. 下表是加热某种油的温度变化情况： 时间t/s 0 10 20 30 40 油的温度y/℃ 10 30 50 70 90 小红发现，烧了110 s时，油沸腾了，则下列说法不正确的是（　D　） D A. 没有加热时，油的温度是10 ℃ B. 加热50 s，油的温度是110 ℃ C. 估计这种油的温度达到230 ℃后不再上升 D. 每加热10 s，油的温度升高30 ℃ 针对训练 【解析】当时，x的取值范围为－1＜x＜1或x＞3，小嘉正确 当1＜x＜3时，，小琪错误.故选A项 8. 小嘉和小琪一起观察如图所示的函数图像，他们分别得出以下结论： 小嘉：我发现当y＜0时，自变量x的取值范围是－1＜x＜1或x＞3； 小琪：我发现当1＜x＜3时，y＜0. 下列对于小嘉和小琪的说法，判断正确的是（　A　） A. 小嘉正确，小琪不正确 B. 小琪正确，小嘉不正确 C. 小嘉、小琪都正确 A D. 小嘉、小琪都不正确 针对训练 【解析】A 选项：甲车间 9 小时加工 720 件，每小时加工 720÷9=80 件，A 正确 B 选项：总件数 = 甲车间 720 件 + 乙车间 420 件 = 720+420=1140 件，B 正确 C 选项：乙车间前 2 小时加工 120 件，每小时加工 120÷2=60 件，C 正确。 D 选项：乙车间共加工 420 件，按 60 件 / 小时的效率，实际工作时间为 420÷60=7 小时。总用时 9 小时，因此维修设备时间为 9−7=2 小时，不是 4 小时，D 错误。 9. 甲、乙两车间同时开始加工一批服装.从开始加工到加工完成甲车间工作了9小时，乙车间在中途停工一段时间维修设备，然后按停工前的工作效率继续加工，直到与甲车间同时完成这批服装的加工任务为止.设甲、乙两车间各自加工服装的数量为y（件），甲车间加工的时间为x（小时），y与x之间的函数图像如图所示.下列结论错误的是（　D　） A. 甲车间每小时加工服装80件 B. 这批服装的总件数为1140件 C. 乙车间每小时加工服装为60件 D. 乙车间维修设备用了4小时 D 针对训练 【解析】A 选项：从图②可以看出，小林先到达终点，小苏后到达终点，并非同时到达，A 错误。 B 选项：全程路程相同，小苏用时更长，根据平均速度公式，可知小苏的平均速度小于小林，B 错误。 C 选项：前 15 秒，两人都完成了一次往返跑（去 50m，回 50m），总路程均为 100m，因此两人前 15s 跑过的路程相等，C 错误。 D 选项：小林在跑最后 100m 时，对应图中第二次从折返处返回起跑线的阶段。在此过程中，两人的图像有 2 个交点，说明与小苏相遇 2 次，D 正确。 10. 小苏和小林在如图①所示的跑道上进行4×50m折返跑.在整个过程中，跑步者距起跑线的距离y（m）与跑步时间t（s）之间的对应关系如图②所示.下列说法正确的是（　） D A. 两人从起跑线同时出发，同时到达终点 B. 小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度 C. 小苏前15s跑过的路程大于小林前15s跑过的路程 D. 小林在跑最后100m的过程中，与小苏相遇2次 针对训练 11. 求下列函数的自变量x的取值范围. （1） y＝ ； 解： 不论x为何值，， 函数y＝ 的自变量x的取值范围是全体实数 （2） y＝（x－2）－1＋1； 解：由题意，得，解得 （3） y＝ ＋ . 解：由题意，得且，解得且 针对训练 12. 将长为20 cm、宽为8 cm的长方形白纸按如图所示的方式黏合起来，黏合部分（阴影部分）的宽为3 cm. 白纸张数 1 2 3 4 纸条长度/cm 20 37 54 71 （1） 根据题意，将上述表格补充完整. （2） 当白纸张数为n（n为正整数）时，纸条长度为 cm. 37 54 71 17n＋3　 （3） 若20张这样的白纸按这样的方式黏合起来，则黏合后的纸条长度为多少厘米？ 解：当时，. 若20张这样的白纸按这样的方式黏合起来，则黏合后的纸条长度为343 cm 针对训练 13. 小明家在食堂的正西方向，图书馆在食堂的正东方向.小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家.如图所示为小明离家的距离y（km）与时间x（min）之间的对应关系.根据图像，解答问题： （1） 小明吃早餐、读报分别用了多长时间？ 解：（1） 小明吃早餐用了，读报用了 （2） 食堂离图书馆多远？小明从食堂到图书馆用了多长时间？ （2） 食堂离图书馆， 小明从食堂到图书馆用了 （3） 图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？ （3） 图书馆离小明家，小明从图书馆回家的平均速度是 . 针对训练 ✅ 知识构建：函数 常量与变量 → 函数概念与判断 → 函数表示方法 → 实际应用 ✅ 思想方法： 函数思想、数形结合、数学建模 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! $