第8章 四边形 单元测试卷 2025-2026学年 苏科版数学八年级下册

第8章 四边形 单元测试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列说法不正确的是(    ) A. 平行四边形的对边相等 B. 菱形的对角相等 C. 矩形的对角线互相垂直 D. 正方形的四条边均相等 2.如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是(    ) A. 当，是矩形 B. 当，是菱形 C. 当，是菱形 D. 当，是正方形 3.如图，在矩形中，点在边上，，连接，若，，则的长为(    ) A. B. C. D. 4.如图，菱形的对角线，相交于点，点是边的中点，连接，若，，则菱形的面积为(    ) A. B. C. D. 5.如图，四边形是正方形，是等边三角形，连接，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 6.如图，在中，，，分别是，的中点，是上一点，，连接，若，则的长度为(    ) A. B. C. D. 7.如图，四边形是菱形，对角线与相交于点，于点若，，则的长度为(    ) A. B. C. D. 8.如图，中，，，，，，则的值为(    ) A. B. C. D. 9.如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，若，则定等于(    ) A. B. C. D. 10.三个边长分别是，，的正方形按如图所示摆放后两个正方形的一个顶点与相邻的一个正方形对角线交点重合，则图中阴影部分的面积和为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.如图，要使矩形成为正方形，需添加一个条件为______． 12.如图，工人师傅砌门时，要想检验门框是否符合设计要求即门框是否为矩形，在确保两组对边分别相等的前提下，只要测量出对角线、的长度，然后看它们是否相等就可以判断了，这种做法的根据是        ． 13.如图，四边形是正方形，以为边在正方形内部作等边，连接，则           ． 14.如图，在矩形中，、相交于点，平分分别交、于点、，若，则的度数为        15.如图，在四边形中，对角线、相交于点，点、、、分别是、、、的中点，顺次连接、、、若，，则四边形的面积为          ． 16.如图，在正方形中，点是对角线，的交点，过点作，分别交，于点，若，，则的长为      ． 17.如图，在中，，是它的角平分线，是边上的中线，过点作于，若，，则          ． 18.如图，矩形中，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是           ． 三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 如图，在平行四边形中，对角线与交于点，点，分别为、的中点，连接． 求证：； 求证：四边形是平行四边形． 20.本小题分 如图，在中，，，分别是，的中点，延长到点，使，连结，，交于点  求证：；  若，求的长． 21.本小题分 如图，在中，连接，过点作，交的延长线于点，连接交于点． 求证：四边形是菱形； 若，求的长． 22.本小题分 已知：如图，在矩形中，是边一点，平分，交边于点，连接． 求证：四边形是正方形； 若，，求的长． 23.本小题分 【阅读材料】 老师的问题：已知：如图，在中，求作：矩形． 小明的作法：如图 分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，； 作直线，交于点； 连接并延长，截取； 连接，四边形就是所求作的矩形． 【解答问题】 如图，请根据材料中的信息，证明四边形是矩形． 如图，直线分别交，于点，，连接，，当，时，求四边形的周长． 24.本小题分 我们学习了三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半． 在中，、分别是、的中点，通过延长至，使，连接，易证：且． 【探究学习】 如果将截去，剩下掷形且，取、的中点、，连接，则叫梯形的中位线，探索与和的关系写出结论______，请证明你的结论； 【学以致用】 在梯形中，，，，、分别是、的中点，，求梯形的面积． 25.本小题分 【探索发现】 如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，边与边相交于点，边与边相交于点，连接在实验与探究中，小新发现无论正方形绕点怎样转动，，，之间一直存在某种数量关系，小新发现通过证明即可推导出来． 请你猜想，，之间的数量关系是______． 小新对图的进一步研究中发现，延长与交于一点，通过证明也可推导出，，之间的数量关系，请你证明． 【类比迁移】如图，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，判断，，之间的数量关系并进行证明； 【拓展应用】如图，在中，，，，点是边的中点，，它的两条边和分别与直线相交于点，，可绕着点旋转，当时，请直接写出线段的长度． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $答案和解析 1.【答案】C 【解析】解：A、B、D中的说法正确，故A、B、D不符合题意； C、矩形的对角线互相平分且相等，但不一定垂直，故C符合题意， 故选：C 由平行四边形、菱形，矩形、正方形的性质，即可判断， 本题考查平行四边形的性质，正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质，掌握以上知识点是解题的关键 2.【答案】D 【解析】解：A选项：根据矩形的判定“一个角是直角的平行四边形是矩形”，故选项A正确，不符合题意； B选项：根据菱形的判定“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，故B选项正确，不符合题意： C选项：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C选项正确，不符合题意； D选项：对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，故D选项不正确，符合题意 故选D, 3.【答案】D 【解析】解：在矩形ABCD中，AB=3,AE=4 :∠A=∠D=90°，AD=BC,CD=AB=3, 在直角三角形ABE中，由勾股定理得：BE=VAE2+AB2=5, ·BC=BE=5, AD=5, ·DE=AD-AE=1, 在直角三角形CDE中，由勾股定理得：CE=√CD2+DE2=10, 故选：D 4.【答案】C 【解析】解：菱形ABCD中，OA=OC,OB=OD,AC⊥BD, :点H是边AB的中点，∠A0B=90°，0H=6.5, ·AB=20H=13, :AC⊥BD, 第1页，共1页 由勾股定理可得：0B=VAB2-0A2=√132-122=5， ·BD=10,AC=24, ·菱形ABCD的面积=克AC×BD=专×24×10=120 故选：C 5.【答案】D 【解析】解：：四边形ABCD是正方形， :∠ABD=45°，AB=AD,∠BAD=90°， :△ADE是等边三角形， ·AD=AE,∠DAE=60°， ·AB=AE,∠BAE=∠BAD十∠DAE=150°， ·∠ABE=∠AEB=(180°-∠BAE=15°， ·∠DBE=∠ABD-∠ABE=30°. 故选：D 6.【答案】A 解：：D、E分别是AB、AC的中点， :DE是△ABC的中位线， DE=BC=6. :EF=DE-DF=6-1=5, 在Rt△AFC中，AE=EC, AC=2EF=10, 故选：A: 7.【答案】C 【解析】提示：因为四边形ABCD是菱形，AC=8,BD=6,所以AC⊥BD,OC=OA=AC=4, 0B=0D=BD=3.在Rt△B0C中，由勾股定理，得BC=VOB2+0C=V32+4=5.因为 DH⊥BC,所以S菱形A8cD=BC,DH=支AC·BD,即5DH=专×8X6,所以DH=装， 8.【答案】A 第1页，共1页 【解析】解：如图，延长BD,交AC于点F D E :AD⊥BD, ·∠ADB=∠ADF=90°. 在△ABD和△AFD中， I∠BAD=∠FAD, AD-AD N∠ADB=∠ADF ·△ABD≌△AFD(ASA, ·BD=DF,AF=AB=4: BE=CE, ·CF=2DE=3, :AC=AF+CF=4+3=7, 故选：A 9.【答案】B 【解析】解：在正方形ABCD中，AD=AB,∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°， 将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABG,GBE三点共线，如图所示： 则AF=AG,∠DAF=∠BAG, :∠EAF=45°， B E ·∠BAE+∠DAF=45°， ·∠GAE=∠FAE=45o, 在△GAE和△FAE中， (AF-AG ∠FAE=∠GAE 、AE=AE 第1页，共1页 ·△GAE≌△FAE(SAS, ·∠AEF=∠AEG, :∠BAE=, ·∠AEB=90°-， ·∠AEF=∠AEB=90°-， ·∠FEC=180°-∠AEF-∠AEB=180°-2×(90°-)=2x' .∠EFC=180°-90°-∠FEC=90-2a, 故选：B 10.【答案】B 【解析】解：如图所示： :正方形ABCD的边长为3，对角线AC,BD相交于点O, :S正方形ABCD=9,0C=0D,∠D0C=90°，∠0CN=∠0DM=45°， :正方形0EFH的边长为4，对角线OF,EH相交于点P, :S正方形0EH=16,PQ=PR,∠HPF=90,∠N0M=90°， ÷∠N0M=∠DOC=90°， :∠NOM-∠C0M=∠DOC-∠C0M, .∠NOC=∠MOD, 在△NOC和△MOD中， 1∠N0C=∠MOD, OC=OD N∠OCN=∠ODM ÷△NOC≌△MOD(ASA: 第1页，共1页 S△Noc=SMoD' :S四边形ONCy=S△NOC+S△OCW=S△MOD+SAOCM=S△OcD' :S△ocD=S正方形ABCD=是 S四边形oNCN=9/4, 同理： S四边形PQFR=年S正方形OEFH=4! ·图中阴影部分的面积和为：是+4=空· 故选：B· 11.【答案】AB=BC或AC⊥BD(答案不唯一) 解：添加的条件可以是AB=BC或AC⊥BD理由如下： :四边形ABCD是矩形，AB=BC, ·四边形ABCD是正方形， 故答案为：AB=BC或AC⊥BD(答案不唯一)： 12.【答案】对角线相等的平行四边形为矩形 【解析】解：依题意，：两组对边分别相等， ·四边形ABCD是平行四边形， AC=BD, :四边形ABCD是矩形， 则只要测量出对角线AC、BD的长度，然后看它们是否相等就可以判断了，这种做法的根据是对角线相等 的平行四边形为矩形， 故答案为：对角线相等的平行四边形为矩形 根据对角线互相相等的平行四边形是矩形进行作答即可. 本题考查了矩形的判定，掌握矩形的判定是关键. 13.【答案】15。 【解析】根据正方形的性质，等边三角形的性质，推出△APB是等腰三角形，从而求出∠PAB的度数，进 而求出∠PAD的度数即可. 【详解】解：：四边形ABCD是正方形，aPBC是等边三角形， 第1页，共1页 ·AB=BP=BC,∠ABC=∠DAB=90。,∠PBC=60, ∠ABP=30, ·∠PAB=180=30=75。, 2 ·∠PAD=90。-75。=15o: 故答案为：15。 14.【答案】100 【解析】解：：在矩形ABCD中， ÷∠ADC=∠C=90°， :DE平分∠ADC, ·∠EDC=45o, :∠BDE=10°， ·∠BDC=45°+10°=55°， 由矩形的性质可知AC=BD,OC=专AC,OD=BD, .0C=0D ∠ACD=∠BDC=55°， :∠CFE=∠EDC+∠ACD=45°+55°=1000. 故答案为：100 15.【答案】2V3 【解析】解：如图，过点E作EQ⊥FG于点Q, A E D Q G C :BF分别是BA、BC的中点，H、G分别是DA、DC的中点， :EF是△ABC的中位线，GH是△ADC的中位线， .EF//AC EF=AC'HG//AC GH=AC 第1页，共1页 :.EF//HG//AC EF=HG=AC' 同理，EH//FG//BD'EH=FG=专BD AC=BD=4, ·EF=EH=HG=FG=2, ·四边形EFGH是菱形， :FN//MO MF//ON :四边形MFNO是平行四边形， .∠MON=∠MFN, :∠C0D=120°， :∠M0N=60°， :∠MFN=60°， :EQ⊥FG, ÷∠FEQ=30o, FQ=专EF=×2=1' :EQ=VEF2-FQ2=22-1=3, S菱形EFGH=FG·EQ=2×V5=2W5 故答案为：25· 16.【答案】26 【解析】解：：四边形ABCD是正方形， :∠EB0=∠FC0=45°，B0=C0,∠B0C=90°，AB=BC, ·∠B0F+∠C0F=90°， ·∠B0F+∠BOE=90o, ∠C0F=∠BOE, ·在△C0F和△BOE中， 第1页，共1页 ∠C0F=B0E C0=B0 ∠FC0=∠EB0=45。 :△C0F≌△BOEASA, ·BE=CF=3, ·AB-BE=BC-CF, .AE=BF=V15, 在Rt△BEF中， 根据勾股定理得：EF=VBF2+8B=32+(V⑤=26， 故答案为：2W6. 17.【答案】1.5 【解析】解：延长BF交AC于点G,如图所示； G :AD是∠BAC的角平分线， ·∠BAF=∠GAF, 又：BF⊥AD, ·∠AFB=∠AFG=90°， 在△ABF和△AGF中， I∠BAP=∠GAF, AF-AF N∠AFB=∠AFG ·△ABF≌△AGF, ·AB=AG=5,BF=GF,即F为BG中点， :AC=8,AG=5, 则GC=AC-AG=8-5=3, :AE是边BC上的中线， :E为BC中点， 又：F为BG中点， :EF是△BCG的中位线， 第1页，共1页 EF=专GC, 将GC=3代入，可得EF=专×3=1.5 故答案为：1.5 18.【答案】兰 【解析】解：如图，取CD中点H,连接AH,BH, H D E :四边形ABCD是矩形， :.AB=CD=6,AD=BC=4,CD//AB, :点E是AB中点，点H是CD中点， ·CH=AE=DH=BE=3, :四边形AECH是平行四边形， :AH /CE :点P是DF的中点，点H是CD的中点， :PH//EC 点P在AH上， ·当BP⊥AH时，BP有最小值， AH =VAD2+DH2=5 S△ABH=支XAB·AD=支K AH-BP最水 ·BP的最小值=验=跨· AH 故答案为：等： 19.【答案】【小题1】 第1页，共1页 证明：：四边形ABCD是平行四边形， :AB CD,AB //CD,0A=OC. ·∠BAM=∠DCN, :点M,N分别为OA、OC的中点， ÷AM=0A,CN=0C, ÷AM=CN, 在·ABM与△CDN中， AB=CD ∠BAM=∠DCN, AM-CN :·ABM≌&CDN(ASA: 【小题2】 证明：：·ABM≌aCDN, ·BM=DN,∠AMB=∠CND, ·180。-∠AMB=180。-∠CND, ÷∠BMO=∠DNO, :BM//DN, BM=DN, :四边形BNDM是平行四边形. 20.【答案】(1)证明：连接EF,AE B :点E,F分别为BC,AC的中点， :.EF//AB'EF=AB. 又：AD=专AB 第1页，共1页