精品解析：湖南娄底市涟源市2025-2026学年上学期八年级期末素养检测数学试题

2025年下学期八年级期末素养检测 数学 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的概念，即被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，熟练掌握最简二次根式的概念是解题关键． 根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，此选项符合题意； B、，故此选项不是最简二次根式，不符合题意； C、，故此选项不是最简二次根式，不符合题意； D、，故此选项不是最简二次根式，不符合题意． 故选：A． 2. 代数式，，，，，中，属于分式的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的判断等知识点，解题关键是掌握分式的定义． 根据分式的定义，对每个代数式逐一分析，再作出判断． 【详解】解：是整式，它不是分式； 中是常数，分母不含字母，它是整式，它不是分式； 分母含字母，它是分式； 是整式，它不是分式； 分母含字母，它是分式； 分母含字母，它是分式， ∴属于分式的有、、，共3个， 故选：B． 3. 、、是某三角形三边的长，则的长不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是三角形三边关系，灵活运用“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”是解题的关键．根据三角形三边关系得到，进而判断选项中哪个值不在该范围内． 【详解】解：三角形三边关系为任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， ， ， 选项中只有不在的范围内， 的长不可能是． 故选：． 4. 我国自主研制的科学仪器“超分辨光学显微镜”的空间分辨率达到，用科学记数法表示该光学显微镜的空间分辨率（单位：）正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数等知识点，解题关键是掌握科学记数法表示绝对值小于1的数． 根据“科学记数法表示较小的数的形式为（，为正整数），其中为原数左边第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前的零）”求解． 【详解】解：， 故选：B． 5. 如图，已知，添加下列一个条件后，能判定的是（ ） ①；② ；③；④． A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据三角形判定方法对各个选项依次分析，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：，， ①若添加，满足“边边边”，可证明； ② 若添加，满足“边角边”，可证明； ③若添加，满足“斜边直角边”，可证明； ④若添加，满足“边边角”，无法证明； 综上所述，能判定的是①②③． 故选：A 6. 如图，在中，，将三角形折叠，使点与点重合，折痕为．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质、折叠的性质，熟记折叠的性质是解题的关键． 由等腰三角形性质可得，由折叠得到，即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠得， ∴． 故选：B． 7. 下列多项式因式分解不彻底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据提公因式法分解因式，平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式等知识点，对四个选项逐一分析，再作出判断． 【详解】解：， ∴， 故A分解彻底，不符合； ， 故B分解彻底，不符合； ， 但还可继续分解为， 故C分解不彻底，符合； ， 故D分解不彻底，不符合， 故选：C． 8. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 在同一平面内，如果直线，，那么 B. 的三个内角中至少有一个角大于或等于 C. 三角形的外角和等于 D. 两条边与其中一条边的对角分别对应相等的两个三角形全等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了判断命题真假，三角形内角和定理的应用，三角形的外角的定义及性质，灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 依据平行线性质、三角形内角和定理、三角形外角和性质、三角形全等判定定理，逐一判断各命题真假，找出假命题． 【详解】解：∵在同一平面内，若直线，， ∴， 故A是真命题； 假设的三个内角都小于， 则三个内角和， 与三角形内角和定理矛盾， ∴的三个内角中至少有一个角大于或等于， 故B是真命题； 三角形的外角和等于，这是三角形的外角和的性质， 故C是真命题； “两条边与其中一条边的对角分别对应相等”无法判定两个三角形全等， 故D是假命题， 故选：D． 9. 下列计算或说法错误的是（ ） A. 当时，分式的值不存在 B. 分式与的最简公分母是 C. 当时， D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，分式无意义的条件，分式值为零的条件，最简公分母，负整数指数幂等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 依据分式有意义的条件、最简公分母的确定方法、分式值为0的条件、同底数幂的乘法法则，对四个选项逐一分析，再判断对错． 【详解】解：当时，分式的分母， 分式无意义，值不存在， 故A正确，但不符合题意； 分式与的最简公分母是， 故B正确，但不符合题意； 由， 得， 又， 即 ∴仅当时，， 故C错误，符合题意； ， 故D正确，但不符合题意， 故选：C． 10. 如图，是的高线，是的中线，是的角平分线．；；；．其中结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形、角平分线、中线的性质．根据直角三角形、角平分线、中线的性质进行逐项分析即可． 【详解】解： 是的高线， ． ． 当时，． 此时，．但未知， 故不一定； 是的中线， ． 和等底同高， ．故正确； 是的高线， ． 是的中线， ． ，故正确； 是的角平分线， ． ，，故正确； 故选：C． 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 二次根式在实数范围内有意义的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握被开方数为非负数是解题的关键，根据二次根式有意义的条件得到，进而解出不等式得到的取值范围． 【详解】解：二次根式在实数范围内有意义的条件是被开方数大于或等于零，即，解得． 故答案为． 12. 如图，在中，为线段的中点，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，勾股定理，先运用勾股定理求出斜边的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出的长． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 又∵D为的中点， ∴． 故答案为：5． 13. 如图，小明不小心把一块三角形玻璃打碎成三块，他要到玻璃店重新配成一块一样的，只需带③号碎片去的理由是：______． 【答案】两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 根据全等三角形的判定定理即可得． 【详解】解：第③块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据两角及其夹边分别相等的两个三角形全等来配一块一样的玻璃． 故答案为：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等． 14. 如图所示方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则3个空格中的实数之积为______． 【答案】18 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用．根据“横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，”求出a，b，c的值，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：，，， ∴，，， ∴3个空格中的实数之积为． 故答案为：18 15. 如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，则的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】在上截取，连接，证明得出，从而证明当点A、P、E在同一直线上，且时， 的值最小，再根据三角形的内角和即可求出结果．本题考查了角平分线的定义、全等三角形的性质和判定、垂线段最短及三角形的内角和定理，确定使最小时点P的位置是解题的关键． 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ∴当点A、P、E在同一直线上，且，的值最小，即的值最小， ∴当点A、P、E在同一直线上，且时，， ， ， 故答案为：． 16. 如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的实际应用，二次根式的乘法． 先根据两个小正方形的面积可求得它们的边长，根据长方形的面积列式计算，即可得余下部分的面积． 【详解】解：∵两个小正方形的面积分别为和， ∴这两个小正方形的边长分别为，， ∴余下部分的面积为． 故答案为：． 三、解答题（第17，18题，每题6分；第19，20题，每题8分；第21，22题，每题10分；第23，24题，每题12分；共8小题，共72分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，二次根式的混合运算．先根据二次根式的乘法，二次根式的性质化简，再合并即可求解． 【详解】解： 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值．先对题目中的式子进行化简，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 设．求和的值． 【答案】，4 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的加减与乘除，解题的关键是能够熟练地运用二次根式的运算法则以及熟练地运用完全平方公式． 分别将a，b代入中计算；先利用完全平方公式整理，再将a，b代入计算即可． 【详解】解： 20. 小明和小强攀登一无名山峰，他俩在山脚A处测得主峰B的仰角为，然后从山脚沿一段倾角为的斜坡走了到达山腰C，此时测得主峰B的仰角为，如图所示．于是小明对小强说：“我知道主峰多高了，”请根据他们提供的数据算出主峰的高度． 【答案】主峰高度为 【解析】 【分析】先利用含有30度角的直角三角形的性质求得，，再求得，并且得出四边形是矩形，设，利用含有30度角的直角三角形的性质用表示出，再表示出，然后根据矩形的性质得出，，再利用等腰直角三角形的性质得出，从而可得出，进而得出关于的方程求解，从而可得． 【详解】解：如图，设的延长线与水平线交于点F，过点C作，垂足为E． 则， ∴， 在中，，，． ∴，， ∵测得主峰B的仰角为， ∴，． ∴四边形是矩形， 设， 则，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 答：主峰的高度为． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形，根据矩形的性质与判定求线段长，解直角三角形的相关计算，仰角俯角问题(解直角三角形的应用)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 21. 列分式方程解应用题． 某商场新进一种商品，第一个月将此商品的进价提高20%作为销售价，共获利600元．第二个月商场搞促销活动，将商品的进价提高15%作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加了40件，并且商场第二个月比第一个月多获利150元．问此商品的进价是多少元？商场第二个月销售多少件？ 【答案】50元，100件 【解析】 【分析】设此商品进价是x元，然后根据等量关系为：第二个月的销售量-第一个月的销售量=40，算出后可得到此商品的进价，列出方程求解即可． 【详解】解：设此商品进价是x元， 则：， 解得： 经检验：x=50是方程的根． 则(件)， 答：商品进价为50元，商场第二个月共销售100件． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键在于能够准确根据题意列出方程求解． 22. 如图，点、、、在同一条直线上，，，． （1）求证：； （2）连接交于点，求证：． 【答案】（1） 证明：∵点、、、在同一条直线上，， ∴， 又∵，． ∴， ∴， ∴ （2） 证明：∵连接交于点． ∴， ∵，． ∴， ∴， ∵ ∴，即：． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定以及线段的和差关系，熟练掌握全等三角形的判定定理及性质，并利用全等三角形的对应边、对应角相等进行推理论证是解题的关键。 （1）先由推出，再结合、证明，得到对应角相等，进而证明。 （2）利用（1）中得到的角相等和边相等，证明，得到，再通过线段的和差关系推出。 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，在等边中，点P为内一点，连接，，，将线段绕点A顺时针旋转得到，连接，． （1）求证：； （2）若，E是的中点． ①求的度数； ②求证：． 【答案】（1） 证明：是等边三角形． ，， 绕点A顺时针旋转得到， 是等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ， ； （2）①； ②证明：延长至点，使， 则， 是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ∴ ， ， ， ∴， 又， ， ， 是等边三角形， ， ． 【解析】 【分析】（1）利用等边三角形的性质可得，，结合旋转的性质得，，推导出，再根据可证得，由全等三角形的性质即可求解； （2）①由，根据三角形的内角和定理得，结合等边三角形，推得，再由（1）可知，通过角的代换得； ②采用倍长中线法，延长至点，使，结合E是的中点，通过证得，得，，通过角的代换得，由可得，再通过证得，则，最后由旋转可知是等边三角形，则，从而证得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①， ， 是等边三角形， ， ， 由（1）知， ∴， 又， ； ②略 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定、旋转的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 24. 我们把形如（、不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为，，． 再如：为“十字分式方程”，可化为，，． 应用上面的结论，解答下列问题： （1）若为“十字分式方程”，则________，________； （2）请利用上述方法求“十字分式方程”的解； （3）若“十字分式方程”的两个解分别为，，求的值． 【答案】（1）， （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，理解题中解方程的方法是解答的关键． （1）仿照题中求解方法解方程即可； （2）先将方程转化为，再仿照题中求解方法解方程即可； （3）根据“十字分式方程”的解可得，，进而利用完全平方公式求解即可． 【小问1详解】 解：为“十字分式方程”， ， ，； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：为“十字分式方程”， ∴方程可化为， ， 或， ，； 【小问3详解】 解：“十字分式方程”即的两个解分别为，， ，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期八年级期末素养检测 数学 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 代数式，，，，，中，属于分式的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 3. 、、是某三角形三边的长，则的长不可能是（ ） A. B. C. D. 4. 我国自主研制的科学仪器“超分辨光学显微镜”的空间分辨率达到，用科学记数法表示该光学显微镜的空间分辨率（单位：）正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知，添加下列一个条件后，能判定的是（ ） ①；② ；③；④． A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 6. 如图，在中，，将三角形折叠，使点与点重合，折痕为．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 下列多项式因式分解不彻底的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 在同一平面内，如果直线，，那么 B. 的三个内角中至少有一个角大于或等于 C. 三角形的外角和等于 D. 两条边与其中一条边的对角分别对应相等的两个三角形全等 9. 下列计算或说法错误的是（ ） A. 当时，分式的值不存在 B. 分式与的最简公分母是 C. 当时， D. 10. 如图，是的高线，是的中线，是的角平分线．；；；．其中结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 二次根式在实数范围内有意义的条件是______． 12. 如图，在中，为线段的中点，则______． 13. 如图，小明不小心把一块三角形玻璃打碎成三块，他要到玻璃店重新配成一块一样的，只需带③号碎片去的理由是：______． 14. 如图所示方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则3个空格中的实数之积为______． 15. 如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，则的度数是______． 16. 如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为______． 三、解答题（第17，18题，每题6分；第19，20题，每题8分；第21，22题，每题10分；第23，24题，每题12分；共8小题，共72分） 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 设．求和的值． 20. 小明和小强攀登一无名山峰，他俩在山脚A处测得主峰B的仰角为，然后从山脚沿一段倾角为的斜坡走了到达山腰C，此时测得主峰B的仰角为，如图所示．于是小明对小强说：“我知道主峰多高了，”请根据他们提供的数据算出主峰的高度． 21. 列分式方程解应用题． 某商场新进一种商品，第一个月将此商品的进价提高20%作为销售价，共获利600元．第二个月商场搞促销活动，将商品的进价提高15%作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加了40件，并且商场第二个月比第一个月多获利150元．问此商品的进价是多少元？商场第二个月销售多少件？ 22. 如图，点、、、在同一条直线上，，，． （1）求证：； （2）连接交于点，求证：． 23. 如图，在等边中，点P为内一点，连接，，，将线段绕点A顺时针旋转得到，连接，． （1）求证：； （2）若，E是的中点． ①求的度数； ②求证：． 24. 我们把形如（、不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为，，． 再如：为“十字分式方程”，可化为，，． 应用上面的结论，解答下列问题： （1）若为“十字分式方程”，则________，________； （2）请利用上述方法求“十字分式方程”的解； （3）若“十字分式方程”的两个解分别为，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $