2026年中考数学一轮复习18三角形相似知识归纳与考点专练

中考一轮复习18三角形相似知识归纳与考点专练2025-2026 学年人教版九年级下册（七考点） 知识归纳： 1. 比例的基本性质 （1）两条线段的长度之比叫做两条线段的比. （2）在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段. （3）若a∶b=b∶c或,则b叫做a,c的比例中项. （4）比例的基本性质:⇔ad=bc. （5）合比性质:. （6）等比性质: =…=(b+d+…+n≠0)⇒. （7）黄金分割:如图,点C为线段AB上一点,AC>BC，若AC2=AB·BC，则点C为线段AB的黄金分割点，AC=AB≈0.618AB，BC=AB，一条线段有2个黄金分割点. （8）平行线分线段成比例定理: ①平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. ②推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例. 2. 相似三角形 （1）定义:对应角相等,对应边成比例的三角形叫做相似三角形.  （2）似三角形的判定定理 ① 相似三角形的判定定理1:两角对应相等的两个三角形相似; ② 相似三角形的判定定理2:三边对应成比例的两个三角形相似; ③ 相似三角形的判定定理3:两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似; ④ 平行于三角形一边的直线和其他两边(或延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似; ⑤ 直角三角形被斜边上的高分成的两个三角形与原三角形相似.补充:若CD为Rt△ABC斜边上的高(如图),则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD，且AC2=AD·AB，CD2=AD·BD，BC2=BD·AB.kj （3）性质: ①相似三角形的对应角相等;  ②相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例;  ③相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.  3. 相似多边形 （1）定义:各角对应相等,各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形;相似多边形对应边的比叫做相似比. （2）性质: ①相似多边形的对应角相等、对应边成比例. ②相似多边形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方. 4. 图形的位似 （1）位似图形定义:如果两个图形不仅相似,而且每组对应点所在直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,此时相似比又称位似比. （2）位似图形的性质:位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于位似比,位似图形周长的比等于相似比,面积比等于位似比的平方.  考点专练： 考点一：成比例线段 1.下列四组线段中，不是成比例线段的是（   ） A． B． C． D． 2.已知a，b，c，d是比例线段，若，，，则d的长可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 3.已知四条线段a，b，c，d满足，则下列等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 4．比例尺为的地图上，两地间的图上距离为，则两地间的实际距离是（    ） A． B． C． D． 5．已知a=4，c=13，则a，c的比例中项是 ． 6.已知． (1)如果，求a的值； (2)求代数式的值． 考点二：平行线分线段成比例 1．如图，在中，点在边上，且，过点作交于点．若，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 2.如图，在中，D，E分别是上的点，，与相交于点F，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 3.如图，直线a∥b∥c，点A，B在直线a上，点C，D在直线c上，线段AC，BD分别交直线b于点E，F，则下列线段的比与一定相等的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、，如果，，，那么 ． 5.如图，在中，，点在上，且，交于点，且． (1)_____． (2)求的长． 考点三：相似多边形 1.下列四组图形中一定相似的是（    ） A．正方形与矩形 B．正方形与菱形 C．等边三角形与等边三角形 D．矩形与矩形 2.在如图所示的三个矩形中，相似的是（   ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙 3.如图所示的两个矩形相似，则矩形的面积为（　　）    A．312.5 B．300 C．600 D．337.5 4.如图，矩形的边，点E、F分别在边上，且四边形为正方形．若矩形与矩形相似，则的长为 ．    考点四：相似三角形的判定 1．如图所示，在中，，垂足分别为D、E两点，则图中与相似的三角形有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．如图，中，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 3．已知，添加一个条件使得，则添加的条件是 ． 4．如图，交于点，，，，当 时，可与平行． 5.如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，的顶点都在格点上，点、、、、、、是边上的7个格点，请在这7个格点中任意选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与相似，符合题意的三角形共有 个． 6.如图，点，分别在的边，上，且，，，．求证：． 考点五：相似三角形的性质 1.如果两个相似三角形的面积的比是，那么它们的对应中线的比是（   ） A． B． C． D． 2.已知，且，，则∠C的度数为(    ) A． B． C． D． 3.，已知，，面积为10，那么另一个三角形的面积为（ ） A．15 B． C．12 D． 4.如图，正方形的边长为2，，线段的两端分别在上滑动，那么当 时，与相似． 5.如图， 在中， 点D、E分别在边、上，，． (1)求证：； (2)若的周长是8， 求△ABC的周长． 考点六：相似三角形的应用 1.《周髀算经》中记载∶“偃矩以望高”，是指把“矩”(图中)的一边仰着放平，可以测量高度．如图，“矩”的一边紧贴地面，和旗杆均垂直地面．测得长，长，长，则旗杆的高度为 ． 2．如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现测得卡钳上A，D两个端点之间的距离为10cm，，则容器的内径是 cm． 3．在“测量学校教学楼的高度”的数学活动中，小刚同学使用镜面反射法进行测量，如图所示．若 米， 米， 米，则这个学校教学楼的高度为　 　米． 4.如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B，当她走到P点时，发现身后影子的顶端刚好接触到路灯A的底部，当她向前再步行到Q点时，发现身前影子的顶端刚好接触到路灯B的底部．已知小华的身高是，两路灯的高度都是． (1)当时，求x的值； (2)当小华在路灯A与路灯B之间走动时，在两灯光下的影子长是变化的，那么两个影子长的和是否发生变化？若不变，求出两个影子长的和；若发生变化，请说明理由． 考点七：图形的位似 1.下列图形中不是位似图形的是（     ） A．B．C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，若与是位似图形，则位似中心的坐标为（　　） A． B． C． D． 3.如图，把放大后得到，则与的相似比是 ． 4.在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心画，使与成位似图形，且与的相似比为，则线段的长度为 ． 5．如图所示，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)将向右平移5个单位长度得到，请画出； (2)画出关于原点O的中心对称图形； (3)若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标； (4)以原点为位似中心，相似比为2，在第四象限内将放大，画出放大后的图形． 【答案】 中考一轮复习18三角形相似知识归纳与考点专练2025-2026 学年人教版九年级下册（七考点） 知识归纳： 5. 比例的基本性质 （1）两条线段的长度之比叫做两条线段的比. （2）在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段. （3）若a∶b=b∶c或,则b叫做a,c的比例中项. （4）比例的基本性质:⇔ad=bc. （5）合比性质:. （6）等比性质: =…=(b+d+…+n≠0)⇒. （7）黄金分割:如图,点C为线段AB上一点,AC>BC，若AC2=AB·BC，则点C为线段AB的黄金分割点，AC=AB≈0.618AB，BC=AB，一条线段有2个黄金分割点. （8）平行线分线段成比例定理: ①平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. ②推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例. 6. 相似三角形 （1）定义:对应角相等,对应边成比例的三角形叫做相似三角形.  （2）似三角形的判定定理 ① 相似三角形的判定定理1:两角对应相等的两个三角形相似; ② 相似三角形的判定定理2:三边对应成比例的两个三角形相似; ③ 相似三角形的判定定理3:两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似; ④ 平行于三角形一边的直线和其他两边(或延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似; ⑤ 直角三角形被斜边上的高分成的两个三角形与原三角形相似.补充:若CD为Rt△ABC斜边上的高(如图),则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD，且AC2=AD·AB，CD2=AD·BD，BC2=BD·AB.kj （3）性质: ①相似三角形的对应角相等;  ②相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例;  ③相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.  7. 相似多边形 （1）定义:各角对应相等,各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形;相似多边形对应边的比叫做相似比. （2）性质: ①相似多边形的对应角相等、对应边成比例. ②相似多边形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方. 8. 图形的位似 （1）位似图形定义:如果两个图形不仅相似,而且每组对应点所在直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,此时相似比又称位似比. （2）位似图形的性质:位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于位似比,位似图形周长的比等于相似比,面积比等于位似比的平方.  考点专练： 考点一：成比例线段 1.下列四组线段中，不是成比例线段的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 2.已知a，b，c，d是比例线段，若，，，则d的长可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 3.已知四条线段a，b，c，d满足，则下列等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 4．比例尺为的地图上，两地间的图上距离为，则两地间的实际距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 5．已知a=4，c=13，则a，c的比例中项是 ． 【答案】 6.已知． (1)如果，求a的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵， ∴设， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴设， ∴． 考点二：平行线分线段成比例 1．如图，在中，点在边上，且，过点作交于点．若，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 2.如图，在中，D，E分别是上的点，，与相交于点F，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 3.如图，直线a∥b∥c，点A，B在直线a上，点C，D在直线c上，线段AC，BD分别交直线b于点E，F，则下列线段的比与一定相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 4．如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、，如果，，，那么 ． 【答案】6 5.如图，在中，，点在上，且，交于点，且． (1)_____． (2)求的长． 【答案】(1)2(2) 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）得，． ． ． ∴ ∴． 考点三：相似多边形 1.下列四组图形中一定相似的是（    ） A．正方形与矩形 B．正方形与菱形 C．等边三角形与等边三角形 D．矩形与矩形 【答案】C 2.在如图所示的三个矩形中，相似的是（   ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙 【答案】B 3.如图所示的两个矩形相似，则矩形的面积为（　　）    A．312.5 B．300 C．600 D．337.5 【答案】D 4.如图，矩形的边，点E、F分别在边上，且四边形为正方形．若矩形与矩形相似，则的长为 ．    【答案】/ 考点四：相似三角形的判定 1．如图所示，在中，，垂足分别为D、E两点，则图中与相似的三角形有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 2．如图，中，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 3．已知，添加一个条件使得，则添加的条件是 ． 【答案】或或 4．如图，交于点，，，，当 时，可与平行． 【答案】 5.如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，的顶点都在格点上，点、、、、、、是边上的7个格点，请在这7个格点中任意选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与相似，符合题意的三角形共有 个． 【答案】5 6.如图，点，分别在的边，上，且，，，．求证：． 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 考点五：相似三角形的性质 1.如果两个相似三角形的面积的比是，那么它们的对应中线的比是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 2.已知，且，，则∠C的度数为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 3.，已知，，面积为10，那么另一个三角形的面积为（ ） A．15 B． C．12 D． 【答案】B 4.如图，正方形的边长为2，，线段的两端分别在上滑动，那么当 时，与相似． 【答案】或 5.如图， 在中， 点D、E分别在边、上，，． (1)求证：； (2)若的周长是8， 求△ABC的周长． 【答案】（1）解：∵，， ∴， 又∵， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴． 考点六：相似三角形的应用 1.《周髀算经》中记载∶“偃矩以望高”，是指把“矩”(图中)的一边仰着放平，可以测量高度．如图，“矩”的一边紧贴地面，和旗杆均垂直地面．测得长，长，长，则旗杆的高度为 ． 【答案】7 2．如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现测得卡钳上A，D两个端点之间的距离为10cm，，则容器的内径是 cm． 【答案】20 3．在“测量学校教学楼的高度”的数学活动中，小刚同学使用镜面反射法进行测量，如图所示．若 米， 米， 米，则这个学校教学楼的高度为　 　米． 【答案】18 4.如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B，当她走到P点时，发现身后影子的顶端刚好接触到路灯A的底部，当她向前再步行到Q点时，发现身前影子的顶端刚好接触到路灯B的底部．已知小华的身高是，两路灯的高度都是． (1)当时，求x的值； (2)当小华在路灯A与路灯B之间走动时，在两灯光下的影子长是变化的，那么两个影子长的和是否发生变化？若不变，求出两个影子长的和；若发生变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)不发生变化，两个影子长的和是 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴，即：， 解得：； （2）解：不会发生变化； 如图，当小华在A，B之间走动时，在A路灯下的影子长度为，在B路灯下的影子长度为， ∵， ∴， ∴， ∴，， 则，，整理得：，， ∴， ∴， 由（1）得：， ∴，解得：， ∴两个影子的长的和不会变，一直都是． 考点七：图形的位似 1.下列图形中不是位似图形的是（     ） A．B．C． D． 【答案】D 2．如图，在平面直角坐标系中，若与是位似图形，则位似中心的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 3.如图，把放大后得到，则与的相似比是 ． 【答案】/ 4.在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心画，使与成位似图形，且与的相似比为，则线段的长度为 ． 【答案】 5．如图所示，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)将向右平移5个单位长度得到，请画出； (2)画出关于原点O的中心对称图形； (3)若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标； (4)以原点为位似中心，相似比为2，在第四象限内将放大，画出放大后的图形． 【答案】（1）解：所作如图所示； （2）解：所作如图所示； （3）解：连接，相交于点P，如图所示， 由旋转的性质可知：点P即为旋转中心，即， ∵， ∴根据中点坐标公式可得，即； ∴旋转中心的坐标为； （4）解：所作如图所示． 学科网（北京）股份有限公司 $