精品解析：江苏南通市如皋市2025-2026学年度第一学期八年级期末学业质量监测数学试题

2025~2026学年度第一学期八年级期末学业质量监测 数学试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、智学号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 如皋是一座拥有1600多年建县历史的历史文化名城，以长寿文化著称，被列为世界长寿之乡．“如皋”一词由“如”和“皋”组成，“如”为动词，意为“前往”或“到”，“皋”指“水边的高地”，整体意为“前往水边的高地”．下列是“皋”的几种不同的字体，其中可看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. “祖冲之三号”是我国成功研制的105比特超导量子计算机，再次打破超导体系量子计算优越性世界纪录，处理“量子随机线路采样”问题的速度比国际最快的超级计算机快千万亿倍，量子相干时间达到0.000072秒．将数据0.000072用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 劳技课上，小明用同样长度的小木棒去搭建直角三角形，他搭建两条直角边分别用了3根和4根小木棒，那么他搭建斜边用的小木棒数量是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 如图，点在一条直线上，，，则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 如图是一个平分角的仪器，其中；将仪器上的点放在角的顶点，和沿着角的两边放下，过点A，C画一条射线就是这个角的平分线．此仪器的工作原理依据的全等三角形的判定方法是（ ） A. SSS B. C. D. 7. 在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 第2个间隔 2 第3个间隔 2 第4个间隔 0 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 8. 运用乘法公式计算时，下列变形中，最适合运用平方差公式的是（ ） A. B. C. D. 9. 关于的方程有解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 10. 若关于的多项式的值与无关，且，则式子的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题（本大题共6小题，第11~12题每小题3分，第13~16题每小题4分，共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 点关于x轴对称的点的坐标为____． 12. 已知长方形的长为，宽为，则该长方形的面积为__________． 13. 下表给出了两数、以及的数据： 30 35 43 50 53 74 30 25 17 50 47 26 900 875 731 2500 2491 1924 若小红想用长的绳子围成一个长方形，长方形的最大面积是__________． 14. 如图，图中的大长方形是由2块边长为的大正方形，2块边长为的小正方形，5块长为，宽为的相同的长方形拼接而成．观察图形，可以发现代数式因式分解的结果为__________． 15. “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n．若小正方形面积为1，，则大正方形面积为______． 16. 如图，在中，，垂直平分，垂足为，交边于点，垂直平分，垂足为，交线段于点，连接，若，则度数为__________，若，，则__________． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2） 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在中，，在边上作一点，使得． （1）尺规作图，保留作图痕迹，不写作法； （2）若，求证； （3）在（2）的条件下，若的周长为，的周长为，则的长为___________（用含的式子表示）． 20. 典故是中华传统文化的“浓缩载体”，它将复杂的道理、深厚的情感寄托于简短的历史故事或传说中，既便于流传又极具感染力．某中学八年级以“探典故源流，品华夏文脉”为主题开展比赛．比赛满分10分，得分均为整数，在比赛中，甲、乙两组（每组12人）学生成绩如下（单位：分）： 甲组：3 5 6 6 6 6 7 8 9 9 9 10 乙组：5 5 5 6 7 7 7 7 8 9 9 9 小嘉分析数据后列出统计表并画出箱线图． 组别 平均数 中位数 众数 甲组 a b 6 乙组 7 7 c （1）根据上述信息填空：__________，__________，__________； （2）乙组数据的第一四分位数__________； （3）根据箱线图，比较两个组成绩的特点（写出一个即可）． 21. 如图，，垂足分别为，连接． （1）求证：； （2）若，求四边形的面积． 22. “苏超”期间，为保证供电安全，某电力公司投入了先进的无人机巡检系统对重点线路进行巡检，在巡检时，无人机需按固定航线完成往返作业（不计掉头时间），甲无人机负责段线路的巡检，乙无人机负责段线路的巡检，已知段线路单程长，段线路单程长，甲无人机与乙无人机的平均巡航速度比是． （1）若乙无人机完成段线路往返巡检的时间比甲无人机完成段线路往返巡检的时间多，求甲、乙无人机的平均巡航速度； （2）若两架无人机同时从起点出发，且完成往返巡检后同时回到起点，此时乙无人机的巡航速度较（1）中的速度提升了，甲无人机速度不变，求的值． 23. 如图，在三角形支架中，，垂足为，为的中点，，为上一点，． （1）求的长； （2）若点为线段上一动点，则的最小值为__________． 24. 【阅读发现】 人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，然后将因式码按从小到大的顺序排列，就可以形成密码．例如，多项式，将其分解因式为，取，则有．其中，12，17，13分别为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然，也可取另外一些适当的数字，得出其它的密码． 【问题解决】 （1）已知多项式，当取时，用上述方法生成的密码是__________； （2）已知多项式，用上述方法生成的密码是242526，若密码的每个因式码都是两位数，求的值； 【拓展延伸】 （3）国庆假期，小亮全家外出自驾游，在行驶途中小亮发现此时汽车仪表盘上的里程数比一个完全平方数大1，若再行驶后的里程数还是完全平方数，问此时汽车仪表盘上的里程数是多少？ 25. 如图，在中，，点为边上的一动点（不与点重合），，交于点，将沿折叠得，连接． （1）求证； （2）若为等腰三角形，求的长； （3）过点作，交于点，连接，判断之间的数量关系并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期八年级期末学业质量监测 数学试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、智学号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 如皋是一座拥有1600多年建县历史的历史文化名城，以长寿文化著称，被列为世界长寿之乡．“如皋”一词由“如”和“皋”组成，“如”为动词，意为“前往”或“到”，“皋”指“水边的高地”，整体意为“前往水边的高地”．下列是“皋”的几种不同的字体，其中可看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 2. “祖冲之三号”是我国成功研制的105比特超导量子计算机，再次打破超导体系量子计算优越性世界纪录，处理“量子随机线路采样”问题的速度比国际最快的超级计算机快千万亿倍，量子相干时间达到0.000072秒．将数据0.000072用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值10时，n为正整数，当原数的绝对值时，n为负整数． 【详解】解：将数据0.000072用科学记数法表示为， 故选：B． 3. 下列各式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的判定，解题的关键是掌握最简二次根式的定义． 需根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）逐一分析选项． 【详解】解：对于选项A，的被开方数5是整数，且5不含能开得尽方的因数，符合最简二次根式的定义； 对于选项B， ，被开方数含分母，不符合最简二次根式的定义； 对于选项C，，被开方数含能开得尽方的因数4，不符合最简二次根式的定义； 对于选项D，的被开方数含分母，且4是能开得尽方的因数，不符合最简二次根式的定义； 故选：A． 4. 劳技课上，小明用同样长度的小木棒去搭建直角三角形，他搭建两条直角边分别用了3根和4根小木棒，那么他搭建斜边用的小木棒数量是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用．根据勾股定理即可求得斜边需要的小木棒的数量． 【详解】解：∵两直角边分别用了3根、4根长度相同的小木棒， ∴由勾股定理，得到斜边需要：（根）， 故选：C． 5. 如图，点在一条直线上，，，则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质．先根据全等三角形的性质得到，则可判断，然后利用可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， ∵， 故选：C． 6. 如图是一个平分角的仪器，其中；将仪器上的点放在角的顶点，和沿着角的两边放下，过点A，C画一条射线就是这个角的平分线．此仪器的工作原理依据的全等三角形的判定方法是（ ） A. SSS B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，直接根据判定即可． 【详解】解：在和中， ， ∴． ∴； 故选：A 7. 在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 第2个间隔 2 第3个间隔 2 第4个间隔 0 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了利用离差平方和进行分组，解题的关键是掌握离差平方和的定义． 根据组内离差平方和最小原则，选取间隔，然后根据离差平方和逐项进行验证即可． 【详解】解：根据组内离差平方和最小原则，选取第2个间隔， A. 的平均数为7，离差平方和为， 的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； B. 的平均数为，离差平方和为， 的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； C. 的平均数为， 离差平方和为， 的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； D. 的平均数为， 离差平方和为， 的平均数是15，离差平方和为， 组内离差平方和为； 根据组内离差平方和最小原则，可知B符合题意，其余均不符合题意， 故选：B． 8. 运用乘法公式计算时，下列变形中，最适合运用平方差公式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了利用平方差公式对整式进行变形，解题的关键是掌握平方差公式． 利用平方差公式进行变形即可． 【详解】解： 故选：D． 9. 关于的方程有解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数的取值范围，解题的关键是掌握分式方程有解的情况． 先将分式方程化为整式方程，再结合分式方程有解的条件：整式方程有解且解不为原方程的增根，确定m的取值范围． 【详解】解：∵， ∴方程两边同乘（且），得， 整理得：， ∵分式方程有解， ∴， 由得， 由得， 由得，即，恒成立， ∴且， 故选：D． 10. 若关于的多项式的值与无关，且，则式子的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，因式分解，完全平方公式的应用，解题的关键是掌握整式的混合运算． 根据整式的值与无关求出，然后得出，，对多项式进行整理得出结果为，根据平方的非负性即可得出最小值． 【详解】解： ∵多项式的值与无关， ∴， 整理得， ∴，则两式相减得， ∵ 当时，取最小值，最小值为3， 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，第11~12题每小题3分，第13~16题每小题4分，共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 点关于x轴对称的点的坐标为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于x轴对称点的坐标特点，点关于x轴对称的点的坐标是．利用关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数的性质，求点A关于x轴对称的点． 【详解】解：因为点关于x轴对称， 所以横坐标不变，为1；纵坐标互为相反数，为2； 因此对称点的坐标为； 故答案为． 12. 已知长方形的长为，宽为，则该长方形的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，掌握二次根式的乘法法则是关键． 根据长方形的面积等于长乘以宽，代入数值计算，并化简二次根式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 下表给出了两数、以及的数据： 30 35 43 50 53 74 30 25 17 50 47 26 900 875 731 2500 2491 1924 若小红想用长的绳子围成一个长方形，长方形的最大面积是__________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．依据题意，设长方形的长为米，可得长方形的面积，进而结合二次函数的性质可以计算得解． 【详解】解：设长方形的长为米，宽为米， 则周长为，即， 面积， ∵， ∴当时，取得最大值． 故答案为：9． 14. 如图，图中的大长方形是由2块边长为的大正方形，2块边长为的小正方形，5块长为，宽为的相同的长方形拼接而成．观察图形，可以发现代数式因式分解的结果为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解．利用大长方形的面积等于两个大正方形、两个小正方形、五个长方形的面积和，从而得解． 【详解】解：大长方形面积为， 故答案为：． 15. “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n．若小正方形面积为1，，则大正方形面积为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了以弦图为背景的计算题，完全平方公式在几何图形中的应用．根据题意，得是大正方形的面积，小正方形的面积为，结合公式，计算即可． 【详解】解：根据题意，得，， ∴，， ∴． 故答案为：5． 16. 如图，在中，，垂直平分，垂足为，交边于点，垂直平分，垂足为，交线段于点，连接，若，则度数为__________，若，，则__________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等)、等腰三角形的性质(等边对等角)、含角的直角三角形的性质以及勾股定理(直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方)等知识点．①利用线段垂直平分线性质得，结合等腰三角形等边对等角推出，再通过角度差计算得；②过点作，构造直角三角形，先在中用含角的直角三角形性质和勾股定理求边长，再设，在中用勾股定理表示，结合列方程求解得． 【详解】①连接，如图所示： ∵垂直平分，， ∴，则 ， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴ ∴； ②过点作，交的延长线于点，如图所示： ∴和都是直角三角形， ∵垂直平分， ∴和都是直角三角形，在中，， ∴， 由勾股定理得：， 在中，， ， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 设， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，二次根式的化简和除法运算，零指数幂，负整数指数幂，整式的混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）利用二次根式的化简和除法运算，零指数幂，负整数指数次幂运算法则进行计算即可； （2）先进行多项式除以单项式和完全平方公式运算，再进行合并同类项． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算以及代数式求值，熟练掌握分式运算法则和因式分解方法是解题的关键．先对分式的分子、分母进行因式分解，将除法运算转化为乘法运算并约分，再与后面的分式进行通分合并，得到最简分式后，代入计算求值． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 如图，在中，，在边上作一点，使得． （1）尺规作图，保留作图痕迹，不写作法； （2）若，求证； （3）在（2）的条件下，若的周长为，的周长为，则的长为___________（用含的式子表示）． 【答案】（1） 如图，点D即为所求． （2） 解：∵，， ∴， 由作图知， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点D，连接，点D即为所求； （2）由作图知，再根据三角形的外角性质求得，推出，由等角对等边即可得到； （3）利用三角形的周长公式计算，可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵的周长为， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，三角形的外角性质等知识，解题的关键是作出线段的垂直平分线． 20. 典故是中华传统文化的“浓缩载体”，它将复杂的道理、深厚的情感寄托于简短的历史故事或传说中，既便于流传又极具感染力．某中学八年级以“探典故源流，品华夏文脉”为主题开展比赛．比赛满分10分，得分均为整数，在比赛中，甲、乙两组（每组12人）学生成绩如下（单位：分）： 甲组：3 5 6 6 6 6 7 8 9 9 9 10 乙组：5 5 5 6 7 7 7 7 8 9 9 9 小嘉分析数据后列出统计表并画出箱线图． 组别 平均数 中位数 众数 甲组 a b 6 乙组 7 7 c （1）根据上述信息填空：__________，__________，__________； （2）乙组数据的第一四分位数__________； （3）根据箱线图，比较两个组成绩的特点（写出一个即可）． 【答案】（1）7；；7 （2） （3） 从箱线图可知，乙组数据比较集中，比较稳定，比较整齐． 【解析】 【分析】本题考查了平均数，中位数，众数，方差的意义．掌握平均数表示一组数据的平均程度，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量是解题的关键． （1）根据平均数、中位数、众数的定义以及计算方法进行计算即可； （2）根据四分位数的定义以及计算方法进行计算即可； （3）根据箱线图进行解答即可． 【小问1详解】 解： 甲组位于正中间的两个数均为6和7， ∴； 乙组数据中出现次数最多的是7， ∴； 故答案为：7；；7； 【小问2详解】 解：乙组数据共12个，从小到大排列为：5，5，5，6，7，7，7，7，8，9，9，9， 第一四分位数是下半部分（前6个数）的中位数， 下半部分数据为：5，5，5，6，7，7，其中位数为第3和第4个数的平均数，即， 因此，乙组的第一四分位数为， 故答案为：； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查算术平均数，中位数、众数以及箱线图，掌握平均数、中位数、众数的计算方法以及箱线图的意义是正确解答的关键． 21. 如图，，垂足分别为，连接． （1）求证：； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）10 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由垂线的定义可得，由同角的余角相等可得，再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，，再结合四边形的面积计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即四边形的面积为10． 22. “苏超”期间，为保证供电安全，某电力公司投入了先进的无人机巡检系统对重点线路进行巡检，在巡检时，无人机需按固定航线完成往返作业（不计掉头时间），甲无人机负责段线路的巡检，乙无人机负责段线路的巡检，已知段线路单程长，段线路单程长，甲无人机与乙无人机的平均巡航速度比是． （1）若乙无人机完成段线路往返巡检的时间比甲无人机完成段线路往返巡检的时间多，求甲、乙无人机的平均巡航速度； （2）若两架无人机同时从起点出发，且完成往返巡检后同时回到起点，此时乙无人机的巡航速度较（1）中的速度提升了，甲无人机速度不变，求的值． 【答案】（1）甲无人机的平均巡航速度为，乙无人机的平均巡航速度为 （2）25 【解析】 【分析】本题主要考查了列分式方程解决行程问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程求解． （1）设甲无人机的平均巡航速度为，乙无人机的平均巡航速度为，根据时间差，列出方程求解即可； （2）得出乙无人机的平均巡航速度为，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设甲无人机的平均巡航速度为，乙无人机的平均巡航速度为，，根据题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，并符合题意， ∴，， ∴甲无人机的平均巡航速度为，乙无人机的平均巡航速度为； 【小问2详解】 解：乙无人机的平均巡航速度为， ∴ 解得， 经检验，是原分式方程的解，并符合题意， ∴的值为25． 23. 如图，在三角形支架中，，垂足为，为的中点，，为上一点，． （1）求的长； （2）若点为线段上一动点，则的最小值为__________． 【答案】（1）1.6 （2） 【解析】 【分析】本题综合考查了勾股定理、直角三角形斜边中线定理以及轴对称求最短路径的核心知识点． （1）先在中用勾股定理求出，再在中用勾股定理求出． （2）利用是的垂直平分线，将转化为，其最小值为线段 的长，再通过构造直角三角形，用勾股定理求出的长度． 【小问1详解】 解：∵ ， ，． ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图，连接交于点，连接，此时的值最小，最小值为的长． 取的中点，连接． ∵ ，， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， ∴ ． 24. 【阅读发现】 人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，然后将因式码按从小到大的顺序排列，就可以形成密码．例如，多项式，将其分解因式为，取，则有．其中，12，17，13分别为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然，也可取另外一些适当的数字，得出其它的密码． 【问题解决】 （1）已知多项式，当取时，用上述方法生成的密码是__________； （2）已知多项式，用上述方法生成的密码是242526，若密码的每个因式码都是两位数，求的值； 【拓展延伸】 （3）国庆假期，小亮全家外出自驾游，在行驶途中小亮发现此时汽车仪表盘上的里程数比一个完全平方数大1，若再行驶后的里程数还是完全平方数，问此时汽车仪表盘上的里程数是多少？ 【答案】（1）816160；（2），或，或，；（3）此时汽车仪表盘上的里程数是． 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用． （1）先利用平方差公式对多项式逐步分解因式，再代入数值计算各因式的值，最后排序得到密码； （2）先对多项式提取公因式，结合密码的三个因式码分析x的可能取值，再通过因式分解与多项式展开对比系数求出p和q的值； （3）设里程数为x，根据题意列方程，利用因式分解转化为因数对问题，进而求出x的值，判断是否符合题意即可． 【详解】（1）解： ， 当，时， ，，， 将160、16、8按从小到大排列得8、16、160，故生成的密码是816160． 故答案为：816160； （2）解：， ∵生成的密码是242526，密码的每个因式码都是两位数， ∴三个因式码为24、25、26， 即三个因式的值分别为24、25、26， 分三种情况： ①当时，另外两个因式的值为25、26，即，， 则， 可知，； ②当时，另外两个因式的值为24、26，即，， 则， 可知，； ③当时，另外两个因式的值为24、25，即，， 则， 可知，； 综上所述，，或，或，； （3）解：设此时汽车仪表盘上的里程数为（为正整数，且） 根据题意得（，为正整数，且） 将代入得 即 因式分解得 将91分解为正整数因数对：、， 当时， 解得， 此时里程数，符合题意； 当时， 解得， 此时里程数，不符合题意，舍去． 故此时汽车仪表盘上的里程数是． 25. 如图，在中，，点为边上的一动点（不与点重合），，交于点，将沿折叠得，连接． （1）求证； （2）若为等腰三角形，求的长； （3）过点作，交于点，连接，判断之间的数量关系并证明． 【答案】（1） 证明：连接，根据折叠的性质，得， 故直线是线段的垂直平分线， 故． （2）或2 （3） 解：之间的数量关系为．理由如下： 过点A作于点A，且，连接， 则，， 根据折叠的性质，得，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ． 【解析】 【分析】（1）连接，根据垂直平分线的判定和性质证明即可； （2）分类计算即可； （3）过点A作于点A，且，连接，利用等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理证明即可． 本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，折叠的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，， 当时，过点E作于点H，过点D作于点Q， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 当时， ， ，， ， 当时， 点E与点B重合，点D与点C重合，不符合题意； 综上所述，的长为或2． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $