等差数列与等比数列的综合 课件-2025-2026学年高二下学期数学北师大版选择性必修第二册

学习目标 情境引入 探求新知 典例铺路 随堂演练 课堂小结 当堂检测 第一章 数列复习 互动设计 等差数列与等比数列的综合 互动设计课程 1 课件部分内容快照 【核心性质梳理】 类型三：最 典型题例 经典模型一：双数列基本量互求 经典模型二：子列性质互推模型特征 经典模型三：公共项问题模型特征 等差数列中生成等比 等比数列中生成等差 双数列基本量互求 双数列公共项 创新题型：新定义数列 经典模型一：双数列基本量互求 经典模型二：子列性质互推模型特征 经典模型三：公共项问题模型特征 创新题型：新定义数列 互动设计课程 学 习 目 标 双剑合璧，数列巅峰之战。。。 返回主页 等差与等比数列的综合，是高一数列知识的第一次升级。如果说单一数列是”单线剧情”，综合题就是”双线交织”——你需要同时调动两套公式，找到它们之间的连接点。这部分是期中、期末考的重点题型，也是未来高考中档题的基础原型。 学习定位 看到两个数列就手忙脚乱，不知道该先求谁 - 遇到”第几项成等差/等比”的条件，列方程没方向 - 复杂式子化简时，指数运算、因式分解频频出错 常见卡点 通过四大基础模型的拆解，帮你建立”先定类型→再找联系→联立求解”的解题流程，稳扎稳打，为高三综合复习埋好伏笔。 本专题目标 探 求 新 知 返回主页 经典模型一：双数列基本量互求 经典模型二：子列性质互推模型特征 经典模型三：公共项问题模型特征 创新题型：新定义数列 经典模型一：双数列基本量互求 例题1（2022年新高考I卷） 记 为数列 的前 项和， 为数列 的前 项积，已知 。 (1) 证明：数列 是等差数列； (2) 求 的通项公式。 解析： (1) 当 时，，且 ，得 ， 当 时，，，故 代入条件：，即 故 是以 为首项， 为公差的等差数列。 (2) 由 (1) 得 当 时， 当 时， 经典模型二：子列性质互推模型特征 等差数列中抽取部分项成等比，或等比数列中抽取部分项成等差，涉及项数标号的代数关系。 例题2（2021年全国乙卷） 设 是首项为1的等比数列，数列 满足 。已知 成等差数列。 (1) 求 和 的通项公式； (2) 记 和 分别为 和 的前 项和。证明：。 解析： (1) 设 公比为 ，则 由 成等差： 故 ， (2) 求 （等比求和）： 求 （错位相减）： 相减： 证明不等式： 故 得证。 经典模型三：公共项问题模型特征 例题3 已知等差数列 ：（公差3），等比数列 ：（公比2）。 (1) 求两数列的公共项按从小到大排列构成的新数列 的通项公式； (2) 求 的前 项和。 解析： (1) ， 公共项满足：，即 故 为奇数，即 （） 此时 验证：（）✓，（）✓ (2) 是首项为2，公比为4的等比数列： 创新题型：新定义数列 例题5（2023年新高考II卷） 设 是等差数列，，记 分别为 的前 项和，，。 (1) 求 的通项公式； (2) 证明：当 时，。 解析： (1) 设 ，即 …① 即 …② 由①②：，，， (2) 求 （分奇偶）： 当 （偶数）： 当 （奇数）： 比较大小： （偶）：，， ✓ （奇）：，， ✓ 一般证明（略，可通过作差配方或数学归纳法完成）。 典 例 铺 路 等差数列中生成等比 等比数列中生成等差 双数列基本量互求 双数列公共项 1.等差中生成等比 已知三个数成等差数列，它们的和为15。如果这三个数分别加上1、4、19后，所得新数成等比数列，求原来的三个数。 解：设原来的三个数分别为 （等差中项为 ）。 由和为15：，解得 。 则三个数为 。 分别加上1、4、19后得：。 它们成等比数列，所以中间项的平方等于前后两项的积： 即 ，整理得： 解得 或 。 当 时，原数为 ；当 时，原数为 。 经检验，两组数均满足条件（注意负数也可以）。 答案：原来的三个数为 或 。 2.设等差数列 的首项 ，公差 ，且 成等比数列。 （1）求数列 的通项公式； （2）求数列 的前 项和 。 解：（1）由等差数列，，。 由 成等比，得 ，即： 展开：，整理得 ，即 。 因为 ，所以 。 通项公式：。 （2）前 项和 。 答案：（1）；（2）。 2.等比中生成等差 3.在等比数列 中， 成等差数列，求公比 。 解：由等比数列通项，，。 由等差中项性质，，即 因为 ，两边除以 得 因式分解： 解得 或 。 故公比 的值为 或 或 。 4.已知等比数列 中， 成等差数列，且 ，求 的值。 解：设公比为 ，则 由等差中项：，即 两边除以 得 提取公因式 （）： 因式分解得 ，所以 于是 。分别计算： - 当 时，； - 当 时，（可简化，但数值约为 ），； - 当 时，，。 故 的值为 或 或 。 3.等差等比基本量互求 5.已知等比数列 中，，；等差数列 中，，。求数列 的前 项和 。 可化为 。 答案：。 4.等差等比公共项 6、已知等差数列 ：1, 5, 9, 13, …（首项1，公差4），等比数列 ：1, 3, 9, 27, …（首项1，公比3）。求这两个数列的公共项按从小到大排列构成的新数列 的通项公式，并求 的前 项和。 解： 等差数列通项 。 等比数列通项 。 公共项满足 。 因此需 为偶数，设 （），则 ，代入得 ，即 。 故 能被4整除，对每个 存在正整数 。 公共项对应 ，即 。 所以 的通项为 （），是首项为1、公比为9的等比数列。 前 项和 。 随 堂 演 练 返回主页 1.已知数列 是公差不为0的等差数列，且 成等比数列。 （1）求该等比数列的公比 ； （2）若 ，求数列 的通项公式。 解：（1）设等差数列公差为 ，则 ，。 由 成等比，得 ，即： 展开：，整理得 。 因为 ，所以 。 于是公比 。 （2）当 时，，所以通项 。 答案：（1）公比 ；（2）。 2.三个数成等比数列，它们的积为27，如果这三个数分别减去1、1、9后，所得新数成等差数列，求原来的三个数。 提示：设三数为 ，由积得 ，再根据等差条件列方程。答案： 或 。 3.在等差数列 中，，且 成等比数列，求公差 和通项公式。 提示：由 得 ，解得 或 ，注意题目可能要求非零公差？若 则为常数列，也是等比。通常取 得 。 4.在等比数列 中， 成等差数列，且 ，求公比 。 解：由 ，得 ，，。 等差条件：，即 除以 ： 与例题2相同，得 ，所以 解得 或 。 故公比 的值为 或 或 。 随 堂 检 测 返回主页 1.已知等比数列 中，，且 成等差数列，求数列的通项公式。 解：设公比为 ，则 由等差中项：，即 提取 （）： 因式分解：尝试 ，代入得 ，故有因子 。用多项式除法： 解三次方程 ，其有一个实根 （另外两个为虚根）。 因此公比可能为 或 （其中 是 的实根）。 对应的通项公式为： - 当 时，； - 当 时，（）。 2.在等比数列 中， 成等差数列，求公比 。 提示：由 得 ，即 ，因式分解得 ，解得 或 。 课 堂 小 结 1. 知识小结 返回主页 2. 易错警示 1 2 3 4 认真领会 1. 知识小结 题型 破题关键 常用工具 双数列基本量 建立方程，消元求解 等差/等比通项、求和公式 子列性质互推 抓住公共项或公共条件 等差中项、等比中项 公共项问题 建立项数标号的同余关系 模运算、周期性分析 数列不等式 作差比较、放缩法、函数思想 求和公式、单调性分析 新定义数列 准确理解定义，分类讨论 分奇偶求和、分组转化 60 混淆项数：等差数列第 项与等比数列第 项对应时，注意标号不同 符号失误：不等式两边同乘负数时忘记变号（如例题4） 遗漏验证：新定义数列需验证前几项是否符合规律 求和漏项：分奇偶讨论时，奇数项数的表达式易算错 2. 易错警示 $