21.2.2平行四边形的判定（第2课时 根据一组对边判定）（课件）-【满分全攻略备课系列】2025-2026学年（新教材人教版）数学八年级下册教学课件

八年级人教版数学下册 第二十一章 四边形 21.2.2平行四边形的判定 第二课时 根据一组对边判定 布置作业 3 学习目标 1 5 课堂小结 习题巩固 4 知识详解 2 6 布置作业 典例分析 学习目标 1. 理解 “一组对边平行且相等的四边形是平行四边形” 这一判定定理，能通过逻辑推理证明该定理.（重点） 2. 会运用 “一组对边平行且相等” 的判定方法，解决平行四边形相关的证明问题.（难点） 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ∵AB∥CD，AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD，AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵∠A=∠C，∠B=∠D， ∴四边形ABCD是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵OA=OC ， OB=OD, ∴四边形ABCD是平行四边形. 复习导入 A B C D 根据平行四边形的定义和它的判定定理可知，两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形. 如果只考虑四边形的一组对边，那么它们满足什么条件时这个四边形是平行四边形呢？ 对于平行四边形的一组对边，从它们的位置关系和数量关系考虑，你能得到什么结论？ 问题1 一组对边平行的四边形是平行四边形吗？ 问题2 满足一组对边相等的四边形是平行四边形吗？ 问题3 如果一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？ 猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 思考 如图，在四边形ABCD中，AB CD. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：连接 AC. ∵ AB ∥ CD，∴ ∠1 = ∠2. 又 AB = CD，AC = CA， ∴ △ABC≌△CDA. ∴ BC = DA. 又 AB = CD， ∴四边形ABCD是平行四边形. 表示平行且相等. A B C D 1 2 平行四边形的判定方法 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 符号语言： 在四边形 ABCD 中， ∵AB∥CD，AB = CD， ∴四边形 ABCD 是平行四边形． A B C D 问题4 如果一组对边平行，而另一组对边相等的四边形是平行四边形吗？ 等腰梯形属于一组对边平行（上底和下底）， 而另一组对边相等（两腰）， 但是等腰梯形不是平行四边形． 等腰梯形 A B C D 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， 例5.如图，在 ▱ABCD 中，E，F 分别是 AB，CD 的中点. 求证 DE BF . ∴ AB CD . 又 EB = AB，DF = CD， ∴ EB DF . ∴四边形 EBFD 是平行四边形. ∴ DE BF . D A B C E F 只需证四边形 EBFD 是平行四边形. 教材P62 例题 证法一：(证两组对边相等)∵BF＝DE，∴BF－EF＝DE－EF, 即BE＝DF. ∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°.又∵AE＝CF, ∴△ABE≌△CDF，∴AB＝CD. ∵AE＝CF, ∠AED＝∠CFB，DE＝BF,∴△AED≌△CFB, ∴AD＝CB.∴四边形ABCD是平行四边形. 证法二：(证两组对角相等)∵BF＝DE，∴BF－EF＝DE－EF, 即BE＝DF. ∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°.又∵AE＝CF, ∴△ABE≌△CDF. ∴∠ABE＝∠CDF，∠BAE＝∠DCF.∵AE＝CF, ∠AED＝∠CFB，DE＝BF,∴△AED≌△CFB, ∴∠ADE＝∠CBF，∠DAE＝∠BCF. ∴∠ABE＋∠CBF＝∠CDF＋∠ADE，∠BAE＋∠DAE＝∠DCF＋∠BCF， 即∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD.∴四边形ABCD是平行四边形. 如图21.2－28，在四边形ABCD中，AE⊥BD于点E， CF⊥BD于点F，AE＝CF，BF＝DE. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 变式训练 证法三：(证两组对边平行)∵BF＝DE，∴BF－EF＝DE－EF, 即BE＝DF. ∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°.又∵AE＝CF, ∴△ABE≌△CDF. ∴∠ABE＝∠CDF，∴AB∥CD.易得△AED≌△CFB，∴∠ADE＝∠CBF. ∴AD∥BC. ∴四边形ABCD是平行四边形. 证法四：(证一组对边平行且相等)∵BF＝DE，∴BF－EF＝DE－EF, 即BE＝DF. ∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°.又∵AE＝CF，∴△ABE≌△CDF, ∴AB＝CD，∠ABE＝ ∠CDF，∴AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形. 如图21.2－28，在四边形ABCD中，AE⊥BD于点E， CF⊥BD于点F，AE＝CF，BF＝DE. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 变式训练 教材P62 练习 课内练习 1.如图，为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了.你能说出其中的道理吗？ 解：因为互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可以判定：两根枕木及两条铁轨组成的四边形是平行四边形，所以两条直铺的铁轨互相平行. 2. 如图，在▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.求证：四边形 AFCE 是平行四边形. D E C F B A 证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD BC，∴ ∠ADE = ∠CBF. ∵ AE ⊥ BD，CF ⊥ BD， ∴ ∠AED = ∠CFB = 90°， ∴ △AED≌△CFB，∴ AE = CF. ∵∠AEF = ∠CFE = 90°，∴ AE ∥ CF， ∴ 四边形 AFCE 是平行四边形. 3.如图，由六个全等的正三角形拼成的图形中，有多少个平行四边形？为什么？ 解：如图所示，有6个平行四边形，分别为 ▱AFOB、▱AOEF、▱FODE、▱COED、▱BODC、▱ABCO. 理由如下： 由题意知六个三角形是全等的正三角形， 即 AF = OB，OF = AB， 所以四边形 AFOB 是平行四边形.(其他证明略) 基础巩固题 知识点 根据一组对边判定平行四边形 1.【2025河北邯郸模拟】如图，若再增加“某条线段的长度为5” 这个条件后，可证明四边形 为平行四边形，则这条线段为 ( ) A A. B. C. D. 【解析】 ，， 当 时， 四边形 为平行四边形，故选A. D 2.已知在平面直角坐标系中有三个点：A(－1，2)，B(3，1)，C(1，－2)．在平面内确定点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标不可能是(　　) A．(1，5) B．(－3，－1) C．(5，－3) D．(6，－4) 基础巩固题 3.[2025安徽中考]如图，在▱ABCD中，E，G分别为边AD，BC的中点，点F，H分别在边AB，CD上移动(不与端点重合)，且满足AF＝CH，则下列为定值的是(　　) A．四边形EFGH的周长 B．∠EFG的大小 C．四边形EFGH的面积 D．线段FH的长 C 基础巩固题 18 4.【2025河北邯郸模拟】现有一张平行四边形纸片， ，要求用尺规 作图的方法在边，上分别找点，，使得四边形 为平行四边形．甲、 乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是( ) 甲： _____________________________________________ 乙： ______________________________________________ C A.甲对、乙不对 B.甲不对、乙对 C.甲、乙都对 D.甲、乙都不对 能力提升题 19 5.【2025浙江杭州期中】如图，在中，，射线，点 从 点出发沿射线以的速度运动，点从点出发沿射线以 的速度 运动．如果点，同时出发，设运动时间为，则当______时，以， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形． 或5 【解析】①当点在的左侧时，根据题意得， ，.， 当时，四边形 是平行四边形，， 当点在的右侧时，根据题意得 ， ，， 当 时，四边 形是平行四边形，，.综上所述,当或5时，以, , ,为顶点的四边形是平行四边形，故答案为 或5. 能力提升题 20 解：如图． 6.如图，线段AC，BD相交于点O，且AB∥CD，AE⊥BD于点E． (1)尺规作图：过点C作BD的垂线，垂足为点F，连接AF，CE；(不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的字母) 解：四边形AECF是平行四边形． 理由如下：∵AB∥CD，∴∠B＝∠D，∠OAB＝∠OCD. 又∵AB＝CD，∴△ABO≌△CDO(ASA)，∴OA＝OC. ∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF，∠AEO＝∠CFO＝90°. 又∵∠AOE＝∠COF，OA＝OC，∴△AOE≌△COF(AAS)，∴AE＝CF. 又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形． (2)若AB＝CD，请判断四边形AECF的形状，并说明理由．(若前问未完成，可画草图完成此问) 21 7.如图，在▱ABCD中，AB＝6 cm，AD＝10 cm，点P在边AD上以1 cm/s的速度从点A向点D运动．点Q在边BC上以4 cm/s的速度从点C出发，在点C，B之间往返运动．两点同时出发，当点P到达点D时停止(同时点Q也停止运动)，设运动时间为t s．若5<t<10，则当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？ 解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴PD∥BQ.若要以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形，则PD＝BQ.当5<t≤时，AP＝t cm，PD＝(10－t)cm，BQ＝(30－4t)cm，∴10－t＝30－4t，解得t＝ ；当<t≤10时，AP＝t cm，PD＝(10－t)cm，BQ＝(4t－30)cm，∴10－t＝4t－30，解得t＝8.综上所述，当t的值为或8时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形． 平行四边形的判定 定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形 边：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 课堂小结 判定方法的选择 元素 已知条件 证明思路 本质 边 一组对边相等 一组对边平行 角 角 对角线 对角线相交 另一组对边相等 两组对边分别相等 另一组对边平行 对角线相互平分 两组对角分别相等 两组对边分别平行 对角线相互平分 两组对角分别相等 该组对边平行 一组对边平行且相等 该组对边相等 一组对边平行且相等 课堂小结 教科书第62页练习 第1,2,3题 布置作业 $