精品解析：安徽省亳州市蒙城县2025-2026学年九年级上学期第三次质量检测数学试题

蒙城县2025—2026学年度第一学期第三次质量检测试卷 九年级数学试题（试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列交通标志既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为，和，另一个三角形的最长边长为，则它的最短边为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，那么（ ） A. B. C. D. 4. 如图，与位似，点O是它们的位似中心，与的面积之比是，其中，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 5. 若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 小华在公园里测量一棵古树的高度，他站在离树根8米远的地方，测得树顶的仰角为，已知小华的眼睛离地面米，那么古树的高度约为（参考数据：）（ ） A. 5.1米 B. 6.2米 C. 7.1米 D. 8.1米 7. 直线的向上方向与x轴正方向所夹的锐角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，若的三个顶点都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数的图象如图所示，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，菱形，，，对角线，交于点O，点E为射线上的一个动点，现将线段绕点O顺时针旋转得到线段，连接，则当以A，O，为顶点的三角形与相似时，的长度为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 在Rt△ABC中，∠C=，，则的值为_____________． 12. 两个相似三角形的一组对应边的边长分别为，，它们的周长之差为，则这两个三角形的周长的和为______． 13. 如图，在平行四边形中，点E为的中点，点F为延长线上一点，交于点G，若，则______． 14. 如图，正方形，边长为，点在边上且，点为边上的一动点，连接，现将线段绕点顺时针旋转得到线段，射线与射线交于点． （）若，则的值为______； （）若，则的值为______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算． 16. 如图，在矩形中，，，是边上的一点（不与点，重合），，垂足为． （1）求证：； （2）若，求的长． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，在中，． （1）求的值； （2）求直线的函数表达式． 18. 如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上（网格线的交点），点的坐标分别为，，． （1）以点为位似中心在第三象限画出，使它与的相似比为； （2）以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得，画出； （3）连接，利用格点，在轴上找一点，使得． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在中，点在边上，且满足，连接，，． （1）若，求边的长； （2）若，且，求线段的长． 20. 小华在公园里放风筝，当风筝位置相对不变时，他在点处测得风筝的仰角为，他向前走了后，在点处测得风筝的仰角变为．已知小华的眼睛离地面高度为，且风筝线始终保持笔直拉紧状态，求此时风筝离地面的实际高度．（精确到） 参考数据：，，，，，． 六、（本题满分12分） 21. 如图，在中，，（a为常数且），延长到点A，使． （1）求的度数及的值； （2）作，求的长． 七、（本题满分12分） 22. 如图，正方形，边长为4，点E为射线上的一动点，连接，现将线段绕点B逆时针旋转得到线段，线段的垂直平分线交线段于点G，交于点H． （1）连接，，求证：； （2）点E在射线上运动的过程中： （i）求的值； （ⅱ）求线段的最小值． 八、（本题满分14分） 23. 已知二次函数，． （1）当时，求此函数图象的对称轴； （2）若点，均在该函数图象上； （i）是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （ⅱ）令，若该函数在时，y随x的增大而减小，在时，y随x的增大而增大，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蒙城县2025—2026学年度第一学期第三次质量检测试卷 九年级数学试题（试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列交通标志既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：A． 2. 要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为，和，另一个三角形的最长边长为，则它的最短边为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的对应边成比例，求解即可． 【详解】解：设另一个三角形的最短边长为． ∵ 两个三角形形状相同，即相似， ∴ 对应边成比例． 另一个三角形的最长边对应第一个三角形的最长边，且第一个三角形的最短边 ∴， 解得， ∴它的最短边为， 故选：B． 3. 已知，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据题意可推出，再把代入所求式子中计算求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 4. 如图，与位似，点O是它们的位似中心，与的面积之比是，其中，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了位似三角形的性质，相似三角形的性质与判定，根据位似三角形的性质可得，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方得到，再证明得到，则，据此可得答案． 【详解】解：∵与位似，点O是它们的位似中心， ∴， ∴， ∵与的面积之比是， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了互余的两个角的三角函数关系，根据即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ 故选：A． 6. 小华在公园里测量一棵古树的高度，他站在离树根8米远的地方，测得树顶的仰角为，已知小华的眼睛离地面米，那么古树的高度约为（参考数据：）（ ） A. 5.1米 B. 6.2米 C. 7.1米 D. 8.1米 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，线段的长表示古树的高度，线段的长表示小华的眼睛离地面的距离，线段的长表示小华离树根的距离，过点作于E，证明四边形是矩形，得到米，米，解直角三角形求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，线段的长表示古树的高度，线段的长表示小华的眼睛离地面的距离，线段的长表示小华离树根的距离，过点作于E， 由题意得，米，米，，， ∴四边形是矩形， ∴米，米， 在中，米， ∴米， ∴古树的高度约为米， 故选：B． 7. 直线的向上方向与x轴正方向所夹的锐角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，三角函数的定义，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．设直线与x、y轴相交于A、B，先求出A、B的坐标，然后根据勾股定理求出，最后根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：设直线与x、y轴相交于A、B，如图， ∵是向上方向与x轴正方向所夹的锐角， ∴， ∵当时，；当时，，解得， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 8. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，若的三个顶点都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数，过点作于，由勾股定理得，，再根据三角形的面积可得，即得，最后根据正切的定义解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， 由勾股定理得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 9. 已知二次函数的图象如图所示，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键．根据二次函数的图象与系数的关系以及性质，判断即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴位于y轴的左侧， ∴，即； ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故A选项错误，不符合题意； 由抛物线与x轴的交点坐标可知，对称轴， ∵， ∴，即，故B选项错误，不符合题意； 由图可知，当时，，故C选项错误，不符合题意； 由图可知，当时，，故D选项正确，符合题意； 故选：D． 10. 如图，菱形，，，对角线，交于点O，点E为射线上的一个动点，现将线段绕点O顺时针旋转得到线段，连接，则当以A，O，为顶点的三角形与相似时，的长度为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识．根据菱形的性质，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据旋转的性质并结合角的和差可求出，则以A，O，为顶点的三角形与相似，必有或，然后分或两种情况讨论，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形为菱形，，， ∴，， ∴， ∴， ∵线段绕点O顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴ ∵以A，O，为顶点的三角形与相似， ∴或， 当时，如图， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， ∴， ∴ ∴，即， ∴， ∴， ∴， 综上，的长度为或， 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 在Rt△ABC中，∠C=，，则的值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据，设得，，再利用勾股定理求得AB的长，最后利用余弦的定义即可求解. 【详解】解：如图， 在Rt△ABC中，， 又∵， ∴， ∴设，， 则， ∴. 故答案为： 【点睛】本题考查了解直角三角形，利用勾股定理求得直角三角形的斜边的长是解题的关键. 12. 两个相似三角形的一组对应边的边长分别为，，它们的周长之差为，则这两个三角形的周长的和为______． 【答案】126 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，设较小三角形的周长为，则较大三角形的周长为，根据相似三角形的性质，周长比等于相似比，结合周长差建立方程求解，熟练掌握相似三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵两个相似三角形的周长之差为， ∴设较小三角形的周长为，则较大三角形的周长为， ∵两个相似三角形的一组对应边的边长分别为，， ∴由相似三角形的性质可得， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴较大三角形周长为， 故这两个三角形的周长的和为， 故答案为：． 13. 如图，在平行四边形中，点E为的中点，点F为延长线上一点，交于点G，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，由平行四边形的性质可推出，则可得到；证明四边形是平行四边形，可推出；证明，可推出，则． 【详解】解：∵点E为的中点， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，正方形，边长为，点在边上且，点为边上的一动点，连接，现将线段绕点顺时针旋转得到线段，射线与射线交于点． （）若，则的值为______； （）若，则的值为______． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】（）证明即可求解； （）分点在线段上和点在的延长线上两种情况，利用解答即可求解； 本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：（）∵正方形，边长为， ∴，， ∴， 由旋转得，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （）如图，当点在线段上时，， 同理（）可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当点在的延长线上时，， 同理得， ∴， 即， ∴； 综上，的值为或， 故答案为：或． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值混合运算，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．先把特殊角的三角函数值代入，再进行二次根式混合运算，即可求解． 【详解】解：原式 ． 16. 如图，在矩形中，，，是边上的一点（不与点，重合），，垂足为． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：四边形是矩形， ，，， ， ， ， ； （2）； 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据矩形性质得，进而由平行线的性质得，再根据角角对应相等的两个三角形相似得出结论． （2）根据相似三角形的性质得到对应边成比例可知，再根据勾股定理可计算的值，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 在中，， ， ， ． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，在中，． （1）求的值； （2）求直线的函数表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）过点作轴于点，过点作轴于点，可得，即得，，再根据锐角三角函数得，根据角的和差关系得，即得，得到，再利用待定系数法解答即可求解； （）设直线的函数表达式为，利用待定系数法解答即可求解； 本题考查了锐角三角函数，等腰直角三角形的判定和性质，待定系数法求函数解析式，正确作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，则， ∵点坐标为， ∴， ∴，， ∵在中，， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴； 【小问2详解】 解：设直线的函数表达式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的函数表达式为． 18. 如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上（网格线的交点），点的坐标分别为，，． （1）以点为位似中心在第三象限画出，使它与的相似比为； （2）以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得，画出； （3）连接，利用格点，在轴上找一点，使得． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3） 解：如图所示，点即为所求． 【解析】 【分析】（）利用位似图形的性质可得点的坐标分别为，，，再连线即可画出； （）根据旋转的性质画图即可； （）取格点，连接交轴于点，由平移的性质可知，故点即为所求； 本题考查了作位似图形，旋转作图，平移的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在中，点在边上，且满足，连接，，． （1）若，求边的长； （2）若，且，求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）由已知可得，再证明，根据相似三角形的性质解答即可求解； （）取的中点，连接，由已知得，，点是的中点，即得是的中位线，得到，，即得到，同理（）得，得到，设，则，利用勾股定理可得，求出的值进而即可求解； 本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得； 【小问2详解】 解：如图，取的中点，连接， ∵，， ∴，，点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 20. 小华在公园里放风筝，当风筝位置相对不变时，他在点处测得风筝的仰角为，他向前走了后，在点处测得风筝的仰角变为．已知小华的眼睛离地面高度为，且风筝线始终保持笔直拉紧状态，求此时风筝离地面的实际高度．（精确到） 参考数据：，，，，，． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，过点作的延长线于点，设，分别解和，可得，，再根据列出方程求出的值，进而即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作的延长线于点，设， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴此时风筝离地面的实际高度为． 六、（本题满分12分） 21. 如图，在中，，（a为常数且），延长到点A，使． （1）求的度数及的值； （2）作，求的长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，三角形外角的定义等知识，解题的关键是： （1）根据等边对等角和三角形外角的性质求的度数即可，根据含的直角三角形的性质求出的长度，根据勾股定理求出的长度，则可求出的长度，然后根据正切的定义求解即可； （2）根据勾股定理求出的长度，然后在中根据正弦定义求出的值，最后在中根据正弦定义求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 【小问2详解】 解：在中，，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 七、（本题满分12分） 22. 如图，正方形，边长为4，点E为射线上的一动点，连接，现将线段绕点B逆时针旋转得到线段，线段的垂直平分线交线段于点G，交于点H． （1）连接，，求证：； （2）点E在射线上运动的过程中： （i）求的值； （ⅱ）求线段的最小值． 【答案】（1） 证明：四边形是正方形，边长为4， ，，对角线平分， ， 绕点B逆时针旋转得到线段， ， ， ， ， 是线段的垂直平分线， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在正方形中，， ， ， ， ． （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质和旋转性质得，且根据正方形边长和对角线的数量关系得，再利用垂直平分线性质和等腰直角三角形边的比例关系计算，最后根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”这一判定定理即证题目所求； （2）（i）根据旋转的性质表示出，再由垂直平分线性质得是等腰直角三角形，进而表示出，从而表示出，最后化简计算的值； （ⅱ）点G的轨迹是在过点A且与对角线平行的直线上，过点D作直线，交直线于点F，则的最小值为，在中，，，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）解：绕点B逆时针旋转得到线段， ， 是线段的垂直平分线， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． （ⅱ）解：如图， ， ∴， ∵正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点G的轨迹是在过点A且与对角线平行的直线上， 过点D作直线，交直线于点F，则的最小值为， 在中，，， ∴ ∴的最小值为． 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，垂直平分线的性质，相似三角形的判定，二次根式的化简计算和动点求最小值问题，熟练掌握并综合应用基本图形的性质、相似三角形的判定、二次根式的化简、根据题目要求推测动点轨迹是解题的关键． 八、（本题满分14分） 23. 已知二次函数，． （1）当时，求此函数图象的对称轴； （2）若点，均在该函数图象上； （i）是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （ⅱ）令，若该函数在时，y随x的增大而减小，在时，y随x的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】（1）直线 （2）（i）存在，；（ii） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． （1）将代入，整理得，即可求解对称轴； （2）（i）将点，代入，求出，，再代入求解即可； （ⅱ）先求出，再由二次函数的图象与性质求解即可． 【小问1详解】 解：将代入， 则， ∴， ∴对称轴为直线； 【小问2详解】 解：（i）存在，理由如下： 由题意得，将点，代入， 则，， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴； （ii）将，，代入， 整理得， 可得对称轴为直线，抛物线开口向上， 如图： ∵该函数在时，y随x的增大而减小，在时，y随x的增大而增大， ∴， 解得 ∴a的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $