2026年中考数学一轮复习16 特殊三角形知识归纳与考点专练

中考一轮复习16特殊三角形知识归纳与考点专练2025-2026 学年人教版九年级下册（四考点） 知识归纳： 1. 等腰三角形 （1）定义:两边相等的三角形叫做等腰三角形. （2）性质:①等腰三角形的两腰相等; ②等腰三角形的两底角相等,即“等边对等角”; ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，即“三线合一”; ④等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴,对称轴是底边的垂直平分线.  （3）判定: ①有两条边相等的三角形是等腰三角形; ②有两个角相等的三角形是等腰三角形，即“等角对等边”. 2. 等边三角形 （1）定义:三边相等的三角形是等边三角形. （2）性质: ①等边三角形的三边相等，三角相等,且都等于60°; ②“三线合一”; ③等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.  （3）判定: ①三条边都相等的三角形是等边三角形; ②三个角都相等的三角形是等边三角形; ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.  3. 直角三角形 （1）性质: ①直角三角形的两锐角互余; ②直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半; ③直角三角形中,斜边上的 中线长等于斜边长的一半. （2）判定:有一个角是直角的三角形是直角三角形.  （3）勾股定理及其逆定理 ①勾股定理:直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方; ②勾股定理的逆定理:若一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形. 考点专练： 考点一：等腰三角形的性质与判定 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，若∠BAC＝110°，则∠BAD的度数为（　　） A．35° B．55° C．65° D．90° 2.如图是古建筑中的房梁三角架的示意图．在中，，是的中点，连接，是上一点，且．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3.如图，，，若，则 ． 4.已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长等于 ． 5.如图，中，，点为的中点，过点分别作于于． (1)求证：； (2)求证：． 考点二：等边三角形 1.如图，是等边三角形，是边上的中线，点在上，且，则（ ） A．100° B．105° C．110° D．115° 2. 如图，点O是等边三角形ABC内一点，连接OA、OB、OC，并以OC为一边向外作等边三角形OCD，连接AD．若∠AOB=110°， ∠BOC=150°，则∠OAD的度数为（ ） A．45° B．50° C．55° D．60° 3.如图，已知等边和等边，点P在的延长线上，的延长线交于点M，连接；下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，是等边三角形，P为上一点，在上取一点D，使，且，则的度数是 ．    5.如图，在等边中，，平分交于点D，过D作于点E，则的长度为 ． 6.如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，若，则的长为 ． 7．如图，和均是等边三角形，相交于，与相交于点，与相交于点，连接，有如下结论：①；②；③；④；⑤其中，结论正确的序号是 ．    8.已知：如图，点P是等边内的一点，连接、、，以为边作等边，连接． (1)求证：； (2)若∠，，，求的面积． 考点四：直角三角形 1.如图，在中，，于点D，，E是斜边的中点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2.如图，直线，线段和线段垂直于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3.如图，已知在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 4.在中，，是斜边上的中线，若，则的度数为 ． 5.如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F． (1)证明：是等腰三角形； (2)若，求的长． 考点四：勾股定理 1.以下列长度的三条线段为边，不能组成直角三角形的是（    ） A．3，4，5 B．1，2，3 C．5，12，13 D．6，8，10 2．若直角三角形的两条边分别为和2，则该三角形第三边的长为（   ） A．1 B． C．5 D．1或 3．如图，在的方格中，小正方形的边长是，点、、都在格点上，则边上的高为 ． 4.如图，A，B，C是三个正方形，当的面积为14，的面积为19时，则的面积为 ． 5.如图，有两棵树，一颗高6米，另一棵高2米，两树相距5米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 ． 6.如图，一条伸直的橡皮筋AB的两端被固定在水平桌面上，C是AB上的一点，AB＝5cm，AC＝4cm，将橡皮筋从C点向上垂直拉升2cm到D点． （1）求橡皮筋比原来拉长了多少cm； （2）判断△ABD的形状，并说明理由． 【答案】 中考一轮复习16特殊三角形知识归纳与考点专练2025-2026 学年人教版九年级下册（四考点） 知识归纳： 4. 等腰三角形 （1）定义:两边相等的三角形叫做等腰三角形. （2）性质:①等腰三角形的两腰相等; ②等腰三角形的两底角相等,即“等边对等角”; ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，即“三线合一”; ④等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴,对称轴是底边的垂直平分线.  （3）判定: ①有两条边相等的三角形是等腰三角形; ②有两个角相等的三角形是等腰三角形，即“等角对等边”. 5. 等边三角形 （1）定义:三边相等的三角形是等边三角形. （2）性质: ①等边三角形的三边相等，三角相等,且都等于60°; ②“三线合一”; ③等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.  （3）判定: ①三条边都相等的三角形是等边三角形; ②三个角都相等的三角形是等边三角形; ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.  6. 直角三角形 （1）性质: ①直角三角形的两锐角互余; ②直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半; ③直角三角形中,斜边上的 中线长等于斜边长的一半. （2）判定:有一个角是直角的三角形是直角三角形.  （3）勾股定理及其逆定理 ①勾股定理:直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方; ②勾股定理的逆定理:若一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形. 考点专练： 考点一：等腰三角形的性质与判定 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，若∠BAC＝110°，则∠BAD的度数为（　　） A．35° B．55° C．65° D．90° 【答案】B 2.如图是古建筑中的房梁三角架的示意图．在中，，是的中点，连接，是上一点，且．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 3.如图，，，若，则 ． 【答案】/14度 4.已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长等于 ． 【答案】22 5.如图，中，，点为的中点，过点分别作于于． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】（1）证明：， ， 为中点， ， 又， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：由（1）得：， ， 又， ， ． 考点二：等边三角形 1.如图，是等边三角形，是边上的中线，点在上，且，则（ ） A．100° B．105° C．110° D．115° 【答案】B 2. 如图，点O是等边三角形ABC内一点，连接OA、OB、OC，并以OC为一边向外作等边三角形OCD，连接AD．若∠AOB=110°， ∠BOC=150°，则∠OAD的度数为（ ） A．45° B．50° C．55° D．60° 【答案】B 3.如图，已知等边和等边，点P在的延长线上，的延长线交于点M，连接；下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 4．如图，是等边三角形，P为上一点，在上取一点D，使，且，则的度数是 ．    【答案】15 5.如图，在等边中，，平分交于点D，过D作于点E，则的长度为 ． 【答案】2 6.如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，若，则的长为 ． 【答案】4 7．如图，和均是等边三角形，相交于，与相交于点，与相交于点，连接，有如下结论：①；②；③；④；⑤其中，结论正确的序号是 ．    【答案】①③④ 8.已知：如图，点P是等边内的一点，连接、、，以为边作等边，连接． (1)求证：； (2)若∠，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：和是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：作交的延长线于． 是等边三角形， ， ， ， ，， ， ． 考点四：直角三角形 1.如图，在中，，于点D，，E是斜边的中点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 2.如图，直线，线段和线段垂直于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 3.如图，已知在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 4.在中，，是斜边上的中线，若，则的度数为 ． 【答案】 5.如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F． (1)证明：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析(2)13 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵，，， ∴，为等边三角形， ∴， ∴． 考点四：勾股定理 1.以下列长度的三条线段为边，不能组成直角三角形的是（    ） A．3，4，5 B．1，2，3 C．5，12，13 D．6，8，10 【答案】B 2．若直角三角形的两条边分别为和2，则该三角形第三边的长为（   ） A．1 B． C．5 D．1或 【答案】D 3．如图，在的方格中，小正方形的边长是，点、、都在格点上，则边上的高为 ． 【答案】/ 4.如图，A，B，C是三个正方形，当的面积为14，的面积为19时，则的面积为 ． 【答案】5 5.如图，有两棵树，一颗高6米，另一棵高2米，两树相距5米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 ． 【答案】 6.如图，一条伸直的橡皮筋AB的两端被固定在水平桌面上，C是AB上的一点，AB＝5cm，AC＝4cm，将橡皮筋从C点向上垂直拉升2cm到D点． （1）求橡皮筋比原来拉长了多少cm； （2）判断△ABD的形状，并说明理由． 【答案】解：（1）∵AB＝5cm，AC＝4cm，CD＝2cm， 在Rt△ACD中， 由勾股定理得，AD2（cm）， 在Rt△ACD中， 由勾股定理得，DB（cm）， AD+DB﹣AB＝25＝（35）（cm） 答：橡皮筋比原来拉伸了（35）cm； （2）△ABD是直角三角形， 理由如下：∵AB2＝52＝25，AD2+DB2＝（2）2+（）2＝20+5＝25， ∴AB2＝AD2+DB2， ∴△ABD是直角三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $