专题02 三角函数的图象与性质及图象变换（12题型专项训练）数学人教B版必修第三册

专题02 三角函数的图象与性质及图象变换（12题型专项训练） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、五点作图法 1 题型二、三角函数的定义域 1 题型三、三角函数的值域 1 题型四、三角函数的周期性 1 题型五、三角函数的奇偶性 1 题型六、三角函数的对称性 1 题型七、求三角函数的单调区间 1 题型八、根据单调性求参数 1 题型九、函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换 1 题型十、由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 1 题型十一、图象与性质的综合应用 1 题型十二、三角函数模型 1 B综合攻坚・能力跃升 2 题型一、五点作图法 1．用“五点法”作出函数的图象,下列点中不属于五点作图中的五个关键点的是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据五点作图法可知,可知五个关键点横坐标分别为,再计算纵坐标判定即可. 【详解】易得当时, , 故不属于五个关键点之一. 故选：A 【点睛】本题主要考查了五点作图法的辨析与余弦值的计算,属于基础题. 2．， (1)运用“五点作图法”，列表--描点--连线，做出，的图象． (2)写出函数的振幅，最小正周期，初相． 【答案】(1)答案见解析 (2)振幅为2，最小正周期为8，初相为 【分析】 【详解】（1）列表如下： 1 3 5 7 0 0 2 0 0 在图中描出这五个点，并连线得到图象，如下图： （2）由可知，振幅为2，最小正周期为，初相为. 3．已知函数. (1)用“五点法”通过列表在给定的坐标系中，画出函数在上的大致图像； (2)求出函数的对称轴､对称中心： (3)当时，求曲线与的交点个数.（请直接写出答案） 【答案】(1)答案见解析 (2)对称轴是，对称中心是 (3)2 【分析】 【详解】（1）列表： 0 1 2 0 -2 0 1 描点，连线，画出在上的大致图象如图： （2）根据题意，函数， 由得 得 所以函数的对称轴是，对称中心是； （3）在同一坐标系内作出函数与在的图象，如图： 观察图象，曲线与的交点个数为2. 4．已知函数 (1)按关键点列表，并画出函数的简图（请在指定区域作答，画图先用铅笔画好再用黑笔定稿）； (2)写出的单调区间；并解不等式 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】 【详解】（1）列表如下： 0 0 1 0 1 2 描点如图： （2）由上图可知：单调递增区间为：； 单调递减区间为：； 的解集为或. 题型二、三角函数的定义域 5．函数的定义域是 ． 【答案】 【详解】由题意可得，且，可得，且， 所以定义域为． 故答案为：. 6．函数的定义域是 ． 【答案】 【详解】函数的定义域满足：， 即，注意到， ，， 则， ，，其中. 从而，. 7．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题知，解得. 故选：C. 8．函数的定义域是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】由函数解析式可知： ，. 故选：D 9．函数的定义域是 . 【答案】 【详解】函数的定义域满足：， 所以，整理得， 所以，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 题型三、三角函数的值域 10．已知函数的最小正周期为，则在区间上的最大值为（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】C 【详解】由函数， 因为的最小正周期为 ，可得，可得，所以， 又由，可得， 当，即时，函数取得最大值，最大值为. 故选：C. 11．函数. (1)求的最小正周期； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】 【详解】（1）, 的最小正周期； （2）， ，则，， 故函数在区间上的最大值为，此时， 函数在区间上的最小值为，此时. 12．若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】若命题“，”是真命题，可得即可； 易知在上单调递增， 所以，可得； 又因为该命题是假命题，所以可得， 即实数的取值范围是. 故答案为： 13．若，则函数的最小值为 ． 【答案】 【详解】，， 令，则， 所以在上单调递增， 所以当，即，时，取得最小值，最小值为. 故答案为：. 14．定义运算为：，则函数的值域为 . 【答案】 【详解】当时，， 当时，； 当时， 当时，， 所以当时，的值域为， 又和的周期均为，所以函数的值域为. 故答案为：. 题型四、三角函数的周期性 15．“”是“函数的最小正周期为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】函数的最小正周期为，则，解得， 所以，当时，函数的最小正周期为，反之，不一定成立，还可以为. 所以“”是“函数的最小正周期为”的充分不必要条件. 故选：A 16．若函数的最小正周期为，则等于（    ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】B 【详解】由题意可知，，得. 故选：B 17．（多选）已知下列函数中，最小正周期为的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】画的图象，如图， 由图可知函数的最小正周期为，故A正确； 对于B，由于， 所以函数的图象可由函数的图象向右平移个单位得到， 结合选项A可得函数周期为，故B正确； 对于C，设，则，， 所以，故C错误； 对于D，对于函数，当时，， 当时，， 所以，其最小正周期为，故D错误. 故选：AB 18．已知集合，则中元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】因为集合， 所以当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，， 可以看出的周期为4， 的取值集合为， 所以中元素的个数为3. 故选：C. 题型五、三角函数的奇偶性 19．已知是偶函数，则（　　） A．2 B． C．1 D．0 【答案】D 【详解】函数是R上的偶函数，而是奇函数， 则函数是奇函数，，解得，此时是奇函数， 所以. 故选：D nn．以下函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，由于是奇函数，故A错误； 对于B，由， 知为偶函数，且在上是增函数，故B正确； 对于C，由， 知为偶函数，且在上不单调，故C错误； 对于D，当时，在上递增，在上递减，故D错误. 故选：B 21．设函数的最大值为M，最小值为m，则 ． 【答案】2 【详解】，设，所以的最大值为，最小值为，又，所以为奇函数，所以，即. 故答案为：2. 22．已知函数的图象关于原点中心对称，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为的图象关于原点中心对称， 所以，又，故的最小值为． 故答案为：. 23．已知函数，若，则 . 【答案】 【详解】因为函数， 所以，即， 所以. 故答案为： 题型六、三角函数的对称性 24．下列直线为函数的对称轴是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于函数， 当时取到对称轴． 所以是函数的一条对称轴， 故选：A． 25．已知函数，若为偶函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵为偶函数，∴的图象关于直线对称. ∴， ∴. ， 故选：A. 26．已知函数图象的一条对称轴是直线，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则， 又，所以当时，．结合选项，A，B，C中的数值取不到， 故选：D． 27．已知函数，若，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【详解】因为，则， 则对称中心为，则， 可得，解得， 且， 可知：，解得的最小值为， 故选：C. 28．若点（）为函数的图象的一个对称中心，则的最小值为 . 【答案】/ 【详解】由，，得，; 因此函数的图象的对称中心为（） 而，则，，，， ，，， 所以的最小值为. 故答案为：. 29．若方程在上的解为，则 ． 【答案】/0.5 【详解】由于，所以， 由于，所以， 根据正弦函数的性质可知， 所以， ， 故答案为：. 题型七、求三角函数的单调区间 30．已知函数，则的单调递增区间是 . 【答案】 【详解】由，得， 又因为，所以的单调递增区间为 故答案为： 31．下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，. 由余弦曲线知在上单调递减，又是增函数，由复合函数单调性的“同增异减”原则知在上单调递减，故A不符合题意； 由正弦曲线知在上先单调递增再单调递减，又是增函数，由复合函数单调性的“同增异减”原则知在上先单调递增再单调递减，故C不符合题意； 当时，，由正弦曲线知在上单调递增，又是增函数，由复合函数单调性的“同增异减”原则知在上单调递增，故B符合题意； 当时，，由正切曲线知在上单调递增，又是减函数，由复合函数单调性的“同增异减”原则知在上单调递减，故D不符合题意. 故选：B. 32．下列函数中，不是周期函数，且在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于选项A：，其图像关于轴对称， 时，时，无周期性重复图像，故不是周期函数. 当时，，在上单调递增，符合题意. 对于选项B：，当时，， 在上单调递减，不符合递增要求. 对于选项C：，其周期为，是周期函数，不符合“不是周期函数”的要求. 对于选项D：，其周期为，是周期函数，不符合“不是周期函数”的要求. 故选：A 33．函数与函数的交点为，则函数（其中）的一个减区间是（     ）. A．    B．    C．    D． 【答案】C 【详解】因为在上，所以； 把代入可得, 所以或， 即或， 因为，所以，即， 令，解得； 当时，减区间为. 故选：C. 题型八、根据单调性求参数 34．已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数，因为，可得， 又因为在上单调递增，可得， 解得， 因为，所以，可得，所以的最大值为． 故选：B． 35．若函数在区间上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，则，由函数在区间上单调递减，可知，解得. 综上可知，的取值范围是. 故选：D 36．已知函数在区间上是单调的，则的最大值为 . 【答案】 【详解】的最小正周期. 因为在区间上是单调的，所以，解得. 由，得图象的对称轴方程为. 由题意，知的图象在区间上没有对称轴，得， 解得.结合，得的最大值为. 故答案为：. 37．已知函数在区间上单调递增且存在零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设函数的最小正周期为，因为在区间上单调递增， 所以，解得，所以． 令，则当时，． 则在区间上单调递增且存在零点等价于在上单调递增且存在零点， 所以，解得， 又，当时，得；时，得，其他值，均不合要求， 所以或，所以的取值范围是. 故选：C. 38．已知函数（为正整数）在上不单调，求的最小值． 【答案】3 【详解】解：当函数严格增时，， 整理得（）． 若函数在上严格增， 则（）， 即，整理得． 当时，；① 当函数严格减时，（）， 整理得（）， 若函数在上严格减， 则（）， 即，整理得， 当时，．② 由于函数在上不单调，且为正整数， 所以的取值为①②所表示的不等式的补集， 所以的最小值为3． 39．已知函数在区间上单调，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 因为在上单调递增，在上单调递减，且， 所以当时，即时，函数在上单调递增， 则的取值范围. 故选：B. 题型九、函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换 40．为得到的图象，只要把的图象上所有的点（   ） A．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变 B．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变 C．先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D．先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 【答案】C 【详解】把的图象上所有的点先向右平移个单位长度，得， 再将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得. 故选：C 41．已知函数，将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，得到， 故， 故选：B 42．已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则的值可以是 . 【答案】（答案不唯一，只需满足即可） 【详解】因为， 将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数， 所以，，解得. 故答案为：（答案不唯一，只需满足即可） 43．（多选）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B．为奇函数 C．的最小正周期为 D．点是图象的一个对称中心 【答案】BCD 【详解】由题意知，即，即A错误， 易知函数为奇函数，B正确， 函数的最小正周期为，C正确， 易知，则点是图象的一个对称中心，D正确. 故选：BCD. 44．（多选）为了得到函数的图象，只要将函数的图象（    ） A．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度 B．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度 C．向左平移个单位长度，纵坐标不变，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 D．向左平移个单位长度，纵坐标不变，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来 【答案】AC 【详解】对于A和B，将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象，再将其向左平移个单位长度，得到，故A正确，B错误； 对于C和D，将函数的图象向左平移个单位长度，纵坐标不变，得到的图象，再将所有点的横坐标缩短到原来的，得到，故C正确，D错误． 故选：AC． 题型十、由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 45．已知函数(，为常数)的图象如图所示(图象经过点，则正整数 . 【答案】 【详解】根据图象知，又，所以，得到， 又是正整数，所以. 故答案为：. 46．（多选）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．， B． C．的其中一条对称轴为 D．函数在上的值域为 【答案】BCD 【详解】对于选项A，由图易得，，解得，故A错误； 对于选项B，因为函数的图象经过点，所以， 即．因为，所以，解得，所以，故B正确； 对于选项C，当时，，所以的其中一条对称轴为，故C正确； 对于选项D，当时，，故D正确， 故选：BCD． 47．函数的部分图象如右图所示，A为图象与x轴的一个交点，B，C分别为图象的最高点与最低点，若，则以下选项正确的有（    ） A． B．三角形ABC的面积为 C． D．是f（x）的一条对称轴 【答案】ABD 【详解】由图形分析可知故选项A正确， 因为 所以 所以所以 由对称性知则为正三角形， 又函数最高点函数值为所以所以 所以三角形ABC的面积为故选项B正确. 所以函数周期为所以故选项C错误， 将代入得 则结合图像解得 故 令则 则是f（x）的一条对称轴. 故选项D正确. 故选：ABD. 48．（多选）已知函数(其中)的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C．的图象关于直线对称 D．在上的值域为 【答案】AC 【详解】依题意得， 因为，所以，故A正确； 因为， 所以，解得. 因为，所以. 所以当时，，故B错误； 因为，令，解得， 则的图象关于直线对称，故C正确； 因为当时，，所以， 所以在上的值域为，故D错误. 故选:AC. 49．函数的部分图象如图所示，则 . 【答案】 【详解】观察图象，得，，则，解得，而，解得， 函数的最小正周期为，且，即， 则，解得，由，得， 解得，因此，此时在的递减区间内，符合题意， 所以. 故答案为： 50．已知函数的图象经过点，函数的部分图象如图所示.    (1)求和； (2)若，求. 【答案】(1)，； (2). 【分析】 【详解】（1）由图可知，的最小正周期， 则，即， 将代入，得． 又，所以． （2）由（1）可知，， 因为， 所以， 所以，， 故． 题型十一、图象与性质的综合应用 51．已知函数在区间上是增函数，若函数在上有且仅有一个最大值，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上单调递增， 所以，，而令，解得， 结合，可得， 由正弦函数的性质得的最大值为2， 令，得到， 则在上取得的第一个最大值的横坐标为， 而取得的第二个最大值的横坐标为， 可得，解得， 综上所述，得到，即，故D正确. 故选：D 52．（多选）已知函数，则以下说法正确的有（   ） A．的最大值为3 B．的最小正周期为 C．的图象关于直线对称 D．在上单调递减 【答案】AC 【详解】由于为偶函数，故， A选项，由， 得的一个周期为， 当时，， 当时，， 所以的最大值为3，故A正确； B选项，， 所以的最小正周期不是，故B错误； C选项，， 故函数的图象关于直线对称，故C正确； D选项，由A选项得，时，不单调，故D错误. 故选：AC 53．（多选）已知函数在区间有且只有一个最大值点，则的取值可以是（       ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为，当时，， 所以，，解得，， 由，解得，且， 当时，由可得，A选项合乎要求； 当且时，，则， 由可得，，CD选项合乎要求. 故选：ACD. 54．已知函数的图象如图所示. (1)求函数的单调递减区间； (2)已知方程在区间内有四个不相等的实数根，分别记为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由函数解析式和图象可得， 最小正周期，则， 由，则有， 解得，又，得，故， 由， 可得， 故函数的单调递减区间为. （2）由，得， 当时，令，则， 则在上有四个根， 且， 则， 解得. 55．已知（），若对任意的恒成立，且. (1)求的值； (2)将曲线向右平移个单位长度后，再将曲线上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到曲线.求的解析式； (3)若（2）中的满足方程在区间上有解，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由题意得， 因为对任意的恒成立，且， 所以函数的最小正周期为， 得到，又，得. （2）由（1）可知， 曲线向右平移个单位长度得到， 再将曲线上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到. （3）关于的方程在区间上有解， 转化为关于的方程在区间上有解， 参变分离得在区间上有解. 设，则， 令，则与在上有交点， 因为在上单调递减，则， 故的取值范围为. 56．已知函数. (1)求的单调区间； (2)若在上单调递增，求的最大值； (3)若在上的值域是，求的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：由函数， 令，可得， 令，可得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）解：由（1）知，函数的单调递增区间为， 当时，可得的单调递增区间为， 要使得函数在上单调递增，则满足， 可得且，解得，所以实数的最大值为. （3）解：由，可得， 因为的值域是，则满足，解得， 所以实数的取值范围是. 题型十二、三角函数模型 57．某过山车轨道是依据正弦曲线设计安装的，在时刻（单位：）时过山车（看作质点）离地面的高度（单位：）满足（，）.已知当时，过山车到达第一个最高点，当时，过山车到达第一个最低点，则过山车启动时距地面（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为当时，过山车到达第一个最高点，当时，过山车到达第一个最低点， 所以，则，则， 又因为，则， 因为，所以当时，，所以， 当时，. 则过山车启动时距地面. 故选：C. 58．如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式确定，以为横坐标，为纵坐标，下列选项中正确的是（    ）    A．小球在开始振动（）时的位置离平衡位置的距离为 B．当时小球达到最高点 C．小球往复运动一次经过的时间为秒 D．当时，小球向下运动 【答案】ACD 【详解】对A：因为，所以小球在开始振动（）时的位置离平衡位置的距离为，故A正确； 对B：因为，所以当时小球位于平衡位置，故B错误； 对C：因为，所以小球往复运动一次经过的时间为秒，故C正确； 对D：因为，所以，因为正弦函数在上单调递减，所以当时，小球向下运动，故D正确. 故选：ACD 59．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min. (1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式； (2)求游客甲在开始转动5min后距离地面的高度. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设游客甲乘坐的座舱距离地面最近的位置为点， 以摩天轮的轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立平面直角坐标系， 当时，，此时，取以为终边的角为， 因为该摩天轮转一周约需要30min，该摩天轮的角速度， 所以. （2）， 所以游客甲在开始转动5min后距离地面的高度. 60．如图，一个半径为5米的筒车按逆时针每分钟转2圈，筒车的轴心距离水面的高度为2.5米.设筒车上的某个盛水筒到水面的高度为（单位：m）（在水面下为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：s）之间的关系为. (1)在筒车转动的一周内，求点距离水面高度关于时间的函数解析式； (2)5分钟内，盛水筒在水面下的时间累计为多少秒？ (3)若盛水筒P在，时刻距离水面的高度相等，求的最小值. 【答案】(1)，. (2)100秒 (3)20 【分析】 【详解】（1）由图可知，的最大值为，的最小值为， 则，, 因为筒车按逆时针每分钟转2圈，故，所以， 所以， 当时，，所以，则， 因为，所以，所以，. （2）由（1）得， 令，则，得， 则， 解得， 5分钟秒，则令，，得， 故5分钟内，盛水筒在水面下的时间累计为秒. （3）不妨设，由题意得， 故， ①，，解得，， 故，当且仅当，时，等号成立， ②，，解得， 显然当时，取得最小值，最小值为, 综上，的最小值为20. 61．如图，为一个水轮的轴截面示意图，水轮的半径为1米，水轮圆心距离水面米.以圆心为坐标原点，平行于水面为轴，垂直于水面为轴建系.已知水轮每分钟逆时针转动5圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间. (1)当，点在转动过程中第一次使得时，记水轮与轴交于点，求此时的值； (2)当时，求点距离水面的高度米，表示为时间秒的函数，并求点第一次到达最高点所需要的时间. 【答案】(1) (2)，4秒 【分析】 【详解】（1）由，得， ， ， 又由，则， 故. （2）水轮每分钟逆时针转动5圈，则每秒逆时针转动， 由，可得， 可知秒后点， 则点到水面的高度为， 当第一次到达最高点时，即时，， 即可得 故点第一次到达最高点所需要的时间为4秒. 1．（2025·26高一上·湖北武汉·期末）已知函数在区间内既有最大值又有最小值，则的值不可能为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以， 函数在区间内既有最大值又有最小值， 则函数的最大值为，最小值为或函数的最大值为1，最小值为， 故或， 所以或， 所以的值不可能为. 故选：D. 2．（2025·26高一上·天津·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．的对称中心为 B．当时， C．的单调递减区间为 D．若，且，则 【答案】D 【详解】对于A，已知函数. 由图知，，故， 又过点，且该点在函数增区间上， 故，，又， 则，则， 令，，可得，， 所以函数的对称中心为，故A错误； 对于B，由，可得， 所以，所以， 当时，，当时，，B错误； 对于C，由，，可得，， 所以函数的单调递减区间为，C错误； 对于D，因为，且，根据正弦函数图象的对称性结合已知图象， 可知， 则，则，故D正确. 故选：D 3．（2025·26高一上·陕西西安·期末）已知函数的最大值、最小值分别为、，且，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，对任意的，，故函数的定义域为， 又因为， 则， 所以， 故函数的图象关于点对称， 因为的最大值、最小值分别为、，所以，解得. 故选：B. 4．（2025·26高一上·广东深圳·期末）将函数的图象各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标扩大为原来的2倍，得到函数的图象，若不存在使得，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意知， 由，得，由题意知在区间上没有对称轴， 则，即， 解得，由，得，又， 当时，；当时，；当时无解， 综上所述，. 故答案为：. 5．（2025·26高一上·湖南邵阳·期末）已知函数，在上单调，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在上单调，所以，则. 又，且，在同一单调区间内，的部分图象有两种情况， 如图（一），图（二）所示： 又，即为函数图象的对称中心，为对称轴， 故结合图形可知，A选项错误； 或，B选项错误； 因为，所以， 由函数的对称性及周期性可知，为函数图象的一条对称轴，所以，C选项错误； 因为，而，所以，D选项正确， 故选：D. 6．（2025·26高一上·湖北孝感·期末）阻尼振动是指振动系统在振动过程中，由于受到摩擦、空气阻力等耗散力作用，其振幅随时间呈指数规律衰减的振动，假设一个弹簧振子在空气中进行阻尼振动，其相对于平衡位置的位移x与时间t的关系表示为：，其中是初始振幅，e是自然常数，k是阻尼系数，是角频率，该阻尼振动的角频率为，当时，振子的位移；当时，振子的位移.据此计算，当时，该振子的位移（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意可得，所以， 又，即， 所以，即，则，， 所以， 则， 即当时，该振子的位移. 故选：D 7．（2025·26高一上·河北邢台·期末）已知函数 在上的最小值为，则的所有可能取值之和为 ． 【答案】6 【详解】令， 由于正弦函数的值域为 ，故 的范围是 ， 故需满足 ，即 ， 又因为，故可能的取值为 . 当 时，由，则 ， 在 上， 单调递增，最小值为 ， 故的最小值为 ， 而 ，符合题意； 当时，由，得， 在 上，在上单调递增，在单调递减， 所以最小值为 ， 故的最小值为 ， ，符合题意； 当 时，由，得， 在 上，在上单调递增，在单调递减， 所以的最小值为 ， 故 的最小值为 ， ，符合题意. 综上： 的值为 ，其和为 . 故答案为：6 8．（2025·26高一上·山西忻州·期末）已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象. (1)求函数的解析式及单调递增区间； (2)若函数在内有且只有一个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】 【详解】（1）将函数的图象向右平移个单位长度得到的函数图象， 再将图象上所有点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象， 令，得， 故的单调递增区间为 （2）因为，所以， 因为函数在内有且只有一个零点， 所以与的函数图象有且只有一个交点， 结合图象可得，或，得或， 则实数的取值范围为. 9．（2025·26高一上·四川成都·期末）已知函数. (1)当函数的最小正周期为时，求的值和的单调减区间； (2)若在上恰有两条对称轴，求的取值范围； (3)当时，在内有且仅有3个实数，使，求的值. 【答案】(1)，单调减区间为 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）因为且最小正周期为， 所以，解得，所以， 令，，解得，． 所以的单调递减区间为，． （2）因为且，所以， 因为在上恰有两条对称轴，所以， 解得，所以的取值范围为； （3）当时， 由，则， 令，， 则在上有两条对称轴和， 又因为在内有且仅有3个实数，使， 则必有和关于对称，和关于对称， 所以有，即. 又因为，所以，， 即， 所以， 所以. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 三角函数的图象与性质及图象变换（12题型专项训练） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、五点作图法 1 题型二、三角函数的定义域 1 题型三、三角函数的值域 1 题型四、三角函数的周期性 1 题型五、三角函数的奇偶性 1 题型六、三角函数的对称性 1 题型七、求三角函数的单调区间 1 题型八、根据单调性求参数 1 题型九、函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换 1 题型十、由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 1 题型十一、图象与性质的综合应用 1 题型十二、三角函数模型 1 B综合攻坚・能力跃升 2 题型一、五点作图法 1．用“五点法”作出函数的图象,下列点中不属于五点作图中的五个关键点的是 A． B． C． D． 2．， (1)运用“五点作图法”，列表--描点--连线，做出，的图象． (2)写出函数的振幅，最小正周期，初相． 3．已知函数. (1)用“五点法”通过列表在给定的坐标系中，画出函数在上的大致图像； (2)求出函数的对称轴､对称中心： (3)当时，求曲线与的交点个数.（请直接写出答案） 4．已知函数 (1)按关键点列表，并画出函数的简图（请在指定区域作答，画图先用铅笔画好再用黑笔定稿）； (2)写出的单调区间；并解不等式 题型二、三角函数的定义域 5．函数的定义域是 ． 6．函数的定义域是 ． 7．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 8．函数的定义域是（   ） A．， B．， C．， D．， 9．函数的定义域是 . 题型三、三角函数的值域 10．已知函数的最小正周期为，则在区间上的最大值为（   ） A． B．0 C． D．1 11．函数. (1)求的最小正周期； (2)求在区间上的最大值和最小值. 12．若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是 ． 13．若，则函数的最小值为 ． 14．定义运算为：，则函数的值域为 . 题型四、三角函数的周期性 15．“”是“函数的最小正周期为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 16．若函数的最小正周期为，则等于（    ） A．4 B．2 C．1 D． 17．（多选）已知下列函数中，最小正周期为的是（ ） A． B． C． D． 18．已知集合，则中元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型五、三角函数的奇偶性 19．已知是偶函数，则（　　） A．2 B． C．1 D．0 20．以下函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 21．设函数的最大值为M，最小值为m，则 ． 22．已知函数的图象关于原点中心对称，则的最小值为 ． 23．已知函数，若，则 . 题型六、三角函数的对称性 24．下列直线为函数的对称轴是（   ） A． B． C． D． 25．已知函数，若为偶函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 26．已知函数图象的一条对称轴是直线，则的值为（   ） A． B． C． D． 27．已知函数，若，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 28．若点（）为函数的图象的一个对称中心，则的最小值为 . 29．若方程在上的解为，则 ． 题型七、求三角函数的单调区间 30．已知函数，则的单调递增区间是 . 31．下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 32．下列函数中，不是周期函数，且在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 33．函数与函数的交点为，则函数（其中）的一个减区间是（     ）. A．    B．    C．    D． 题型八、根据单调性求参数 34．已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 35．若函数在区间上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 36．已知函数在区间上是单调的，则的最大值为 . 37．已知函数在区间上单调递增且存在零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 38．已知函数（为正整数）在上不单调，求的最小值． 39．已知函数在区间上单调，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 题型九、函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换 40．为得到的图象，只要把的图象上所有的点（   ） A．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变 B．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变 C．先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D．先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 41．已知函数，将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 42．已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则的值可以是 . 43．（多选）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B．为奇函数 C．的最小正周期为 D．点是图象的一个对称中心 44．（多选）为了得到函数的图象，只要将函数的图象（    ） A．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度 B．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度 C．向左平移个单位长度，纵坐标不变，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 D．向左平移个单位长度，纵坐标不变，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来 题型十、由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 45．已知函数(，为常数)的图象如图所示(图象经过点，则正整数 . 46．（多选）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．， B． C．的其中一条对称轴为 D．函数在上的值域为 47．函数的部分图象如右图所示，A为图象与x轴的一个交点，B，C分别为图象的最高点与最低点，若，则以下选项正确的有（    ） A． B．三角形ABC的面积为 C． D．是f（x）的一条对称轴 48．（多选）已知函数(其中)的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C．的图象关于直线对称 D．在上的值域为 49．函数的部分图象如图所示，则 . 50．已知函数的图象经过点，函数的部分图象如图所示.    (1)求和； (2)若，求. 题型十一、图象与性质的综合应用 51．已知函数在区间上是增函数，若函数在上有且仅有一个最大值，则的范围为（    ） A． B． C． D． 52．（多选）已知函数，则以下说法正确的有（   ） A．的最大值为3 B．的最小正周期为 C．的图象关于直线对称 D．在上单调递减 53．（多选）已知函数在区间有且只有一个最大值点，则的取值可以是（       ） A． B． C． D． 54．已知函数的图象如图所示. (1)求函数的单调递减区间； (2)已知方程在区间内有四个不相等的实数根，分别记为，求的值. 55．已知（），若对任意的恒成立，且. (1)求的值； (2)将曲线向右平移个单位长度后，再将曲线上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到曲线.求的解析式； (3)若（2）中的满足方程在区间上有解，求的取值范围. 56．已知函数. (1)求的单调区间； (2)若在上单调递增，求的最大值； (3)若在上的值域是，求的取值范围. 题型十二、三角函数模型 57．某过山车轨道是依据正弦曲线设计安装的，在时刻（单位：）时过山车（看作质点）离地面的高度（单位：）满足（，）.已知当时，过山车到达第一个最高点，当时，过山车到达第一个最低点，则过山车启动时距地面（   ） A． B． C． D． 58．如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式确定，以为横坐标，为纵坐标，下列选项中正确的是（    ）    A．小球在开始振动（）时的位置离平衡位置的距离为 B．当时小球达到最高点 C．小球往复运动一次经过的时间为秒 D．当时，小球向下运动 59．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min. (1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式； (2)求游客甲在开始转动5min后距离地面的高度. 60．如图，一个半径为5米的筒车按逆时针每分钟转2圈，筒车的轴心距离水面的高度为2.5米.设筒车上的某个盛水筒到水面的高度为（单位：m）（在水面下为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：s）之间的关系为. (1)在筒车转动的一周内，求点距离水面高度关于时间的函数解析式； (2)5分钟内，盛水筒在水面下的时间累计为多少秒？ (3)若盛水筒P在，时刻距离水面的高度相等，求的最小值. 61．如图，为一个水轮的轴截面示意图，水轮的半径为1米，水轮圆心距离水面米.以圆心为坐标原点，平行于水面为轴，垂直于水面为轴建系.已知水轮每分钟逆时针转动5圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间. (1)当，点在转动过程中第一次使得时，记水轮与轴交于点，求此时的值； (2)当时，求点距离水面的高度米，表示为时间秒的函数，并求点第一次到达最高点所需要的时间. 1．（2025·26高一上·湖北武汉·期末）已知函数在区间内既有最大值又有最小值，则的值不可能为（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（2025·26高一上·天津·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．的对称中心为 B．当时， C．的单调递减区间为 D．若，且，则 3．（2025·26高一上·陕西西安·期末）已知函数的最大值、最小值分别为、，且，则实数（    ） A． B． C． D． 4．（2025·26高一上·广东深圳·期末）将函数的图象各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标扩大为原来的2倍，得到函数的图象，若不存在使得，则的取值范围是 . 5．（2025·26高一上·湖南邵阳·期末）已知函数，在上单调，，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025·26高一上·湖北孝感·期末）阻尼振动是指振动系统在振动过程中，由于受到摩擦、空气阻力等耗散力作用，其振幅随时间呈指数规律衰减的振动，假设一个弹簧振子在空气中进行阻尼振动，其相对于平衡位置的位移x与时间t的关系表示为：，其中是初始振幅，e是自然常数，k是阻尼系数，是角频率，该阻尼振动的角频率为，当时，振子的位移；当时，振子的位移.据此计算，当时，该振子的位移（   ） A． B． C． D． 7．（2025·26高一上·河北邢台·期末）已知函数 在上的最小值为，则的所有可能取值之和为 ． 8．（2025·26高一上·山西忻州·期末）已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象. (1)求函数的解析式及单调递增区间； (2)若函数在内有且只有一个零点，求实数的取值范围. 9．（2025·26高一上·四川成都·期末）已知函数. (1)当函数的最小正周期为时，求的值和的单调减区间； (2)若在上恰有两条对称轴，求的取值范围； (3)当时，在内有且仅有3个实数，使，求的值. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $