精品解析：安徽省六安市金安区六安裕安中学2025～2026学年度第一学期期末考试 九年级数学试题

六安裕安中学2025~2026学年度第一学期期末考试 九年级数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（每题4分，共计40分．每题给出四个选项A、B、C、D，其中只有一个符合题目要求.） 1. 已知抛物线，则它的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 2. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 下列几何体中，主视图是矩形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，大正方形与小正方形的边长之比是2∶1，若随机在大正方形及其内部区域投针，则针孔扎到小正方形（阴影部分）的概率是（ ） A. 0.2 B. 0.25 C. 0.4 D. 0.5 5. 已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的根为（ ） A. 0，4 B. 2，9 C. 0 D. 4 6. 如图，在正方形中，点是的中点，以点为圆心、为半径作弧，交于点，连接，若，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点E为外一点，与交于点F，点D在线段上，连接，，，若，则图中的相似三角形共有（ ） A. 5对 B. 4对 C. 3对 D. 2对 8. 如图，是的弦，过圆心O作于点H，交于点A，，点M是上异于C，D的一点，连接，，则的值是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知，三条对应边，，在同一条直线上，连接，分别交，，于点P，Q，K，若，则图中三个阴影部分的面积之和为（ ） A. 8 B. 10 C. 11 D. 13 10. 如图，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题5分，共20分） 11. 如图，中，平分，交于点．若，，则__________． 12. 如图，物理实验中利用一个半径为的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动了，此时砝码被提起了____________．（结果保留） 13. 如图，已知点A，点C在反比例函数，轴，若，则与的面积比为________． 14. 如图1，E是等边的边BC上一点（不与点B，C重合），连接AE，以AE为边向右作等边，连接已知的面积（S）与BE的长（x）之间的函数关系如图2所示（为抛物线的顶点）． （1）当的面积最大时，的大小为______ ． （2）等边的边长为______ ． 三、解答题（每小题8分，共16分） 15. 计算：． 16. 如图，已知三个顶点的坐标分别为，，． (1)请在网格中，画出关于原点对称的； (2)请在网格中，过点画一条直线，将分成面积相等的两部分，与轴相交于点，并写出点的坐标． 四、（每小题8分，共16分） 17. 九年级物理学习了电学知识后，小明选取了四个开关按键、一个电源、一个小灯泡和若干电线设计了如图的电路图（四个开关按键都处于打开状态）． （1）若闭合，则任意闭合其余三个开关按键中的一个，小灯泡能发光的概率为__________； （2）用列举法求同时闭合其中的两个开关按键，灯泡能发光的概率． 18. 观察下列等式： ①； ②； ③； （1）请直接写出第④个等式__________； （2）根据上述等式的排列规律，猜想第n个等式（用含n的式子表示），并证明你的结论． 五、（每小题10分，共20分） 19. 如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接． （1）求证：为的切线； （2）若且，求的半径． 20. 2025年春晚名为《秧BOT》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图2是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角，胳膊，，旋转的手绢近似圆形，半径，与手臂保持垂直．肘关节与手绢旋转点之间的水平宽度为（即的长度）． （1）求的度数； （2）机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为．在图2中，机器人与舞者之间距离为．问此时手绢端点与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（参考数据：，，，） 六、（本大题满分12×2=24分） 21. 如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点． （1） __________、__________． （2）连接，，则的面积是__________； （3）如图2，点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标． 22. 如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且点坐标为． （1） __________ （2）如图2，轴上存在一点，使经过，两点，求点的坐标； （3）如图3，连接，点（不与，，三点重合）为抛物线上一点，连接，使得．求出此时点的坐标． 七、（本大题满分14分） 23. 在中，，，点是边上一动点，连接，以为斜边在其右侧作等腰． （1）当时，则__________； （2）若点在边上时，求的长； （3）若时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 六安裕安中学2025~2026学年度第一学期期末考试 九年级数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（每题4分，共计40分．每题给出四个选项A、B、C、D，其中只有一个符合题目要求.） 1. 已知抛物线，则它的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟知抛物线的顶点式为，其中对称轴为直线．直接根据给定函数解析式得到值即可． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线． 故选：D． 2. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 设, （），代入运算即可． 【详解】解：∵ = ， ∴ 设, （）， ∴， 故选：C 3. 下列几何体中，主视图是矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，体现了直观想象的核心素养．根据主视图是从正面看到的视图，对各选项图形的主视图分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、球的主视图为圆，故本选项不符合题意； B、圆台的主视图为等腰梯形，故本选项不符合题意； C、三棱柱的主视图为矩形中间有1条竖线，故本选项符合题意； D、圆锥的主视图为等腰三角形，故本选项不符合题意． 故选：C． 4. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，大正方形与小正方形的边长之比是2∶1，若随机在大正方形及其内部区域投针，则针孔扎到小正方形（阴影部分）的概率是（ ） A. 0.2 B. 0.25 C. 0.4 D. 0.5 【答案】B 【解析】 【分析】设大正方形边长为2，则小正方形边长为1，所以大正方形面积为4，小正方形面积为1，则针孔扎到小正方形（阴影部分）的概率是0.25． 【详解】解：设大正方形边长为2，则小正方形边长为1， 因为面积比是相似比的平方， 所以大正方形面积为4，小正方形面积为1， 则针孔扎到小正方形（阴影部分）的概率是； 故选：B． 【点睛】本题考查了概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． 5. 已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的根为（ ） A. 0，4 B. 2，9 C. 0 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据图象可得对称轴为直线，的一个根为，进而根据对称性求得的另一个根，即可求解． 【详解】解： 时， ∴的一个根是 ∵图象的对称轴为直线， ∴的另一个根是 故选：A． 6. 如图，在正方形中，点是的中点，以点为圆心、为半径作弧，交于点，连接，若，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，扇形面积公式，由四边形为正方形，得，，，再由题意可得，，然后由和扇形面积公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为正方形，， ∴，，， ∵点是的中点，以点为圆心、为半径作弧，交于点， ∴，， ∴， ∴， ， 故选：． 7. 如图，点E为外一点，与交于点F，点D在线段上，连接，，，若，则图中的相似三角形共有（ ） A. 5对 B. 4对 C. 3对 D. 2对 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 先利用三边对应成比例得到，得到，，从而得到，又由，得到，则，又，得到，，，得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴图中的相似三角形共有4对， 故选：B． 8. 如图，是的弦，过圆心O作于点H，交于点A，，点M是上异于C，D的一点，连接，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查勾股定理，圆周角定理，垂径定理的应用以及求角的正弦值，关键是根据垂径定理和勾股定理解答． 只要证明，求出即可． 【详解】解：连接，如图， 是的弦，， ， ， ， 和所对的弧都为， ， ， 设， ，， ，， ， ． 故选：B． 9. 如图，已知，三条对应边，，在同一条直线上，连接，分别交，，于点P，Q，K，若，则图中三个阴影部分的面积之和为（ ） A. 8 B. 10 C. 11 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，解题关键是根据相似三角形的判定与性质找到线段间的关系．根据全等三角形对应角相等，可以证明，再根据全等三角形对应边相等，然后利用相似三角形的判定与性质求出，，所以，设的边为，边上的高为，表示出的面积，再根据边的关系和三角形的面积公式即可求出三部分阴影部分的面积． 【详解】解：， ，，， ， ∴，， ，， ，， 又，，， ， 设的边为，边上的高为， 则，整理得， ， ， ， 三个阴影部分面积的和为：． 故选：D． 10. 如图，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理；过点Q作于点E，过点C作交延长线于点F，连接交弧于点，则可得到，即可得到，根据垂线段最短和三角形三边关系得到，即可得到点P在时，的值最大为长，利用勾股定理和三角形的面积公式计算解答即可． 【详解】解：过点Q作于点E，过点C作交延长线于点F，连接交弧于点， 则， 又∵， ∴， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即当点P在时，的值最大为长， ∵是正方形， ， ∴， ∴的值最大为， ∴的最大面积是， 故选：C． 二、填空题（每小题5分，共20分） 11. 如图，中，平分，交于点．若，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】因为，可得，由相似三角形对应边对应成比例即可求解． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， ∵，，， 设，则， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，根据平行线，角平分线的关系找出线段，，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 12. 如图，物理实验中利用一个半径为的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动了，此时砝码被提起了____________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查弧长的计算，根据砝码提起的长度等于半径为圆心角为的弧长，由此即可计算． 【详解】解：根据题意，砝码提起的长度为：， 故答案为：． 13. 如图，已知点A，点C在反比例函数，轴，若，则与的面积比为________． 【答案】1∶5 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，平行线分线段成比例定理，过C作轴于E，由反比例函数的性先证明，设的面积为S，则的面积为，的面积为，再由平行线分线段成比例定理得到，则的面积为，从而求出的面积为，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过C作轴于E， ∵轴于点B， ∴， ∴， 设的面积为S， ∵， ∴的面积为，的面积为， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为， ∴四边形的面积为， 即的面积为， ∴与的面积比为， 故答案为：． 14. 如图1，E是等边的边BC上一点（不与点B，C重合），连接AE，以AE为边向右作等边，连接已知的面积（S）与BE的长（x）之间的函数关系如图2所示（为抛物线的顶点）． （1）当的面积最大时，的大小为______ ． （2）等边的边长为______ ． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）过点F作FD⊥BC于点D，由已知先证≌，得，，进可得∠FCD的度数，所以可求得FD，设等边△ABC的边长为a，则可把△ECF的面积表示出来，并求出面积的最大值，此时便可求得∠FEC的度数； （2）由图知△ECF的最大值，由（1）中计算知道它的面积的最大值，则两者相等，可求得等边△ABC的边长． 【详解】过F作，交BC的延长线于D，如图： 为等边三角形，为等边三角形， ，，， ， ≌， ，， ， ，， ， 设等边边长是a，则， ， 当时，有最大值为， (1)当的面积最大时，，即E是BC的中点， ，， ， ， 故答案为：； （2）当时，有最大值为， 由图可知最大值是， ，解得或边长，舍去， 等边的边长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形及二次函数知识，解题关键是证明由≌，用x的代数式表示的面积． 三、解答题（每小题8分，共16分） 15. 计算：． 【答案】 2 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，利用负整数指数幂，零指数幂，绝对值的性质，二次根式的性质，特殊锐角三角函数值计算即可． 【详解】解： ． 16. 如图，已知三个顶点的坐标分别为，，． (1)请在网格中，画出关于原点对称的； (2)请在网格中，过点画一条直线，将分成面积相等的两部分，与轴相交于点，并写出点的坐标． 【答案】 （1）如图，△A1B1C1即为所求； （2）直线CD即为所求，且点D坐标为（5，0）． 【解析】 【分析】（1）根据原点对称的特点画出图形即可； （2）利用平行四边形的对角线互相平分画出直线AD即可． 【详解】解：（1）略．略．） （2）由图形可知AB∥CD，AB=CD， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∴AD平分BC， ∴直线CD即为所求，且点D坐标为（5，0）． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标关系，平行四边形的判定及性质等有关知识点，灵活运用平行四边形的性质是解决本题的关键． 四、（每小题8分，共16分） 17. 九年级物理学习了电学知识后，小明选取了四个开关按键、一个电源、一个小灯泡和若干电线设计了如图的电路图（四个开关按键都处于打开状态）． （1）若闭合，则任意闭合其余三个开关按键中的一个，小灯泡能发光的概率为__________； （2）用列举法求同时闭合其中的两个开关按键，灯泡能发光的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式计算得出答案； （2）利用树状图列举出所有可能，进而求出答案． 【小问1详解】 解：若闭合，还剩下3个开关按键，只有闭合开关按键，灯泡才会发光， 所以． 故答案为：． 【小问2详解】 解：用树状图分析如下： 一共有12种不同的情况，其中有6种情况下灯泡能发光， 所以． 18. 观察下列等式： ①； ②； ③； （1）请直接写出第④个等式__________； （2）根据上述等式的排列规律，猜想第n个等式（用含n的式子表示），并证明你的结论． 【答案】（1） （2） 根据题意可知，第n个等式为 证明： ． 所以． 【解析】 【分析】本题主要考查数字类规律探究、整式的乘法和乘法公式： （1）根据题目中的规律即可写出答案； （2）根据题目中的规律即可写出答案，运用整式的乘法和乘法公式即可证明． 【小问1详解】 解：根据题意可知，第④个等式为 故答案为：； 【小问2详解】 略 五、（每小题10分，共20分） 19. 如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接． （1）求证：为的切线； （2）若且，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， ， ， ，， ， 即， ， 是半径， 为的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，熟记切线的判定定理是解题的关键． （1）连接，根据等边对等角结合对顶角相等即可推出结论； （2）设的半径，则，，在中，由勾股定理得得出方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径，则， ， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，或舍去， 的半径为． 20. 2025年春晚名为《秧BOT》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图2是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角，胳膊，，旋转的手绢近似圆形，半径，与手臂保持垂直．肘关节与手绢旋转点之间的水平宽度为（即的长度）． （1）求的度数； （2）机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为．在图2中，机器人与舞者之间距离为．问此时手绢端点与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（参考数据：，，，） 【答案】（1） （2） 解：在规定范围内，理由如下： 过点C作于E，则， ∵, ∴， ∵， ∴． ∴， ∴在中，, ∵在中，， ∴． ∴此时手绢端点C与舞者距离为， ∵机器人跳舞时规定手绢端点C与舞者安全距离范围为， ∴此时手绢端点C与舞者距离在规定范围内． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键. （1）由题意得，再根据锐角三角函数求出即可求解： （2）过点C作于E，解和求出的长，进而求出手绢端点C与舞者距离即可判断求解. 【小问1详解】 解：∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 六、（本大题满分12×2=24分） 21. 如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点． （1） __________、__________． （2）连接，，则的面积是__________； （3）如图2，点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）4 （3）点E的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．也考查了等腰直角三角形的性质．熟知反比例函数及一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将代入反比例函数的解析式求得m的值，再将代入，即可求解； （2）利用的面积，即可求解； （3）先设出点E的坐标，再利用旋转的性质结合全等三角形的性质得出点F的坐标即可解决问题． 【小问1详解】 解：将代入反比例函数， 解得， ∴， 将代入， 得， 将，点代入， ，解得， ∴； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：设一次函数与x轴交于点D， 令，则，令，则， ∴的面积； 故答案为：4； 【小问3详解】 解：设点E的坐标为， 过点A作y轴的平行线l，分别过点E和点F作l的垂线，垂足分别为M和N， 由旋转可知， ，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∵，点E的坐标为， ∴，， ∴点F的坐标为． ∵点F在函数的图象上， ∴， 解得，（舍去）， 所以点E的坐标为． 22. 如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且点坐标为． （1） __________ （2）如图2，轴上存在一点，使经过，两点，求点的坐标； （3）如图3，连接，点（不与，，三点重合）为抛物线上一点，连接，使得．求出此时点的坐标． 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）代入到抛物线中，得到，即可求出抛物线的解析式； （2）由于经过、两点， 则，设，根据勾股定理得到，利用列出方程求出的值即可得出答案； （3）分①当点P在x轴上方时和②当点P在x轴下方时两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：代入到抛物线中， ∴， ∴， 故答案为：2． 【小问2详解】 解：由（1）得：抛物线的解析式为， 当时，， ∴，， ∴， 当时，， ∴， ∵经过、两点， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得：， ∴点坐标为． 【小问3详解】 解：①当点P在x轴上方时，如图，过点C作于点E，过点E作轴于点F，过点B作轴交于点G， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵ 设直线的解析式为 把点和点的坐标代入， 得 解得， ∴直线的解析式为：， 令， 解得（舍）或， ∴ ， 即 当点P在x轴下方时，如图，不合题意； 综上所述，． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、圆的基本性质、待定系数法求解析式、全等三角形的判定与性质、一元二次方程的应用、相似三角形的性质与判定，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 七、（本大题满分14分） 23. 在中，，，点是边上一动点，连接，以为斜边在其右侧作等腰． （1）当时，则__________； （2）若点在边上时，求的长； （3）若时，求的长． 【答案】（1）1 （2） （3）的长为或． 【解析】 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质结合直角三角形斜边中线的性质求得，解直角三角形即可求解； （2）先求得是等腰直角三角形，解直角三角形即可求解； （3）取的中点，连接，作直线交于点，先证明，进而得，从而得，证明，进而证明垂直平分，得，然后分点在三角形内和在三角形外两种情况讨论求解，此时过作于，过作于先构造方程求出、、的值，进而利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 当时，点为的中点， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：1； 【小问2详解】 解：∵是等腰直角三角形， ∴， 若点在边上时， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：取的中点，连接，作直线交于点， 在中，，， ，， ∵点是中点，， ∴，，是等腰直角三角形， ∴ 是等腰直角三角形（为斜边）， ，， ， ， ， ， ， ∴ ， ， ∴， 垂直平分， ． 设，过作，交的延长线于，过作于， 如图，当在内时， ， ， ，． 在中，，由勾股定理得即， 化简得：， （负值舍去）． 是等腰直角三角形， ． ∵，， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴三角形是等腰直角三角形， ∴； 如图，当在外时，设， ， ， ， 在中，，由勾股定理得即， 化简得：， （负值舍去）． 是等腰直角三角形， ， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴三角形是等腰直角三角形，， ∴ ∴ ∵三角形是等腰直角三角形， ∴． 综上：的长为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理及特殊角度的三角函数，熟练掌握相似三角形的构造与勾股定理的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $