专题02 平行线的判定和性质（5大题型）（专项训练）数学新教材北师大版七年级下册

专题02 平行线的判定和性质 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用平行线的判定与性质进行计算 1 题型二、利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系 5 题型三、利用平行线的判定与性质确定角度定值问题 10 题型四、利用平行线的判定与性质解决三角尺问题 18 题型五、利用平行线的判定与性质解决旋转问题 24 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用平行线的判定与性质进行计算 1．（24-25七年级下·江西上饶·月考）如图，点，在上，点，分别在，上，且，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质、垂直定义等知识求角度，熟记平行线的判定与性质，数形结合是解决问题的关键． （1）先由，得到同位角相等，再由已知条件，等量代换得到，最后由内错角相等两直线平行即可得证； （2）由垂直定义、平行线性质，数形结合表示出，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， ． 2．（25-26八年级上·山东青岛·期末）已知：如图，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质，掌握平行线的判定及性质是解题关键． （1）利用平行公理的推论得到，再由“两直线平行，内错角相等”可推出； （2）由和推出，再结合求出． 【详解】（1）证明：，， ， ． （2）解：，， ， ， ， ． 3．（24-25七年级下·河北承德·期末）已知：如图，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，且，求的度数． 【答案】(1)与的位置关系是平行，理由见详解 (2) 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是关键． （1）根据平行线的性质及判定求解即可； （2）根据平行线的性质得到，由角平分线的定义得到，最后根据两直线平行，同位角相等即可求解． 【详解】（1）解：与的位置关系是平行，理由如下， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即与的位置关系是平行； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．（24-25七年级下·安徽宿州·月考）如图，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)与相等吗？为什么？ (3)若，，求的大小． 【答案】(1)，理由见解析 (2)， 理由见解析 (3) 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）由对顶角相等得到， 等量代换得到， 即可判定； （2）根据平行线的性质即可求解； （3）由平行线的性质得到， 再根据已知条件得出，最后根据平行线的性质即可得解． 【详解】（1）解：， 理由如下： ∵，， ∴， ∴； （2）解：， 理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型二、利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系 5．（24-25七年级下·福建莆田·期中）如图1，已知． (1)探索与之间满足的数量关系，并说明理由； (2)如图2，平分，平分，的反向延长线交于点P，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）如图，分别过点E，F作，，证明，可得，，证明，可得，从而可得结论； （2）如图，过点F作，由（2）知，，设，则，证明，，证明，，可得，从而可得答案． 【详解】（1）数量关系为， 证明：如图，分别过点E，F作，， ， ，， 又，， ， ， 又， ， ，， ， ； （2）如图，过点F作， 由（1）知，， 设，则， 平分，GF平分， ，， ， ，， ∴， ． 【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，角平分线的定义，熟练的利用平行线的性质探究角度的大小关系是解本题的关键． 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线，BEC是一条折线段，BP平分． (1)如图①，若，探究和的数量关系． (2)如图②，CQ平分，直线BP，CQ交于点F，探究和的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】(1) 要探究和的数量关系，先延长DC交BE于点K，交BP于点T，借助的平行线性质得到角的等量关系，结合平分、的条件推导角相等，再利用平角的定义得出两者的数量关系； (2) 要探究和∠F的数量关系，设角平分线分后的角为未知数，利用的性质表示，结合角的和差关系表示，进而推导两者的数量关系． 【详解】（1）解：延长DC交BE于点K，交BP于点T，如图①． ∵，∴． ∵BP平分， ∴，∴． ∵， ∴，， ∴． ∵， ∴， 即． （2）解：延长AB交FQ于点M，延长DC交BE于点N，如图②． ∵射线BP，CQ分别平分，， ∴，． 设，， ∴，，，． ∵， ∴，， ∴， ， ∴， 即． 【点睛】本题考查平行线的性质与角平分线的定义，掌握两直线平行，内错角相等、同旁内角互补；角平分线将角分为相等的两部分是解题的关键． 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知，P是射线AM上一动点（不与点A重合），BC，BD分别平分和，交射线AM于点C，D． (1)求的度数． (2)当点P运动时，与的度数比是否随之发生变化？若不变，请求出这个比；若变化，请找出变化规律． (3)当点P运动到使的位置时，求的度数． 【答案】(1) (2)不变， (3) 【分析】（1）利用平行线的性质得出的度数，再结合角平分线的定义求出； （2）根据平行线的性质和角平分线的定义，分析与的关系； （3）通过角的等量关系和已知条件，求出的度数． 【详解】（1）解：， ， ， ． 平分，平分， ， ， ． （2）不变，． 证明：， ， 平分， ， ． （3）解：， ， 当时，， ， ． 由（1）可知，， ． 【点睛】本题考查平行线与角平分线的综合应用，掌握利用平行线的性质得出角的关系，结合角平分线的定义进行角的计算与推导是解题的关键． 8．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，点在三角形的边上（点不与点重合），交于点，交于点． (1)若点是线段上任意一点（点不与点重合），连接，补全图形解答下列问题： ①，则___________； ②用等式表示、、之间的数量关系，并证明． (2)若点在线段上（点不与点重合），直接写出、、之间的数量关系． 【答案】(1)①；②，见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质； （1）①直接根据平行线的性质求解即可； ②过M作，则，根据平行线的传递性得出，根据平行线的性质得出，结合即可得出结论； （2）过M作，则，根据平行线的传递性得出，根据平行线的性质得出，结合即可得出结论． 【详解】（1）解∶①如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为∶45； ②； 理由：过M作，则， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴； （2）解：； 理由：过M作，则， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴． 题型三、利用平行线的判定与性质确定角度定值问题 9．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，已知射线，连接，点是射线上的一个动点（与点不重合），分别平分和，分别交射线于点． (1)当时，求的度数； (2)判断是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)当时，求的度数． 【答案】(1) (2)为定值，这个定值为 (3)当时，的度数为 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，由此即可求解； （2）根据提议设，则，由此即可求解； （3）设，根据平行线的性质，角平分线的定义得到，，则，由此即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∵分别平分和， ； （2）解：为定值， ∵平分， ∴设， ， ， ， 为定值，这个定值为2； （3）解：∵平分， ∴设， 由（2）知：， ， ，， ， ， ， ， 又， ． ∴当时，的度数为． 10．（24-25七年级下·云南楚雄·期末）如图，为射线上一动点，连接，作平分，交于点，作平分，交于点． (1)如图1，当时，求的度数． (2)如图2，当时，求的度数． (3)请说明在点的运动过程中，的值是否为定值．若是定值，请求出的度数，若不是定值，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是定值， 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的性质，角度的计算，熟练掌握平行线的性质，角平分线的性质是解题的关键， （1）由于可得．根据平行线的性质可得 ．进而推出．再利用角平分线的性质得到. （2）由于可得．根据平行线的性质可得，，再利用角平分线的性质得到，根据平行线的性质可得，可推出，再由平分，； （3）由平行线的性质得到，从而得到，再由角平分线的性质得到从而得到，即可得以，由于，，的值为定值． 【详解】（1）解： ． ． ． 平分， . （2）解： ． ， ， 平分， ， ， ， ， 平分， ， （3）解：的值是定值， ， ， 平分平分， ， ， ， ，即， 易证， ， 是定值，． 11．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）如图1，已知直线．点A、B在直线上，点C、D在上．线段交点E，且． (1)求的值； (2)如图2，当F、G分别在线段上，，，标记为，为． ①若，求的度数： ②当_______时，为定值，此时定值为_______°． 【答案】(1) (2)①；②当时，为定值，此时定值为 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键． （1）利用平行线的性质解答即可； （2）①设，则，结合平行线的性质，利用方程的思想方法，依据已知条件列出方程组即可求解； ②利用①中的方法，设，则，通过计算，令计算结果中的的系数为 0 即可求得结论． 【详解】（1）证明：如图，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ． （2）解：设， ， ， ， ， 由（1）可得：，，， ， ， ①， ， ， ； ② ， 当，即时，， ∴当时，为定值，此时定值为． 12．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动． (1)【问题初探】 如图1，两直线，和直角三角形，其中，，，若，则的度数为______________； (2)【实践探究】 如图2，创新小组的同学把直线向上平移，发现是一个定值，这个定值是________________； 为了说明理由，同学们根据“过拐点作平行线”的思路，很快想到辅助线的作法，过点作，请你在图2中补全辅助线并完成关于这个定值的证明过程． (3)【拓展延伸】 如图3，，点在上，，，设，请直接用含的代数式表示． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的性质求角度的计算是关键． （1）根据平角得到，根据两直线平行，同旁内角互补得到，即可求解； （2）如图所示，过点作，则，可得，，由，即可求解； （3）如图所示，过点作，过点作，则，可得，，，根据，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，证明如下， 证明：如图所示，过点作，则， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点作，过点作，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型四、利用平行线的判定与性质解决三角尺问题 13．（24-25七年级下·河南三门峡·期中）某数学活动小组在开展小项目研究时，将一副三角板按图1方式拼接在一起，其中边，与直线重合，，，保持三角板不动，将三角板绕着点顺时针旋转，当落在直线上时，三角板停止运动． (1)如图1，________； (2)当三角板旋转到某个位置，恰好，请在图2中画出此时三角板的位置，并求出的度数； 【答案】(1) (2)，图见解析 【分析】本题主要考查了三角板中角度的相关计算，根据平行线的性质求角的度数，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）利用平角的定义求解即可． （2）利用平行的性质得出，即可求出，再结合已知条件利用平角的定义即可求出． 【详解】（1）解：∵，． ∴， 故答案为：； （2）解：三角板的位置如下图： ∵， ， ∵， ∴， ∵， ∴． 14．（24-25七年级下·河北保定·期中）综合与实践 动手操作可提高我们的思维能力，王老师和同学们利用两块直角三角板（含的直角三角板DEF和含的直角三角板）不同的摆放方式探究平行线的相关问题． 初步认知 （1）如图1，将三角板直角顶点A与E重合，若，则______． 深入探究 王老师让同学们改变三角板的位置，提出新的问题并作出解答． （2）“智慧小组”提出问题：如图2，将三角板的顶点B放在三角板的边上，若，平分吗？请说明理由． （3）“善思小组”提出问题：将图2位置的三角板不动，三角板绕点B旋转一周，在此过程中与三角板的某一边平行（不共线）时，请直接写出的度数． 【答案】（1）；（2）平分，理由见解析；（3）或或或 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键． （1）先根据两直线平行，内错角相等求出，进而可求出的度数； （2）先根据两直线平行，内错角相等求出，进而可求出平分； （3）依题意有以下4中情况：①当，且点C在的右侧时，则，由此可得出的度数；②当，且点C在的上方时，则；③当，且点C在的左侧时，则，④当，且点C在的下方时，则，由此可得出的度数，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）平分； 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴平分； （3）依题意有以下4中情况： ①当，且点C在的右侧时，如图①所示： ∴， ∴； ②当，且点C在的上方时，如图②所示： ∴； ③当，且点C在的左侧时，如图③所示： ∴， ④当，且点C在的下方时，如图④所示： ∴， ∴， 综上所述：的度数是或或或． 15．（24-25七年级下·山西晋中·期中）综合与探究 问题情境： 在数学实践课上，老师让同学们准备一副三角板进行“玩转三角板”的探究活动．如图1，将两个三角板叠放在一起，使直角顶点重合，其中，，，然后三角板不动，三角板绕点旋转． 操作探究： （1）图1中，若，判断线段与的位置关系，并说明理由； （2）当三角板绕点旋转到图2的位置，，求的度数； 深入思考： （3）在三角板绕点旋转的过程中，当为多少度时，？请直接写出的度数． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，三角板中角度的计算，解题的关键是熟练掌握平行线的性质定理． （1）根据平行线的判定方法进行判断即可； （2）过点A作，根据平行线的性质得出则，，最后求出结果即可； （3）分两种情况：当在上方时，当在下方时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：（1）；理由如下： ∵，，， ∴， ∴； （2）过点A作，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）当在上方时，如图所示： ∵，， ∴； 当在下方时，如图所示： ∵，， ∴； 综上分析可知：或． 16．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）【实验操作】 如图①，把一副三角板拼在一起，边在直线上，其中． (1)填空：______； (2)如图②，三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为秒． ①当时，______； ②当为何值时，？ (3)如图②，三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转一周，在转动过程中，当时，直接写出三角板的运动时间． 【答案】(1)75 (2)①53；② (3)或 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示相关角的度数． （1）把，，代入计算即得； （2）①把代入计算即得答案；②由，得，解方程即得； （3）分两种情况：如图，当在的上方时，当在的下方的位置时，再结合平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：①当时，， ②由题意得，，则， ∴ ∵， ∴， 解得， ∴当t为时，； （3）解：如图，当在的上方时， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， 当在的下方的位置时， 此时旋转过的角度为， ∴， 解得：； 综上：当时，直接写出三角板的运动时间为或． 题型五、利用平行线的判定与性质解决旋转问题 17．（24-25七年级下·湖北·期中）某市为了美化某景点，在两条笔直的景观道，上分别放置了两盏激光灯，如图所示，A灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转；灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒旋转，灯每秒旋转，已知这两条景观道是平行的，即． (1)如果灯先旋转16秒，A灯才开始旋转，当A灯旋转4秒时，两灯发出的光束和到达如图所示的位置，请判断与的位置关系并说明理由． (2)如果灯先旋转12秒，A灯才开始旋转，当灯发出的光束第一次到达之前，两灯的光束互相平行时，请直接写出A灯转动的时间． (3)若两灯同时旋转，A灯发出的光束逆时针旋转至然后回转到时，两灯同时停止旋转，在此期间所在直线与所在直线能否互相垂直？如果能，请求出此时A灯旋转的时间；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，见解析 (2)3秒，58秒，93秒，118秒 (3)能垂直，A灯旋转秒或45秒 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，解决此题的关键是分类讨论、由平行的性质列出每种情况的等量关系； （1）求出，，根据得，即可得出结论； （2）先计算出第一次到达需要时间，设A灯旋转时间为t秒，分类讨论列出一元一次方程，再分情况讨论求解即可； （3）设A灯旋转秒时，分类列出一元一次方程讨论，分别求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ，， ∵， ， ， ． （2）设A灯旋转时间为秒，灯光束第一次到达需要（秒）， ，即． 由题意可知，满足以下条件时，两灯的光束能互相平行， ①，解得； ②，解得； ③，解得； ④，解得； ⑤，解得（不符合题意，舍去）； 综上所述，满足条件的的值为3秒，58秒，93秒，118秒． （3）设A灯旋转秒时，与互相垂直， ①，解得； ②，解得； 即当A灯旋转秒或45秒时，与互相垂直． 18．（25-26七年级上·江苏·假期作业）如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，转至后停止旋转；射线绕点逆时针旋转至后停止旋转．若射线转动的速度是/秒，射线转动的速度是/秒，且、满足． (1) ， ； (2)若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线互相垂直？ (3)若射线绕点顺时针先转动秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线到达之前，问射线转动多少秒时，射线、射线互相平行？ 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为，则这两个非负数均等于． （1）依据，即可得到,的值； （2）依据，，即可得到射线、射线第一次互相垂直的时间； （3）分两种情况讨论，依据时，，列出方程即可得到射线、射线互相平行时的时间． 【详解】（1）解：， ，， ，， 故答案为：，； （2）解：设至少旋转秒时，射线、射线互相垂直， 如图，设旋转后的射线、射线交于点，则， ， ， ， ， 又，， ， 解得， 故至少旋转秒时，射线、射线互相垂直； （3）设射线转动秒时，射线、射线互相平行， 如图，射线绕点顺时针先转动秒后，转动至的位置，， ①当到达前，，， ， ， ， ，， 当时，， 此时，， 解得； ②当到达后，，，， ， ， 当时，， 此时，， 解得； 综上所述，射线再转动秒或秒时，射线、射线互相平行． 19．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）长江汛期来临之前，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，在笔直且平行的长江两岸河堤，上安装了两盏激光探照灯如图所示．光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转；光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转． (1)若两灯同时旋转，灯发出的光线顺时针旋转到，然后回转到时，两灯同时停止旋转． ① 当两灯旋转秒时，判断光线所在直线与光线所在直线的位置关系，并说明理由； ② 除①中情况之外，两灯发出光线所在直线还能否形成与①相同的位置关系？若能，请求出此时灯的旋转时间；若不能，请说明理由． (2)如果灯先旋转秒，灯才开始旋转．在灯发出的光束第一次到达之前，请直接写出灯旋转多少秒时，光线所在直线与光线所在直线平行． 【答案】(1)①，理由见解析；②能，秒或秒 (2)秒或秒或秒或秒 【分析】（）①设与相交于点，过点作，可得，利用平行线的性质可得，即可求解；②设灯的旋转时间为秒，分回转时和回到时两种情况解答即可求解； （）设灯旋转秒，光线所在直线与光线所在直线平行，分四种情况，利用平行线的性质列出方程解答即可； 本题考查了平行线的判定和性质，一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①，理由如下： 如图，设与相交于点，过点作， ∵， ∴， 两灯旋转秒时，，， ∵， ∴，， ∴， ∴； ②能．设灯的旋转时间为秒， 如图，当回转时，，设与相交于点，过点作， ∵， ∴， 由题意可得，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得； 当回到时，如图， ， ∴，此时； 综上，除①中情况之外，当灯的旋转秒或秒时，两灯发出光线所在直线还能垂直； （2）解：设灯旋转秒，光线所在直线与光线所在直线平行， 如图，当到达前与平行，设与相交于点， 由题意得，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 解得； 如图，当到达后回转时与平行，设与相交于点， 则，， 同理上可得，， 即， 解得； 如图，当回转到后再次往旋转与平行，设与相交于点， 则，， 同理可得，， 即， 解得； 如图，当再次到达后回转与平行，设与相交于点， 则，， 同理可得，， 即， 解得； 综上，灯旋转秒或秒或秒或秒时，光线所在直线与光线所在直线平行． 20．（24-25七年级下·福建龙岩·期中）如图，某水域的两岸是互相平行的直线，在两岸的，处分别设置了一盏可以不断匀速旋转的探照灯．设两岸，垂直于河岸，点处探照灯射出的光线自开始顺时针旋转，点处探照灯射出的光线自开始顺时针旋转，当两灯射出的光线旋转至各自岸边时立即反向旋转，旋转中常常出现交叉照射，若点处射出的光线每秒旋转，点处射出的光线每秒旋转，设点处探照灯旋转的时间记为，单位： (1)如图1，若点处探照灯先旋转后，点处探照灯才开始旋转． ①填空：当时， ， ． ②探究：能否出现两盏探照灯射出的光线互相平行的情形？若能，求出所有满足条件的值；若不能，请说明理由． (2)设两灯同时开始旋转，当两盏探照灯射出的光线在河面上的点处互相垂直时，请你直接写出符合题意的值（温馨提醒：本小题可不必书写解题过程！） 【答案】(1)①20，60；②会出现两盏探照灯射出的光线互相平行，或或； (2)的值为或． 【分析】本题考查了平行线的性质，角度的计算等知识，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）①由题意得到，当时，，即可求出，求出旋转的时间，即可求出； ②根据题意分情况讨论求解即可； （2）设两灯同时开始旋转，若两盏探照灯射出的光线在河面上点处互相垂直，分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：①当时，， ∵两岸，垂直于河岸， ∴， ∴， 由题意可得：旋转的时间为：， ∴， 故答案为：； ②会出现两盏探照灯射出的光线互相平行， ∵， ∴， ∴即从开始旋转到后又反向旋转回到了，即：旋转了， ∵， ∴即从开始旋转两次到后又反向旋转了，即：旋转了， 当时，如图①： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 当时，如图②： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 当时，如图③： 类同可得： ， ∴， 解得：(不合题意，舍去)， 当时，如图③： 类同可得：， ∴， 解得：， 当时，如图③： 类同可得：， ∴， 解得：(不合题意，舍去)， 当 时，如图④： 类同可得：， ∴， 解得：(不合题意，舍去)， 综上：或或； （2）解：设两灯同时开始旋转，若两盏探照灯射出的光线在河面上点处互相垂直， ①当时，如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 即， 解得：，此时，两光线交于点，不符合题意； 当时，如图，过点作， 两盏探照灯射出的光线在河面上点处互相直时， 由题意得：，， ∴， 解得：； 当时，如图，过点作， 两盏探照灯射出的光线在河面上点处互相直时， 由题意得：，， ∴， 解得：； 当时，如图，过点作， 两盏探照灯射出的光线在河面上点处互相直时， 由题意得：，， ∴， 解得：，此时，两光线交于点，不符合题意； 综上，的值为或． 一、单选题 1．（25-26九年级上·湖南邵阳·月考）如图，直线被直线所截，且，与相交于点，于点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义；由平行线的性质得，即可求解． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， 故选：A． 2．（25-26七年级上·福建泉州·期末）如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底处，点在的延长线上，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，由平行线的性质求出的度数，由平角定义即可求出∠DBC的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 3．（25-26七年级上·山东济南·期末）已知直线，点E、F分别在直线、上，如图，点H是直线与外一点，连接、．若，，，点P、H、Q在同一直线上，若，则n的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，解一元一次方程．设，则，过点P作，过点H作，过点Q作，则，则，，，因此，而由，得，因此，代入得，化简得，故，根据，列式计算即可求解． 【详解】解：过点P作，过点H作，过点Q作，    ∵， ∴， ∵， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴，即． ∵， ∴， 解得， 故选：D． 4．（25-26八年级上·陕西铜川·期末）将一副直角三角尺按如图所示的位置摆放，已知，，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了几何图形的角度运算，三角板有关的计算，平行线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．因为，则，再过点作，运用平行线的性质进行分析列式，得，结合，，故，最后算出，再分析，即可作答． 【详解】解：依题意，得，， ∵， ∴， 故A选项不符合题意； 过点作，如图所示： ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， 故B选项不符合题意； ∵，， ∴ ∴， 故C选项不符合题意； ∵，且， ∴， ∵，， ∴， ∴ 故D选项符合题意； 故选：D． 5．（25-26七年级上·重庆·期末）如图，已知，点G在射线的上方且满足，点H在射线的反向延长线上，满足，若，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，延长交于点，过点作的平行线，交于点，过点作的平行线，交于点，设，则，设，则，根据题意可知，，，，互相平行，用只含有，，的代数式表示出与即可． 【详解】如图所示，延长交于点，过点作的平行线，交于点，过点作的平行线，交于点． 设，则，设，则． 根据题意可知，，，，互相平行． ∵，， ∴． 同理，根据平行线的性质，可得，，． ∴，． ∴，． ∴． ∴． 故选：B 二、填空题 6．（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）一副三角板按如图所示放置，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，几何图形中角的计算，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键． 根据，得出，从而求出． 【详解】解：根据题意可得：，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·山东青岛·期末）书桌上有一款长臂折叠护眼灯，其示意图如图所示，与桌面垂直．当发光的灯管恰好与桌面平行时，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，根据题意，分别过点D和点E作的平行线，得到，则，由平行线的性质得到，由此即可求解． 【详解】解：分别过点D和点E作的平行线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·广东梅州·期末）已知两个角有一条边在同一条直线上，且另一边互相平行，若其中一个角的度数为，则另一个角的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是做题的关键．根据平行线的性质，两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行时，则这两个角相等或互补，因此分类讨论即可． 【详解】解：如图，，， 则，， 故另一个角的度数为或． 故答案为：或． 9．（25-26八年级上·湖北黄冈·月考）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，则与所成锐角的度数为 ． 【答案】/63度 【分析】本题考查了平行线判定和性质，平行公理的推论．过点E作，可得，从而得到，，即可求解． 【详解】解：如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 10．（24-25七年级下·全国·单元测试）两块含角的三角板如图所示叠放，现固定三角板不动，将三角板绕顶点顺时针转动，使两块三角板至少有一组边互相平行，则所有可能的度数为 ． 【答案】或或或 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．分四种情况：①，②，③，④，根据平行线的性质求解即可得． 【详解】解：由题意可知，，，． ①如图1，当点在上时， ∵， ∴， ∴，符合题意， ∴此时； ②如图2，当时， ∴， ∴； ③如图3，当时， ∴； ④如图4，当时， ∴； 综上，所有可能的度数为或或或， 故答案为：或或或． 三、解答题 11．（21-22七年级下·云南曲靖·期末）如图，已知：，． (1)判断与的大小关系，并说明理由； (2)若平分，于点E，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据可得，然后根据，可证明，即可得出结果； （2）首先推导出，，然后依据平分，得到，利用，得到． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴． 12．（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，点是上一点，，，，． (1)___________； (2)求证：直线； (3)若，求的度数． 【答案】(1)70 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是： （1）根据两直线平行，内错角相等求解即可； （2）先求出，结合已知可得出，然后根据同旁内角互补，两直线平行即可得证； （3）根据平行线的传递性得出，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：70； （2）证明：∵，， ∴， 又， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴． 13．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）数学活动课上，老师先在黑板上画出两条平行线，，再将三角板放在黑板上，与直线相交于点，改变三角板得到如图所示的两个不同位置的图形． (1)如图1，若点在直线上，，求的度数； (2)如图2，若点在直线，之间，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查余角的性质、平行线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）设三角板与直线b的交点为N，根据平行线的性质得到，进而得到，据此求解即可； （2）过点B作，根据平行线的性质得到，进而得到，根据，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：设三角板与直线b的交点为N，如图： ； （2）证明：过点B作，如图： 、 、 ． 14．（25-26八年级上·全国·单元测试）（1）如图，已知．若，求的度数． （2）有一张四边形纸片，其中．把纸片按如图所示的方式折叠，使点落在边上的点处，是折痕．求证：． 【答案】（1）（2）见解析 【分析】本题主要考查折叠的性质及平行线的性质与判定，熟练掌握折叠的性质及平行线的性质与判定是解题的关键． （1）利用平行线的性质，得，，计算后得； （2）为折叠线，得，从而得到． 【详解】解：（1）， ． ， ， ， ， （2）证明：由折叠的性质，得． ， ， ． 15．（24-25七年级下·浙江绍兴·月考）如图，已知，，点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和，分别交射线于点，． (1)__________； (2)当时，求的度数； (3)当点在射线上运动时，与存在怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义， （1）根据两直线平行，同旁内角互补得到，然后根据角平分线的定义得到，，进而根据角的和差解答即可； （2）先根据角的和差求出的度数，然后根据两直线平行，内错角相等解答即可； （3）先根据角的和差求出的度数，然后根据两直线平行，内错角相等解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵、平分、， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴； （3）解：∵， ∴， 又∵， ∴，即． 16．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图1，M为射线上一点，，．根据以上条件解答下列问题： (1)若，，．请判断与的位置关系并说明理由； (2)E是上的一点，过点E的直线与平行（如图2）．求的度数．（用含和的代数式表示）； (3)在（2）的条件下，过点作射线，若，，直接写出的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据题意得，进而得到，从而得到； （2）过点B作，根据平行线的性质得到，进而得到，根据得到； （3）过点作，则，由（2）知， 则，分情况讨论：当点在内部时，；当点在外部时，． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ． ， ， ； （2）解：如图，过点B作， ， ， ， ∵， ； （3）解：过点作，则， ， 由（2）知， 则， ， ， ①如图，当点在内部时，； ②如图，当点在外部时，； 综上，的度数为或．      17．（2025七年级上·重庆·专题练习）如图，直线，点，，在上，点，在上，连接，交于点，和的角平分线交于点，直线分别交直线，于，两点． (1)如果，，求的度数； (2)请猜想和之间的数量关系，并说明理由； (3)如图2，当，时，将绕点以每秒的速度顺时针旋转得到，同时将绕点以每秒的速度顺时针旋转得到，当正好旋转一周时两者同时停止运动．设运动时间为（单位：秒），直接写出当，分别与的其中一条边平行时，运动时间的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)的值为6或15或24或27或30． 【分析】（1）过点作直线根据平行线的性质得出，结合角平分线的定义得出，进而根据，即可求解； （2）猜想：，过点作，设，，进而分别表示出，即可求解； （3）根据垂直的定义，，得出，根据，得出，由（2）可得，则，进而分5种情况讨论，分别画出图形，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作直线， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：猜想：，理由如下， 过点作，如图所示， ∵， ∴， ∵和的角平分线交于点， ∴，， 设，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 由（2）可得， ∴， ∴； ∵将绕点以每秒的速度顺时针旋转得到，同时将绕点以每秒的速度顺时针旋转得到， ∴； ①当时，如图所示， ∴， ∴， 解得：； ②如图所示，当时，延长交于点， ∵ ， ， ∵， ∴， ∴， 解得：； ③如图所示，当在上，则， ∴， 解得：， 此时， ∴， 而， ∴， ∴， ④当时， ∴， ∴， 解得：； ⑤当时， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，的值为6或15或24或27或30． 【点睛】本题考查了垂直的定义，平行线的性质与判定，角平分线的定义，旋转的性质；熟练掌握以上知识是解题的关键． 18．（25-26八年级上·山西晋中·期末）【项目化学习】“玩转三角尺”． 【项目背景】：在数学实践活动课中，项目学习小组的同学们用一副三角尺进行数学探究活动，如下图，利用三角尺和三角尺进行了操作探究活动．（其中，，，）请你一起探究，完成以下任务． 任务一：如图1，项目学习小组的同学们将三角尺沿方向移动，得到，王丽发现此时，她的判断依据是：_________ 任务二：项目学习小组的同学们将这两个三角尺进行了如图2摆放，并过点E作直线a平行于边所在的直线b，且点A与点F重合，求的度数． 任务三：在图2的条件下，项目学习小组的同学们固定三角尺，将三角尺绕点C逆时针旋转，如图3，请你一起进行操作探究活动，在旋转过程中，当三角尺的边所在直线与所在直线平行时，直接写出满足条件的度数． 【答案】任务一：同位角相等，两直线平行；任务二：；任务三：或或 【分析】本题主要考查了旋转的定义，平行线的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．根据平行线的判定即可解答；先过点A作，交于点，再根据平行线的性质进行解答即可；根据旋转的定义得出符合条件的情况，再利用平行线的性质，分情况讨论即可． 【详解】解：任务一：由平移得，， （同位角相等，两直线平行）． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 任务二：如图，过点作，交于点， 又， ， ，， ． ， ． 答：的度数为． 任务三：需分情况讨论： 当时，如图所示， ； 当时，如图所示， 过点作交于点， 则， 同理任务二可得，； 当，且在直线b的下方时，如图所示， 则， ； 综上，的度数为或或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题02平行线的判定和性质 目录 A题型建模·专项突破 题型一、利用平行线的判定与性质进行计算.1 题型二、利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系… .5 题型三、利用平行线的判定与性质确定角度定值问题10 题型四、利用平行线的判定与性质解决三角尺问题.… .18 题型五、利用平行线的判定与性质解决旋转问题… .24 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、利用平行线的判定与性质进行计算 1.(24-25七年级下江西上饶月考)如图，点D,E在AC上，点F,G分别在BC,AB上，且DB∥EF ,∠1=∠2. A F (I)求证：DG∥BC; (2)若EF⊥AC,∠2=48°，求∠ADG的度数. 2.(25-26八年级上·山东青岛期末)已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°，E、F分别 是边AB、AC上的点，且EF∥AD. D A3 Bh 2C (1)求证：∠1=∠2； (2)若∠3=55°，求∠BAC的度数. 3.(24-25七年级下·河北承德·期末)己知：如图，EF‖CD,∠1+∠2=180°. 1/13 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C G A D (1)判断GD与CA的位置关系，并说明理由； (②)若DG平分∠CDB,且∠A=36°，求∠EFB的度数. 4.(24-25七年级下·安徽宿州月考)如图，∠ENC+∠CMG=180°，AB∥CD. D G (I)判断ED与FG的位置关系，并说明理由； (2)∠2与∠3相等吗？为什么？ (3)若∠A=∠1+60°，∠ACB=44°，求∠B的大小. 题型二、利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系 5.(24-25七年级下·福建莆田期中)如图1，己知AB∥CD,∠B=20°，∠D=110°. A F C 图1 图2 (I)探索∠E与∠F之间满足的数量关系，并说明理由： (2)如图2，EP平分∠BEF,FG平分∠EFD,FG的反向延长线交EP于点P,求∠P的度数. 6.(25-26七年级下·全国课后作业)如图，直线AB∥CD,BEC是一条折线段，BP平分∠ABE. 图① 图② (I)如图①，若BP∥CE,探究∠BEC和∠DCE的数量关系. (2)如图②，CQ平分∠DCE,直线BP,CQ交于点F,探究∠E和∠F的数量关系. 7.(25-26八年级上全国·课后作业)如图，已知AM∥BN,∠A=60°，P是射线AM上一动点（不与点A 重合)，BC,BD分别平分∠ABP和∠PBN,交射线AM于点C,D. 2/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D -M B (I)求∠CBD的度数. (②)当点P运动时，∠APB与∠ADB的度数比是否随之发生变化？若不变，请求出这个比；若变化，请找出 变化规律， (3)当点P运动到使∠ACB=∠ABD的位置时，求∠ABC的度数， 8.(24-25七年级下·河南郑州·期末)如图，点D在三角形ABC的边AC上（点D不与点A,C重合）， DE∥AB交BC于点E,DF∥BC交AB于点F. 备用图 (I)若点M是线段BF上任意一点（点M不与点B,F重合），连接DM,EM,补全图形解答下列问题： ①LB=45°，则∠EDF= ②用等式表示∠FDM、∠DME、∠BEM之间的数量关系，并证明. (②)若点M在线段AF上（点M不与点A,F重合），直接写出∠FDM、∠DME、∠BEM之间的数量关系. 题型三、利用平行线的判定与性质确定角度定值问题 9.(24-25七年级下·广东广州期中)如图，己知射线AM∥BN,连接AB,点P是射线AM上的一个动点 (与点A不重合)，BC,BD分别平分∠ABP和LPBN,分别交射线AM于点C,D. N M D (1)当∠A=50°时，求∠CBD的度数； (2)判断<AP ∠ADB 是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是，请说明理由； (③)当LACB=∠ABD时，求∠ADB+∠A的度数， 4 10.(24-25七年级下·云南楚雄期末)如图，∠A=60°，AM∥BN,P为射线AM上一动点，连接BP,作BC平 分∠PBA,交AM于点C,作BD平分∠PBN,交AM于点D. 3/13 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M DM N N 图1 图2 (I)如图1，当BP⊥AM时，求∠ABC的度数 (2)如图2，当BC⊥AM时，求∠PBD的度数. (3)请说明在点P的运动过程中，LPCB+∠PDB的值是否为定值.若是定值，请求出LPCB+∠PDB的度数， 若不是定值，请说明理由， 11.(24-25七年级下·湖北武汉·月考)如图1，已知直线l∥12.点A、B在直线1上，点C、D在☑上.线 段AD、BC交点E,且∠BED=63°. B 图1 图2 (I)求LABE+LEDC的值； (②)如图2，当F、G分别在线段AE、EC上，∠ABF=2∠FBE,∠EDG=2LGDC,标记∠BFE为∠1， LBGD为∠2. ①若∠1-∠2=12°，求∠ABC的度数： ②当k= 时，∠1+k∠2为定值，此时定值为°。 12.（2425七年级下·辽宁沈阳·期中)在综合与实践课上，同学们以“一个含60°的直角三角尺和两条平行线” 为背景开展数学活动. m B m 图1 图2 图3 (1)【问题初探】 如图1，两直线m,n和直角三角形ABC,其中m∥n,∠BCA=90°，∠ABC=60°，若∠1=40°，则∠2的 度数为 ； (2)【实践探究】 如图2，创新小组的同学把直线m向上平移，发现∠2-∠1是一个定值，这个定值是 为了说明理由，同学们根据“过拐点作平行线”的思路，很快想到辅助线的作法，过点B作BH∥m,请你在 图2中补全辅助线并完成关于这个定值的证明过程， 4/13 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)【拓展延伸】 1 如图3，AB∥CD,点E在CD上，∠ABG=。∠ABF,3LCEG+∠FED=I80°，设∠BFE=a,请直接用含 3 a的代数式表示∠BGE. 题型四、利用平行线的判定与性质解决三角尺问题 13.(24-25七年级下河南三门峡期中)某数学活动小组在开展小项目研究时，将一副三角板按图1方式拼 接在一起，其中边OA,OC与直线EF重合，∠A0B=45°，∠C0D=30°，保持三角板C0D不动，将三角 板AOB绕着点O顺时针旋转，当OB落在直线EF上时，三角板AOB停止运动. 图1 图2 (1)如图1，∠B0D= o: (②)当三角板AOB旋转到某个位置，恰好AB∥OD,请在图2中画出此时三角板A0B的位置，并求出 ∠AOE的度数； 14.(2425七年级下·河北保定期中)综合与实践动手操作可提高我们的思维能力，王老师和同学们利用 两块直角三角板（含30°的直角三角板DEF和含45°的直角三角板ABC)不同的摆放方式探究平行线的相 关问题， 初步认知(1)如图1，将三角板 图1 图2 备用图1 备用图2 直角顶点A与E重合，若AF∥BC,则∠CAD= 深入探究王老师让同学们改变三角板的位置，提出新的问题并作出解答. (2)“智慧小组”提出问题：如图2，将三角板ABC的顶点B放在三角板DEF的边DF上，若AC∥DF, BC平分∠ABF吗？请说明理由. (3)“善思小组”提出问题：将图2位置的三角板DEF不动，三角板ABC绕点B旋转一周，在此过程中BC 与三角板DEF的某一边平行（不共线）时，请直接写出LCBD的度数.。 15.（24-25七年级下·山西晋中·期中)综合与探究 问题情境： 在数学实践课上，老师让同学们准备一副三角板进行“玩转三角板”的探究活动.如图1，将两个三角板叠放 5/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在一起，使直角顶点A重合，其中LBAC=∠DAE=90°，∠C=60°，∠D=45°，然后三角板ABC不动，三 角板ADE绕点A旋转. 操作探究： 图1 图2 备用图 (1)图1中，若∠DAB=45°，判断线段DE与AC的位置关系，并说明理由； (2)当三角板ADE绕点A旋转到图2的位置，DE∥BC,求∠DAC的度数： 深入思考： (3)在三角板ADE绕点A旋转的过程中，当∠DAB为多少度时，DE∥AB？请直接写出∠DAB的度数 16.(24-25七年级下·江苏扬州期中)【实验操作】 如图①，把一副三角板拼在一起，边0A,0C在直线EF上，其中∠AOB=45°，∠COD=60°. D C ① ② (I)填空：∠B0D= (2)如图②，三角板COD固定不动，将三角板A0B绕点0以每秒4°的速度顺时针开始旋转，在转动过程中， 三角板AOB一直在∠EOD的内部，设三角板AOB运动时间为t秒. ①当t=2时，∠B0E=°； ②当t为何值时，∠BOE=2∠BOD? (3)如图②，三角板C0D固定不动，将三角板A0B绕点O以每秒4°的速度顺时针开始旋转一周，在转动过 程中，当AB∥OD时，直接写出三角板AOB的运动时间t. 题型五、利用平行线的判定与性质解决旋转问题 17.(24-25七年级下·湖北期中)某市为了美化某景点，在两条笔直的景观道MN,QP上分别放置了A,B两 盏激光灯，如图所示，A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AV便立即回转；B灯发出的光束自BP逆时针 旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒旋转5°，B灯每秒旋转1°，已知这两条景观道是平行的， 即MN∥QP 6/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M A D P M N 备用图 (①)如果B灯先旋转16秒，A灯才开始旋转，当A灯旋转4秒时，两灯发出的光束AM'和BP'到达如图所示 的位置，请判断AM'与BP'的位置关系并说明理由. (②)如果B灯先旋转12秒，A灯才开始旋转，当B灯发出的光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行 时，请直接写出A灯转动的时间 (3)若两灯同时旋转，A灯发出的光束AM'逆时针旋转至AN然后回转到AM时，两灯同时停止旋转，在此 期间AM'所在直线与BP'所在直线能否互相垂直？如果能，请求出此时A灯旋转的时间；如果不能，请说 明理由. 18.(25-26七年级上·江苏假期作业)如图，PQ∥MN,A、B分别为直线MN、P9上两点，且 LBAN=40°，若射线AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，转至AM后停止旋转；射线BQ绕点B逆时 针旋转至BP后停止旋转.若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b秒，且Q、b满足 a-4+(b-12=0 B B Q -P M M A 备用图 (1)a=-,b=-; (②)若射线AM、射线BQ同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线AM、射线BQ互相垂直？ (3)若射线AM绕点A顺时针先转动18秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之前，问 射线BQ转动多少秒时，射线AM、射线BQ互相平行？ 19.(24-25七年级下·辽宁盘锦·期末)长江汛期来临之前，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，在笔 直且平行的长江两岸河堤MN，PQ上安装了A,B两盏激光探照灯如图所示.光线AM,按顺时针方向以每 秒4°的速度从AM旋转至AN便立即回转：光线BP按顺时针方向以每秒1°的速度从BP旋转至BQ便立即回 转. 7/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M M P B 备用图 (I)若两灯同时旋转，A灯发出的光线AM,顺时针旋转到AN,然后回转到AM时，两灯同时停止旋转. ①当两灯旋转30秒时，判断光线AM,所在直线与光线BP所在直线的位置关系，并说明理由： ②除①中情况之外，两灯发出光线所在直线还能否形成与①相同的位置关系？若能，请求出此时A灯的旋 转时间；若不能，请说明理由。 (2)如果B灯先旋转20秒，A灯才开始旋转.在B灯发出的光束第一次到达BQ之前，请直接写出A灯旋转 多少秒时，光线AM,所在直线与光线BP所在直线平行 20.(24-25七年级下·福建龙岩期中)如图，某水域的两岸是互相平行的直线，在两岸的M,N处分别设 置了一盏可以不断匀速旋转的探照灯.设两岸AB∥CD,MN垂直于河岸，点M处探照灯射出的光线自MB 开始顺时针旋转，点N处探照灯射出的光线自C开始顺时针旋转，当两灯射出的光线旋转至各自岸边时立 即反向旋转，旋转中常常出现交叉照射，若点M处射出的光线每秒旋转2°，点N处射出的光线每秒旋转4° ,设点M处探照灯旋转的时间记为(0≤1≤180)，单位： M B A M B P 图1 备用图 (1)如图1，若点M处探照灯先旋转20(s后，点N处探照灯才开始旋转， ①填空：当t=35时，∠PMN=_°，∠QNC=_°. ②探究：能否出现两盏探照灯射出的光线互相平行的情形？若能，求出所有满足条件t的值；若不能，请说 明理由. (②)设两灯同时开始旋转，当两盏探照灯射出的光线在河面上的点F处互相垂直时，请你直接写出符合题意 的t值（温馨提醒：本小题可不必书写解题过程！） B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(25-26九年级上湖南邵阳月考)如图，直线a,b被直线c所截，且a∥b,a与c相交于点0,0P1a于 点0，∠1=50°，则∠2的度数为() 8/13 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 b A.40° B.50° C.60 D.30° 2.(25-26七年级上·福建泉州期末)如图，水面MN与底面EF平行，光线AB从空气射入水里时发生了折 射，折射光线BC射到水底C处，点D在AB的延长线上，若∠1=68°，∠2=44°，则∠DBC的度数为() A 空气 D C A.44° B.32 C.24° D.20° 3.(25-26七年级上山东济南·期末)已知直线AB∥CD,点E、F分别在直线AB、CD上，如图，点H是 直线AB与CD外一点，连接HE、HF.若∠EHF=I20°，∠BEH=nZPEH,∠CFH=nZHFO,点P、H 、Q在同一直线上，若∠Q-∠P=50°，则n的值为() E A.3 B.4 C.5 D.6 4.(25-26八年级上陕西铜川期末)将一副直角三角尺按如图所示的位置摆放，己知4∥12，∠ACD=60°， ∠1=a(0<a<45),则下列结论不正确的是() M A.∠BCE=90° B.∠2=(45+° C.AB∥ED D.当a=30时，∠BAC=∠MAC 5.(25-26七年级上重庆期末)如图，已知AB∥CD,点G在射线BA的上方且满足∠EBG:LABG=2:3, 点H在射线BG的反向延长线上，满足∠DCH:∠FCH=3:2,若∠E=a,则∠F与∠H的数量关系是() 9/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 G D A.∠F=∠H B.5∠H-3∠F=3a C.3LF-2∠H=a D.2∠F+3∠H=360°+a 二、填空题 6.(25-26七年级上江苏宿迁·月考)一副三角板按如图所示放置，BC∥DF,则∠ACF的度数为」 7.(25-26八年级上·山东青岛·期末)书桌上有一款长臂折叠LED护眼灯，其示意图如图所示，EF与桌面 MN垂直.当发光的灯管AB恰好与桌面MN平行时，若∠DEF=126°，∠BCD=104°，则∠CDE的度数 为 A✉ F M 8.(25-26八年级上广东梅州·期末)已知两个角有一条边在同一条直线上，且另一边互相平行，若其中一 个角的度数为65°，则另一个角的度数为 9.(25-26八年级上湖北黄冈·月考)一种路灯的示意图如图所示，其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆 CD与底部支架AB所成锐角α=16°，顶部支架EF与灯杆CD所成锐角B=47°，则EF与FG所成锐角 LEFG的度数为 10/13