专题09 三角形中的倒角模型之双角平分线和高线模型的三类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版七年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题09三角形中的倒角模型之双角平分线和高线模型 的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 类型二、三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型 类型三、三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 类型四、三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型 压轴专练 典例详解 类型一、三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 1)两内角平分线的夹角模型 图1 图2 图3 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP,CP交于点P;结论： ∠P=90°+ -ZA ∠PBC=∠ABC∠PCB=∠ACB 证明：，∠ABC和∠ACB的平分线BP,CP交于点P,, .∠P=180°.（∠PBC+∠PCB)-180.1(∠ABC+∠4CB)=180°.1(180.∠A)=90+1∠A。 2)凸多边形双内角平分线的夹角模型1 条件：如图2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB,两条角平分线相交于点P;结论：2∠P=∠A+∠D。 证明：：BP、CP平分∠ABC、∠DCB,∴. PsC=ABC,∠PcB- 2 ∠DCB 1/16 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠P=180°.（∠PBC+∠PCB)=180°-1（∠ABC+∠DCB)=180°.1(360-∠4-∠D)=1(∠A+∠D) 即：2∠P=∠A+∠D。 3)凸多边形双内角平分线的夹角模型2 条件：如图3，CP、DP平分∠BCD、∠CDE,两条角平分线相交于点P;结论： 2∠P=∠A+∠B+∠E-180°。 ZPCD-LBCD LPDC-72CDE 证明：，CP、DP平分∠BCD、∠CDE,∴. ：∠P=180°.（∠PCD+∠PDC)=180.1(∠BCD+∠CDE)=180°.1(540-∠4-∠D-∠E)=∠A+∠D 2 +∠E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。 例1.(25-26九年级上黑龙江绥化期末)如图，在ABC中，BI平分∠ABC,CI平分∠ACB, ∠BIC=130°，则∠A=」 度 【变式1-1】(25-26八年级上黑龙江牡丹江期中)如图，在ABC中，∠A=60°，0为ABC内的一点， 且∠B0C=100°，其中BO,平分∠ABO,CO,平分∠AC0、BO,平分∠ABO,CO,平分∠ACO1,BO,平分 ∠AB0n-,COn平分∠AC0n-1、、以此类推，∠BO2,C=° B C 【变式1-2】(25-26八年级上河北邢台期末)如图，AE,CD分别是∠BAC,∠ACB的平分线，且AE, CD相交于点F. 2/16 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)若LBAC=80°，若LACB=40°，求∠AFC的度数： (2)若∠B=80°，求∠AFC的度数 【变式1-3】(25-26八年级上甘肃陇南期末)综合与探究 B 图1 图2 【感知】如图1，在ABC中，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线. 【应用】 (1)若∠ABC=50°，∠ACB=70°，则∠BPC= 若LBAC=70°，则∠BPC= (2)求∠BPC与∠A之间的关系并证明： 【拓展】 (3)如图2，在四边形ABCD中，BP、CP分别是∠ABC和∠BCD的角平分线，求∠BPC与∠A+∠D的 数量关系 类型二、三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型 D 图1 图2 1)一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC,CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P;结论： 1 ∠P=二∠A 2 3/16 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 证明：，BP、CP平分∠ABC、∠ACD,∴ ZPRC-7ZABC ZPCD--ZACD 2 1 1 ∴∠P=∠PCD-∠PBC=2(∠ACD-∠ABC)=2∠A. 2)一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图2，LA=a,∠ABC、∠ACD的平分线相交于点B,∠PBC,∠PCD的平分线相交于点B, ∠BBC,∠BCD的平分线相交于点B…以此类推；结论：∠P的度数是2。 、∠PBC=∠ABC∠PCD=∠ACD 证明：BPI、CP1平分∠ABC、∠ACD,∴ 2 2 2 2 2,∠P,= 六2R=∠PcD-∠Rc-}(∠A0n-∠ac)}∠A0.同：∠R:∠R 2 例2.(25-26八年级上·广东广州期中)如图，在ABC中，B0、C0分别平分∠ABC,∠ACB，,交于O, CE为外角LACD的平分线，BO的延长线交CE于点E,若∠BOC=110,则∠2= B )0 C D 【变式2-1】(25-26八年级上甘肃平凉期末)如图，A是ABC的内角∠ABC和∠ACD的平分线的交点， A是△A,BC的内角∠A,BC和∠A,CD的平分线的交点，同样点An1是△AnBC的内角∠AnBC和∠AnCD的平分 线的交点，若∠A=a,则∠Ao26=」 一D C 【变式2-2】(25-26八年级上·辽宁沈阳·期末)如图①，∠ACE是ABC的一个外角，BD为∠ABC的角平 分线，CD为∠ACE的角平分线，且BD、CD相交于点D. 4/16 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B E B 图① C 图② C E (I)猜想∠A与∠D的数量关系，并说明理由； (2)如图②，若∠ACB的角平分线CO交BD于点O,∠D0C=48°，求∠D的度数. 【变式2-3】(25-26八年级上全国·期末)如图，ABC中，∠ABC的角平分线与外角∠ACD的平分线交于 A. D D C E B D 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠A=70°，则∠4=- (2)如图2，四边形ABCD中，∠ABC的角平分线及外角∠DCE的角平分线相交于点F,若LA+LD=230°， 求∠F的度数， (3)如图3，ABC中，∠ABC的角平分线与外角LACD的角平分线交于A,若E为BA延长线上一动点， 连接EC,∠AEC与∠ACE的角平分线交于点Q,当E滑动时有下面两个结论： ①∠Q+∠A,的值为定值： ②∠Q-∠A的值为定值； 其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值， 类型三、三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 H C D O ME 图1 图2 图3 5/16 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1)两外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BO,CO是△ABC的外角平分线；结论： KO=90°-2 L0BC=∠EBC∠OCB=∠BCF 证明：BO、CO平分∠CBE、∠BCF, :∠0=180.（∠OBC+∠OCB)=180°.1（∠EBC+∠BCF)=180°-1（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A) 2 2 =180°.1(180+∠A)-90°+1∠A。 2)旁心模型旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图2，BD平分∠ABC,CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D;结论：AD平分∠CAD 。 证明：如图3，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC, ,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB的外角， DH=DM,DH=DN,∴DM=DN,AD平分∠CAD。, 例3.（25-26八年级上广东东莞期中)如图，∠A的度数相同，∠1=∠2，∠3=∠4，则∠N+∠P的度数 为 【变式3-1】(25-26八年级上·黑龙江哈尔滨周测)如图，在ABC中，LABC=∠ACB,AD、BD、CD分 别平分ABC的外角∠EAC,内角∠ABC,外角LACF·以下结论：①AD∥BC;②ACB ADB;③ ∠ADC+∠ABD=90°；④4∠ADB=180°-2LCDB.其中正确的结论有 B 【变式3-2】(25-26八年级上四川广安期中)如图，在ABC中，BD,CD分别是∠ABC,∠ACB的外 6/16 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 角平分线， (1)若∠ABC=50°，∠ACB=40°，那么∠D= 2)若∠A=a,求∠D的度数（用含a的式子表示）. 【变式3-3】(25-26八年级上安徽淮南期中)【初步认识】 (1)如图1，在ABC中，BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,若∠A=80°，则∠P= 如图2，BM平分∠ABC,CM平分外角∠ACD,则∠A与∠M的数量关系是： B B 图1 图2 图3 图4 【继续探索】 (2)如图3，BN平分外角∠CBE,CN平分外角∠BCF,求证：∠N=90°-∠A; 【拓展应用】 (3)如图4，点P是ABC两内角平分线的交点，点N是ABC两外角平分线的交点，延长BP、NC交于 点M,在aBMN中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A的度数. 类型四、三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型 1)条件：如图1，在△ABC中，AD,AE分别是△ABC的高和角平分线，结论： D1E=C-B 2)条件：如图2，F为△ABC的角平分线AE的延长线上的一点，FD⊥BC于D,结论： DFA=c-∠B 7/16 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D D E B ED 图1 图2 1)证明：：AE平分∠BAC, LEAC-BAC ∠BAc=180-∠B-1c,∠E4c-80-∠B-20=90-8-<c 2 ∠EAD-∠EHc-ZD4c=0-B-c-(90-u0=<C-∠到 2)证明：如图，过A作AG⊥BC于G,由(2)可知： ∠EAG=2<C-∠B) AG⊥BC,LAGB=90°，：FD⊥BC,LPDC=90°，∠AGD=LFDC,FD∥AG, .∠AFD=∠EAG, 例4.(25-26八年级下全国课后作业)如图，在ABC中，∠B>∠C,AE平分∠BAC,在AE的延长线 上任取一点M,过点M作MD18C于点D.求证：∠M∠B-∠C. B M 【变式4-1】(25-26八年级上·云南红河期末)如图，在ABC中，∠B<∠C,AD1BC于点D,AE平分 ∠BAC,交BC于点E. B (I)当∠B=30°，∠BAC=100°时，求∠DAE的度数： 8/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)求证： ∠DME=∠C-∠B 【变式4-2】(25-26八年级上·全国·单元测试)已知在ABC中，AD1BC,AE平分∠BAC,请根据题中 所给的条件，解答下列问题： B ED CB E C D ① ② (1)如图①所示，若∠BAD=60°，∠EAD=15°，求∠ACB的度数； (2)通过以上的计算你发现∠EAD和LACB-∠B之间有什么关系？ (3)在图②的ABC中，∠ACB>90°，那么(2)中的结论仍然成立吗？为什么？ 【变式4-3】(25-26八年级上安微蚌埠·期中)【问题重现】 沪科版义务教育教科书数学八年级上册第87页第9题原文如下： “如图，在ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D,AE⊥BC,垂足为点E.若∠B=38°，∠C=70°，求 ∠DAE的度数， 受此题启发，某校八年级数学兴趣小组继续进行此类问题的实践探究，请你和他们一起完成吧. 【问题变式】 如图1，将原第9题中“AE⊥BC”改为“在AD上任取一点F,作FE⊥BC”,垂足为点E,其他条件不变，直 接写出∠DFE的度数 【继续探究】 如图2，将【问题变式】中“在AD上任取一点F改为“在DA的延长线上任取一点F”,其他条件不变，判断 ∠DFE的度数是否会发生变化，并说明理由； 【深度探究】 如图3，在ABC中，∠B=a,∠C=B(B>Q),AD是∠BAC的平分线，在AD上任取一点F,过点F作 EF⊥AD,与BC的延长线交于点E,请直接写出∠DEF与a,B之间的数量关系 B D E 图1 图2 图3 9/16 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 压轴专练 一、单选题 1.(25-26八年级上·甘肃临夏·期中)如图，在ABC中，∠C=80°，∠CAB、∠CBA的平分线相交于点0 ,则∠0的度数为() A.120° B.125 C.130° D.135° 2.(2025八年级上全国.专题练习)在ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B=64°，∠DAE=10°，则 ∠C的度数是() B DE A.36° B.42° C.449 D.54° 3.(25-26八年级上·贵州铜仁·月考)如图，在△ABC中，∠A=64°，∠ABC与LACD的平分线交于点A, 得∠A;∠ABC与∠A,CD的平分线交于点A,得∠A;；∠ABC与∠A,CD的平分线交于点A,得∠A.求 ∠A,的度数() A.1° B.2° C.3° D.4° 4.(25-26八年级上·安徽淮南·月考)如图，在ABC中，∠B,∠C的平分线相交于点O,BE、CF分别 为边AC,AB边上的高，相交于点P,且∠BPC=110°，则∠BOC的度数为() 10/16 专题09 三角形中的倒角模型之双角平分线和高线模型的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 类型二、三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型 类型三、三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 类型四、三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型 压轴专练 类型一、三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 1）两内角平分线的夹角模型 图1 图2 图3 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：。 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。 2）凸多边形双内角平分线的夹角模型1 条件：如图2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。 3）凸多边形双内角平分线的夹角模型2 条件：如图3，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：。 证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°-（∠BCD+∠CDE）=180°-（540°-∠A-∠D-∠E）=∠A+∠D+∠E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。 例1．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在中，平分，平分，，则 度． 【答案】80 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，掌握三角形内角和为180°是解题的关键． 由角平分线的定义可得，即；再运用三角形内角和定义以及可知，即，最后再运用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：80． 【变式1-1】（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，为内的一点，且，其中平分平分、平分，平分，平分平分、、…、以此类推， 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 先根据三角形的内角和定理可得的度数，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理即可求出的度数，同样的方法求出的度数，然后归纳类推出一般规律，由此即可得出答案． 【详解】解：∵， ， ， ， ， 平分平分， ， ， 同理可得： ， 归纳类推得：，其中为正整数， ， 故答案为：． 【变式1-2】（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，，分别是，的平分线，且，相交于点． (1)若，若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形内角和、角平分线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答； （1）根据，，可以得到和的度数，然后根据三角形内角和，即可求得的度数； （2）根据的度数，可以求得的度数，然后根据角平分线的定义和三角形内角和可以计算出的度数． 【详解】（1）解：，，，分别是，的平分线， ，， ； （2）解：， ， ，分别是，的平分线， ， ． 【变式1-3】（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）综合与探究 【感知】如图1，在中，、分别是和的角平分线． 【应用】 （1）若，则___________；若，则________； （2）求与之间的关系并证明； 【拓展】 （3）如图2，在四边形中，、分别是和的角平分线，求与的数量关系． 【答案】(1) ； ； (2)，证明见解析； (3) 【分析】本题考查三角形内角和定理，外角性质定理，角平分线的定义；熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． （1）根据角平分线定义，三角形内角和定理求解即可； （2）根据角平分线，三角形内角和定理进行求解； （3）结合（2）的结论，根据三角形外角性质，内角和定理求解． 【详解】（1）解：若， ∵分别是和的平分线，，， ∴， ∴． 若， ∵分别是和的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；； （2）解：；理由如下： ∵分别是和的平分线， ∴，， ∴ ； （3）解：． 如图，延长，交于点E，由（2）知，， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 即． 类型二、三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型 图1 图2 1）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P；结论：． 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。 2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图2，，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是． 证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn= 例2．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，、分别平分，，交于，为外角的平分线，的延长线交于点E，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形的外角定理，解题的关键是掌握以上性质． 根据角平分线的性质得出，然后再利用三角形的外角定理进行求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式2-1】（25-26八年级上·甘肃平凉·期末）如图，是的内角和的平分线的交点，是的内角和的平分线的交点，同样点是的内角和的平分线的交点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题是找规律的题目，主要考查了三角形的外角性质及三角形的内角和定理，同时考查了角平分线的定义．解答的关键是掌握外角和内角的关系． 根据角平分线的定义，三角形的外角性质及三角形的内角和定理可知，，…，依此类推可知的度数． 【详解】解：∵和的平分线交于点， ∴， ∵， ∴ ； 同理可得，， …， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式2-2】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图①，是的一个外角，为的角平分线，为的角平分线，且、相交于点D．    (1)猜想与的数量关系，并说明理由； (2)如图②，若的角平分线交于点O，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、角平分线的定义等知识，正确理解和应用三角形内角和定理及其推论是解题的关键． （1）先根据角平分线的定义得，，再根据外角的定义得，则，，进而可得结论； （2）根据外角的定义得，根据角平分线的定义得，，则，根据三角形内角和定理求出，再结合（1）的结论即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵为的角平分线，为的角平分线 ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵为的一个外角，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 在中，， 由（1）得， ∴． 【变式2-3】（25-26八年级上·全国·期末）如图，中，的角平分线与外角的平分线交于． (1)如图，若，则 ． (2)如图，四边形中，的角平分线及外角的角平分线相交于点，若，求的度数． (3)如图，中，的角平分线与外角的角平分线交于，若为延长线上一动点，连接，与的角平分线交于点，当滑动时有下面两个结论： 的值为定值； 的值为定值； 其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值． 【答案】(1) (2) (3)正确的结论是①，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义： （1）根据角平分线的定义得到，再由三角形外角的性质得到，，由此即可得到结论； （2）根据角平分线的定义，根据三角形外角的性质得到，利用四边形内角和定理得到，则，由此即可求出； （3）同理可得，，利用三角形内角和定理得到，再由三角形外角的性质得到，即可得到，由此即可得到结论． 【详解】（1）解：∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵平分平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：正确的结论是①，理由如下： 同（1）可得， ∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的值为定值，①正确，其值是． 类型三、三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 图1 图2 图3 1）两外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：． 证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，。 ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A） =180°-（180°+∠A）=90°+∠A。 2）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图2，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD。 证明：如图3，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC， ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角， ∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。, 例3．（25-26八年级上·广东东莞·期中）如图，的度数相同，，，则的度数为 ； 【答案】/90度 【分析】本题考查了三角形的内角和，外角，角平分线，掌握知识点是解题的关键． 在图①中，用的式子表示出，进而用含有的式子表示出，在图②中，先用含有的式子表示出，进而表示出，再表示出，然后表示出，即可求解． 【详解】解：设， 如图① ∵是的外角， ∴， ∵， ∴； ∴ ∵是的外角， ∴， ∴， 图②中，， ，， ， 即， ， ， ， 故答案为：． 【变式3-1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·周测）如图，在中，分别平分的外角，内角，外角．以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ． 【答案】①③④ 【分析】此题考查了三角形外角性质，平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，根据角平分线定义得出，，，根据三角形的内角和定理得出，根据三角形外角性质得出，，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 【详解】解：①∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴，故②错误； ③在中，， ∵平分的外角， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，故③正确； ④∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，即 ∴， ∴， ∴，故④正确； 故答案为：①③④． 【变式3-2】（25-26八年级上·四川广安·期中）如图，在中，，分别是，的外角平分线， (1)若，，那么___________． (2)若，求的度数用含α的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质及平角的定义． （1）利用平角的定义及角平分线的性质可得出，，再通过三角形内角和定理求得结果； （2）利用三角形内角和定理，角平分线的性质得出角度之间的等量关系，经过计算即可得出的表达式． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 又∵，分别是，的外角平分线， ∴，， ∴， 故答案为：． （2）解：∵， ∴， 又∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即． 【变式3-3】（25-26八年级上·安徽淮南·期中）【初步认识】 （1）如图1，在中，平分，平分．若，则______； 如图2，平分，平分外角，则与的数量关系是______； 【继续探索】 （2）如图3，平分外角，平分外角，求证：； 【拓展应用】 （3）如图4，点P是两内角平分线的交点，点N是两外角平分线的交点，延长交于点M，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求的度数． 【答案】（1）；；（2）见解析；（3）的度数为或或或 【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质．明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）由角平分线可得，由三角形内角和可求，根据，计算求解即可；由角平分线与外角可得，整理即可； （2）由角平分线可得，由，可得，则根据，计算求解即可； （3）由题意知，，，，分四种情况：①当时，②当时，③当时，④当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：如图1，∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； 如图2，∵平分，平分外角， ∴， ∵，， ∴， 整理得，； （2）证明：∵平分外角，平分外角， ∴，． ∵， ∴ ， ∴ ． ∴． （3）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴ ． 由（1）（2）知，， ∵在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍， ∴①当时，， ∴． ②当时，， 解得． ③当时，， 解得． ④当时，， 解得． 综上，的度数为或或或． 类型四、三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型 1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：． 2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．    图1 图2 1）证明：∵平分，∴， ∵，∴， ∴； 2）证明：如图，过作于，由（2）可知：， ，，，，，， ，． 例4．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，平分，在的延长线上任取一点，过点作于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、平行线的判定与性质，掌握通过作辅助线构造平行线进行角的转化，结合角平分线和三角形内角和推导角度关系是解题的关键． 作辅助线构造平行线，将转化为；再利用角平分线和三角形内角和，通过角的差推导，从而得证． 【详解】证明：如图，过点作于点． ， ． 平分， ． ， ， ， ． ，， ， ， ． 【变式4-1】（25-26八年级上·云南红河·期末）如图，在中，，于点D，平分，交于点E． (1)当，时，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质． （1）先根据角平分线的定义可得，再根据三角形的外角性质可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得； （2）先根据角平分线的定义可得，再根据三角形的外角性质可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 【变式4-2】（25-26八年级上·全国·单元测试）已知在中，，平分，请根据题中所给的条件，解答下列问题： (1)如图①所示，若，，求的度数； (2)通过以上的计算你发现和之间有什么关系？ (3)在图②的中，，那么（2）中的结论仍然成立吗？为什么？ 【答案】(1) (2) (3)成立，理由见解析 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，熟练掌握三角形的内角和定理，是解题的关键： （1）角的和差关系求出的度数，角平分线求出的度数，三角形的内角和定理求出的度数，再利用三角形的内角和定理求出的度数即可； （2）根据（1）中角的度数，进行猜测即可； （3）根据三角形的内角和定理，角平分线的定义，推出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）由（1）中，，， ∴； （3）（2）中的结论仍然成立，理由如下： 在中， ∵，平分， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【变式4-3】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）【问题重现】 沪科版义务教育教科书数学八年级上册第87页第9题原文如下： “如图，在中，平分交于点D，，垂足为点E．若，，求的度数． 受此题启发，某校八年级数学兴趣小组继续进行此类问题的实践探究，请你和他们一起完成吧． 【问题变式】 如图1，将原第9题中“”改为“在上任取一点F，作”，垂足为点E，其他条件不变，直接写出的度数_______； 【继续探究】 如图2，将【问题变式】中“在上任取一点F”改为“在的延长线上任取一点F”，其他条件不变，判断的度数是否会发生变化，并说明理由； 【深度探究】 如图3，在中，，，是的平分线，在上任取一点F，过点F作，与的延长线交于点E，请直接写出与，之间的数量关系． 【答案】问题变式：；继续探究：不变；理由见解析；深度探究： 【分析】问题变式：由三角形内角和得到，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案； 继续探究：由三角形内角和得到，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案； 深度探究：由三角形内角和得到，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案． 【详解】解：问题变式：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 是的一个外角， ， ， ∴， ； 继续探究：的度数不变；理由如下： ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 是的一个外角， ， ， ∴， ； 深度探究：在中，，， ， 是的平分线， ， 是的一个外角， ， ， ． 一、单选题 1．（25-26八年级上·甘肃临夏·期中）如图，在中，，、的平分线相交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线定义等知识点，掌握三角形的内角和等于是解题的关键． 先求出的度数，根据平分线的定义得出，求出的度数，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】解∶∵， ∵、的平分线相交于点， ∴ ， ． 故选：C． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）在中，是高，是角平分线，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，熟悉直角三角形两锐角互余和三角形的内角和等于180°是解题的关键． 根据三角形的内角和得出，再利用角平分线得出，利用三角形内角和解答即可． 【详解】解：∵是高，， ∴， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴． 故选：C． 3．（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）如图，在中，，与的平分线交于点，得；与的平分线交于点，得；…；与的平分线交于点，得．求的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形外角的性质，角平分线的定义． 由三角形外角的性质，结合角平分线的定义，可得，再依此类推得，，……，可得，即可求解． 【详解】解：∵与的平分线交于点， ∴，， 由三角形外角的性质可得，，， ∴， 整理得：， 同理可得， ∴． 当时，． 故选：B． 4．（25-26八年级上·安徽淮南·月考）如图，在中，，的平分线相交于点O， 、分别为边，边上的高，相交于点P，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形角平分线，三角形的高，三角形的内角和以及外角的性质等，根据三角形高的定义，三角形外角的性质求出，再根据三角形高的定义，三角形内角和定理求出，，根据三角形角平分线的定义可求出，最后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，是高， ∴，即， 又是高， ∴， ∴， ∵，的平分线相交于点O， ∴，， ∴ ， ∴， 故选：C． 5．（25-26八年级上·安徽·月考）在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论一定正确的个数有（    ）个． ①；②；③；④． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，外角的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握并灵活应用相关性质进行求解．根据三角形内角和定理，外角的性质，角平分线的定义，逐项分析判断即可． 【详解】解：由条件可知， ，， ，， 故③正确，符合题意； 由条件可知，， ，， ， ， 故④正确，符合题意； ，，， ， 平分，平分， ，， ， ， 故②正确，符合题意； ， ， ， ， 故①正确，符合题意； 综上正确的有：①②③④． 故选：D． 二、填空题 6．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图是嘉嘉画的类似“燕子”的图形，平分，平分．若，，则的度数为 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形外角的知识，推导出∠A+∠AOC＝∠C+∠ADC是解题的关键． 设交于点F，由平分，平分，且，，求得，，由，得，即可解答． 【详解】解：设交于点F， ∵平分，平分，且，， ∴，， ∵，且， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）如图，在四边形中，E，F分别是两组对边延长线的交点，，分别平分，，已知，，则的度数为 ． 【答案】/100度 【分析】本题考查了三角形内角和以及角平分线的定义，连接，根据角的和差关系，得，再代入，化简即可作答． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，分别平分，，，， ∴ ， 故答案为：． 8．（25-26七年级上·全国·假期作业）如图，直线平分，平分的外角，则与、的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角性质，角平分线，掌握相关知识是解决问题的关键．作的平分线与的延长线交于点N，与交于点M，与交于点Q，根据角平分线的定义证明，再用、表示出，最后由三角形外角的性质得出，即可求解． 【详解】解：如图，作的平分线与的延长线交于点N，与交于点M，与交于点Q， ∵平分，平分，平分， ∴，，， ∵， ∴． ∵， ， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 则与、的数量关系为． 故答案为：． 9．（25-26七年级上·全国·假期作业）如图，在中，，分别平分，，且，交于点O，为外角的平分线，交的延长线于点E．已知，则的度数为 ． 【答案】/115度 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的外角，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键． 根据角平分线的定义可得，进而得到，再利用的外角即可解答． 【详解】解：∵平分， ， ∵为外角的平分线， ， ， ， ， 又， ， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·河北衡水·期末）如图，已知，的平分线相交于点，过点且． （1）若，，则 ； （2）若，，则 ． 【答案】 /125度 /20度 【分析】本题主要考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，平行线的性质等知识的综合运用． （1）由角平分线的定义可求解，，再利用三角形的内角和定理可求解； （2）由已知条件易求，的度数，根据平行线的性质即可得，的度数，利用角平分线的定义可求解． 【详解】解：（1）和的平分线与相交于点， 所以，， 又，， ，， ， 故答案为：； （2）， ， ， ，， ， ，， 和的平分线与相交于点， ，． ． 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值(用含的度数来表示)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用； （1）利用三角形的内角和定理求解； （2）由（1）的结论可知 【详解】（1）解：，． ，即， ∴． ． （2）由（1）可知，， ． 12．（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，在中，，平分交于点D，P是上一点（不与点D重合），过点P作于点E． (1)如图1，当，且点P与点A重合时，求的度数； (2)如图2，当是锐角三角形，且点P与点A不重合时，过点A作于点F，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的有关计算，三角形外角的定义以及直角三角形的两个锐角互余等知识． （1）由已知条件得出，由三角形内角和定理得出，由角平分线的定义得出，由三角形外角的定义和性质得出，再由直角三角形的两个锐角互余即可得出． （2）根据题意可知，进而可得出，，，根据三角形外角的定义可知，平行线的性质可得，根据角平分线的定义得出，进而可得出答案． 【详解】（1）解：， ， ， AD平分， ， ， ， ， ． （2）解：，， ， ，，， ∴，， ∵平分， ， ∴， ． 13．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图1，平分，平分，且、交于点． (1)求证：； (2)如图2，若、是两外角的平分线且交于点，则与的关系是_____． (3)如图3，若、是和的平分线且交于点，则与的关系是_____． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查的是三角形外角的性质，在解答此类问题时往往用到三角形的内角和是这一隐藏条件． （1）根据解答即可； （2）由于、是两外角的平分线，故，，由三角形外角的性质可知，，，由角平分线的定义可知，，，根据三角形定理可知，故可得出，再由即可得出结论． （3）由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得，；由角平分线的性质，得，，利用等量代换，即可求得与的关系； 【详解】（1）证明：、是两内角的平分线且交于点， ， ， 即 （2）如图， 、是两外角的平分线， ，， 而，， ，． ， ，即． ， ． （3）如图   ， ． 又， ． 平分， ， ， ． 14．（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）在中，已知的等分线与的等分线相交于点，试猜想：与的数量关系．（且为整数） (1)如图1，当时，探究与的数量关系； (2)如图2，当时，与的数量关系：________； (3)如图3，猜想与的数量关系：________．（用含的式子表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是三角形内角和定理． （1）当时，用表示出的度数，再由三角形内角和定理即可得出的度数； （2）当时，用表示出的度数，再由三角形内角和定理即可得出的度数； （3）根据与的结论可得出猜想． 【详解】（1）解：∵当时，， ∴； （2）解：∵当时，， ∴； 故答案为：； （3）解：由可知，． 故答案为：． 15．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图1，已知两点同时从点出发，点沿射线运动，点沿射线运动．如图2，点为三条内角平分线的交点，连接． (1)当时，求的度数； (2)在点A，B的运动过程中，的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由； (3)如图3，连接并延长，与的邻补角的平分线交于点．在中，如果有一个角是另一个角的2倍，请求出的度数． 【答案】(1) (2)不变， (3)为或 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，三角形角平分线，解题的关键是掌握三角形内角和定理，三角形外角的性质． （1）先根据三角形的内角和定理求出的角度，再根据角的定义平分线得到，，最后根据三角形内角和定理即可解答； （2）根据三角形的内角和求出，根据角平分线定义得出，最后根据三角形内角和定理即可解答； （3）设，根据题意，表示出的三个内角，分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：点为三条内角平分线的交点， ， ， ， ； （2）解：不变，理由如下： 点为三条内角平分线的交点， ， ； （3）解：设， 是的平分线， ， 点为三条内角平分线的交点， 在中有一个角是另一个角的2倍， 若，则，解得， ； 若，则，解得， ； 若，则，解得， 若，则，解得（舍去）； 在中有一个角是另一个角的2倍时，为或． 16．（25-26八年级上·吉林·月考）（1）【探究发现】如图①，在中，点P是内角和外角的平分线的交点． ①若，求的度数： ②试猜想与之间的数量关系，并直接写出结论（不需证明）： （2）【迁移拓展】如图②，在中，点P是内角和外角的n等分线的交点，即，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）【应用创新】如图③，相交于点C，的平分线交于点P，若，，则________度． 【答案】（1）①，②；（2），理由见解析；（3）38 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角定理等知识． （1）①根据角平分线定义得到，根据三角形外角定理和角的代换即可求出； ②根据角平分线定义得到，根据三角形外角定理和角的代换即可证明； （2）根据三角形外角性质和角的代换即可证明； （3）根据（1）②分别求出，，即可求出． 【详解】解：（1）①∵P是内角和外角的平分线的交点， ∴， ∵是外角，是外角， ∴； ②∵P是内角和外角的平分线的交点， ∴， ∵是外角，是外角， ∴； （2）． 证明：∵是外角，是外角， ∴； （3）∵P是内角和外角的平分线的交点， ∴由（1）②得； ∵P是内角和外角的平分线的交点， ∴由（1）②得； ∴． 故答案为：． 17．（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）如图1，在中，的平分线与的外角的平分线相交于点． (1)判断与的数量关系，并加以证明； (2)如图与的平分线交于点，得与的平分线相交于点，得与的平分线相交于点，得，直接写出与的关系____________ (3)如图2，若，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了三角形外角的性质以及角平分线的性质，解题的关键是利用三角形外角与内角的关系，结合角平分线的性质进行角度推导． （1）利用三角形外角的性质，结合角平分线的定义，推导与的数量关系； （2）根据（1）的结论，以及证明，找出规律，推导与的关系； （3）利用（2）中得出的角的关系，结合三角形内角和定理，求出的度数． 【详解】（1）（1）； 证明：在中，， 在中，， ∵的平分线与的平分线相交于点， ∴， ∴， 即， ∴； （2）在中，， 在中，， ∵的平分线与的平分线相交于点， ， ， 即， 又 ， 同理，，…… （3）解：由（2）知道，， ， 在， ， ， 答：的度数是． 18．（25-26八年级上·山西朔州·月考）综合与实践 在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验． 【结论发现】 三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三个内角度数的一半． 【结论证明】 （1）如图1，在中，E是内角的平分线与外角的平分线的交点，则有，请给出证明过程． 请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】 （2）如图2，在中，，延长至点G，延长至点H．若，的平分线与的平分线及其反向延长线交于点E，F，求的度数． 【变式拓展】 （3）如图3，四边形的内角与外角的平分线交于点F．若，，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形外角的性质，是解题关键． （1）根据三角形外角的性质及角平分线的定义，即可得到答案； （2）先推导出，再推导出，进而可以求解； （3）延长，交于点G，可得，即可求解． 【详解】解：（1）∵E是内角的平分线与外角的平分线的交点， ． ， ， ， 即． （2），，的平分线与的平分线及其反向延长线交于点E，F， 由（1）可知，， ， ． （3）如图，延长，交于点G． ，， ，， ． 四边形的内角与外角的平分线交于点F， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $