2.1.2垂线 课件 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

北师大版数学7年级下册培优精做课件 2.1.2垂线 第二章 相交线与平行线 授课教师： Home . 班 级： 7年级（*）班 . 时 间： . 2026年2月25日 2026年2月25日星期三3时52分3秒 2026年2月25日星期三3时52分4秒 学习目标 1.了解垂线的有关概念、性质及画法，了解点到直线的距离的概念. 2.能够运用垂线的有关性质进行运算，并解决实际问题. 问题 在我们的身边随处可见“直线”的形象，其中有一些直线之间还具有特殊的位置关系，观察下面三幅图片，你能找出其中相交的直线吗?它们有什么特殊的位置关系? 问题引入，自主探究 探究点1：垂直、垂线、垂足的概念 取两根木条 a、b，将它们钉在一起，固定木条 a ，转动木条 b，a、b 所成的夹角 α 。 a b α 转动木条的同时观察其夹角的变化。 α α α α b b b b 垂线教学课件幻灯片（教学过程部分） 幻灯片1：复习导入（核心：唤醒旧知，激发探究） 1. 回顾概念：提问“什么样的两条直线互相垂直？”引导学生回答“相交成直角的两条直线互相垂直”，出示水平、斜向两组垂直图示，强调“直角”是核心，打破“竖直才垂直”的误区。 2. 情境设问：在黑板直线上标一点A、直线外标一点B，提问“如何从A或B出发画一条直线与已知直线垂直？”引出课题——画垂线。 幻灯片2：探究新知一（核心：过直线上一点画垂线） 1. 尝试操作：学生用三角尺、直尺自主尝试，教师巡视观察学情。 2. 示范讲解：分步演示“放（三角尺一条直角边与直线重合）→移（直角顶点与点A重合）→画（沿另一条直角边画直线）→标（标注垂直符号⊥）”，板书关键步骤。 3. 模仿练习：学生同步操作，教师针对性指导。 幻灯片3：探究新知二（核心：过直线外一点画垂线） 1. 迁移类推：提问“与过直线上一点画图有何异同？”引导学生自主尝试。 2. 重点突破：演示“移”的关键——使三角尺另一条直角边经过点B，强调与上一方法的差异。 3. 规律总结：引导学生发现“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，齐读强化记忆。 幻灯片4：巩固深化（核心：强化应用） 1. 基础练习：给出两组图形，分别过直线上、外一点画垂线。 2. 拓展判断：展示若干相交直线，判断是否垂直并说明理由。 3. 生活联结：找一找教室中的垂线，感受数学与生活的联系。 幻灯片5：课堂小结（核心：梳理回顾） 1. 回顾重点：画垂线的规范步骤、关键要领。 2. 总结收获：强调“重合”的重要性及垂线的性质，梳理知识脉络。 a 与 b 垂直 (1)当 ∠α 分别为 35°、90° 时，其余的角分别是多少？ a b α (2)当 ∠α 为 90° 的位置关系有几个？ 此时，木条 a 和木条 b 所在的直线有什么样的位置关系？ a α b 唯一一个 35° 145° 145° 35° 90° 90° 90° 90° 表示方法： 两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线。 概念引入 它们的交点叫作垂足(如图O点) C D A B O ① 如图① 记作：AB⊥CD 如图② 记作：l ⊥ m O ② l m 6 生活中我们还在哪些地方见过这样的垂线呢？ 窗户 黑板 墙角 栏杆 返回 1．如图，直线AB与CD相交于点O.下列说法不正确的是(　　) A．若∠AOC＝90°，则AB⊥CD B．若AB⊥CD，垂足为O，则∠BOD＝90° C．当∠COB＝90°时，称直线AB与直线CD互相垂直 D．AB与CD相交于点O，点O为垂足 D 中考考法 8 2．利用三角尺，过直线l外的点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是(　　) C 返回 中考考法 9 探究点2：垂直的判定与性质 如图，O为直线AB上一点。 (1)如果∠AOC=∠BOC，那么OC与AB垂直吗？为什么？ A B C O 由∠AOC=∠ BOC，且∠AOC+∠ BOC=180°， 可得∠AOC =∠ BOC = 90°，所以 OC⊥AB。 (2)以下是小颖的思考过程，她的想法正确吗？你知道她每一步的依据吗？与同伴进行交流。 (3)如果OC⊥AB，那么∠AOC=∠BOC吗？为什么？与同伴进行交流。 所以 OC⊥ AB 可得∠AOC =∠BOC=90° 且∠AOC+∠BOC=180° 由∠AOC =∠BOC， (已知条件) (补角的性质) (角的数量关系) (垂直的定义) (3)因为 OC⊥AB (已知) 所以 ∠AOC=∠BOC=90° 垂直的性质： 因为 AB⊥OC(已知) ， 所以∠AOC = 90°(垂直的定义) 垂直的判定： 因为∠AOC ＝ 90°(已知)， 所以 AB⊥OC (垂直的定义) A B C O 11 3．在跳远比赛中，某同学从点C处起跳后，在沙池留下的脚印如图所示，测量线段AB的长度作为他此次跳远成绩(最近着地点到起跳线的最短距离)，依据的数学原理是(　　) A．垂线段最短　 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短　 D．以上都不对 返回 A 中考考法 12 4. 如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角β为54°.若使光能利用率最高，则集热板与水平面夹角α的度数是(　　) A．26°　 B．30°　 C．36°　 D．54° C 返回 中考考法 13 问题1：你能用折叠的方法折出互相垂直的直线吗？试试看！ 探究点3：垂线的画法及性质 问题2：如果只用直尺，你能画出方格纸上已知直线的垂线吗？你还能再画出两条互相垂直的直线吗？ 问题3：根据下图要求你能用量角器作已知直线的垂线吗？ 点 A 在直线 l 上 A 点 A 在直线 l 外 A l l 问题4：根据题中要求作直线的垂线。 (1)如图，你能用三角尺画已知直线 l 的垂线，这样的垂线能画出几条? (2)如图，点A在直线l上，你能用三角尺过点A画直线l的垂线吗？你能画出多少条？ (3)如图，如果点B在直线 l 外呢？你是怎样做的？与同伴进行交流 A B m O 无数条 l 问题4：根据题中要求作直线的垂线。 (1)如图，你能用三角尺画已知直线 l 的垂线，这样的垂线能画出几条? (2)如图，点A在直线l上，你能用三角尺过点A画直线l的垂线吗？你能画出多少条？ A B m O 无数条 l1 一条 l (3)如图，如果点B在直线 l 外呢？你是怎样做的？与同伴进行交流 问题4：根据题中要求作直线的垂线。 (1)如图，你能用三角尺画已知直线 l 的垂线，这样的垂线能画出几条? (2)如图，点A在直线l上，你能用三角尺过点A画直线l的垂线吗？你能画出多少条？ A B m O 无数条 l1 一条 一条 l (3)如图，如果点B在直线 l 外呢？你是怎样做的？与同伴进行交流 (4)如图，点P是直线l外一点，PO⊥l，点O是垂足。点A，B，C在直线l上，比较线段PO，PA，PB，PC的长短，你发现了什么？ P A B C O l 线段PO 的长度最短 20 5．如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，则下列说法：①AB与AC互相垂直；②AD与AC互相垂直；③点C到AB的垂线段是线段AB；④点A到BC的距离是线段AD的长度；⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；⑥线段AB是点B到AC的距离．其中正确的有(　　) A．2个　　 B．3个　 C．4个 D．5个 返回 B 中考考法 21 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。 P A B O l C 线段 PO 的长度叫作点P到直线l的距离。 垂线、垂线段和点到直线的距离这三个概念的区别与联系 垂线 垂线段 点到直线的距离 图示 区别 联系 垂线是一条直线 垂线段是一条线段 垂线段的长度，是一个数量 它们都与垂直有关 l P O l P O l P O 返回 6．如图所示，若BO⊥OA，CO⊥OA，则直线OB与OC_______，其理由是___________________________ _________________________. 重合 在同一平面内，过一点有且只 有一条直线与已知直线垂直 中考考法 24 7. 作图并回答： (1)如图，点P在∠AOB的边OA上． ①过点P作OA的垂线交OB于点C. ②作点P到OB的垂线段PM. 【解】①如图所示，PC即为所求． ②如图所示，PM即为所求． 中考考法 25 (2)上述作图中，线段________的长度表示点P到OB的距离； (3)线段PM，PC与OC的大小关系是____________(用“<”连接)，判断依据是_________________________________ ___________________. PM 返回 PM<PC<OC 直线外一点与直线上各点连接的所有 线段中，垂线段最短 中考考法 26 8．如图，A点表示一个村庄，MN表示一条河道．某测绘队在河道MN上选一点P，测量∠APN的度数与线段AP的长度如下表所示： ∠APN的度数 52.3° 69.3° 88.8° 93.5° 105.8° 117.8° AP的长度/m 693 587 549 550 570 620 中考考法 27 则下面说法正确的是(　　) A．村庄A到河道MN的距离等于549 m B．村庄A到河道MN的距离小于549 m C．村庄A到河道MN的距离大于549 m D．村庄A到河道MN的距离等于550 m 中考考法 28 返回 【点拨】当 AP⊥MN时，AP的长为村庄A到河道MN的距离．因为90°＞88.8°，所以村庄A到河道MN的距离小于549 m．故选B. 【答案】B 中考考法 9．[2025嘉兴月考]如图，一副三角尺的两个直角顶点C，F叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°，三角尺ABC不动，三角尺DEF可绕点C旋转，有下列结论：①∠BCE＋∠ACD随∠ACD的变化而变化；②当∠BCE＝3∠ACD时，DE一定垂直于AC. 下列说法正确的是(　　) A．①正确，②正确 B．①错误，②正确 C．①正确，②错误 D．①错误，②错误 中考考法 30 【点拨】①如图①，因为∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝90°＋∠ACE，所以∠BCE＋∠ACD＝90°＋∠ACE＋∠ACD＝90°＋90°＝180°.如图②，∠BCE＋∠ACD＝360°－∠ACB－∠DCE＝360°－90°－90°＝180°.综上，∠BCE＋∠ACD＝180°， 是定值，故①错误． 中考考法 ②设∠ACD＝α，则∠BCE＝3α.如图①，因为 ∠BCD＋∠ACE＝∠BCE－∠ACD，　 所以∠BCD＋∠ACE＝3α－α＝2α.因为∠BCD＝90°－∠ACD＝∠ACE，所以∠BCD＝∠ACE＝α＝∠ACD，所以∠ACD＝45°＝∠D，所以易得DE⊥AC. 中考考法 返回 如图②，由①得∠BCE＋∠ACD＝180°，　 所以3α＋α＝180°，解得α＝45°，即∠ACD＝45°. 又因为∠D＝45°，所以∠ACD＝∠D， 所以AC∥DE.此时DE不垂直于AC， 故②错误．故选D. 【答案】D 中考考法 10. 已知∠AOB＝35°，以O为顶点作射线OC，OD.若∠AOC＝2∠AOB，OD⊥OB，则∠COD的度数为____________________． 15°，55°，125°或165° 中考考法 34 11．如图，一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的两所学校． 中考考法 35 (1)汽车在公路上行驶时，会对两所学校教学都造成影响，当汽车行驶到何处时，分别对这两所学校的影响最大？请在图上标出来． 【解】如图，过点M作ME⊥AB，垂足为E，过点N作NF⊥AB，垂足为F.则当汽车行驶到E处时，对M学校影响最大；当汽车行驶到F处时，对N学校影响最大． 中考考法 36 (2)当汽车由A向B行驶时，在哪一段上对两学校影响越来越大？在哪一段上对两学校影响越来越小？在哪一段上对M学校影响逐渐减小而对N学校影响逐渐增大？ 【解】当汽车由A向E行驶时，对两学校影响越来越大；当汽车由F向B行驶时，对两学校影响越来越小；当汽车由E向F行驶时，对M学校影响逐渐减小而对N学校影响逐渐增大． 返回 中考考法 37 线 平 行 线 相 交 线 两条 直线 相交 一般情况 补角 对顶角 相交成直角 垂直 位置 关系 余角 点到直线的距离 两条直线被第三条所截 同位角、内错角、同旁内角 概念 两直线平行的条件 两直线平行的性质 概念 性质 概念 性质 概念 性质 两个角有公共点，它们的两边互为反向延长线。 对顶角相等 两个角的和为180°，称两个角互补。 同角(或等角)的补角相等 两个角的和为90°，称两个角互余。 同角(或等角)的余角相等 概念 性质 两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直。 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离 课堂小结 $