专题09 一元一次不等式的解法及应用的七类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版七年级下册

专题09 一元一次不等式的解法及应用的七类综合题型 目录 典例详解 类型一、不等式的基本性质 类型二、利用一元一次不等式的定义求参数的值 类型三、求一元一次不等式的解集并在数轴上表示不等式的解集 类型四、一元一次不等式求解中错解复原问题 类型五、求一元一次不等式的整数解 类型六、解|x|≥a型的不等式 类型七、用一元一次不等式解决实际问题 压轴专练 类型一、不等式的基本性质 方法总结 1. 三条性质：①加减同数不等号不变；②乘除正数不等号不变；③乘除负数不等号反向。 2. 传递对称：若a>b且b>c则a>c；若a>b则b<a（对称性）。 解题技巧 1. 特值验证：对不等式变形有疑虑时，代入±1、0等特殊数值快速验证方向。 2. 避免漏乘：乘除含字母代数式时，务必先判断其正负，否则须分类讨论。 例1．（25-26八年级上·浙江金华·期末）若，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的基本性质，关键是熟练掌握不等式的三条基本性质，注意在乘除负数时不等号方向改变，同时要考虑除数不能为0的情况． 【详解】（1）解：对于选项A：，不等式两边同乘，不等号方向改变， ∴，故A错误； 对于选项B：，不等式两边同减，不等号方向不变， ∴，故B错误； 对于选项C：当时，，不等式两边同除以负数，不等号方向改变，得； 当时，，不等式两边同除以正数，不等号方向不变，得； 当时，式子无意义，故C不一定成立； 对于选项D：，不等式两边同除以3，不等号方向不变，得； 再两边同加，不等号方向不变，得，故D正确． 故选：D． 【变式1-1】（25-26七年级上·北京朝阳·期末）下列推理错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质和不等式的性质，利用等式的性质和不等式的性质判断推理的正确性即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、若，则，符合等式对称性，正确，不符合题意； 、若，则，但当时，恒成立，与不一定相等，推理错误，符合题意； 、若，则，因为正数加任何数大于原数，正确，不符合题意； 、若，则，因为等式两边平方相等，正确，不符合题意； 故选：． 【变式1-2】（25-26八年级上·浙江嘉兴·月考）已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， A、∵，∴，故此选项错误，不符合题意； B、∵ ，∴，∴，故此选项错误，不符合题意； C、∵，当时，，∴；当时，；∴，故此选项正确，符合题意； D、当时，分母无意义，故此选项错误，不符合题意． 故选：C． 【变式1-3】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列不等式变形正确的是（   ） A．由，得 B．由，，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】依据不等式的基本性质，对每个选项逐一进行分析判断，重点关注不等号方向是否正确． 【详解】解：A、由，根据不等式的对称性，不等号方向应相反，得，而不是，不符合题意； B、由，，根据不等式的传递性，得，而不是，不符合题意； C、由，根据不等式的对称性，应得到，不符合题意； D、根据不等式的对称性，由可得，故该变形正确，符合题意． 故选：D． 类型二、利用一元一次不等式的定义求参数的值 方法总结 1. 紧扣定义：一元一次不等式必须满足：①含一个未知数；②未知数次数为1；③是整式不等式。 2. 列式求解：根据未知数指数为1且系数不为0，列出关于参数的方程与不等式求解。 解题技巧 1. 系数非零：含未知数项的系数（含参数）必须满足不等于0，此为易忽略条件。 2. 化简先行：若不等式含分母或括号，先化为最简形式，再对照定义列条件。 例2．（24-25八年级下·全国·月考）已知是关于x的一元一次不等式，则k的值是（　　） A．3 B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为1次”这一条件；还要注意，未知数的系数不能是0．根据一元一次不等式的定义，且，分别进行求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且， 解得， 故选：A． 【变式2-1】（24-25七年级下·辽宁营口·期末）若是关于x的一元一次不等式，则m的值为（   ） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【分析】根据一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义得到，求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴， ∴． 故选：A 【变式2-2】（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次不等式的定义，解题关键是根据一元一次不等式的 “未知数次数为 1 且系数不为 0” 这两个条件列方程与不等式求解． 根据一元一次不等式的定义，未知数 的次数必须为 1，且系数不为零得到关于的方程求解即可． 【详解】∵ 不等式是关于 x 的一元一次不等式， ∴ x 的指数 ，且系数 ， 解 ，得 ，即 或 ， 又 ∵ ，即 ， ∴． 故选A． 【变式2-3】（24-25八年级下·宁夏银川·期中）若是关于 x的一元一次不等式，则 m的值为（   ） A． B．1 C． D．0 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键．利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值． 【详解】解：依题意得：且， 解得． 故选：B． 类型三、求一元一次不等式的解集并在数轴上表示不等式的解集 方法总结 1. 求解步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，注意乘除负数要变号。 2. 数轴表示：画数轴，定界点（空心表不含等，实心表含等），定方向（大于向右，小于向左）。 解题技巧 1. 系数化1必判号：最后一步系数化为1时，先观察系数正负，确定不等号是否反向。 2. 界点标注清晰：在数轴上先用圆圈或圆点标清界点，再沿方向画线，避免符号混淆。 例3．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）解下列一元一次不等式． (1)； (2)，并把解集表示在数轴上． 【答案】(1) (2)，数轴见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． （1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得； （2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【详解】（1）解：， ， ， ， 则； （2）解：， ， ， ， ， 则， 将不等式的解集表示在数轴上如下： 【变式3-1】（25-26八年级上·陕西西安·月考）解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】(1) 按照解不等式的基本步骤解答即可． (2) 按照解不等式的基本步骤解答即可． 本题考查了解不等式，熟练掌握解题的基本步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：， 去括号，得 移项，得 合并同类项，得， 系数化为1，得， 数轴表示如下： （2）解：， 去分母，得： 去括号，得 移项，得 合并同类项， 两边同时除以，得， 数轴表示如下： 【变式3-2】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）解下列不等式，并将它们的解集表示在数轴上． (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集． （1）移项合并，将x系数化为1，求出解集，将解集表示在数轴上即可； （2）去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，求出解集，将解集表示在数轴上即可． 【详解】（1）解： 移项得： 系数化为1得：． 在数轴上表示如图： （2）解： 去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得：． 在数轴上表示如图： 【变式3-3】（25-26八年级上·山东潍坊·月考）（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． （2）解不等式，并把解集在数轴上表示出来，再求出这个不等式的最小整数解． 【答案】（1），图见解析 （2），最小整数解为，图见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． （1）通过去分母、移项、合并同类项、系数化为1解不等式，得到解集后在数轴上表示即可； （2）先通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解不等式，得到解集后在数轴上表示，再找出最小整数解即可． 【详解】解：（1）， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 数轴表示如下： （2）， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 数轴表示如下： 则这个不等式的最小整数解为． 类型四、一元一次不等式求解中错解复原问题 方法总结 1. 对照错因：将错误解集与正确步骤对比，定位哪一步（去分母漏乘、移项忘变号、系数化1忘反向）出错。 2. 还原修正：根据错误发生的位置，按不等式性质反向推导，恢复正确系数与不等号方向。 解题技巧 1. 代入检验：将错解中某值代入原不等式，快速判断不等号方向是否矛盾。 2. 特值定位：取错解边界值与正确解边界值分别代入变形过程，对比找出系数符号错误点。 例4．（24-25七年级下·全国·课后作业）下面是小明同学解不等式的过程． 解不等式：． 解：去分母，得，第一步 去括号，得，第二步 移项，得，第三步 合并同类项，得，第四步 系数化为1，得．第五步 (1)以上解题过程从第________步开始出现错误． (2)请写出该不等式的正确的解答过程． 【答案】(1)三 (2)见解析 【分析】（1）观察小明解题过程，找出错误的步骤即可； （2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把的系数化为1即可． 【详解】（1）解：以上解题过程从第三步开始出现错误，移项时没有变号． 故答案为：三． （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式4-1】（25-26八年级上·浙江·期中）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并解答． 解：．第①步 ．第②步 ．第③步 ．第④步 ．第⑤步 (1)第______步开始出现错误． (2)请给出正确解答． 【答案】(1)⑤ (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握一元一次不等式的求解方法是解题关键．（1）第⑤步开始出现错误，错误的原因是：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向没有改变；（2）求出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：第⑤步开始出现错误，错误的原因是：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向没有改变， 故答案为：⑤； （2）解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化成1，得． 【变式4-2】（25-26八年级上·浙江舟山·期中）下面是某同学解不等式 的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得．第一步 移项，得．第二步 合并同类项，得，第三步 系数化成，得，第四步 根据以上材料，解答下列问题： (1)第一步去分母的依据是______； (2)在解答过程中，从第______步开始出错，错误原因是______； (3)原不等式的正确解集为______． 【答案】(1)不等式的基本性质； (2)四；不等号的方向没有改变； (3)． 【分析】本题考查了解不等式，不等式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （）根据不等式基本性质即可求解； （）根据不等式基本性质即可求解； （）根据不等式解法即可求解． 【详解】（1）解：第一步去分母的依据是不等式的基本性质， 故答案为：不等式的基本性质； （2）解：在解答过程中，从第四步开始出错，错误原因是不等号的方向没有改变， 故答案为：四，不等号的方向没有改变； （3）解：去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成，得， 故答案为：． 【变式4-3】（2025九年级下·全国·专题练习）下面是小颖同学解一元一次不等式的解答过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：，第一步 ，第二步 ，第三步 ．第四步 (1)任务一：①以上运算步骤中，第______步是去分母，去分母的依据是_______________________________； ②第______步开始出现错误． (2)任务二：请直接写出正确的计算结果； (3)任务三：请你根据平时的学习经验，就解一元一次不等式给其他同学提一条建议． 【答案】(1)①一，不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变②二 (2) (3)去分母时，不要漏乘不含分母的项；（答案不唯一，合理即可） 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，掌握不等式的基本性质以及去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤规范是解题的关键． （1）一元一次不等式的去分母步骤，其理论依据是不等式的基本性质，对每一步的运算进行规则校验，尤其是去括号的“符号法则” ； （2）本题依据一元一次不等式的完整解法流程（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为），每一步严格遵循不等式基本性质和运算规则； （3）根据解一元一次不等式的常见易错点，如：去分母漏乘、去括号符号错误、系数化为时不等号方向忘记改变等，给出适当的建议． 【详解】（1）解：由解题过程可以看出，第一步是去分母，去分母的依据是不等式基本性质：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 故答案为：一，不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；二． （2）解：， 去分母：， 去括号：， 合并同类项：， 移项：， 系数化为：． （3）解：解一元一次不等式时，要注意每一步的运算细节，尤其是去分母时各项都要乘最小公倍数，不要漏乘不含分母的项，去括号时的符号变化，以及系数化为时不等号方向是否改变，以上均是解一元一次不等式易出错的地方，可以选择任意一条作为给同学的建议． 类型五、求一元一次不等式的整数解 方法总结 1. 先求范围：准确求解一元一次不等式，得到未知数的取值范围。 2. 再取整数：在解集范围内找出满足条件的整数（正整数、负整数或非负整数等）。 解题技巧 1. 界点确认：看清解集中是否包含端点值（≥或≤含等号，>或<不含等号），决定整数是否取到。 2. 数轴辅助：在数轴上标出解集，直观观察范围内的所有整数，避免遗漏。 例5．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）写出一个满足不等式的正整数解是 ． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了求一元一次不等式的整数解，解题关键是正确解一元一次不等式． 先求解不等式，得到解集后找出满足条件的正整数． 【详解】解：： 移项，得， 即， 两边同时除以2得， 即． 因此，正整数解为1、2， 故答案为：1（答案不唯一）． 【变式5-1】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于的不等式的最大正整数解是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解答此题要先求出不等式的解集，再确定正整数解． 先求出不等式的解集，在取值范围内可以找到最大正整数解． 【详解】解：解不等式 ， 移项，得：， 两边同时除以 ，不等号方向改变，得：， 因此，不等式的解集为 ， 最大正整数解为：2， 故答案为：2． 【变式5-2】（24-25八年级下·上海·期末）不等式的正整数解是 ． 【答案】1和2/2和1 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的整数解，掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键． 先根据去分母、移项、合并同类项的步骤求出不等式的解集，进而确定正整数解即可． 【详解】解： ， 所以该不等式的正整数解为：1和2． 故答案为：1和2． 【变式5-3】（25-26八年级上·黑龙江大庆·月考）若关于x的不等式只有3个正整数解，则a的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式的解，熟练掌握解不等式是解题的关键，解不等式，得到，再由不等式只有3个正整数解，从而得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵不等式只有3个正整数解， ∴， 故答案为：． 类型六、解|x|≥a型的不等式 方法总结 1. 几何意义：|x| ≥a 表示数轴上x到原点的距离大于等于a。 2. 代数转化：当a > 0时，解集为x≤ -a 或 x ≥a；当a = 0时，解集为全体实数；当a < 0时，解集为全体实数。 解题技巧 1. 先判a正负：不要直接套用“x ≤ -a\) 或x ≥a”，必须先判断a的正负情况。 2. 数轴辅助：画出数轴，标出-a和a两点，直观确定“两边跑”的范围。 例6．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）请阅读下面求含绝对值的不等式和的解集过程． 对于含绝对值的不等式，从图1的数轴上看：大于而小于3的数的绝对值小于3，所以的解集为；对于含绝对值的不等式，从图2的数轴上看：小于或大于3的数的绝对值大于3，所以的解集为或．     (1)求含绝对值的不等式的解集； (2)已知含绝对值的不等式的解集为，求a，b的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，绝对值的几何意义，解二元一次方程组，解题的关键是掌握绝对值的几何意义及解一元一次不等式的能力． （1）依据题意，由绝对值的几何意义即可得出答案； （2）依据题意，由知，据此得出，再结合可得出关于、的方程组，解之即可求出、的值，从而得出答案． 【详解】（1）解：对于含绝对值的不等式， 从如图的数轴上看：小于或大于2的数的绝对值大于2， 所以的解集为或． 根据绝对值的定义得：或； （2）解：由题意， ， ， ， 解集为， ， ． 【变式6-1】（24-25七年级下·江苏盐城·月考）先阅读，再完成练习． 一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． ，x表示到原点的距离小于3的数，从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数，它们到原点的距离小于3，所以的解集是； ，x表示到原点的距离大于3的数，从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数，它们到原点的距离大于3，所以的解集是或． 解答下面的问题： (1)解不等式． (2)解不等式． (3)直接写出不等式的解集： ． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义、解不等式等知识点，从材料中得到解题方法是解题的关键． （1）把当做一个整体，然后利用阅读求出的取值范围，进而确定x的取值范围即可； （2）把当做一个整体，然后利用阅读求出的取值范围，进而确定x的取值范围即可； （3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：， ∴或， ∴或． （3）解：在数轴上找出的解． 由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值． ∵在数轴上1和对应的点的距离为3， ∴满足方程的x对应的点在1的右边或的左边． 若x对应的点在1的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得， ∴方程的解是或， ∴不等式的解集为． 故答案为． 【变式6-2】（24-25八年级下·江西南昌·期末）如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式．数轴是一个工具，它能很好地帮助我们解决这个问题． 例如求和的解集问题，就可以利用数轴来探究：根据绝对值的意义， ∵ ∴的解集为， ∵ ∴解集为或． 根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)或； (2)； (3)或． 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，绝对值以及不等式的定义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法，理解绝对值、不等式的定义是正确解答的关键． （1）根据题目所提供的数轴解法进行解答即可； （2）根据题目所提供的数轴解法进行解答即可； （3）根据所表示的意义，用数轴表示，进而得出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：不等式的解集为或， 故答案为：或； （2）解：不等式的解集为， 解得； （3）解：所表示的意义为：数轴上表示数x的点，到表示数2，的点的距离之和大于7， 由数轴可知， 所以不等式的解集为或． 【变式6-3】（24-25七年级下·福建漳州·期中）【阅读材料】 我们知道，一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离，例如表示数轴上表示这个数的点到原点的距离，那么式子可理解为：数轴上表示这个数的点到表示1这个数的点的距离，于是解不等式则是要在数轴上找出到1的距离小于或等于2的所有点，观察数轴可以看出，在数轴上到1的距离小于或等于2的点对应的数都在和3之间（包含和3两个点），这样我们就可以得到不等式的解集为． 【解决问题】 参考阅读材料，借助数轴，解答下列问题： (1)不等式的解集为___________． (2)求不等式的解集． (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了绝对值、数轴与不等式． （1）根据绝对值的意义及数轴求解； （2）根据绝对值的意义及数轴求解； （3）先把不等式变形，再根据绝对值的意义及数轴求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：法①：在数轴上到2的距离大于或等于3的点对应的数小于或等于或者大于或等于5， 不等式的解集为或； 法②：不等式可化为或， 解得：或； 不等式的解集为或； （3）解：不等式可化为， ， 所以原不等式的解集为：． 类型七、用一元一次不等式解决实际问题 方法总结 1. 建模列式：设未知数，抓关键词（至少、最多、不超过等）确定不等号方向，列一元一次不等式。 2. 解验作答：求解集，结合实际意义（人数、件数为非负整数等）确定最终答案并作答。 解题技巧 1. 关键词对应：“不小于”对应“≥”，“超过”对应“>”，“不足”对应“<”，准确翻译不等关系。 2. 双重检验：解集求出后，既要检验是否满足不等式，也要检验是否符合实际背景（如取整、范围）。 例7．（25-26八年级上·山东菏泽·月考）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某商家购进甲、乙两款玩偶进行销售，甲款玩偶的进货单价为70元，乙款玩偶的进货单价为40元，该商家购进甲、乙两款玩偶共100件，若每件甲款玩偶的售价为110元，每件乙款玩偶的售价为70元，且销售完这100件玩偶所获得的利润不低于3700元，则商家最少需购进甲款玩偶多少件？ 【答案】70 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，熟练掌握根据不等关系列不等式并求解是解题的关键．设购进甲款玩偶的数量为未知数，根据总利润=甲款利润+乙款利润，结合利润不低于3700元的条件，列不等式求解． 【详解】解：设商家购进甲款玩偶件，则购进乙款玩偶件．由题意可得 ， ， ， ， ， ， 答：商家最少需购进甲款玩偶件． 【变式7-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）2025年5月24日至26日，第四届湖南旅游发展大会在岳阳市举行，此次大会的吉祥物为“岳小楼”和“江小豚”．某玩具店看准商机，购进了一批“岳小楼”和“江小豚”的玩偶．已知购进2个“岳小楼”玩偶和3个“江小豚”玩偶共需85元，购进1个“岳小楼”玩偶和2个“江小豚”玩偶共需50元． (1)每个“岳小楼”和“江小豚”玩偶的进价分别是多少元？ (2)该玩具店计划购进两种玩偶共100个，且每个“岳小楼”玩偶的售价为40元，每个“江小豚”玩偶的售价为30元．若将所有玩偶全部售出，且利润不得低于1600元，则至少需要购进多少个“岳小楼”玩偶？ 【答案】(1)每个“岳小楼”玩偶的进价是20元，每个“江小豚”玩偶的进价是15元 (2)20个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是掌握相关知识． （1）设每个“岳小楼”玩偶的进价是元，每个“江小豚”玩偶的进价是元，根据题意列方程即可求解； （2）设需要购进个“岳小楼”玩偶，根据单个利润售价进价，总利润单个利润销售量，将所有玩偶全部售出，且利润不得低于元，列不等式即可求解． 【详解】（1）解：设每个“岳小楼”玩偶的进价是元，每个“江小豚”玩偶的进价是元． 根据题意可得 解得 答：每个“岳小楼”玩偶的进价是元，每个“江小豚”玩偶的进价是元． （2）解：设购进个“岳小楼”玩偶，则， 解得． 答：至少需要购进个“岳小楼”玩偶． 【变式7-2】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）为促进冰雪经济，某滑雪景区需要购买型和型两种型号的保暖帐篷．若购买种型号帐篷顶和种型号帐篷顶，则需5200元；若购买种型号帐篷顶和种型号帐篷顶，则需元． (1)求每顶种型号帐篷和每顶种型号帐篷的价格； (2)若该景区需要购买型和型两种型号的帐篷共顶，为使购买帐篷的总费用不超过元，则最少购买种型号帐篷多少顶？ 【答案】(1)每顶型帐篷元，每顶型帐篷元 (2)最少购买型帐篷顶 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，正确找出数量关系． （1）设型帐篷每顶元，型帐篷每顶元，根据题意列方程组即可求解； （2）设购买型帐篷顶， 则购买型帐篷为顶，根据题意列不等式即可求解． 【详解】（1）解：设型帐篷每顶元，型帐篷每顶元， 根据题意可得， 解得， 答：每顶型帐篷元，每顶型帐篷元； （2）设购买型帐篷顶， 则购买型帐篷为顶， 根据题意可得， 解得， 答：最少购买型帐篷顶． 【变式7-3】（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）商场准备购进甲、乙两种商品，若购进甲商品80个，乙商品40个，需要800元；若购进甲商品50个，乙商品30个，需要550元． (1)求商场购进甲、乙两种商品每个需要多少元？ (2)商场准备1000元全部用来购进甲、乙两种商品，设购进乙种商品个，则购进甲种商品 个（用含的代数式表示）；计划销售每个甲种商品可获利润4元，销售每个乙种商品可获利润5元，销售这两种商品的总利润不低于590元，那么商场最多购进乙种商品多少个？ 【答案】(1)商场购进甲种商品每个需要5元，乙种商品每个需要10元 (2)；商场最多购进乙种商品70个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、列代数式、一元一次不等式的应用，理解题意正确列出方程组和不等式是解题的关键． （1）设购进甲种商品每个需要元，乙种商品每个需要元，根据题意列出方程组，求出的值即可解答； （2）设购进乙种商品个，则购进甲种商品个，根据题意列出不等式，求出的范围，得出的最大值，即可解答． 【详解】（1）解：设购进甲种商品每个需要元，乙种商品每个需要元， 根据题意，得， 解得， 答：商场购进甲种商品每个需要5元，乙种商品每个需要10元． （2）解：设购进乙种商品个， 则购进甲种商品（个）； ∴， ∴， 根据题意，得， 解得， 是整数， 的最大值为70， 答：商场最多购进乙种商品70个． 一、单选题 1．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）下列运用一元一次不等式性质的变形中，正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式的性质，关键是准确掌握不等式的三个核心性质：①不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号方向不变；②不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号方向不变；③不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号方向必须改变． 【详解】解：选项A：∵，根据不等式性质①，两边同时加2，不等号方向不变， ∴，而选项中写，变形错误； 选项B：∵，根据不等式性质①，两边同时减2，不等号方向不变， ∴，而选项中写，变形错误； 选项C：∵，根据不等式性质②，两边同时乘正数2，不等号方向不变， ∴，变形正确； 选项D：∵，根据不等式性质③，两边同时乘负数，不等号方向需改变， ∴，而选项中写，变形错误； 故选：C． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）要使式子的值不小于式子的值，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．先根据题意列出不等式，再根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：根据题意，得， ， ， ， 解得， 故选：C． 3．（25-26八年级上·浙江金华·期末）关于x的不等式恰有两个负整数解，则b的取值可以是（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是不等式的整数解问题，先解不等式得到，再根据恰有两个负整数解确定这两个负整数为、，进而推导b的取值范围，最后结合选项判断符合条件的取值． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ 不等式恰有两个负整数解 ∴ 这两个负整数解为、， ∴ ， 结合选项，只有在该取值范围内； 故选：D 4．（24-25八年级下·四川成都·月考）若是关于x的一元一次不等式，则k的值为（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据一元一次不等式的定义可得且，分别进行求解即可．本题主要考查一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为次”这一条件；还要注意，未知数的系数不能是，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且，解得：， 故选：C 5．（25-26八年级上·广西贺州·期末）学校组织社团活动，小萱需要从教室前往社团活动室，两地路程是500米，她从教室出发，先以60米／分钟的速度步行了分钟，后来怕迟到，她以100米／分钟的速度小跑过去，结果在之前到达了活动室．根据题意列出的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列一元一次不等式，解决本题的关键是总时间小于8分钟． 根据题意，总时间由步行时间和小跑时间组成，且总时间小于8分钟，据此列出不等式即可． 【详解】解：∵步行距离为米， ∴剩余距离为米，即小跑时间为分钟， ∴总时间为分钟， 又∵在之前到达，即总时间小于8分钟， ∴根据题意列出的不等式为． 故选：A． 二、填空题 6．（25-26八年级上·山东潍坊·期末）写出不等式的一个负整数解 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，解不等式得到x的取值范围，再找出满足条件的负整数解． 【详解】解：， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，， ∴负整数解为、、，任取一个即可， 故答案为：（答案不唯一）． 7．（25-26七年级下·全国·周测）若是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【答案】1 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的指数必须为1且系数不为0，列出条件求解． 此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键． 【详解】解：由题意，不等式是关于的一元一次不等式， 则且， 解，得或， 即或， 当时，，不符合系数不为0的条件， 当时，，符合条件， 故答案为：1． 8．（25-26七年级上·河南商丘·期中）如图，点在点的左侧，点在数轴上表示的数分别为和，则的值可能是 （写出一个正确的数字） 【答案】0（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一元一次不等式．由数轴得出，解一元一次不等式再根据选项即可求出结果． 【详解】解：由数轴可知，， 解得， ∴的值可能是0． 故答案为： 0（答案不唯一）． 9．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·开学考试）若关于的二元一次方程组解满足．则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式，利用加减消元法得出，结合得到关于a的不等式，再解不等式即可． 【详解】解： 得：， ， ， ， 解得， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·广西南宁·期中）定义新运算，，则不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，掌握新运算法则是解题关键．根据新运算的定义，需要分两种情况讨论：当时和当时，分别解不等式即可． 【详解】解：当时，即，此时， 不等式化为，解得，结合条件，得； 当时，即，此时， 不等式化为，解得，结合条件，得， 综上，不等式解集为：或， 故答案为：或． 三、解答题 11．（25-26八年级上·山东青岛·月考）（1）解不等式，把它的解集表示在如图所示的数轴上． （2）解不等式． 【答案】（1），图见解析；（2） 【分析】此题考查了一元一次不等式的解法，在数轴上表示不等式的解集． （1）利用去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤解不等式，并把解集表示在数轴上即可； （2）利用去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤解不等式即可． 【详解】解：（1）， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，， 原不等式的解集在数轴上表示如图： ． （2）， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 12．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于的方程的解为负数． (1)求的取值范围； (2)已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了方程与不等式． （1）先解出关于x的方程的解，再根据解是负数列出不等式，解关于a的不等式即可， （2）变形，把第一问的结果代入，即可． 【详解】（1）解：解得， 因为解为负数， 所以， 解这个不等式，得， 所以a的取值范围是； （2）， ， ∴， ， ∴， ， ． 13．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）请根据小明同学解不等式的过程，完成下面各项任务：解不等式 解：去分母，得……第一步 去括号，得……第二步 移项，得……第三步 合并同类项，得……第四步 系数化为1，得……第五步 所以不等式的解集为： 任务一：以上解题过程中，从第 步开始出现错误，错误的原因是 ； 任务二：请把正确的解答过程完整的写出来． 【答案】任务一：一，去分母时把1漏乘以12；任务二：见解析 【分析】本题考查了解去分母的一元一次不等式，属于基础题型，熟练掌握不等式的基本性质、明确每一步计算的根据是解题的关键． 任务一：根据分式的运算法则可知：第①步开始出现错误，去分母时，分式的每一项都要乘以最简公分母； 任务二：根据不等式的基本性质解答． 【详解】解：任务一：以上解题过程中，从第一步开始出现错误，错误的原因是：去分母时把1漏乘以12； 任务二：解不等式 解：去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 所以不等式的解集为． 14．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）年月，浙江城市篮球赛浙在全省范围内举行，各地结合自身特色设计了相关的文创产品，深受人们喜爱．已知某文旅中心销售玩偶类文创产品，其中甲种玩偶的单价是元/个，乙种玩偶的单价是甲种玩偶单价的． (1)求乙种玩偶的单价． (2)某游客计划用不超过元购买甲、乙两种玩偶，且乙种玩偶的数量比甲种玩偶的数量多个，求该游客最多可以购买多少个甲种玩偶． 【答案】(1)元 (2)个 【分析】本题主要考查了分数乘法的应用、一元一次不等式的实际应用，熟练掌握根据实际问题中的数量关系列不等式并求解是解题的关键。 （1）根据乙种玩偶的单价是甲种玩偶单价的，直接用甲种玩偶的单价乘以即可求出乙种玩偶的单价。 （2）设购买甲种玩偶的数量为未知数，根据乙种玩偶数量比甲种多个表示出乙种玩偶的数量，再根据总费用不超过元列出不等式，解不等式后取符合条件的最大整数解。 【详解】（1）解：元． 答：乙种玩偶的单价为每个元． （2）解：设该游客购买了个甲种玩偶． 由题意得， 解得 因为为整数，所以该游客最多购买个甲种玩偶． 15．（25-26八年级上·浙江·期中）我们规定：的运算法则为，例如：． (1)填空：若，则__________，若，则的取值范围为__________； (2)若=，，求实数的取值范围． 【答案】(1)0.25， (2) 【分析】本题考查实数的新运算，一元一次不等式，二元一次方程组，解题的关键是理解题意，掌握实数的新运算法则，解一元一次不等式组的解集，解二元一次方程组． （1）根据运算法则列方程及不等式，再解一元一次方程和解一元一次不等式，即可； （2）根据运算法则，得到，解得：，根据，得，从而确定的取值范围． 【详解】（1） 解：∵， ∴， 解得； ∵， ∴, 解得， 故答案为：0.25，； （2） 解：∵=， ∴，解得：， ， ， 解得：． 16．（25-26七年级上·江苏淮安·期末）“绿水青山，就是金山银山”某旅游景区为了保护环境，需购买、两种型号的垃圾处理设备，已知台型设备和台型设备日处理能力一共为吨；台型设备和台型设备日处理能力一共为吨． (1)求台型设备、台型设备日处理能力各多少吨？ (2)若购买、两种型号的垃圾处理设备共台、两种型号均购买，并且它们的日处理能力不低于吨．请你为该景区设计购买、两种设备的方案； (3)已知每台型设备价格为万元，每台型设备价格为万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于万元时，则按折优惠；问：采用中设计的哪种方案，使购买费用最少，并说明理由． 【答案】(1)设备处理能力为一天吨，设备一天吨； (2)一共有2种方案，方案：买设备台，设备台；方案②：买设备台，设备台； (3)采用购买A型设备1台、B型设备台的方案，购买费用最少，理由见解析． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用及费用最值问题，解题的关键是根据题意列出方程组和不等式，准确计算各方案费用并比较． （1）设未知数，根据两种设备组合的日处理能力列出方程组，求解得出两种设备的日处理能力； （2）设购买A设备台数，结合总台数和日处理能力要求列不等式，根据“A、B均购买”确定正整数解，得出购买方案； （3）分别计算各有效方案的货款，判断是否符合优惠条件，计算实际费用后比较大小． 【详解】（1）解：设1台A型设备日处理能力为吨，1台B型设备日处理能力为吨， 由题意得， 由得，代入得， 解得， 则， 答：1台A型设备日处理能力吨，1台B型设备日处理能力吨． （2）解：设购买A型设备台，则购买B型设备台， 由题意得， 解得， ∵为正整数（A、B两种型号均购买）， ∴或，对应的购买方案方案①：购买A型设备1台，B型设备台； 方案②：购买A型设备2台，B型设备台； 答：两种方案，分别为购买A型设备1台、B型设备台和A型设备2台、B型设备台． （3）解：方案①：货款万元， ∵，享受折优惠， 实际付款万元； 方案②：货款万元， ∵，不享受优惠， 实际付款万元； ∵， ∴方案①（购买A型设备1台、B型设备台）费用最少． 答：采用购买A型设备1台、B型设备台的方案，购买费用最少． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 一元一次不等式的解法及应用的七类综合题型 目录 典例详解 类型一、不等式的基本性质 类型二、利用一元一次不等式的定义求参数的值 类型三、求一元一次不等式的解集并在数轴上表示不等式的解集 类型四、一元一次不等式求解中错解复原问题 类型五、求一元一次不等式的整数解 类型六、解|x|≥a型的不等式 类型七、用一元一次不等式解决实际问题 压轴专练 类型一、不等式的基本性质 方法总结 1. 三条性质：①加减同数不等号不变；②乘除正数不等号不变；③乘除负数不等号反向。 2. 传递对称：若a>b且b>c则a>c；若a>b则b<a（对称性）。 解题技巧 1. 特值验证：对不等式变形有疑虑时，代入±1、0等特殊数值快速验证方向。 2. 避免漏乘：乘除含字母代数式时，务必先判断其正负，否则须分类讨论。 例1．（25-26八年级上·浙江金华·期末）若，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26七年级上·北京朝阳·期末）下列推理错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1-2】（25-26八年级上·浙江嘉兴·月考）已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列不等式变形正确的是（   ） A．由，得 B．由，，得 C．由，得 D．由，得 类型二、利用一元一次不等式的定义求参数的值 方法总结 1. 紧扣定义：一元一次不等式必须满足：①含一个未知数；②未知数次数为1；③是整式不等式。 2. 列式求解：根据未知数指数为1且系数不为0，列出关于参数的方程与不等式求解。 解题技巧 1. 系数非零：含未知数项的系数（含参数）必须满足不等于0，此为易忽略条件。 2. 化简先行：若不等式含分母或括号，先化为最简形式，再对照定义列条件。 例2．（24-25八年级下·全国·月考）已知是关于x的一元一次不等式，则k的值是（　　） A．3 B． C． D．无法确定 【变式2-1】（24-25七年级下·辽宁营口·期末）若是关于x的一元一次不等式，则m的值为（   ） A． B．1 C． D．0 【变式2-2】（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（   ） A．4 B． C．3 D． 【变式2-3】（24-25八年级下·宁夏银川·期中）若是关于 x的一元一次不等式，则 m的值为（   ） A． B．1 C． D．0 类型三、求一元一次不等式的解集并在数轴上表示不等式的解集 方法总结 1. 求解步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，注意乘除负数要变号。 2. 数轴表示：画数轴，定界点（空心表不含等，实心表含等），定方向（大于向右，小于向左）。 解题技巧 1. 系数化1必判号：最后一步系数化为1时，先观察系数正负，确定不等号是否反向。 2. 界点标注清晰：在数轴上先用圆圈或圆点标清界点，再沿方向画线，避免符号混淆。 例3．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）解下列一元一次不等式． (1)； (2)，并把解集表示在数轴上． 【变式3-1】（25-26八年级上·陕西西安·月考）解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上． (1) (2) 【变式3-2】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）解下列不等式，并将它们的解集表示在数轴上． (1)； (2)． 【变式3-3】（25-26八年级上·山东潍坊·月考）（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． （2）解不等式，并把解集在数轴上表示出来，再求出这个不等式的最小整数解． 类型四、一元一次不等式求解中错解复原问题 方法总结 1. 对照错因：将错误解集与正确步骤对比，定位哪一步（去分母漏乘、移项忘变号、系数化1忘反向）出错。 2. 还原修正：根据错误发生的位置，按不等式性质反向推导，恢复正确系数与不等号方向。 解题技巧 1. 代入检验：将错解中某值代入原不等式，快速判断不等号方向是否矛盾。 2. 特值定位：取错解边界值与正确解边界值分别代入变形过程，对比找出系数符号错误点。 例4．（24-25七年级下·全国·课后作业）下面是小明同学解不等式的过程． 解不等式：． 解：去分母，得，第一步 去括号，得，第二步 移项，得，第三步 合并同类项，得，第四步 系数化为1，得．第五步 (1)以上解题过程从第________步开始出现错误． (2)请写出该不等式的正确的解答过程． 【变式4-1】（25-26八年级上·浙江·期中）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并解答． 解：．第①步 ．第②步 ．第③步 ．第④步 ．第⑤步 (1)第______步开始出现错误． (2)请给出正确解答． 【变式4-2】（25-26八年级上·浙江舟山·期中）下面是某同学解不等式 的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得．第一步 移项，得．第二步 合并同类项，得，第三步 系数化成，得，第四步 根据以上材料，解答下列问题： (1)第一步去分母的依据是______； (2)在解答过程中，从第______步开始出错，错误原因是______； (3)原不等式的正确解集为______． 【变式4-3】（2025九年级下·全国·专题练习）下面是小颖同学解一元一次不等式的解答过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：，第一步 ，第二步 ，第三步 ．第四步 (1)任务一：①以上运算步骤中，第______步是去分母，去分母的依据是_______________________________； ②第______步开始出现错误． (2)任务二：请直接写出正确的计算结果； (3)任务三：请你根据平时的学习经验，就解一元一次不等式给其他同学提一条建议． 类型五、求一元一次不等式的整数解 方法总结 1. 先求范围：准确求解一元一次不等式，得到未知数的取值范围。 2. 再取整数：在解集范围内找出满足条件的整数（正整数、负整数或非负整数等）。 解题技巧 1. 界点确认：看清解集中是否包含端点值（≥或≤含等号，>或<不含等号），决定整数是否取到。 2. 数轴辅助：在数轴上标出解集，直观观察范围内的所有整数，避免遗漏。 例5．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）写出一个满足不等式的正整数解是 ． 【变式5-1】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于的不等式的最大正整数解是 ． 【变式5-2】（24-25八年级下·上海·期末）不等式的正整数解是 ． 【变式5-3】（25-26八年级上·黑龙江大庆·月考）若关于x的不等式只有3个正整数解，则a的取值范围 ． 类型六、解|x|≥a型的不等式 方法总结 1. 几何意义：|x| ≥a 表示数轴上x到原点的距离大于等于a。 2. 代数转化：当a > 0时，解集为x≤ -a 或 x ≥a；当a = 0时，解集为全体实数；当a < 0时，解集为全体实数。 解题技巧 1. 先判a正负：不要直接套用“x ≤ -a\) 或x ≥a”，必须先判断a的正负情况。 2. 数轴辅助：画出数轴，标出-a和a两点，直观确定“两边跑”的范围。 例6．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）请阅读下面求含绝对值的不等式和的解集过程． 对于含绝对值的不等式，从图1的数轴上看：大于而小于3的数的绝对值小于3，所以的解集为；对于含绝对值的不等式，从图2的数轴上看：小于或大于3的数的绝对值大于3，所以的解集为或．     (1)求含绝对值的不等式的解集； (2)已知含绝对值的不等式的解集为，求a，b的值． 【变式6-1】（24-25七年级下·江苏盐城·月考）先阅读，再完成练习． 一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． ，x表示到原点的距离小于3的数，从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数，它们到原点的距离小于3，所以的解集是； ，x表示到原点的距离大于3的数，从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数，它们到原点的距离大于3，所以的解集是或． 解答下面的问题： (1)解不等式． (2)解不等式． (3)直接写出不等式的解集： ． 【变式6-2】（24-25八年级下·江西南昌·期末）如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式．数轴是一个工具，它能很好地帮助我们解决这个问题． 例如求和的解集问题，就可以利用数轴来探究：根据绝对值的意义， ∵ ∴的解集为， ∵ ∴解集为或． 根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 【变式6-3】（24-25七年级下·福建漳州·期中）【阅读材料】 我们知道，一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离，例如表示数轴上表示这个数的点到原点的距离，那么式子可理解为：数轴上表示这个数的点到表示1这个数的点的距离，于是解不等式则是要在数轴上找出到1的距离小于或等于2的所有点，观察数轴可以看出，在数轴上到1的距离小于或等于2的点对应的数都在和3之间（包含和3两个点），这样我们就可以得到不等式的解集为． 【解决问题】 参考阅读材料，借助数轴，解答下列问题： (1)不等式的解集为___________． (2)求不等式的解集． (3)求不等式的解集． 类型七、用一元一次不等式解决实际问题 方法总结 1. 建模列式：设未知数，抓关键词（至少、最多、不超过等）确定不等号方向，列一元一次不等式。 2. 解验作答：求解集，结合实际意义（人数、件数为非负整数等）确定最终答案并作答。 解题技巧 1. 关键词对应：“不小于”对应“≥”，“超过”对应“>”，“不足”对应“<”，准确翻译不等关系。 2. 双重检验：解集求出后，既要检验是否满足不等式，也要检验是否符合实际背景（如取整、范围）。 例7．（25-26八年级上·山东菏泽·月考）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某商家购进甲、乙两款玩偶进行销售，甲款玩偶的进货单价为70元，乙款玩偶的进货单价为40元，该商家购进甲、乙两款玩偶共100件，若每件甲款玩偶的售价为110元，每件乙款玩偶的售价为70元，且销售完这100件玩偶所获得的利润不低于3700元，则商家最少需购进甲款玩偶多少件？ 【变式7-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）2025年5月24日至26日，第四届湖南旅游发展大会在岳阳市举行，此次大会的吉祥物为“岳小楼”和“江小豚”．某玩具店看准商机，购进了一批“岳小楼”和“江小豚”的玩偶．已知购进2个“岳小楼”玩偶和3个“江小豚”玩偶共需85元，购进1个“岳小楼”玩偶和2个“江小豚”玩偶共需50元． (1)每个“岳小楼”和“江小豚”玩偶的进价分别是多少元？ (2)该玩具店计划购进两种玩偶共100个，且每个“岳小楼”玩偶的售价为40元，每个“江小豚”玩偶的售价为30元．若将所有玩偶全部售出，且利润不得低于1600元，则至少需要购进多少个“岳小楼”玩偶？ 【变式7-2】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）为促进冰雪经济，某滑雪景区需要购买型和型两种型号的保暖帐篷．若购买种型号帐篷顶和种型号帐篷顶，则需5200元；若购买种型号帐篷顶和种型号帐篷顶，则需元． (1)求每顶种型号帐篷和每顶种型号帐篷的价格； (2)若该景区需要购买型和型两种型号的帐篷共顶，为使购买帐篷的总费用不超过元，则最少购买种型号帐篷多少顶？ 【变式7-3】（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）商场准备购进甲、乙两种商品，若购进甲商品80个，乙商品40个，需要800元；若购进甲商品50个，乙商品30个，需要550元． (1)求商场购进甲、乙两种商品每个需要多少元？ (2)商场准备1000元全部用来购进甲、乙两种商品，设购进乙种商品个，则购进甲种商品 个（用含的代数式表示）；计划销售每个甲种商品可获利润4元，销售每个乙种商品可获利润5元，销售这两种商品的总利润不低于590元，那么商场最多购进乙种商品多少个？ 一、单选题 1．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）下列运用一元一次不等式性质的变形中，正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（2025八年级上·全国·专题练习）要使式子的值不小于式子的值，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·浙江金华·期末）关于x的不等式恰有两个负整数解，则b的取值可以是（   ） A．3 B．2 C． D． 4．（24-25八年级下·四川成都·月考）若是关于x的一元一次不等式，则k的值为（　　） A． B．1 C． D．2 5．（25-26八年级上·广西贺州·期末）学校组织社团活动，小萱需要从教室前往社团活动室，两地路程是500米，她从教室出发，先以60米／分钟的速度步行了分钟，后来怕迟到，她以100米／分钟的速度小跑过去，结果在之前到达了活动室．根据题意列出的不等式为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26八年级上·山东潍坊·期末）写出不等式的一个负整数解 ． 7．（25-26七年级下·全国·周测）若是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 8．（25-26七年级上·河南商丘·期中）如图，点在点的左侧，点在数轴上表示的数分别为和，则的值可能是 （写出一个正确的数字） 9．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·开学考试）若关于的二元一次方程组解满足．则的取值范围是 ． 10．（24-25七年级下·广西南宁·期中）定义新运算，，则不等式的解集为 ． 三、解答题 11．（25-26八年级上·山东青岛·月考）（1）解不等式，把它的解集表示在如图所示的数轴上． （2）解不等式． 12．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于的方程的解为负数． (1)求的取值范围； (2)已知，求的取值范围． 13．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）请根据小明同学解不等式的过程，完成下面各项任务：解不等式 解：去分母，得……第一步 去括号，得……第二步 移项，得……第三步 合并同类项，得……第四步 系数化为1，得……第五步 所以不等式的解集为： 任务一：以上解题过程中，从第 步开始出现错误，错误的原因是 ； 任务二：请把正确的解答过程完整的写出来． 14．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）年月，浙江城市篮球赛浙在全省范围内举行，各地结合自身特色设计了相关的文创产品，深受人们喜爱．已知某文旅中心销售玩偶类文创产品，其中甲种玩偶的单价是元/个，乙种玩偶的单价是甲种玩偶单价的． (1)求乙种玩偶的单价． (2)某游客计划用不超过元购买甲、乙两种玩偶，且乙种玩偶的数量比甲种玩偶的数量多个，求该游客最多可以购买多少个甲种玩偶． 15．（25-26八年级上·浙江·期中）我们规定：的运算法则为，例如：． (1)填空：若，则__________，若，则的取值范围为__________； (2)若=，，求实数的取值范围． 16．（25-26七年级上·江苏淮安·期末）“绿水青山，就是金山银山”某旅游景区为了保护环境，需购买、两种型号的垃圾处理设备，已知台型设备和台型设备日处理能力一共为吨；台型设备和台型设备日处理能力一共为吨． (1)求台型设备、台型设备日处理能力各多少吨？ (2)若购买、两种型号的垃圾处理设备共台、两种型号均购买，并且它们的日处理能力不低于吨．请你为该景区设计购买、两种设备的方案； (3)已知每台型设备价格为万元，每台型设备价格为万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于万元时，则按折优惠；问：采用中设计的哪种方案，使购买费用最少，并说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $