专题 20.7 勾股定理（单元培优卷）- 2025-2026学年人教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 20.7 勾股定理（单元培优卷） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）下列四组数：；7，24，25；9，40，41；4，5，6，其中是勾股数的有（    ） A．4组 B．3组 C．2组 D．1组 2．（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图，网格中小正方形的边长均为，点，，，都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．在中，，，，的对边分别是a，b，c，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图所示是古代工匠们使用的名为“矩尺”的测量工具，这种工具的形状类似于一个直角三角形．若“矩尺”的一条较短的直角边长为5尺，斜边比较长的直角边多1尺，则“矩尺”的较长直角边的长为（   ） A．12尺 B．13尺 C．24尺 D．26尺 5．（23-24八年级上·全国·课后作业）下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·重庆·月考）一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动的距离为（   ） A．4米 B．6米 C．8米 D．15米 7．（25-26八年级上·内蒙古包头·月考）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ）． A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·江西九江·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，三棱柱每个侧面都是长方形，其高为，底面为直角三角形，其直角边长分别为，，围绕三棱柱的侧面，从顶点A到顶点镶有一圈金属丝，则这圈金属丝的长度至少为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，D为边的中点，E、F分别为边上的点，且，．若，，则线段的长度为 ． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级·上海·假期作业）如果点与点的距离等于，那么的值等于 ． 12．（21-22八年级下·北京海淀·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示“垂美”四边形，对角线交于点，若，则 ． 13．（25-26八年级上·福建泉州·期末）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，它奠定了中国传统数学的基本框架．其中记录的一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高丈（丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根尺，则折断处离地面的高度为 尺． 14．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图所示为一楼梯的侧面示意图，其中垂直高度米，斜边长米，楼梯的宽度为3米．现需在楼梯的所有台阶表面铺设地毯，要求地毯完全覆盖每个台阶的水平踏面和垂直竖面，则铺设整个楼梯至少需要 平方米的地毯． 15．（25-26八年级上·浙江温州·月考）一艘轮船从海面上A地出发，向南偏西的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西的方向行驶30海里到达C地，则A，C两地相距为 海里． 16．如图中，为钝角，边，的垂直平分线分别交于点，．若，则 度． 17．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．图中正方形的面积是90，，则正方形的面积是 ． 18．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，且，点，分别在边，上，连接，将沿折叠，点恰好落在上的点处，且满足，设，则 ． 三、解答题 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在等腰中，，点在线段上，点在的延长线上，连结，，并延长交于点，且． (1)求证：；(2)若，，求的长． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级上·四川成都·期中）四川的人民渠（利民渠、幸福渠、官渠堰）是都江堰扩灌工程之一，也是四川省建成的第一座大型水利工程，有“巴蜀新春第一渠”之称．现为扩建开挖某段干渠，如图，欲从干渠某处A向C地、D地、B地分流（点C，D，B位于同一条直线上），修三条笔直的支渠，，，且；再从D地修了一条笔直的水渠与支渠在点H处连接，且水渠和支渠互相垂直，已知，，． (1)求支渠的长度．（结果保留根号） (2)若修水渠每千米的费用是万元，那么修完水渠需要多少万元？ 21．（本小题满分10分）（2023·山东临沂·中考真题）如图，． (1)写出与的数量关系 (2)延长到，使，延长到，使，连接．求证：． (3)在（2）的条件下，作的平分线，交于点，求证：． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，已知在中，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒3个单位的速度向右运动．设点的运动时间为．连接． (1)当秒时，求的长度； (2)当为等腰三角形时，直接写出t的值：_____． (3)过点D作于点E．在点P的运动过程中，当_____时，． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在四边形中，为等腰直角三角形，，其中，分别是线段，上的点，且．过点作，交于点．过点作，交于点，交延长线于点，连接、． (1)求证：； (2)当为等边三角形时，求的度数； (3)若，，求的长度． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·陕西西安·期末）【初步探索】（1）如图1，点、在直线的同侧，点在直线上，点到的距离，点到的距离，则的最小值为________； 【深入探究】（2）如图2，在中，，为内一点，且满足，求周长的最小值； 【拓展应用】（3）如图3，公园里有一块三角形区域，该区域的供水中心在边上，其中，，，．管理部门现计划修建一块四边形花圃，其中、在内部，满足，且花圃面积为，同时为了方便灌溉，决定铺设两条水渠、．为节约修建水渠的成本，不考虑其他因素，是否存在满足条件的一点，使得最小？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 20.7 勾股定理（单元培优卷） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）下列四组数：；7，24，25；9，40，41；4，5，6，其中是勾股数的有（    ） A．4组 B．3组 C．2组 D．1组 【答案】C 【分析】本题考查了勾股数的定义：满足的三个正整数、、称为勾股数． 根据勾股数的定义依次验证四组数是否符合定义即可． 【详解】解：∵①组的数不是正整数， ∴①不是勾股数， ∵②组中，，，即，且7、24、25均为正整数， ∴②是勾股数， ∵③组中，，，即，且9、40、41均为正整数， ∴③是勾股数， ∵④组中，，，， ∴④不是勾股数， 综上，是勾股数的有2组， 故选C． 2．（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图，网格中小正方形的边长均为，点，，，都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，勾股定理与无理数，由题意可得，然后通过勾股定理求出即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3．在中，，，，的对边分别是a，b，c，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知，的面积为，结合已知条件，根据完全平方公式变形求值即可． 【详解】解：中，，，，所对的边分别为a，b，c， ， ∵，， ∴， ，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式变形求值，解题的关键是将完全平方公式变形求出ab的值． 4．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图所示是古代工匠们使用的名为“矩尺”的测量工具，这种工具的形状类似于一个直角三角形．若“矩尺”的一条较短的直角边长为5尺，斜边比较长的直角边多1尺，则“矩尺”的较长直角边的长为（   ） A．12尺 B．13尺 C．24尺 D．26尺 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．根据勾股定理列出方程，进行计算即可． 【详解】解：设“矩尺”的较长的直角边的长为x尺，则斜边长为尺，根据勾股定理得： ， 解得：， 即“矩尺”的较长的直角边的长为12尺， 故选：A． 5．（23-24八年级上·全国·课后作业）下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握勾股定理的证明方法．根据各个图象，利用面积的不同表示方法，列式证明结论，找出不能证明的那个选项． 【详解】解：A．∵，整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B．根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意． C．∵．∴整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； D．∵，整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； 故选：B． 6．（25-26八年级上·重庆·月考）一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动的距离为（   ） A．4米 B．6米 C．8米 D．15米 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中正确的使用勾股定理求的长度是解题的关键． 根据梯子长度不会变这个等量关系，利用勾股定理，即可解题． 【详解】解：由题意知米，米，米， 在直角中，斜边， 米， 已知米，则米， 在直角中， 米， 米． 故选：C． 7．（25-26八年级上·内蒙古包头·月考）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，将实际问题转化为勾股定理问题是解题的关键． 设，则，故，在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意可知，， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴，解得：． ∴绳索的长是． 故选：C． 8．（25-26八年级上·江西九江·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中两点间距离公式，解题的关键是准确运用公式计算线段长度． 根据两点间距离公式计算的长度，然后逐一分析选项． 【详解】解：根据两点间距离公式，已知，则： ， ， ， A、，所以．，该选项正确．； B、由选项A可知，该选项正确； C、，所以，该选项正确； D、，该选项错误． 故选：D． 9．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，三棱柱每个侧面都是长方形，其高为，底面为直角三角形，其直角边长分别为，，围绕三棱柱的侧面，从顶点A到顶点镶有一圈金属丝，则这圈金属丝的长度至少为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三棱柱的侧面展开图，两点之间线段最短，勾股定理．将三棱柱侧面展开得出矩形，求出矩形对角线的长度即可． 【详解】解：如图为三棱柱的侧面展开图， ∵底面为直角三角形，其直角边长分别为，， ∴斜边长为， ∴，，， ∴， 故选：B． 10．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，D为边的中点，E、F分别为边上的点，且，．若，，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】延长到M，使得，连接，过点E作于点N，先证明，再证明，得，，然后证明是等腰直角三角形，则，在中求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，延长到M，使得，连接，过点E作于点N， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵D为边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等边对等角、等腰直角三角形的判定与性质等知识，添加辅助线构造以及倍长中线构造全等三角形是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级·上海·假期作业）如果点与点的距离等于，那么的值等于 ． 【答案】0或 【分析】本题主要考查两点间的距离公式，掌握已知，则是解题的关键． 根据两点间距离公式列出方程，平方后化简求解即可． 【详解】由点和点的距离为， 得， 两边平方，得， 展开并整理：， ， ， ， 解得或，经检验均符合题意． 故答案为：或． 12．（21-22八年级下·北京海淀·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示“垂美”四边形，对角线交于点，若，则 ． 【答案】136 【分析】在Rt△BOC和Rt△AOD中，根据勾股定理得，， 在Rt△AOB和Rt△COD中，根据勾股定理得，，进一步得，最后求得． 【详解】解：， ， 在Rt△BOC和Rt△AOD中，根据勾股定理得，， 在Rt△AOB和Rt△COD中，根据勾股定理得，， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 13．（25-26八年级上·福建泉州·期末）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，它奠定了中国传统数学的基本框架．其中记录的一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高丈（丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根尺，则折断处离地面的高度为 尺． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设折断处离地面尺，根据勾股定理建立方程即可求解，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：设折断处离地面尺， 根据题意可得：， 解得：， 故答案为：． 14．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图所示为一楼梯的侧面示意图，其中垂直高度米，斜边长米，楼梯的宽度为3米．现需在楼梯的所有台阶表面铺设地毯，要求地毯完全覆盖每个台阶的水平踏面和垂直竖面，则铺设整个楼梯至少需要 平方米的地毯． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用．根据勾股定理求出的长度，再计算出楼梯铺地毯的总长度，进而求出所铺地毯的面积即可． 【详解】解：在中，，米，米， 由勾股定理得，米， 在楼梯上铺地毯需要的长度为米， 需要铺地毯的面积为平方米， 故答案为：． 15．（25-26八年级上·浙江温州·月考）一艘轮船从海面上A地出发，向南偏西的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西的方向行驶30海里到达C地，则A，C两地相距为 海里． 【答案】50 【分析】本题考查了方向角，勾股定理，由题意可得，，海里，海里，，则，求出，再由勾股定理计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：连接， ， 由题意可得：，，海里，海里，， ∴， ∴， ∴由勾股定理可得：海里， 故A，C两地相距为海里， 故答案为：． 16．如图中，为钝角，边，的垂直平分线分别交于点，．若，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．连接、，根据线段垂直平分线的性质得到，， 得到，， ，根据勾股定理的逆定理得到，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：如图所示，连接、， 边，的垂直平分线分别交于点，， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 17．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．图中正方形的面积是90，，则正方形的面积是 ． 【答案】36 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的性质，理解题意是解题的关键． 根据题意得到，根据正方形的面积是90，结合勾股定理求出的长，得出的长，再利用正方形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的， ∴， ∵大正方形的面积是90， ∴， ∵， ∴， 则， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴正方形的面积是． 故答案为：36． 18．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，且，点，分别在边，上，连接，将沿折叠，点恰好落在上的点处，且满足，设，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和折叠的性质、三角形内角和定理以及勾股定理的应用，先利用等腰三角形和内角和证明，再通过勾股定理建立方程求解线段长度，进而求出比值． 【详解】解：如图，连接． 设， ∵，∴． 由折叠性质可知， 又， ∴． ∴，． ∵， ∴，即， ∴，即是直角三角形． 设，则． 在中，由勾股定理得． 在中，由勾股定理得． ∴， 解得，即，． ∴． 故答案为：． 三、解答题 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在等腰中，，点在线段上，点在的延长线上，连结，，并延长交于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的定义、勾股定理，正确找出全等三角形并证明是解题的关键． （1）证明，得到，再利用三角形内角和定理即可证明； （2）根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理求出，再利用线段的和差即可求解． 【详解】（1）证明：∵在等腰中，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级上·四川成都·期中）四川的人民渠（利民渠、幸福渠、官渠堰）是都江堰扩灌工程之一，也是四川省建成的第一座大型水利工程，有“巴蜀新春第一渠”之称．现为扩建开挖某段干渠，如图，欲从干渠某处A向C地、D地、B地分流（点C，D，B位于同一条直线上），修三条笔直的支渠，，，且；再从D地修了一条笔直的水渠与支渠在点H处连接，且水渠和支渠互相垂直，已知，，． (1)求支渠的长度．（结果保留根号） (2)若修水渠每千米的费用是万元，那么修完水渠需要多少万元？ 【答案】(1) (2)万元 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）由勾股定理求出，则，再由勾股定理求出的长即可； （2）由的面积求出的长，即可解决问题． 【详解】（1）解：由题意可知：， ， ，， ， ， ， 答：公路的长度为； （2）， ， ， ， ∴修建林荫小道需要的费用为万元． 21．（本小题满分10分）（2023·山东临沂·中考真题）如图，．    (1)写出与的数量关系 (2)延长到，使，延长到，使，连接．求证：． (3)在（2）的条件下，作的平分线，交于点，求证：． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）勾股定理求得，结合已知条件即可求解； （2）根据题意画出图形，证明，得出，则，即可得证； （3）延长交于点，延长交于点，根据角平分线以及平行线的性质证明，进而证明，即可得证． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∵ ∴ 即； （2）证明：如图所示， ∴ ∴， ∵， ∴ ∵，, ∴ ∴ ∴ ∴ （3）证明：如图所示，延长交于点，延长交于点，    ∵，， ∴， ∴ ∵是的角平分线， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴，      即， ∴， 又，则， 在中， ， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，平行线的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，已知在中，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒3个单位的速度向右运动．设点的运动时间为．连接． (1)当秒时，求的长度； (2)当为等腰三角形时，直接写出t的值：_____． (3)过点D作于点E．在点P的运动过程中，当_____时，． 【答案】(1) (2)、、 (3)或 【分析】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、勾股定理，解决本题的关键是动点运动到不同位置形成不同的等腰三角形． （1）根据动点的运动速度和时间先求出，再根据勾股定理即可求解； （2）根据动点运动过程中形成三种等腰三角形，分情况即可求解； （3）根据动点运动，分点P在线段上，点P在的延长线上两种不同情况讨论，结合勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得， 在中，根据勾股定理，得； 则的长为； （2）解：在中，， 根据勾股定理，得 若，则，解得； 若，则，解得； 若，则，解得． 当为等腰三角形时，t的值为、、； 故答案为：、、； （3）解：①点P在线段上时，过点D作于E，如图1所示： 则， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：； ②点P在线段的延长线上时，过点D作于E，如图2所示： 同①得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得： 综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为或时，能使． 故答案为：或． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在四边形中，为等腰直角三角形，，其中，分别是线段，上的点，且．过点作，交于点．过点作，交于点，交延长线于点，连接、． (1)求证：； (2)当为等边三角形时，求的度数； (3)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析(2) (3) 【分析】（1）利用证明即可证明； （2）等边三角形的性质结合等角的余角相等即可求解； （3）作交的延长线于点，证明，推出，再证明，求得，根据，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴， ∴； （2）解：当等边三角形时，， ∴， ∵， ∴， ， ∴； （3）解：作交的延长线于点， 由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．正确作出辅助线解决问题是解题的关键． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·陕西西安·期末）【初步探索】（1）如图1，点、在直线的同侧，点在直线上，点到的距离，点到的距离，则的最小值为________； 【深入探究】（2）如图2，在中，，为内一点，且满足，求周长的最小值； 【拓展应用】（3）如图3，公园里有一块三角形区域，该区域的供水中心在边上，其中，，，．管理部门现计划修建一块四边形花圃，其中、在内部，满足，且花圃面积为，同时为了方便灌溉，决定铺设两条水渠、．为节约修建水渠的成本，不考虑其他因素，是否存在满足条件的一点，使得最小？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）5；（2）25；（3） 【分析】（1）作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点P，连接，延长，过点作于点，根据勾股定理求出，根据轴对称得出，从而得出，根据两点之间线段最短，得出此时最小，即最小，且最小值为的长，即可得出答案； （2）根据，，得出点P到直线的距离为：，过点P作直线，直线l交于点D，则直线l与的距离为，点P在直线l上移动，在上取点，使，连接，交直线于点，连接，，根据垂直平分，得出，，根据两点之间线段最短，得出，从而得出当点P在点时，最小，且最小值为的长度，根据勾股定理求出的最小值，再根据为定值，得出此时的周长最小； （3）在上取点G，使，连接，，根据勾股定理的逆定理证明为直角三角形，得到，根据“”证明，得到，，从而，即当最小时，最小．求出．过点E作直线，过点G作于点H，则，根据的面积求出．在的延长线上取点K，且，连接，则，得到，根据勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：（1）作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点P，连接，延长，过点作于点，如图所示： 则，四边形为长方形，， ∴，， ∴， ∴根据勾股定理得：， 根据轴对称可得：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小，且最小值为的长， ∴的最小值为5； （2）∵，， ∴点P到直线的距离为：， 如图，过点P作直线，直线l交于点D，则直线l与的距离为，点P在直线l上移动， ∵， ∴， ∴，， 如图，在上取点，使，连接，交直线于点，连接，， 则，垂直平分， ∴，， ∴，， ∵两点之间线段最短， ∴， ∴当点P在点时，最小，且最小值为的长度， 根据勾股定理得：， 即的最小值为13， ∵为定值， ∴当的最小时，的周长最小， ∴的周长最小值为； （3）存在满足条件的一点，使得最小； 在上取点G，使，连接，，如图所示： ∵，，， 又∵， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即当最小时，最小． ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴是等边三角形， ∴． 过点E作直线，过点G作于点H，则 ∵，即， ∴， 在的延长线上取点K，且，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴当点E在上时，取得最小值，为． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，两点之间线段最短，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $