专题 20.6 勾股定理（单元基础卷）- 2025-2026学年人教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 20.6 勾股定理（单元基础卷） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26八年级上·浙江金华·期末）一个直角三角形，若三边的平方和为338，则斜边长为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 2．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）下列各组数中，为勾股数的是（    ） A．3，4，5 B．3，4，6 C． D．0.5，1.2，1.4 3．（22-23八年级下·辽宁抚顺·月考）等腰三角形腰长为，底边长为，则底边上的高为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·重庆北碚·期末）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈等于十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，设竹子折断处离地面的高度为x尺，根据题意，下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·全国·假期作业）如图，为了测得湖两岸A点和B点之间的距离，嘉淇在C点设桩，使，并测得长米，长米，则A点和B点之间的距离为（ ）米 A．100 B．80 C．60 D．120 6．（25-26八年级上·陕西汉中·月考）已知的三条边分别为，，，满足，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）若一个三角形的三条边的长度分别为，则这个三角形是(   ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 8．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）运动铸就辉煌，汗水燃烧激情！阳光小学举办运动会，如图是运动会的颁奖台．3个长方体颁奖台的长均为，宽均为号颁奖台的高度分别是．若一只蚂蚁从3号颁奖台的顶点处沿表面爬到1号颁奖台的顶点处，则蚂蚁爬行的最短距离为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图为一块光学直角棱镜的截面，记为，所在的面为不透光的磨砂面，，，现将一束单色光从边上的点O射入，折射后到达边上的点D，恰有，再经过反射后，从点E射出，，垂足为点E，已知，则的长为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，在中，按照如下尺规作图的步骤进行操作：    ①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别与，交于M，N两点； ②分别以M，N为圆心，以适当长为半径作弧，两弧交于点D，作射线，与交于点E； ③分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P，Q，作直线，与交于点F； ④连接． 若，，则面积为（   ） A． B． C．2 D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2025八年级上·江苏泰州·专题练习）点到原点的距离是 ． 12．（2026八年级上·重庆·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接，以点A为圆心，的长为半径画弧，交x轴于点C（点C在点A的右侧），则点C的坐标为 ． 13．（25-26八年级下·全国·期末）如图，在中，，以为边的正方形的面积分别为9、5．则的长为 ．    14．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）在中，，，上的中线，则 ． 15．（22-23八年级上·福建宁德·月考）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O．若，，则 ． 16．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）如果的三边长分别是，则这个三角形中最大的内角的度数是 ． 17．（2022·山东枣庄·模拟预测）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，则 ． 18．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知圆柱的高为，底面圆周长为，若一只蚂蚁准备从圆柱的底面处，沿着圆柱的侧面爬到处，则它爬行的最短路程是 cm． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，． (1)尺规作图：在上作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求的长． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·江苏盐城·期末）已知：如图，在中，，，垂足为平分交分别于点，点为的中点，过点作交于， (1)求证：；(2)求的长． 21．（本小题满分10分）（23-24八年级下·江西九江·月考）如图，把等边沿着DE折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处，且． (1)求的度数； (2)若，求等边的周长． 22．（本小题满分10分）（23-24八年级下·全国·假期作业）某地要开发一个三角形植物园，其平面示意图如图所示（图上距离是由实际距离按适当比例缩小后得到），测得，，． (1)若入口E在边AB上，且，求从入口E到出口C的距离（线段CE的长度）； (2)在（1）的条件下，若线段CD是一条水渠，且点D在边AB上，，求线段DE的长度． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·河北沧州·期末）如图，一条东西走向的公路一侧有一村庄，从村庄到公路原有两个出口，，其中，．由于暴雨导致到的小路路面塌陷，现已不通，该村为方便村民出行，决定在旁边新修一条小路（，，在同一条直线上），测得，． (1)从村庄到公路，请通过计算说明是否为距离最近的路； (2)求新修的路比原来的路短多少． 24．（本小题满分12分）（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）【问题初探】 （1）如图①，在中，，于点，若，，则的长为 ； 【问题探究】 （2）如图②，在中，，为边上的中线，试探究、、之间的数量关系，并说明理由； 【拓展迁移】 （3）如图③，在中，，，点为的中点，连接， 于点，在的右侧作，，，问的长度是否为定值？若是，请求出的长；若不是，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 20.6 勾股定理（单元基础卷） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26八年级上·浙江金华·期末）一个直角三角形，若三边的平方和为338，则斜边长为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，设直角三角形的两条直角边长分别为、，斜边长为，由勾股定理可得，再由题意得到，则，据此可得答案． 【详解】解：设直角三角形的两条直角边长分别为、，斜边长为， ∴， 又∵三边的平方和为338， ∴， ∴，即， 解得或（舍去） ∴斜边长为13， 故选：C． 2．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）下列各组数中，为勾股数的是（    ） A．3，4，5 B．3，4，6 C． D．0.5，1.2，1.4 【答案】A 【分析】此题主要考查了勾股数，解题关键是熟记勾股数的概念． 根据勾股数的定义（满足的正整数组合），逐一验证选项即可． 【详解】解：A、，故3，4，5是勾股数，符合题意； B、，故3，4，6不是勾股数，不符合题意； C、，，，，故不是勾股数，不符合题意； D、0.5，1.2，1.4不是正整数，故0.5，1.2，1.4不是勾股数，不符合题意； 故选：A． 3．（22-23八年级下·辽宁抚顺·月考）等腰三角形腰长为，底边长为，则底边上的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形底边高线和中线重合的性质，则，可以根据勾股定理计算底边的高． 【详解】解：如图，在中，，，    则为边上的中线，即为中点， ， 在直角中． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的正确运用，考查了等腰三角形底边高线、中线重合的性质，本题中根据勾股定理正确计算是解题的关键． 4．（25-26八年级上·重庆北碚·期末）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈等于十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，设竹子折断处离地面的高度为x尺，根据题意，下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，竹子折断后刚好构成一个直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可． 【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺， 由勾股定理得：， 故选：A． 5．（25-26八年级上·全国·假期作业）如图，为了测得湖两岸A点和B点之间的距离，嘉淇在C点设桩，使，并测得长米，长米，则A点和B点之间的距离为（ ）米 A．100 B．80 C．60 D．120 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，熟练运用勾股定理是解题关键． 根据勾股定理可以直接求解． 【详解】解：由题可知，米，米，， 米． 故选：C 6．（25-26八年级上·陕西汉中·月考）已知的三条边分别为，，，满足，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解决此题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理； 【详解】解：∵的三条边分别为，，，满足， ∴， 根据勾股定理逆定理可知：， 故选：C． 7．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）若一个三角形的三条边的长度分别为，则这个三角形是(   ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的拓展知识，只需比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系即可得解．若三角形的三边分别是、、，是三角形的最长边，则有：（1）这个三角形是锐角三角形；（2）这个三角形是直角三角形；（3）这个三角形是钝角三角形．掌握利用比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系来推导三角形的形状是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴这个三角形是锐角三角形． 故选：A． 8．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）运动铸就辉煌，汗水燃烧激情！阳光小学举办运动会，如图是运动会的颁奖台．3个长方体颁奖台的长均为，宽均为号颁奖台的高度分别是．若一只蚂蚁从3号颁奖台的顶点处沿表面爬到1号颁奖台的顶点处，则蚂蚁爬行的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查展开图求最短路径的问题，运用勾股定理求两点之间的距离是解题的关键． 根据题意将长方体展成平面图，根据两点之间线段最短，由勾股定理即可求得蚂蚁爬行的最短路程． 【详解】解：将长方体部分展成平面图如图，则的长为蚂蚁爬行的最短距离， 由题意，，， ∴， 故选：B． 9．（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图为一块光学直角棱镜的截面，记为，所在的面为不透光的磨砂面，，，现将一束单色光从边上的点O射入，折射后到达边上的点D，恰有，再经过反射后，从点E射出，，垂足为点E，已知，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，先由勾股定理计算得出，再由等面积法计算即可得出结果，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 10．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，在中，按照如下尺规作图的步骤进行操作：    ①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别与，交于M，N两点； ②分别以M，N为圆心，以适当长为半径作弧，两弧交于点D，作射线，与交于点E； ③分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P，Q，作直线，与交于点F； ④连接． 若，，则面积为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据作图过程可知：平分，是的垂直平分线，结合等腰三角形的性质得，设，则，在中，可根据勾股定理求得x的值，最后根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：根据作图过程可知：平分， ∵， ∴，， 根据作图过程可知：是的垂直平分线， ∴， ∵， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了作图——复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和勾股定理，熟练掌握基本作图是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2025八年级上·江苏泰州·专题练习）点到原点的距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内两点之间的距离公式，掌握两点间的距离公式是解题的关键． 直接运用两点之间的距离公式求解即可． 【详解】解：∵点，原点坐标为， ∴点到原点的距离是． 故答案为：． 12．（2026八年级上·重庆·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接，以点A为圆心，的长为半径画弧，交x轴于点C（点C在点A的右侧），则点C的坐标为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，坐标与图形，先利用勾股定理求出的长，进而得到的长，即可求出点C的坐标． 【详解】解：点A的坐标为，点B的坐标为， ， 由题意知，， 点C的横坐标为， 点C的坐标为； 故答案为：． 13．（25-26八年级下·全国·期末）如图，在中，，以为边的正方形的面积分别为9、5．则的长为 ．    【答案】2 【分析】本题考查的是勾股定理的应用．根据勾股定理求出，则可得出答案． 【详解】解：在中，， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：2． 14．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）在中，，，上的中线，则 ． 【答案】17 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理及线段垂直平分线的性质是关键．先根据勾股定理的逆定理，证明，再根据线段垂直平分线的性质，即可求得答案． 【详解】解：是上的中线， ， ， 是直角三角形，， ， ， 是的垂直平分线， ． 故答案为：17． 15．（22-23八年级上·福建宁德·月考）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O．若，，则 ． 【答案】29 【分析】先利用勾股定理求出，，可得，然后由，得出答案． 【详解】解：由题意知， ∴， 根据勾股定理得，，， ∴， 根据勾股定理得，，， ∴， 故答案为：29． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 16．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）如果的三边长分别是，则这个三角形中最大的内角的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，判断三角形是否为直角三角形，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，满足勾股定理的逆定理， ∴是直角三角形， ∴最大内角为． 故答案为：． 17．（2022·山东枣庄·模拟预测）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，则 ． 【答案】34 【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，，然后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在和中，根据勾股定理得：，， ∴， ∵，， ∴ ． 故答案为：34． 18．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知圆柱的高为，底面圆周长为，若一只蚂蚁准备从圆柱的底面处，沿着圆柱的侧面爬到处，则它爬行的最短路程是 cm． 【答案】5 【分析】本题考查了圆柱体的侧面展开最短路径问题，勾股定理．根据题意，画出图形，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：根据题意，设展开图为矩形，，， 如图所示：， 故答案为：5． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，． (1)尺规作图：在上作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题考查基本作图，垂直平分线的性质，勾股定理，正确掌握垂直平分线的尺规作图和性质是解题的关键． （1）作的垂直平分线，可得，即，根据可得； （2）根据题意，得，设，再根据勾股定理，列方程，求解即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所作图形； （2）， ， 连接， ，， ， ， 设，则， 在中，， ，解得， 故． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·江苏盐城·期末）已知：如图，在中，，，垂足为平分交分别于点，点为的中点，过点作交于， (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析(2)6 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，勾股定理，角平分线的定义以及平行线的性质等： （1）根据等角的余角相等可得，从而得到，即可求证； （2）连接，根据角平分线的定义以及平行线的性质可得，从而得到，可得到，从而得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵，点为的中点， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 21．（本小题满分10分）（23-24八年级下·江西九江·月考）如图，把等边沿着DE折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处，且． (1)求的度数； (2)若，求等边的周长． 【答案】(1)；(2)． 【分析】本题考查了等边三角形的性质以及折叠性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由等边三角形的性质得，.因为，得，根据折叠性质以及平角的概念，列式计算，即可作答． （2）先运用勾股定理，得，因为折叠，得，结合周长公式列式代入数值，即可作答． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，. ∵， ∴， ∴， ∴. 由折叠的性质可知，. （2）解：在中，，，， ∴， ∴. 由折叠的性质可知，， ∴， ∴等边的周长. 22．（本小题满分10分）（23-24八年级下·全国·假期作业）某地要开发一个三角形植物园，其平面示意图如图所示（图上距离是由实际距离按适当比例缩小后得到），测得，，． (1)若入口E在边AB上，且，求从入口E到出口C的距离（线段CE的长度）； (2)在（1）的条件下，若线段CD是一条水渠，且点D在边AB上，，求线段DE的长度． 【答案】(1)(2) 【详解】解：（1）∵，，，， ∴， ∴△ABC为直角三角形，且． ∵， ∴E为AB的中点， ∴． （2）如图，过点C作交AB于点F． ∵，∴． ∵， ∴． 在Rt△CEF中，根据勾股定理，得， 则． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·河北沧州·期末）如图，一条东西走向的公路一侧有一村庄，从村庄到公路原有两个出口，，其中，．由于暴雨导致到的小路路面塌陷，现已不通，该村为方便村民出行，决定在旁边新修一条小路（，，在同一条直线上），测得，． (1)从村庄到公路，请通过计算说明是否为距离最近的路； (2)求新修的路比原来的路短多少． 【答案】(1)是(2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理、垂线段最短的性质，熟练掌握勾股定理及其逆定理的应用，以及利用垂线段最短判断最短距离是解题的关键． （1）先利用勾股定理的逆定理，验证三边是否满足，以此判断是否为直角三角形，进而得到与公路垂直，再根据“垂线段最短”确定是否为距离最近的路． （2）先设的长度为未知数，结合表示出的长度，再在中利用勾股定理列方程，求解出的长度，最后计算与的差值． 【详解】（1）解：，，， ，， ． 是直角三角形，且， ∴， 是村庄到公路距离最短的路； （2）解：， ． 由（1）可知， ， ， ，解得， ， 答：新修的小路比原来的路短． 24．（本小题满分12分）（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）【问题初探】 （1）如图①，在中，，于点，若，，则的长为 ； 【问题探究】 （2）如图②，在中，，为边上的中线，试探究、、之间的数量关系，并说明理由； 【拓展迁移】 （3）如图③，在中，，，点为的中点，连接， 于点，在的右侧作，，，问的长度是否为定值？若是，请求出的长；若不是，请说明理由． 【答案】（1）12；（2），理由见解析；（3）是定值，长为8m 【分析】本题考查三角形综合题、勾股定理、三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）由勾股定理求出的长，由三角形的面积可求出答案； （2）由勾股定理得出，，则可得出结论； （3）由勾股定理得出，证出，等量代换可证出，则可得出结论． 【详解】解：（1）在中，， ． ，， ， ， ． ， ， ， 故答案为：12； （2）． 理由：， ， 为边上的中线， ， ， 又， ， 即； （3）是定值，长为． 在中，， ， ， 又， ， 点为的中点，， ， ， ， ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $