专题 20.5 勾股定理全章复习讲义（8大考点16类题型）- 2025-2026学年人教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 20.5 勾股定理全章复习讲义（8大考点16类题型） 目录 一．基础篇（核心考点+基础题型） 2 【考点一】勾股定理的基本应用 2 ★【题型 1】已知直角三角形两边，求第三边 2 ★【题型 2】已知两点坐标求两点距离 2 ★【题型 3】勾股树（数） 3 【考点二】勾股定理的实际应用 4 ★【题型 4】求高度、距离类问题 4 ★【题型 5】航海、 河道类问题 5 ★【题型 6】安全判断类问题 7 【考点三】勾股定理的逆定理 8 ★【题型 7】判断三边能否构成直角三角形 8 ★【题型 8】在网格中判断直角三角形 9 ★【题型 9】勾股定理逆定理的实际应用 10 二．培优篇（拓展考点 + 提升题型） 11 【考点四】勾股定理与网格问题 11 ★★【题型 10】网格中求线段长度 11 【考点五】勾股定理与折叠问题 13 ★★【题型 11】利用方程思想解决折叠问题 13 【考点六】勾股定理的证明方法 14 ★★【题型 12】面积法证明勾股定理 14 ★★【题型 13】以弦图为背景的计算题 16 【考点七】勾股定理与无理数 18 ★★【题型 14】在数轴上表示无理数 18 ★★【题型 15】勾股定理构造图形解决问题 19 【考点八】勾股定理逆定理的拓展问题 20 ★★【题型 16】勾股数相关拓展 20 一．基础篇（核心考点+基础题型） 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题 【考点一】勾股定理的基本应用 ★【题型 1】已知直角三角形两边，求第三边 （1）已知直角三角形两边，求第三边；（2）求直角三角形斜边上的高；（3）已知等腰三角形底边和腰，求高或面积。 【例题1】（25-26八年级上·甘肃兰州·期中）如图，在等腰三角形中，，． (1)求的面积； (2)过点作边的高线，求的长． 【变式1】（25-26八年级上·河南周口·期末）已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则斜边长为（   ） A．5 B．7 C． D．25 【变式2】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）在中， ，，，则点到的距离为 ． 【变式3】（22-23七年级下·陕西咸阳·月考）如图，是等腰三角形，，点是边上的一点，连接． (1)若的周长是，，点是的中点，求的长； (2)若，，，求的面积． ★【题型 2】已知两点坐标求两点距离 平面直角坐标系中，利用坐标差结合勾股定理计算距离 【例题2】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，是边上的中线，求： (1)点C的坐标； (2)的长． 【变式1】（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，已知点，的坐标分别为，，连接，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·四川成都·月考）平面直角坐标系中，若点，，则线段的长度为 ，当A，B关于C点对称时，C点的坐标为 ． 【变式3】（2025八年级下·河北·专题练习）已知点、，并且，求a的值． ★【题型 3】勾股树（数） 以直角三角形三边向外作正方形 / 等边三角形等，求图形面积关系；勾股树中多组直角三角形的边长递推计算 【例题3】（23-24八年级下·河北廊坊·期末）我们知道，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．通过观察常见勾股数“6，8，10”“8，15，17”……猜想一组正整数a，b，，当最小数a为偶数时，另两个正整数b和c满足，，则a，b，c是一组勾股数． (1)根据猜想，一组正整数中，最小数a为10，则另两个数分别是__________，__________； (2)请再举一例证明猜想成立． 【变式1】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）勾股数又名毕氏三元数，下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B． C．3，4，5 D．3，6，8 【变式2】（25-26八年级上·浙江湖州·期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2，1，3，2，则最大的正方形的面积为 ． 【变式3】（23-24八年级上·江苏镇江·期中）满足的三个正整数，称为勾股数． (1)请把下列三组勾股数补充完整： ①______，8，10；②5，______，13；③8，15，______． (2)任取两个正整数m和n（），请你证明这三个整数，，是勾股数． 【考点二】勾股定理的实际应用 ★【题型 4】求高度、距离类问题 梯子滑落高度（已知梯子长度、初始、末态与地面夹角，求高度变化）；旗杆高度（已知影子长度、夹角，利用直角三角形求高度）；小鸟飞行距离（已知水平或垂直位移，求直线距离）；大树折断前高度；水杯中筷子问题（已知水杯高度、底面直径，求筷子最大或最小露出长度） 【例题1】（25-26八年级上·全国·期末）如图，某校校庆时，从教学楼楼顶的处向围墙上的处拉彩旗．已知墙和教学楼的水平距离米，教学楼高米，围墙高米，问至少需要多长的彩旗带？ 【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，已知消防云梯最长只能伸长到，消防车高，救援时云梯伸长至最长，在完成从高的A处救援后，还要完成比A处高的点C处的救援，则消防车需要从点B处向点D处移动的距离为（   ）． A．8 B．7 C．4 D．3 【变式2】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）某同学想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，旗杆的高度是 ． 【变式3】（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·月考）一个底面为的长方体玻璃容器中装满水，先将部分水倒入一个底面为正方形，高为的铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了， (1)铁桶的底面边长是多少？（结果保留根号） (2)把一根长100cm的铁棍放入铁桶内，铁棍最少还有多长露出水面． ★【题型 5】航海、 河道类问题 解决航海问题（已知方位角、航行距离，求两点间直线距离）；求河宽（已知两岸观测点角度、距离，求河宽）；台阶上地毯长度（已知台阶高度、宽度，求地毯总长度） 【例题2】（25-26八年级上·山西长治·期末）春节来临，人们对海鲜的需求加大，因此各渔船主都加紧出海捕捞．如图，某日琼州湾两艘渔船A和B与某灯塔C位置如图，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是600海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是450海里． (1)求渔船A与渔船B之间的距离． (2)若C处灯塔发射的信号有效覆盖半径为390海里，此时B渔船准备沿直线向A渔船靠拢航行，航行的速度为每小时25海里．求B渔船在驶向A渔船的过程中，收到信号的持续时间有多少小时？ 【变式1】（2025九年级·上海·专题练习）一次游学活动中，小杰从营地出发，沿北偏东方向走了米到达处，然后再沿北偏西方向走了米到达目的地处(如图所示)，那么，两地的距离是( ) A．米 B．米 C．米 D．米 【变式2】（24-25八年级下·广西南宁·期中）某游泳爱好者想横渡一条河，由于流水的影响，实际上岸地点偏离了想到达的点 米．他在水中游了米，则这条河的宽度为（两岸可近似看作平行） ． 【变式3】（24-25八年级下·广西来宾·期末）（1）等边三角形的边长为2，求它的中线长，并求出其面积； （2）数学兴趣小组为测量学校A与河对岸的体育馆B之间的距离，在A的同岸选取点C，测得，如图所示，求A，B之间的距离． ★【题型 6】安全判断类问题 判断汽车是否超速（已知测速点距离、通过时间，计算速度并判断）；判断是否受台风影响（已知台风路径、城市距离，判断是否进入影响范围）；选址使两地距离相等（已知两地位置，求满足距离相等的点） 【例题3】（25-26八年级上·四川宜宾·月考）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗?（参考数据转换：） 【变式1】（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以20米/秒的速度行驶时，处受噪音影响的时间为（    ）    A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒 【变式2】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）县城某一路段规定汽车行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在该路段上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方的C处，过了后，小车到达B处，此时测得A、B间距离为，，这辆小汽车是否超速？ （填“是”或者“否”） 【变式3】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，某沿海城市接到台风预警，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离为． (1)求台风中心从点移到点的距离的长？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么市受到台风影响的时间持续多少小时？ 【考点三】勾股定理的逆定理 ★【题型 7】判断三边能否构成直角三角形 已知三边长，利用逆定理判断是否为直角三角形；已知三角形三边比例，判断是否为直角三角形。 【例题1】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，是的中点，交于点，连接，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【变式1】（25-26八年级上·河南开封·期末）下列几组数能作为直角三角形三条边的长度的是（   ） A．9，12，15 B．12，18，22 C．12，15，36 D．15，36，41 【变式2】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，，分别以A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为P、Q，过P、Q两点作直线交于点D，则的长为 ． 【变式3】（25-26八年级上·江西抚州·期末）在的正方形网格中，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图． (1)在图①中，画出一条以格点为端点，长度为的线段； (2)在图②中，以格点为顶点，画出一个直角三角形，其中三边长均为无理数． ★【题型 8】在网格中判断直角三角形 利用网格边长，通过勾股定理逆定理判断三角形是否为直角三角形。 【例题2】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点均在网格线的交点上． (1)直接写出三边的长度． (2)判断的形状，并说明理由． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，，，三点均在正方形格点（网格线的交点）上，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．点到直线的距离是2 【变式2】（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，每个小正方形的边长都是1，，，是小正方形的顶点，则 ． 【变式3】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，有一块三角形菜园，其中，，． (1)判断菜园的边与是否垂直，并说明理由； (2)现要扩大菜园，在边的延长线上找一点D，使边的长为，求的长． ★【题型 9】勾股定理逆定理的实际应用 利用逆定理判断实际图形（如零件、地基）是否为直角结构；解决实际测量中的直角判断问题。 【例题3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，某湿地公园有一块四边形草坪，公园管理处计划修一条从点到点的小路，经测量，，，，，． (1)小路的长为 m． (2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点处，小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，到点时停止奔跑．当小狗在小路上奔跑且与淇淇的距离最近时，小狗总共跑了多少秒？ 【变式1】（25-26八年级上·浙江衢州·期末）如图，一块四边形地，已知，，，，，则这块地的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得，，，，且．这块菜地的面积是 ． 【变式3】（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，一架无人机悬停在空中点处，点与地面上点之间的距离米，点与地面上点的距离米，且米．    (1)求的度数； (2)现这架无人机沿所在直线向下飞行至点处时，若，求这架无人机向下飞行的距离（的长）． 二．培优篇（拓展考点 + 提升题型） 【考点四】勾股定理与网格问题 ★★【题型 10】网格中求线段长度 利用网格线构造直角三角形，求任意两点间距离；求网格中多边形的周长或面积。 【例题3】（25-26八年级上·江苏·月考）如图，由边长均为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在格点上，依次连接点A，B，C，得到．用两种不同的方法证明． 【变式1】（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在的正方形网格中，点均在各小正方形的顶点处，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·天津·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1） ； （2）在图中画出平行四边形，为格点；在边上画一点，使得；找到格点，画出直线，使得平分平行四边形的面积． （不必说明理由，不写画法） 【变式3】（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，方格纸中每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，现有，，三点，其中点坐标为，点坐标为，点坐标为． (1)在方格纸中建立平面直角坐标系，直接写出的值．并画出点． (2)连接，判断的形状，并说明理由． 【考点五】勾股定理与折叠问题 利用折叠前后对应边相等的性质，将未知线段与已知线段转化到同一个直角三角形中，再通过勾股定理列方程求解。 ★★【题型 11】利用方程思想解决折叠问题 【例题11】（25-26八年级上·江西九江·期末）如图，在中，，，，点E在上，连接，将沿折叠至处，点D在的延长线上，求解下列问题： (1)求的长； (2)求的长． 【变式1】（25-26八年级上·重庆合川·期末）如图，在长方形中，为对角线，为的中点，将沿所在直线折叠至该长方形所在平面内，得与交于点，连接，若，则边的长度为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式2】（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，长方形沿直线折叠，使点落在同一平面内的点处，与交于点，，．则的长为 ． 【变式3】（25-26八年级上·上海闵行·期末）如图，已知，，点是线段的中点，平分． (1)求证：平分； (2)如果，求四边形的周长； (3)将线段沿着经过点的一条直线翻折，点恰好落在射线上的点处，过点作，交边于点，试猜想线段与之间的数量关系，并进行证明． 【考点六】勾股定理的证明方法 ★★【题型 12】面积法证明勾股定理 利用 “赵爽弦图”“总统证法” 等经典图形，通过面积关系证明定理；构造新的几何图形，用面积法推导勾股定理. 【例题12】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，于C，，点E为上一点，连接，，的延长线交于F． (1)求证：； (2)若，请利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，即求证：． 【变式1】（24-25八年级上·广东揭阳·月考）到目前为止勾股定理的证明方法已约有500种，这些证法融几何知识与代数知识于一体，完美地体现了数形结合的魅力．如图所示可以用来验证勾股定理的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（23-24七年级上·湖北武汉·自主招生）“数缺形不直观，形缺数不入微”，数形结合思想是数学学习中的一个重要的数学思想，请仔细观察下面几幅图形并回答后面的问题： ①由图形 可知；勾股定理成立； ②由图形 可知；完全平方公式成立； ③由图形 可知；平方差公式成立； ④由图形 可知；公式成立． 【变式3】（25-26八年级上·福建福州·期末）填空及解答： 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)图1是由4个全等的直角三角形所拼成的大正方形，中间空白部分是边长为的小正方形，请借助图1来验证勾股定理． 证明：由等面积法知： ___________ ___________，得证． (2)应用勾股定理 应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点． 如图2，在数轴上找出表示2的点，过点作直线垂直于数轴，在上取点，使，以原点为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点表示的数是___________． 应用场景2——解决实际问题． 如图3，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． ★★【题型 13】以弦图为背景的计算题 已知弦图中内外正方形边长，求直角三角形边长; 弦图中线段长度、角度的综合计算. 【例题13】（25-26八年级上·上海金山·期末）【问题情境】 数学课上老师让同学们探究勾股定理的证明方法．某综合与实践小组通过阅读课本学习了我国汉代数学家赵爽证明勾股定理的方法．赵爽在注解《周髀算经》时，给出了“赵爽弦图”（图1），通过此图的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． 【定理探究】 （1）若直角三角形中，，请你利用图1中的“赵爽弦图”证明勾股定理． 【实践应用】 （2）有两个正方形如图2所示放置在网格中，请你通过切割、拼接，把这两个正方形转化成一个大正方形，请设计出你的方案（画出分割线和拼成的大正方形）． 【变式1】（25-26八年级上·河南新乡·期末）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图，大正方形的面积是14，小正方形的面积是4，直角三角形的两直角边分别为，，那么的值是（    ） A．24 B．20 C．16 D．12 【变式2】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）如图，在赵爽弦图中连接四条线段得到如图2的新的图案．图1中的直角三角形的长直角边为9，短直角边为4，图2中的阴影部分的面积为，那么的值为 ． 【变式3】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）第届数学教育大会（）会标如图所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形． 【知识探索】（1）请用图验证勾股定理：； 【知识迁移】（2）如果满足等式的是三个正整数，我们称为勾股数．已知是正整数且．请证明，，是勾股数； 根据中的结论，写出一组符合条件的勾股数___________； 【知识应用】（3）鹿鸣社团计划在学校菜园上种青菜，使之构成如图所示的“弦图”，已知这四个直角三角形的三边是勾股数，最短的边长为米，种青菜要求：仅在三角形边上种青菜，每个三角形顶点处都种1棵青菜，各边上相邻两棵青菜之间的距离均为米，那么这块菜园最少需要种植多少棵青菜？（直接写出结果，不必说明理由）． 【考点七】勾股定理与无理数 ★★【题型 14】在数轴上表示无理数 利用勾股定理构造直角三角形，在数轴上表示无理数；利用勾股定理在数轴上表示复杂无理数。 【例题14】（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）请在数轴上用尺规找到表示的点，记作点A．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式1】（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，已知，，于点C，则数轴上点A所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，点是以点为圆心，为半径画弧与数轴的交点，点是以点为圆心，为半径画弧与数轴的交点，数轴上点，表示的数分别为，．化简为 ． 【变式3】（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图，． (1)点A表示的数是______，点A表示的数______（填“”、“”或“”）； (2)在数轴上作出所对应的点（保留作图痕迹）； (3)这种研究和解决问题的方式，体现了______的数学思想． A．数形结合   B．方程   C．分类讨论   D．化归 ★★【题型 15】勾股定理构造图形解决问题 构造直角三角形解决无理数的大小比较问题；利用勾股定理构造图形解决无理数的运算问题。 【例题3】（25-26八年级上·山西运城·期中）《九章算术》卷九“勾股”中记载：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为：在直立于地面的一根木杆的顶端处，系一根绳索，绳索自然下垂后拖在地面上的长度为3尺（如图1）．在距木杆底端处8尺的地面上点处拉绳索，整根绳索恰好被拉直（如图2）．问绳索有多长？ (1)请通过已学知识解决这个实际问题； (2)将这个问题一般化，即已知直角三角形的勾长（较短的直角边）为，弦长（斜边）与股长（较长的直角边）的差为，弦长为，请用，表示，其结果为 ． 【变式1】（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，一个正六棱柱的礼品盒子底面边长为，盒子高为，点在顶点正上方处．用红色彩带从顶点开始，绕礼盒侧面一圈到点，再用黄色彩带从点开始绕侧面到顶点装饰，则红色与黄色彩带的总长度至少为 ． 【变式3】一辆装满货物的卡车，高，宽，要开进上边是半圆，下边是长方形的桥洞（如图所示）．已知半圆的直径为，长方形的另一条边长为． (1)这辆卡车能否安全通过桥洞？请说明理由． (2)为了适应车流量的增加，要将桥洞改为双行道．如果要使宽为、高为的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少应增加到多少米？ 【考点八】勾股定理逆定理的拓展问题 ★★【题型 16】勾股数相关拓展 寻找满足勾股数的整数解；利用勾股数解决三角形边长的整数问题。 【例题16】（24-25九年级下·福建厦门·月考）已知：满足的三个正整数a，b，c称为一组勾股数，很多勾股数组具有规律： (1)设，观察提供的4组勾股数的规律，完成第⑤组勾股数； 当a为奇数时如①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41，⑤11， ， ； 当a为偶数时，如①6，8，10；②8，15，17；③10，24，26；④12，35，37，⑤14， ， ； (2)猜想：三个整数中，若最小的数为奇数n，另外两个数分别为 ， ，则这三个数为勾股数，请你补充完整的猜想并验证这一猜想是否正确． 【变式1】（25-26八年级上·河南郑州·月考）定义：如果一个正整数m能表示成两个不同的正整数a和b的平方和，即，那么称m为广义勾股数．给出下面四个结论：①不是广义勾股数；②是广义勾股数；③广义勾股数的2倍是广义勾股数；④不同的广义勾股数的和是广义勾股数．正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（25-26八年级上·四川成都·期末）若，，是一组勾股数，且，，，则 ． 【变式3】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）课堂上学习了勾股定理后知道：直角三角形三边长是整数时我们称之为“勾股数”．王老师给出一组数让学生观察：；；；；，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．若两直角边为（），斜边为． (1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：、 、 ； (2)当（为奇数，且）时，若 ， 时可以构造出勾股数（用含的代数式表示），并证明你的猜想； (3)构造勾股数的方法很多，请你寻找当时， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 20.5 勾股定理全章复习讲义（8大考点16类题型） 目录 一．基础篇（核心考点+基础题型） 2 【考点一】勾股定理的基本应用 2 ★【题型 1】已知直角三角形两边，求第三边 2 ★【题型 2】已知两点坐标求两点距离 5 ★【题型 3】勾股树（数） 7 【考点二】勾股定理的实际应用 10 ★【题型 4】求高度、距离类问题 10 ★【题型 5】航海、 河道类问题 13 ★【题型 6】安全判断类问题 17 【考点三】勾股定理的逆定理 20 ★【题型 7】判断三边能否构成直角三角形 20 ★【题型 8】在网格中判断直角三角形 24 ★【题型 9】勾股定理逆定理的实际应用 27 二．培优篇（拓展考点 + 提升题型） 31 【考点四】勾股定理与网格问题 31 ★★【题型 10】网格中求线段长度 31 【考点五】勾股定理与折叠问题 35 ★★【题型 11】利用方程思想解决折叠问题 35 【考点六】勾股定理的证明方法 40 ★★【题型 12】面积法证明勾股定理 40 ★★【题型 13】以弦图为背景的计算题 46 【考点七】勾股定理与无理数 51 ★★【题型 14】在数轴上表示无理数 51 ★★【题型 15】勾股定理构造图形解决问题 54 【考点八】勾股定理逆定理的拓展问题 58 ★★【题型 16】勾股数相关拓展 58 一．基础篇（核心考点+基础题型） 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题 【考点一】勾股定理的基本应用 ★【题型 1】已知直角三角形两边，求第三边 （1）已知直角三角形两边，求第三边；（2）求直角三角形斜边上的高；（3）已知等腰三角形底边和腰，求高或面积。 【例题1】（25-26八年级上·甘肃兰州·期中）如图，在等腰三角形中，，． (1)求的面积； (2)过点作边的高线，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及三角形的面积等知识，掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键． （1）过点A作于点D，根据等腰三角形的性质，求出，再利用勾股定理求出，则面积可求； （2）结合（1）的结果，根据即可求解． （1）解：过点作于点， ，， ， ， ， ； （2）解：如图， ， ， ． 【变式1】（25-26八年级上·河南周口·期末）已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则斜边长为（   ） A．5 B．7 C． D．25 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用.根据勾股定理计算即可. 解：∵ 直角三角形的两条直角边长分别为3和4， ∴ 根据勾股定理，斜边长 . ∴ 斜边长为5， 故选：A. 【变式2】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）在中， ，，，则点到的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用勾股定理和面积法解答． 通过勾股定理求出斜边的长度，再利用三角形的面积公式求解点到的距离． 解：过点作于点，如图所示； 在中，，，， 由勾股定理得， 则的面积为， 同时面积为， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 【变式3】（22-23七年级下·陕西咸阳·月考）如图，是等腰三角形，，点是边上的一点，连接． (1)若的周长是，，点是的中点，求的长； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理； （1）根据等腰三角形的性质得，，进而勾股定理，即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解． （1）解：因为点是的中点，， 所以． 因为的周长是，，所以． 因为是等腰三角形，，点是的中点，所以． 在中，，，所以． （2）因为，，， 所以，即，所以． 因为，所以， 所以 所以． ★【题型 2】已知两点坐标求两点距离 平面直角坐标系中，利用坐标差结合勾股定理计算距离 【例题2】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，是边上的中线，求： (1)点C的坐标； (2)的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了中点坐标，用勾股定理解三角形，已知两点坐标求两点距离等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）利用线段中点求出点C的坐标； （2）利用勾股定理求得的长． （1）解：∵在中，点B的坐标为，是边上的中线， ∴点C的坐标为； （2）解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，已知点，的坐标分别为，，连接，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两点之间的距离公式，熟练掌握两点之间的距离公式是解题关键．根据两点之间的距离公式求解即可． 解：点，的坐标分别为，， ． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·四川成都·月考）平面直角坐标系中，若点，，则线段的长度为 ，当A，B关于C点对称时，C点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了中点坐标公式及平面上两点间的距离公式，根据平面上两点间的距离公式求出线段的长度，根据题意得出点C是点A，B的中点，根据中点坐标公式即可求解． 解：∵，， ， ∵点A，B关于点C对称， ∴点C是点A，B的中点， ∴， 故答案为：，． 【变式3】（2025八年级下·河北·专题练习）已知点、，并且，求a的值． 【答案】6或 【分析】本题考查两点间距离公式的运用，解题的关键是正确利用两点间距离公式得到关于a的方程． 根据题意，由P、Q的坐标以及的值可得，将其变形可得，解可得a的值，即可得答案． 解：根据题意，点、， 则， 即， 解可得或， 故a的值为6或． ★【题型 3】勾股树（数） 以直角三角形三边向外作正方形 / 等边三角形等，求图形面积关系；勾股树中多组直角三角形的边长递推计算 【例题3】（23-24八年级下·河北廊坊·期末）我们知道，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．通过观察常见勾股数“6，8，10”“8，15，17”……猜想一组正整数a，b，，当最小数a为偶数时，另两个正整数b和c满足，，则a，b，c是一组勾股数． (1)根据猜想，一组正整数中，最小数a为10，则另两个数分别是__________，__________； (2)请再举一例证明猜想成立． 【答案】(1)24，26 (2)证明见解析 【分析】本题考查勾股定理的证明． （1）依据材料所给公式，代入计算即可； （2）再任意举例计算即可证明． （1）解：当a为10，则，， 故答案为：24，26； （2）解：若最小数， 则，， ∵ ∴猜想成立． 【变式1】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）勾股数又名毕氏三元数，下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B． C．3，4，5 D．3，6，8 【答案】C 【分析】本题考查勾股数，勾股数是指三个正整数，且满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此对各选项进行判断即可． 解：A、，不是勾股数，不符合题意； B、不是整数，不是勾股数，不符合题意； C、，是勾股数，符合题意； D、，不是勾股数，不符合题意； 故选C． 【变式2】（25-26八年级上·浙江湖州·期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2，1，3，2，则最大的正方形的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题考查以勾股定理为背景的图形面积的计算，理解图示，掌握勾股定理计算图形面积的方法是解题的关键． 设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，根据题意，运用勾股定理可得，正方形的面积是正方形的面积和，正方形的面积是正方形的面积和，正方形的面积是正方形的面积和，由此即可求解． 解：如图，设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为， 根据题意可得，，， ∴， ∴正方形的面积为3，即正方形的面积是正方形的面积和， 同理，正方形的面积是正方形的面积和，即正方形的面积为， ∴同理可得，正方形的面积为， 故答案为：8． 【变式3】（23-24八年级上·江苏镇江·期中）满足的三个正整数，称为勾股数． (1)请把下列三组勾股数补充完整： ①______，8，10；②5，______，13；③8，15，______． (2)任取两个正整数m和n（），请你证明这三个整数，，是勾股数． 【答案】(1)①6；②12；③17 (2)见解析 【分析】本题考查勾股数： （1）根据勾股数的定义求解即可； （2）根据勾股数的定义，分别计算各整式的平方，然后判断等式是否成立即可． （1）解：①∵， ∴6，8，10是勾股数； 故答案为：6 ②∵， ∴5，12，13是勾股数； 故答案为：12 ③∵， ∴8，15，17是勾股数． 故答案为：17； （2）证明：∵，， ∴， ∴三个整数，，是勾股数； 【考点二】勾股定理的实际应用 ★【题型 4】求高度、距离类问题 梯子滑落高度（已知梯子长度、初始、末态与地面夹角，求高度变化）；旗杆高度（已知影子长度、夹角，利用直角三角形求高度）；小鸟飞行距离（已知水平或垂直位移，求直线距离）；大树折断前高度；水杯中筷子问题（已知水杯高度、底面直径，求筷子最大或最小露出长度） 【例题1】（25-26八年级上·全国·期末）如图，某校校庆时，从教学楼楼顶的处向围墙上的处拉彩旗．已知墙和教学楼的水平距离米，教学楼高米，围墙高米，问至少需要多长的彩旗带？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 过作于，求得，根据勾股定理即可得到结论． 解：如图，过作于， 则四边形是长方形， ，， ， 在中，， ， 答：至少需要的彩旗带． 【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，已知消防云梯最长只能伸长到，消防车高，救援时云梯伸长至最长，在完成从高的A处救援后，还要完成比A处高的点C处的救援，则消防车需要从点B处向点D处移动的距离为（   ）． A．8 B．7 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，运用勾股定理求解是解题的关键． 由题意得，，，，，则，，先在中求出，再在中求出，即可由求解． 解：由题意，得，，，， ∴，， 在中，由勾股定理，得 ， 在中，由勾股定理，得 ， ∴， 即消防车需要从点处向点处移动的距离为． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）某同学想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，旗杆的高度是 ． 【答案】12米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设旗杆高度为米，则绳子长度为米，根据勾股定理建立方程求解． 解：设旗杆高度为米，则绳子长度为米， 根据题意，得， 解得． 故旗杆的高度为12米， 故答案为：12米． 【变式3】（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·月考）一个底面为的长方体玻璃容器中装满水，先将部分水倒入一个底面为正方形，高为的铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了， (1)铁桶的底面边长是多少？（结果保留根号） (2)把一根长100cm的铁棍放入铁桶内，铁棍最少还有多长露出水面． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了算术平方根的应用，勾股定理的应用； （1）设铁桶的底面边长，根据容器中倒出的水的体积等于铁桶中水的体积，列出方程，利用算术平方根求解即可； （2）在中，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理求出，即可求解． （1）解：设铁桶的底面边长， 根据题意，得， 解得（负值已舍去）， 答：铁桶的底面边长； （2）解：如图， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴ ∴铁棍最少还有露出水面． ★【题型 5】航海、 河道类问题 解决航海问题（已知方位角、航行距离，求两点间直线距离）；求河宽（已知两岸观测点角度、距离，求河宽）；台阶上地毯长度（已知台阶高度、宽度，求地毯总长度） 【例题2】（25-26八年级上·山西长治·期末）春节来临，人们对海鲜的需求加大，因此各渔船主都加紧出海捕捞．如图，某日琼州湾两艘渔船A和B与某灯塔C位置如图，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是600海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是450海里． (1)求渔船A与渔船B之间的距离． (2)若C处灯塔发射的信号有效覆盖半径为390海里，此时B渔船准备沿直线向A渔船靠拢航行，航行的速度为每小时25海里．求B渔船在驶向A渔船的过程中，收到信号的持续时间有多少小时？ 【答案】(1)750海里 (2)12小时 【分析】本题考查勾股定理的应用和方向角，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据方向角，易得，再根据勾股定理，计算即可求解． （2）过点C作交于点H，在上取点D，E，使得海里，根据等面积法，可得，根据勾股定理，求出，从而得出，计算即可求解． （1）解：由题意，得：，， ， 海里，海里， （海里）， 即渔船A与渔船B之间的距离为750海里； （2）过点C作交于点H，在上取点D，E，使得海里， ， ， ， （海里）， 海里， （海里）， 则（海里）， 行驶时间为（小时）， 答：B渔船在驶向A渔船的过程中，收到信号的持续时间有12小时． 【变式1】（2025九年级·上海·专题练习）一次游学活动中，小杰从营地出发，沿北偏东方向走了米到达处，然后再沿北偏西方向走了米到达目的地处(如图所示)，那么，两地的距离是( ) A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的实际应用与方向角的意义，关键是通过方向角的关系判断出为直角三角形，再利用勾股定理计算斜边的长度． 解：如图，直线， ∴， ∵， ∴， ∴为直角三角形． ∵，， ∴， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·广西南宁·期中）某游泳爱好者想横渡一条河，由于流水的影响，实际上岸地点偏离了想到达的点 米．他在水中游了米，则这条河的宽度为（两岸可近似看作平行） ． 【答案】米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，因为游泳爱好者想横渡一条河，所以可知，在中，利用勾股定理可以求出米． 解：游泳爱好者想横渡一条河， ， ， 在中，米，米， 米． 故答案为：米． 【变式3】（24-25八年级下·广西来宾·期末）（1）等边三角形的边长为2，求它的中线长，并求出其面积； （2）数学兴趣小组为测量学校A与河对岸的体育馆B之间的距离，在A的同岸选取点C，测得，如图所示，求A，B之间的距离． 【答案】（1）中线，；（2）． 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理的实际应用，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得到，，再由勾股定理求解高，最后由三角形面积公式即可求解； （2）先证明为等腰直角三角形，再由勾股定理即可求解． 解：（1）如图，为等边的中线，， ∴，， ∴由勾股定理得:， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得：． ★【题型 6】安全判断类问题 判断汽车是否超速（已知测速点距离、通过时间，计算速度并判断）；判断是否受台风影响（已知台风路径、城市距离，判断是否进入影响范围）；选址使两地距离相等（已知两地位置，求满足距离相等的点） 【例题3】（25-26八年级上·四川宜宾·月考）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗?（参考数据转换：） 【答案】超速了 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出，进而求出小汽车的速度，再与限制的速度比较即可判断求解，掌握勾股定理是解题的关键． 解：由题意得，在中，，，， ∴， ∴小汽车的速度为， ∵， ∴这辆小汽车超速了． 【变式1】（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以20米/秒的速度行驶时，处受噪音影响的时间为（    ）    A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒 【答案】B 【分析】本题考查的是点勾股定理的应用，过点作，利用直角三角形的性质求出的长与相比较，发现受到影响，然后过点作，求出的长即可得出受噪音影响的时间． 解：如图：过点作，米， ，米， 米， 当火车到点时对处产生噪音影响，此时米， 米，米， 由勾股定理得：米，米，即米， 火车在铁路上沿方向以20米秒的速度行驶， 影响时间应是：秒． 故选：B．    【变式2】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）县城某一路段规定汽车行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在该路段上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方的C处，过了后，小车到达B处，此时测得A、B间距离为，，这辆小汽车是否超速？ （填“是”或者“否”） 【答案】是 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理计算出的长度，进而计算出小汽车的速度，即可判断． 解：由题意知，，，， ， 小汽车从C到B用了， 小汽车的速度为， ， 小汽车是超速， 故答案为：是． 【变式3】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，某沿海城市接到台风预警，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离为． (1)求台风中心从点移到点的距离的长？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么市受到台风影响的时间持续多少小时？ 【答案】(1)的长为 (2)市受到台风影响的时间持续小时 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，理解题意并正确计算是关键． （1）使用勾股定理直接计算即可； （2）以点为圆心，为半径作圆，交于点、，使用勾股定理求出，再除以台风的速度求出持续时间． （1）解：由题意可得，， 在直角中，． 答：的长为． （2）解：如图，以点为圆心，为半径作圆，交于点、， 由题意可知，台风在段时，对市有影响． 在直角中，， 同理，， ∴， ∴影响持续的时间为． 答：市受到台风影响的时间持续小时． 【考点三】勾股定理的逆定理 ★【题型 7】判断三边能否构成直角三角形 已知三边长，利用逆定理判断是否为直角三角形；已知三角形三边比例，判断是否为直角三角形。 【例题1】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，是的中点，交于点，连接，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，角平分线的判定等，熟练掌握知识点是解题的关键． （）由已知可得是线段的垂直平分线，即得，再根据勾股定理的逆定理即可求证； （）由得，再根据角平分线的判定定理可得，即得到，得到，即可求解． （1）证明：∵是的中点，交于点， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴； （2）解：由（）知，， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴点在的角平分线上，即平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·河南开封·期末）下列几组数能作为直角三角形三条边的长度的是（   ） A．9，12，15 B．12，18，22 C．12，15，36 D．15，36，41 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．欲求证是否为直角三角形，利用勾股定理的逆定理即可．这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 解：A、，故是直角三角形，符合题意； B、，故不是直角三角形，不符合题意； C、，故不是直角三角形，不符合题意； D、，故不是直角三角形，不符合题意． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，，分别以A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为P、Q，过P、Q两点作直线交于点D，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，用勾股定理解三角形，判断三边能否构成直角三角形等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先根据线段垂直平分的性质得出，从而可用表示出，再证明是直角三角形，，从而可利用勾股定理求得，进而求得． 解：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·江西抚州·期末）在的正方形网格中，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图． (1)在图①中，画出一条以格点为端点，长度为的线段； (2)在图②中，以格点为顶点，画出一个直角三角形，其中三边长均为无理数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，掌握知识点是解题的关键． （1）根据勾股定理进行作图即可； （2）根据勾股定理的逆定理进行作图即可． （1）解：如图，线段为所作的线段． 理由如下： ． （2）解：如图，即为所作的三角形． 理由如下： ∵， ∴， 即， ∴为直角三角形，且三边长均为无理数． ★【题型 8】在网格中判断直角三角形 利用网格边长，通过勾股定理逆定理判断三角形是否为直角三角形。 【例题2】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点均在网格线的交点上． (1)直接写出三边的长度． (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题关键． （1）根据网格特点，利用勾股定理求解即可得； （2）利用勾股定理的逆定理求解即可得． （1）解：由网格可知，， ， ． （2）解：由（1）已得：，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，，，三点均在正方形格点（网格线的交点）上，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．点到直线的距离是2 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形面积计算及等面积法，掌握网格中用勾股定理求边长，用逆定理判断直角，用等面积法求高是解题的关键． 先利用勾股定理计算三边长度，再通过勾股定理逆定理判断直角，接着用直角三角形面积公式求面积，最后用等面积法求点到直线的距离，逐一验证选项． 解：∵，，， ， ，故A，B选项的结论正确，不符合题意； ，故C选项的结论错误，符合题意； 设点到直线的距离是，则， ，故D选项的结论正确，不符合题意． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，每个小正方形的边长都是1，，，是小正方形的顶点，则 ． 【答案】 【分析】连接，利用勾股定理求出各边的长度，再根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状，进而求出的度数． 解：连接，如图． 由题意得，，， ，． 是等腰直角三角形． ． 【点睛】本题考查了勾股定理及等腰直角三角形的判定，解题关键是通过勾股定理求出三角形三边长度，结合勾股定理的逆定理判断三角形形状，进而得出角的度数． 【变式3】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，有一块三角形菜园，其中，，． (1)判断菜园的边与是否垂直，并说明理由； (2)现要扩大菜园，在边的延长线上找一点D，使边的长为，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握以上定理． （1）根据勾股定理的逆定理进行证明即可； （2）根据勾股定理进行求解即可． （1）解：，理由如下： ∵，且， 即， ∴为直角三角形， ∴， 即； （2）解：∵， ∴由勾股定理得， ∴． ★【题型 9】勾股定理逆定理的实际应用 利用逆定理判断实际图形（如零件、地基）是否为直角结构；解决实际测量中的直角判断问题。 【例题3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，某湿地公园有一块四边形草坪，公园管理处计划修一条从点到点的小路，经测量，，，，，． (1)小路的长为 m． (2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点处，小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，到点时停止奔跑．当小狗在小路上奔跑且与淇淇的距离最近时，小狗总共跑了多少秒？ 【答案】(1)25 (2)当小狗在小路上奔跑且与淇淇的距离最近时，小狗总共跑了16s 【分析】（1）先运用勾股定理列式计算，即可作答． （2）先证明，再运用面积法，得出，根据勾股定理列式计算得出长度，最后结合运动速度，即可作答． （1）解： 在中， ， 小路的长为. 故答案为：25. （2）解：如图所示，过点作于点． 当小狗在小路上奔跑，且跑到点的位置时，小狗与淇淇的距离最近． ，，，， ， 是直角三角形，， 则， ， ， ． ． 故当小狗在小路上奔跑且与淇淇的距离最近时，小狗总共跑了16s． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，等面积法，解题的关键是正确掌握相关性质内容． 【变式1】（25-26八年级上·浙江衢州·期末）如图，一块四边形地，已知，，，，，则这块地的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理等知识点，连接，由，，利用勾股定理可求出的长，再根据，，利用勾股定理的逆定理可证为直角三角形，然后即可求出这块地的面积． 解：连接， ，，， ∴， ， ，， ∴，， ，则为直角三角形，且， 这块地的面积为． 故选：B． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得，，，，且．这块菜地的面积是 ． 【答案】114 【分析】连接，先在中，利用勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后根据四边形的面积=的面积+的面积，进行计算即可解答． 解：连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形的面积=的面积+的面积 ∴这块菜地的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【变式3】（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，一架无人机悬停在空中点处，点与地面上点之间的距离米，点与地面上点的距离米，且米．    (1)求的度数； (2)现这架无人机沿所在直线向下飞行至点处时，若，求这架无人机向下飞行的距离（的长）． 【答案】(1) (2)米 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理即可解答； （2）设米，则米，在中，根据勾股定理建立方程求解即可． （1）解：，， ， ∴； （2）解：设米，则米， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ∴米 答：这架无人机向下飞行的距离为米． 二．培优篇（拓展考点 + 提升题型） 【考点四】勾股定理与网格问题 ★★【题型 10】网格中求线段长度 利用网格线构造直角三角形，求任意两点间距离；求网格中多边形的周长或面积。 【例题3】（25-26八年级上·江苏·月考）如图，由边长均为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在格点上，依次连接点A，B，C，得到．用两种不同的方法证明． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、全等三角形的判定与性质，方法一：取格点、，由网格特点可得，，，再证明，得出，求出，即可得证；方法二：由勾股定理逆定理即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 证明：方法一：如图，取格点、， ， 由网格特点可得：，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 方法二：由勾股定理可得：，，, ∴， ∴为直角三角形， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在的正方形网格中，点均在各小正方形的顶点处，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，等腰三角形的判定和性质，设小正方形的边长为1，根据勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定和性质，逐一进行判断即可． 解：设小正方形的边长为1，连接， 由勾股定理，得， ，， ∴，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 由图可知：与不平行； 综上：只有选项A正确； 故选A． 【变式2】（24-25八年级下·天津·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1） ； （2）在图中画出平行四边形，为格点；在边上画一点，使得；找到格点，画出直线，使得平分平行四边形的面积． （不必说明理由，不写画法） 【答案】 见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，掌握勾股定理及平行四边形的性质是解题的关键． （）利用勾股定理即可求解； （）取格点，使，即可画出平行四边形；取格点，连接，与相交于点，利用勾股定理可得，，由勾股定理的逆定理可得为等腰直角三角形，即有；取的中点，由平行四边形的性质可知，点为平行四边形的中心，故直线平分平行四边形的面积． 解：（1）由勾股定理可得，， 故答案为：； （2）解：如图，四边形、点、直线即为所求． 【变式3】（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，方格纸中每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，现有，，三点，其中点坐标为，点坐标为，点坐标为． (1)在方格纸中建立平面直角坐标系，直接写出的值．并画出点． (2)连接，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)作图见解析，的值为 (2)是等腰直角三角形，理由见解析 【分析】（1）根据点的坐标建立平面直角坐标系，然后确定点的坐标并描出点； （2）利用勾股定理、勾股定理的逆定理可得结论． （1）解：建立平面直角坐标系如图所示， 此时点坐标为，则，点的位置如上图所示； （2）解：是等腰直角三角形． 理由：∵，，， ∴， ， ， ∴，， ∴是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查坐标与图形、两点间距离、勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，正确建立直角坐标系，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【考点五】勾股定理与折叠问题 利用折叠前后对应边相等的性质，将未知线段与已知线段转化到同一个直角三角形中，再通过勾股定理列方程求解。 ★★【题型 11】利用方程思想解决折叠问题 【例题11】（25-26八年级上·江西九江·期末）如图，在中，，，，点E在上，连接，将沿折叠至处，点D在的延长线上，求解下列问题： (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质． （1）根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，即，根据勾股定理即可求出的长； （2）设，则，根据折叠的性质得到，根据勾股定理求出，即可求出的长． （1）解：∵，，， ∴， ∵将沿折叠至处， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：设，则， ∵将沿折叠至处， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·重庆合川·期末）如图，在长方形中，为对角线，为的中点，将沿所在直线折叠至该长方形所在平面内，得与交于点，连接，若，则边的长度为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据折叠的性质，平行线的性质，推出，根据三线合一，得到，求出，根据含30度角的直角三角形和勾股定理进行求解即可． 解：∵长方形， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，； 故选C． 【变式2】（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，长方形沿直线折叠，使点落在同一平面内的点处，与交于点，，．则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了折叠的性质，等角对等边，平行线的性质，勾股定理； 先证明，再根据等角对等边，得出，然后设，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求得的值即可． 解：由折叠得，， ∵在长方形中，， ∴， ， ， 设，则， 在直角三角形中，，即， 解得， 的长为， 故答案为：5． 【变式3】（25-26八年级上·上海闵行·期末）如图，已知，，点是线段的中点，平分． (1)求证：平分； (2)如果，求四边形的周长； (3)将线段沿着经过点的一条直线翻折，点恰好落在射线上的点处，过点作，交边于点，试猜想线段与之间的数量关系，并进行证明． 【答案】(1)见解析 (2)14 (3)，证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质定理及其逆定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的判定等知识点． （1）过点作于点，根据角平分线的性质定理得到，然后结合已知条件得到，再根据角平分线的逆定理即可证明； （2）过点作于点，先由直角三角形全等的判定定理证明，则，同理可证明，可得，同理可证明，由勾股定理求解，则，即可求解四边形的周长； （3）由翻折可得，，先证明，则，由（2）知，则，然后证明，再代入证明即可． （1）证明：过点作于点， ∵，， ∴， ∵平分，， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴平分； （2）解：过点作于点， 在和中， ， ∴（直角三角形全等的判定定理）， ∴， 同理可证明， ∴， ∵，，， ∴， 同理可证明， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长； （3）解：，理由如下： 由翻折可得，， ∵， ∴（直角三角形全等的判定定理） ∴ 由（2）知， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴． 【考点六】勾股定理的证明方法 ★★【题型 12】面积法证明勾股定理 利用 “赵爽弦图”“总统证法” 等经典图形，通过面积关系证明定理；构造新的几何图形，用面积法推导勾股定理. 【例题12】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，于C，，点E为上一点，连接，，的延长线交于F． (1)求证：； (2)若，请利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，即求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的证明，掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意，可知为等腰直角三角形，则证，得，再根据，得到，即可求证； （2）根据，将代入，即可求证． （1）证明：，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． （2）证明：∵， ∴， 根据图形可知， 即， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·广东揭阳·月考）到目前为止勾股定理的证明方法已约有500种，这些证法融几何知识与代数知识于一体，完美地体现了数形结合的魅力．如图所示可以用来验证勾股定理的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理，熟练掌握利用图形面积相等证明勾股定理是解题的关键．利用同一个图形的面积的不同表示方法进行验证即可． 解：图1：延长，交于点F，如图所示： ， ， ∴， 即，故图1符合题意； 图2：补成一个边长为的大正方形，如图所示： 则大正方形的面积为：， 将大正方形看作边长为c的小正方形和四个直角三角形的面积之和，则大正方形的面积为：， ∴， ∴， ∴，故图2符合题意； 图3：，， ∴， 整理得，故图3满足题意； 图4无法证明直角三角三边关系，故图4不符合题意； 综上分析可知：以用来验证勾股定理的有3个． 故选：C． 【变式2】（23-24七年级上·湖北武汉·自主招生）“数缺形不直观，形缺数不入微”，数形结合思想是数学学习中的一个重要的数学思想，请仔细观察下面几幅图形并回答后面的问题： ①由图形 可知；勾股定理成立； ②由图形 可知；完全平方公式成立； ③由图形 可知；平方差公式成立； ④由图形 可知；公式成立． 【答案】 【分析】本题考查了乘法公式与图形面积、勾股定理等知识，熟练掌握数形结合思想是解题关键．图形：方法一：利用正方形的面积公式求出大正方形的面积；方法二：大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个小长方形的面积之和，由此即可得；图形：方法一：利用长方形的面积公式可得四个小长方形的面积；方法二：四个小长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，由此即可得；图形：方法一：利用梯形的面积公式可得两个直角梯形的面积；方法二：两个直角梯形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，由此即可得；图形：方法一：利用正方形的面积公式求出中间小正方形的面积；方法二：中间小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个小直角三角形的面积，由此即可得． 解：图形：方法一：大正方形的面积为， 方法二：大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个小长方形的面积之和， 则大正方形的面积为， 所以完全平方公式成立； 图形：方法一：四个小长方形的面积为， 方法二：四个小长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积， 则四个小长方形的面积为， 所以公式成立； 图形：方法一：两个直角梯形的面积为， 方法二：两个直角梯形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积， 则两个直角梯形的面积为， 所以平方差公式成立； 图形：方法一：中间小正方形的面积为， 方法二：中间小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个小直角三角形的面积， 则中间小正方形的面积为， 所以勾股定理成立； 故答案为：①；②；③；④． 【变式3】（25-26八年级上·福建福州·期末）填空及解答： 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)图1是由4个全等的直角三角形所拼成的大正方形，中间空白部分是边长为的小正方形，请借助图1来验证勾股定理． 证明：由等面积法知： ___________ ___________，得证． (2)应用勾股定理 应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点． 如图2，在数轴上找出表示2的点，过点作直线垂直于数轴，在上取点，使，以原点为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点表示的数是___________． 应用场景2——解决实际问题． 如图3，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】(1)， (2)应用场景1：；应用场景2： 【分析】本题主要考查勾股定理的证明和应用，等积法是证明勾股定理常用的方法，注意数形结合思想的应用． （1）结合图形可知得到； （2）应用场景1：根据勾股定理求出，根据实数与数轴解答即可； 应用场景2：设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得，即可得到结论． （1）证明：由等面积法知：， ∴， ∴，得证． 故答案为：，； （2）解：应用场景1：在中， ∵， ∴， ∴点E表示的数是， 故答案为：； 应用场景2：∵，， ∴， 设秋千的绳索长为，根据题意可得， 利用勾股定理可得， 解得：． 答：绳索的长为． ★★【题型 13】以弦图为背景的计算题 已知弦图中内外正方形边长，求直角三角形边长; 弦图中线段长度、角度的综合计算. 【例题13】（25-26八年级上·上海金山·期末）【问题情境】 数学课上老师让同学们探究勾股定理的证明方法．某综合与实践小组通过阅读课本学习了我国汉代数学家赵爽证明勾股定理的方法．赵爽在注解《周髀算经》时，给出了“赵爽弦图”（图1），通过此图的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． 【定理探究】 （1）若直角三角形中，，请你利用图1中的“赵爽弦图”证明勾股定理． 【实践应用】 （2）有两个正方形如图2所示放置在网格中，请你通过切割、拼接，把这两个正方形转化成一个大正方形，请设计出你的方案（画出分割线和拼成的大正方形）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理和完全平方公式，利用面积相等是解题的关键． （1）先求出中间小正方形的边长为，再分别求出小正方形的面积和大正方形的面积，利用面积的关系即可得出结论； （2）根据题意设计方案即可． （1）证明：由图可知，， ， ， ． （2）解：通过切割、拼接，把这两个正方形转化成一个大正方形，如图2所示： 【变式1】（25-26八年级上·河南新乡·期末）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图，大正方形的面积是14，小正方形的面积是4，直角三角形的两直角边分别为，，那么的值是（    ） A．24 B．20 C．16 D．12 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理以及完全平方公式及其变形．根据大正方形的面积即可求得，利用勾股定理可以得到，然后求得直角三角形的面积即可求得的值，根据即可求解． 解：如图， ∵大正方形的面积是14，小正方形的面积是4，直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为，设大正方形边长为， ， ， ∴直角三角形的面积是， 又∵直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为， ， ， ， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）如图，在赵爽弦图中连接四条线段得到如图2的新的图案．图1中的直角三角形的长直角边为9，短直角边为4，图2中的阴影部分的面积为，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理中的赵爽弦图模型、三角形和正方形面积公式，将图中阴影部分的面积分割成一个正方形的面积加上四个全等三角形的面积是解题关键．如解答图，易得，则图中阴影部分是由中间的小正方形和四个全等三角形组成的，利用三角形和正方形的面积公式计算即可． 解：如图， 由题意可知，，， ， 则中间小正方形的面积为， 小正方形外的阴影部分的面积为， 阴影部分的面积为． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）第届数学教育大会（）会标如图所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形． 【知识探索】（1）请用图验证勾股定理：； 【知识迁移】（2）如果满足等式的是三个正整数，我们称为勾股数．已知是正整数且．请证明，，是勾股数； 根据中的结论，写出一组符合条件的勾股数___________； 【知识应用】（3）鹿鸣社团计划在学校菜园上种青菜，使之构成如图所示的“弦图”，已知这四个直角三角形的三边是勾股数，最短的边长为米，种青菜要求：仅在三角形边上种青菜，每个三角形顶点处都种1棵青菜，各边上相邻两棵青菜之间的距离均为米，那么这块菜园最少需要种植多少棵青菜？（直接写出结果，不必说明理由）． 【答案】（）见解析；（）见解析；，，（答案不唯一）；（）这块菜园最少需要种植棵青菜． 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理、以弦图为背景的计算题，完全平方公式，等面积法等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （）用两种方法求正方形面积即可求证； （）分别求出，，，则有，从而求证； 取，即可求解； （）由是正整数且，则要使勾股数最小则有，，得出最小勾股数为，，，又最短的边长为米，则直角三角形三边为米，米，米，所以这块菜园最少种植青菜（棵），从而求解． 解：（）∵正方形的面积为， 或 ， ∴； （）∵，，， ∴， ∴，，是勾股数； 取，， ∴，，， ∴勾股数为，，， 故答案为：，，（答案不唯一）； （）∵是正整数且， ∴要使勾股数最小则有，， ∴最小勾股数为，，， ∵最短的边长为米， ∴直角三角形三边为米，米，米， 则这块菜园最少种植青菜（棵）， 答：这块菜园最少需要种植棵青菜． 【考点七】勾股定理与无理数 ★★【题型 14】在数轴上表示无理数 利用勾股定理构造直角三角形，在数轴上表示无理数；利用勾股定理在数轴上表示复杂无理数。 【例题14】（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）请在数轴上用尺规找到表示的点，记作点A．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】此题考查利用勾股定理尺规作图，掌握尺规作图的方法以及勾股定理是关键． 利用数轴上的整点，以及勾股定理得出斜边的长，再画弧与数轴的交点即为表示的点． 解：如图，点A即为所求． 作法：如图，过表示数的点作数轴的垂线，取，以为圆心，为半径与数轴相交于点，则点就是表示的点． 【变式1】（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，已知，，于点C，则数轴上点A所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了用数轴上的点表示实数、勾股定理，根据勾股定理求出的长，再根据可知点表示的数． 解：由数轴可知，， ， ， 又点在原点的左侧， 点表示的数是． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，点是以点为圆心，为半径画弧与数轴的交点，点是以点为圆心，为半径画弧与数轴的交点，数轴上点，表示的数分别为，．化简为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，实数与数轴，二次根式性质的化简与求值，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题．根据勾股定理求得，，求得，，代入式子后根据二次根式的性质进行化简即可． 解：由图可知，根据勾股定理： ， ， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图，． (1)点A表示的数是______，点A表示的数______（填“”、“”或“”）； (2)在数轴上作出所对应的点（保留作图痕迹）； (3)这种研究和解决问题的方式，体现了______的数学思想． A．数形结合   B．方程   C．分类讨论   D．化归 【答案】(1)； (2)见解析 (3)A 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，无理数的大小估算等知识点． （1）根据勾股定理得到，即可求解点A表示的数，再根据无理数的估算方法比较大小； （2）以点为圆心画弧，交原点右侧数轴于点，则可得，那么点表示的数即为； （3）根据题干以及解析即可确定解题思想． （1）解：∵，且在原点左侧， ∴点A表示的数是， ∵，即 ∴， 点A表示的数， 故答案为：，； （2）解：点表示的数即为； （3）解：这种研究和解决问题的方式，体现了数形结合的数学思想， 故答案为：A． ★★【题型 15】勾股定理构造图形解决问题 构造直角三角形解决无理数的大小比较问题；利用勾股定理构造图形解决无理数的运算问题。 【例题3】（25-26八年级上·山西运城·期中）《九章算术》卷九“勾股”中记载：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为：在直立于地面的一根木杆的顶端处，系一根绳索，绳索自然下垂后拖在地面上的长度为3尺（如图1）．在距木杆底端处8尺的地面上点处拉绳索，整根绳索恰好被拉直（如图2）．问绳索有多长？ (1)请通过已学知识解决这个实际问题； (2)将这个问题一般化，即已知直角三角形的勾长（较短的直角边）为，弦长（斜边）与股长（较长的直角边）的差为，弦长为，请用，表示，其结果为 ． 【答案】(1)绳索长尺 (2) 【分析】本题考查了勾股定理，理解题意，正确运用勾股定理是解此题的关键． （1）设绳索长尺，则尺，利用勾股定理计算即可得解； （2）由勾股定理计算即可得解． （1）解：设绳索长尺，则尺， 由勾股定理可得：， ∴， ∴， 故绳索长尺； （2）解：由题意并结合勾股定理可得， 整理可得：， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理； 设绳索的长是，则，故，在中，利用勾股定理求解即可． 解：设绳索的长是，则， ∵，， ∴， ∴， 在中，， 根据勾股定理，得， ∴， 解得，， ∴绳索的长是， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，一个正六棱柱的礼品盒子底面边长为，盒子高为，点在顶点正上方处．用红色彩带从顶点开始，绕礼盒侧面一圈到点，再用黄色彩带从点开始绕侧面到顶点装饰，则红色与黄色彩带的总长度至少为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查棱柱的侧面展开图性质，勾股定理，掌握立体图形最短路径转化思想是解题关键． 将正六棱柱侧面展开为长方形，根据绕侧面的圈数确定水平直角边长，结合两点间竖直高度差确定垂直直角边，再用勾股定理分别计算两段彩带的最短长度并求和． 解：正六棱柱的侧面展开图如下， 由题可知，红色彩带绕一圈从到，则红色彩带为， 黄色彩带绕半圈从到，则黄色彩带为， 底面边长为，高为，点在顶点正上方处， ，，， ， ， 故红色与黄色彩带的总长度至少为． 故答案为：． 【变式3】一辆装满货物的卡车，高，宽，要开进上边是半圆，下边是长方形的桥洞（如图所示）．已知半圆的直径为，长方形的另一条边长为． (1)这辆卡车能否安全通过桥洞？请说明理由． (2)为了适应车流量的增加，要将桥洞改为双行道．如果要使宽为、高为的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少应增加到多少米？ 【答案】(1)能安全通过，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据题目做出辅助线，利用勾股定理进行求解. （1）通过计算卡车在桥洞中间位置时顶部到桥洞顶部半圆的垂直距离，与卡车高度比较来判断能否通过. （2）根据给定卡车的尺寸，利用勾股定理求出桥洞半圆部分所需的半径，进而得到桥洞的宽度. （1）解：这辆卡车能安全通过桥洞．理由如下： 如图①，为卡车的宽度． 过点分别作的垂线交半圆于两点， 连接，过点作于点E， 则， 所以． 因为， 所以在中，由勾股定理，得，所以， 所以． 因为，所以这辆卡车能安全通过桥洞． （2）解：如图②，为卡车的宽度，为道路的中点． 过点E作于点F，交半圆于点B， 连接，过点作，交的延长线于点G． 根据题意可知，，所以． 在中，根据勾股定理，得， 所以． 故此桥洞的宽至少应增加到． 【考点八】勾股定理逆定理的拓展问题 ★★【题型 16】勾股数相关拓展 寻找满足勾股数的整数解；利用勾股数解决三角形边长的整数问题。 【例题16】（24-25九年级下·福建厦门·月考）已知：满足的三个正整数a，b，c称为一组勾股数，很多勾股数组具有规律： (1)设，观察提供的4组勾股数的规律，完成第⑤组勾股数； 当a为奇数时如①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41，⑤11， ， ； 当a为偶数时，如①6，8，10；②8，15，17；③10，24，26；④12，35，37，⑤14， ， ； (2)猜想：三个整数中，若最小的数为奇数n，另外两个数分别为 ， ，则这三个数为勾股数，请你补充完整的猜想并验证这一猜想是否正确． 【答案】(1)60，61；48，50 (2) 【分析】本题考查了勾股数的定义及勾股定理的逆定理，解题的关键是根据所提供的几组勾股数找出规律，难度不大． （1）根据所提供的几组勾股数的规律即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理即可求解． （1）设，观察提供的4组勾股数的规律，完成第（5）组勾股数： 当为奇数时，如（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）7，24，25；（4）9，40，41；（5）11，60，61； 当为偶数时，如6，8，10；（2）8，15，17；（3）10，24，26；（4）12，35，37；（5）14，48，50； 故答案为：60，61；48，50； （2）猜想：三个整数中，若最小的数为奇数，另外两个数分别为，则这三个数为勾股数． 证明： 又∵n为奇数， ∴为整数， ∴这三个数为勾股数． 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·河南郑州·月考）定义：如果一个正整数m能表示成两个不同的正整数a和b的平方和，即，那么称m为广义勾股数．给出下面四个结论：①不是广义勾股数；②是广义勾股数；③广义勾股数的2倍是广义勾股数；④不同的广义勾股数的和是广义勾股数．正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查新定义的理解与应用，有理数的计算，理解题目的定义并正确应用是解题关键．根据题目的定义逐项判断即可． 解：①∵其中2和3是两个不同的正整数，满足广义勾股数的定义， ∴是广义勾股数，故①错误． ②∵ 其中3和是两个不同的正整数，满足广义勾股数的定义， ∴是广义勾股数，故②正确． ③设m是广义勾股数，且 (a、b为不同的正整数)， 则 ， ∵a、b是不同的正整数， ∴和也是正整数，且，满足广义勾股数的定义， ∴广义勾股数的2倍是广义勾股数，故③正确． ④例如 它们都是广义勾股数， 但无法表示成两个不同正整数的平方和，不满足广义勾股数的定义， ∴不同的广义勾股数的和不一定是广义勾股数，故④错误． 综上，正确的结论有②③，共2个， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·四川成都·期末）若，，是一组勾股数，且，，，则 ． 【答案】4051 【分析】本题考查勾股数的应用，勾股定理，平方差公式，完全平方公式，掌握知识点是解题的关键． 先推导出当，，是一组勾股数时，a为直角三角形的斜边，再根据勾股定理求解即可． 解：由题意，得 ，， ∵， ∴， ∵， ∴当，，是一组勾股数时，a为直角三角形的斜边， ∴ 故答案为：4051． 【变式3】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）课堂上学习了勾股定理后知道：直角三角形三边长是整数时我们称之为“勾股数”．王老师给出一组数让学生观察：；；；；，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．若两直角边为（），斜边为． (1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：、 、 ； (2)当（为奇数，且）时，若 ， 时可以构造出勾股数（用含的代数式表示），并证明你的猜想； (3)构造勾股数的方法很多，请你寻找当时， ． 【答案】(1)， (2)，，证明见解析 (3)或或 【分析】（）观察勾股数，找出规律即可求解； （）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去的二分之一，弦是勾的平方加的二分之一，据此可得，然后计算验证即可； （）由勾股定理可得，再根据勾股定理可得，然后根据列举法即可解答； 本题考查了勾股数，掌握勾股定理是解题的关键． （1）解：∵；；；；， ∴为奇数，且时，勾股数为、、， ∴、、， 故答案为：、； （2）解：观察发现，当(为奇数，且)时，股是勾的平方减去的二分之一，弦是勾的平方加的二分之一， ∴当，时可以构造出勾股数， 证明：∵，， ∴， ∵为奇数，且， ∴、、是正整数， ∴、、三个数组成的数是勾股数； （3）解：由勾股定理可得， 当时，则有， 即， 当时，解得，， ∵， ∴该种情况不合题意，舍去； 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； 综上，的值为或或， 故答案为：或或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $