数学一模提分卷02（广东专用）学易金卷：2026年中考第一次模拟考试

2026年中考第一次模拟考试 数学·参考答案 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C C D D A B C B D 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11． 12．/ 13．2038 14．1 15． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16．（7分） 【详解】解：任务一：①上述解题过程中第一步的依据是等式的基本性质； 故答案为：等式的基本性质；（1分） ②上述解题过程是从第二步开始出现错误的，错误的原因是完全平方式展开错误； 故答案为：二，完全平方式展开错误；（3分） 任务二：， ，（4分） ， ， ，（5分） 检验：把代入得：，（6分） ∴是原方程的解．（7分） 17．（7分） 【详解】解：如图，，（2分） 、C、D三点在以点A为圆心长为半径的圆上，（4分） ， ．（7分） 18．（7分） 【详解】（1）解：设关于的函数表达式为，（1分） 把代入上式得：，解得：，（2分） ∴关于的函数表达式为；（3分） （2）解：该女生在此项考试中没有得满分，理由如下：（4分） 当时，即， 解得，（舍去），（5分） ∵， ∴该女生在此项考试中没有得满分；（6分） （3）解：设掷出点的高度向上平移，可得满分， ∴新抛物线的解析式为，把代入得， 解得：， ∴， ∴掷出点的高度至少达到时，可得满分， 故答案为：．（7分） 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19．（9分） 【详解】（1）解：依据是等角对等边， 故答案为：等角对等边．（2分） （2）解：第二种情况：求证：是的平分线． 故答案为：是的平分线．（3分） 第三种情况：已知，如图，E是上一点，是的平分线，．（4分） 求证：．（5分） 选择第二种情况，证明如下 证明：∵， ∴．（6分） ∵． ∴．（7分） ∴．（8分） ∴是的平分线，（9分） 选择第三种情况，证明如下： 证明：∵是的平分线， ∴．（6分） ∵， ∴．（7分） ∴．（8分） ∴．（9分） 20．（9分） 【详解】（1）解：九年级数据中C组数据有4个， ，即， 九年级A组数据个数为：，B组数据个数为：，C组中的数据是：20，20，21，24． 第5，6位数据分别是20，20， 九年级数据的中位数， 八年级数据中28出现的次数最多， 八年级数据的众数， 故答案为：20，28，40；（3分） （2）解：八年级学生每月工具使用次数更多， 理由如下：从平均数看，两个年级学生每月工具使用次数相同，（4分） 从中位数看，八年级的中位数大于九年级的中位数，（5分） 从众数看，八年级的众数大于九年级的众数，（6分） ∴八年级学生每月工具使用次数更多；（7分） （3）解：（人）（8分） 答：该校八，九年级学生每月工具使用次数不低于20次的学生总人数为1920人．（9分） 21．（9分） 【详解】解：（1）点是的中点，点是边的中点， ， ． 故答案为：90．（1分） （2）如图2，取的中点，连接、，（2分） ，点是的中点，， ，，（3分） ， ，（4分） ， ， 的最大值为．（5分） （3）如图3，连接交于点，取的中点，连接、、，（6分） 菱形， ，， ， ， ，（7分） ，， ， 点是的中点，点是的中点， ，， ，（8分） ， ， 美食一条街长度的最大值为．（9分） 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22．（13分） 【详解】（1）解：如图所示：过点作，（1分） ∵，，， ∴， ∴，（2分） ∴，（3分） ∴遮阳棚前端到墙面的距离为米；（4分） （2）解：如图，延长交于点M，则，（5分） ∴， 又，， ∴， ∴，（6分） ∴四边形是矩形，（7分） ∴，（8分） 又，由（1）得， ∴，（9分） 又走廊的遮阳宽度至少要， ∴，（10分） 又， ∴， ∴，（11分） ∴，（12分） ∴挡板至少要米长才能确保遮阳效果．（13分） 23．（14分） 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴设点，（1分） ∵轴， ∴， ∵点在直线上， ∴点，（2分） ∴ ∵直线与抛物线交于两点， ∴， 解得：，， 当时，；当时，， ∴，． ∴（3分） ∵， ∴当时，有最大值，最大为，（4分） ∵把代入点中， ∴点；（5分） （2）由（1）得，当时，有最大值， ∴将代入点得：点，（6分） ∵，， 点的中点坐标为点，即点，（7分） ∴点和点重合， ∴当面积最大时，点为线段的中点；（8分） （3）猜想：当直线过线段中点时（或），最大．（9分） 证明：设抛物线解析式为：，直线：，（10分） 直线与抛物线交于两点，设， ∴则方程的解为：，， ∵点在抛物线上， ∴设点， ∵轴， ∴， ∵点在直线上， ∴点， ∴，即为关于的二次函数，（11分） ∵当时，，， 由二次函数对称性知，当时，有最大值，（12分） ∵ ∴当时，有最大值，（13分） ∴，即点为线段中点． ∴当直线过线段中点时（或），最大．（14分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/] 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求， 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] [A][B][C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4[AJ[B]IC][D] 8[A][B][C][D] 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分， 11. 12 13. 14 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分. 16.(7分) 17.(7分) B D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(7分) 3 53 图① 图② 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分， 19. (9分) E A B D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(9分) 21.(9分) E D >C C 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 五、解答题（三)（本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分.） 22.(13分) H A A B B 太阳光线 70A E E F 0 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(14分) y=x2-4x+2 E -2-10 2 4 -1 B 2 y=-x+2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2026年中考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄被。 错误填涂[×1【√][/1 一、 选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求， 1[A][B][C][D] 5.[A][B][C1[D1 9.[A1[B1[CJ[D] 2[AJ[B][C][D] 6.[A][B][C1[DJ 10.[A][B][CJ[D] 3.[A][B][C][D] 7.A][B1[C1[D1 4.[A][B][C][D] 8.A][B][C1ID1 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11. 12 13. 14 15. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分. 16.(7分) 17.(7分) O 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(7分) 图① 图② 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分 19.(9分) E A B D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(9分) 21.(9分) A F D C 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分.） 22.(13分) H A A B B e 太阳光线 702 E D E F D 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(14分) y=x2-4x+2 E -2-10 B 2 4 y=-x+2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考第一次模拟考试 数学 本试卷共8页，23小题，满分120分，考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号，将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用塑料橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1．下列各数中负数是（　　） A． B． C． D． 2．微信支付方便生活．如图是某人某天的微信支付账单，如果支出用负数表示，收入用正数表示，则这个人一天的收支情况表述正确的是（    ） A．收入元 B．支出元 C．支出元 D．结余元 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．“四书五经”是历代儒家学子研学的核心书经，在中国的传统文化中，占据着相当重要的位置．在与国际好友的交流中，鲲鹏打算制作一个正方体礼盒送给外国朋友，六个面上包含了中国古代儒家典籍五经．如图是她设计礼盒的平面展开图，那么“礼”字对面的字是（    ） A．礼 B．易 C．书 D．诗 5．如图，把等边沿着折叠，使点恰好落在边上的点处，且，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 6．如图，该箱线图反映了某场女排决赛中两队队员拦网高度情况．下列说法正确的是（　　） A．甲队队员拦网高度的整体水平更高 B．乙队队员拦网高度的平均数更大 C．甲队队员拦网高度的方差更大 D．乙队队员拦网高度的中位数更大 7．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（   ） A． B． C． D． 8．两地相距，甲、乙两人沿同一条路从地到地．甲、乙两人离开地的距离（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示，则下列结论： ①乙比甲提前出发； ②甲行驶的速度为； ③时，甲、乙两人相距； ④时，乙比甲多行驶． 其中正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，在中，，为斜边上一点，以为直径的圆与相切于点．若，，则的长是(    ) A．10 B．12 C．13 D．15 10．如图，四边形是矩形，以点为圆心，任意长为半径作弧分别交和于点；分别以点为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；作射线交边于点；作射线，交于点，交射线于点，连接．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11．因式分解 ． 12．若点是线段上的一点，满足，已知，那么的长为 ． 13．若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于 ． 14．若为实数，且，则的值为 ． 15．如图，已知点是反比例函数图象上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图象于点、，交坐标轴于、，且，连接则下列结论：；在点运动过程中，的面积始终不变，面积为；连接，则；存在点，使得．其中正确的结论有 填写所有正确结论的序号 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16．解分式方程：． 解：方程两边同乘以，得，……第一步 去括号，得，……第二步 移项､合并同类项，得，……第三步 方程两边同除以2，得，……第四步 经检验是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为．……第五步 任务一：①上述解题过程中第一步的依据是____________________________________； ②上述解题过程是从第_______步开始出现错误的，错误的原因是__________________； 任务二：求出分式方程正确的解并有详细的过程． 17．如图，和是四边形的对角线，，，若，求． 18．掷实心球是中考体育考试的选考项目，如图是一名女生掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求抛物线的表达式； (2)根据中考体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分分，该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． (3)在掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变的情况下，提高掷出点，可提高成绩，则掷出点的高度至少达到______时，可得满分． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19．阅读与思考 下面是小王同学写的一篇数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． x年x月x日   星期二 数学推理真有趣 今天数学课上学习了如果交换某命题的条件和结论，可以得到一个新命题，这个命题是原命题的逆命题．例如：原命题是两直线平行，同位角相等，交换该命题的条件和结论，就可以得到该命题的逆命题是同位角相等，两直线平行…… 在数学中有很多类似的情况，例如：如图，E是上一点，①，②是的平分线，③，如果这三个条件中已知其中的任意两个，那么就能推导出第三个． 第一种情况：已知，如图，E是上一点；，是的平分线．求证：． 证明：∵，∴． ∵是的平分线，∴．∴．∴（依据） 第二种情况：已知，如图，E是上一点，，．求证：______ 证明：…… 第三种情况…… 任务： (1)以上证明过程中，依据是指______． (2)请你将日记中第二种情况的求证和第三种情况的已知和求证补充完整，并选择其中一种情况进行证明． 20．某学校在八，九年级学生中各随机抽取10名学生对每月的工具使用次数进行整理，描述和分析（次数表示，共分成四组，A：；B：；C：；D：）．下面给出了部分信息： 八年级10名学生每月使用次数分别是：11，13，17，19，20，22、25，27，28，28 九年级10名学生每月使用次数在C组中的数据是：20，20，21，24． 八、九年级抽取的学生每月使用次数统计表 年级 八年级 九年级 平均数 21 21 中位数 21 众数 27 九年级抽取的学生每月使用次数扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中______，______，_______． (2)你认为该校八，九年级中哪个年级学生每月工具使用次数更多？请判断并说明理由． (3)若该校共有八，九年级学生共3200名，请你根据样本数据，估计该校八，九年级学生每月工具使用次数不低于20次的学生总人数． 21．【问题提出】 （1）如图1，在中，点是的中点，点是边的中点，连接，若，则的度数为_______________； 【问题探究】 （2）如图2，在中，，，点是上方一动点，连接、、，若，求的最大值； 【问题解决】 （3）如图3，菱形是某公园的一片油菜花海，对角线是中间的一条通道，为方便游客观赏花海全景，现要在花海外（右侧）修建一座观景塔（看作点），再沿和分别铺设两条小路（宽度忽略不计），要求，点是的中点，连接，沿开设美食一条街，为了使游客有更多美食进行选择，要求美食一条街尽可能的长．已知菱形的边长为，，求美食一条街长度的最大值． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22．某餐厅在门外走廊安装了遮阳棚，通过实地测得相关数据，并画出了侧面示意图（如图1），遮阳棚长为，其与墙面的夹角为，靠墙端离地面高为． (1)求出遮阳棚前端到墙面的距离； (2)到了旺季客流激增，走廊也要摆放餐桌加大供应量．为了加强遮阳效果，要在遮阳棚前端加装一块挡板（竖直方向），示意图如图2所示，已知旺季当地正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角）为，为了走廊上用餐的顾客不受阳光照射，走廊的遮阳宽度至少要．根据以上信息，请你计算挡板至少要多长才能确保遮阳效果．（结果精确到，参考数据：，，） 23．学校数学兴趣小组在探究二次函数最值问题的数学活动时，发现一个有趣现象：如图，直线与抛物线交于两点．点为抛物线上的动点，过点且平行于轴的直线交直线于点．当点在直线下方时，连接得到．当面积最大时，点在什么位置？ (1)数学兴趣小组成员很快就求出点的坐标，请你也求出点的坐标． (2)机智的小涛同学通过计算发现，当面积最大时，点与线段有特殊的位置关系，请你写出小涛的结论． (3)爱动脑筋的小婷根据小涛的发现提出了一个大胆的猜想：本类问题中，当面积取最大值时，动点的位置和直线与抛物线的交点都有这种“特殊关系”，请说明这种“特殊关系”是什么？并证明结论． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第一次模拟考试 数学·全解全析 本试卷共8页，23小题，满分120分，考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号，将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用塑料橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1．下列各数中负数是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：A选项： ，其中是正数，是正数，故A选项不符合题意； B选项： 是负数，故B选项符合题意； C选项： ，其中是正数，是正数，故C选项不符合题意； D选项： ，其中是正数，故D选项不符合题意． 故选：B． 2．微信支付方便生活．如图是某人某天的微信支付账单，如果支出用负数表示，收入用正数表示，则这个人一天的收支情况表述正确的是（    ） A．收入元 B．支出元 C．支出元 D．结余元 【详解】解：由微信支付账单可知，表示某人某天收入元，表示某人某天支出元，结余元， 正确的选项是． 故选：C． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意， 故选：C． 4．“四书五经”是历代儒家学子研学的核心书经，在中国的传统文化中，占据着相当重要的位置．在与国际好友的交流中，鲲鹏打算制作一个正方体礼盒送给外国朋友，六个面上包含了中国古代儒家典籍五经．如图是她设计礼盒的平面展开图，那么“礼”字对面的字是（    ） A．礼 B．易 C．书 D．诗 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “礼”字对面的字是“诗” 故选：D． 5．如图，把等边沿着折叠，使点恰好落在边上的点处，且，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 6．如图，该箱线图反映了某场女排决赛中两队队员拦网高度情况．下列说法正确的是（　　） A．甲队队员拦网高度的整体水平更高 B．乙队队员拦网高度的平均数更大 C．甲队队员拦网高度的方差更大 D．乙队队员拦网高度的中位数更大 【详解】解：从图中可以看出， 甲队拦网高度的整体水平比乙队高，故选项A符合题意； 甲队队员拦网高度的平均数更大，故选项B不符合题意； 甲队队员拦网高度的方差更小，故选项C不符合题意； 乙队队员拦网高度的中位数更小，故选项D符合题意． 故选：A． 7．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（   ） A． B． C． D． 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为m，则停车位（图中阴影部分）可合成长为m，宽为m的矩形， 根据题意得： 故选：B． 8．两地相距，甲、乙两人沿同一条路从地到地．甲、乙两人离开地的距离（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示，则下列结论： ①乙比甲提前出发； ②甲行驶的速度为； ③时，甲、乙两人相距； ④时，乙比甲多行驶． 其中正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【详解】解：根据可得，时间过了甲的路程为，即乙比甲提前出发，故①正确； 甲个小时行驶了， 故甲的速度为，故②正确； 设甲的解析式为， 根据题意得：， 解得：， 所以， 设乙的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故乙的解析式为， 当时，，， 故， 时，甲、乙两人相距，故③错误； 当甲运动前，乙比甲多行驶时，根据题意，得：， 解得； 当甲运动后，乙比甲多行驶时，根据题意，得， 解得：； 故或时，乙比甲多行驶．故④正确； 综上，正确的有3个． 故选：C． 9．如图，在中，，为斜边上一点，以为直径的圆与相切于点．若，，则的长是(    ) A．10 B．12 C．13 D．15 【详解】解：设中点为圆心，半径为，连接， 因为圆与相切于点，所以， 则，即， 解得，， 又， 所以． 故选：B． 10．如图，四边形是矩形，以点为圆心，任意长为半径作弧分别交和于点；分别以点为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；作射线交边于点；作射线，交于点，交射线于点，连接．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∵， ∴， 由作图可知，是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11．因式分解 ． 【详解】解：． 故答案为： 12．若点是线段上的一点，满足，已知，那么的长为 ． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 化简，得， 解得，，（负值舍去）， ∴， ∴． 故答案为：． 13．若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于 ． 【详解】解：是方程的实数根， ， ，是方程的两个实数根， ， ∴ 故答案为：2038． 14．若为实数，且，则的值为 ． 【详解】解： ， ，， ，， ． 故答案为：1． 15．如图，已知点是反比例函数图象上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图象于点、，交坐标轴于、，且，连接则下列结论：；在点运动过程中，的面积始终不变，面积为；连接，则；存在点，使得．其中正确的结论有 填写所有正确结论的序号 【详解】解：如图，连接，， ，且在反比例函数的图象上， ， ∵轴，且在反比例函数的图象上， ， 又， ，即， ，故正确． ，， ∵轴， 点的纵坐标为， 点在反比例函数的函数图象上， ，解得， 点， ，， ， 在点运动过程中，面积不变，始终等于，故错误； ， ，， ， ∴， ∴， ∴，故正确， 若， ∴， ， ∵， ， 在点的运动过程中，当时，，故正确， 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16．解分式方程：． 解：方程两边同乘以，得，……第一步 去括号，得，……第二步 移项､合并同类项，得，……第三步 方程两边同除以2，得，……第四步 经检验是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为．……第五步 任务一：①上述解题过程中第一步的依据是____________________________________； ②上述解题过程是从第_______步开始出现错误的，错误的原因是__________________； 任务二：求出分式方程正确的解并有详细的过程． 【详解】解：任务一：①上述解题过程中第一步的依据是等式的基本性质； 故答案为：等式的基本性质； ②上述解题过程是从第二步开始出现错误的，错误的原因是完全平方式展开错误； 故答案为：二，完全平方式展开错误； 任务二：， ， ， ， ， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 17．如图，和是四边形的对角线，，，若，求． 【详解】解：如图，， 、C、D三点在以点A为圆心长为半径的圆上， ， ． 18．掷实心球是中考体育考试的选考项目，如图是一名女生掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求抛物线的表达式； (2)根据中考体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分分，该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． (3)在掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变的情况下，提高掷出点，可提高成绩，则掷出点的高度至少达到______时，可得满分． 【详解】（1）解：设关于的函数表达式为，把代入上式得： 解得：， ∴关于的函数表达式为； （2）解：该女生在此项考试中没有得满分，理由如下： 当时，即， 解得，（舍去）， ∵， ∴该女生在此项考试中没有得满分； （3）解：设掷出点的高度向上平移，可得满分， ∴新抛物线的解析式为，把代入得， 解得：， ∴， ∴掷出点的高度至少达到时，可得满分， 故答案为：． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19．阅读与思考 下面是小王同学写的一篇数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． x年x月x日   星期二 数学推理真有趣 今天数学课上学习了如果交换某命题的条件和结论，可以得到一个新命题，这个命题是原命题的逆命题．例如：原命题是两直线平行，同位角相等，交换该命题的条件和结论，就可以得到该命题的逆命题是同位角相等，两直线平行…… 在数学中有很多类似的情况，例如：如图，E是上一点，①，②是的平分线，③，如果这三个条件中已知其中的任意两个，那么就能推导出第三个． 第一种情况：已知，如图，E是上一点；，是的平分线．求证：． 证明：∵，∴． ∵是的平分线，∴．∴．∴（依据） 第二种情况：已知，如图，E是上一点，，．求证：______ 证明：…… 第三种情况…… 任务： (1)以上证明过程中，依据是指______． (2)请你将日记中第二种情况的求证和第三种情况的已知和求证补充完整，并选择其中一种情况进行证明． 【详解】（1）解：依据是等角对等边， 故答案为：等角对等边． （2）解：第二种情况：求证：是的平分线． 故答案为：是的平分线． 第三种情况：已知，如图，E是上一点，是的平分线，．求证：． 选择第二种情况，证明如下 证明：∵， ∴． ∵． ∴． ∴． ∴是的平分线， 选择第三种情况，证明如下： 证明：∵是的平分线， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 20．某学校在八，九年级学生中各随机抽取10名学生对每月的工具使用次数进行整理，描述和分析（次数表示，共分成四组，A：；B：；C：；D：）．下面给出了部分信息： 八年级10名学生每月使用次数分别是：11，13，17，19，20，22、25，27，28，28 九年级10名学生每月使用次数在C组中的数据是：20，20，21，24． 八、九年级抽取的学生每月使用次数统计表 年级 八年级 九年级 平均数 21 21 中位数 21 众数 27 九年级抽取的学生每月使用次数扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中______，______，_______． (2)你认为该校八，九年级中哪个年级学生每月工具使用次数更多？请判断并说明理由． (3)若该校共有八，九年级学生共3200名，请你根据样本数据，估计该校八，九年级学生每月工具使用次数不低于20次的学生总人数． 【详解】（1）解：九年级数据中C组数据有4个， ，即， 九年级A组数据个数为：，B组数据个数为：，C组中的数据是：20，20，21，24． 第5，6位数据分别是20，20， 九年级数据的中位数， 八年级数据中28出现的次数最多， 八年级数据的众数， 故答案为：20，28，40； （2）解：八年级学生每月工具使用次数更多， 理由如下：从平均数看，两个年级学生每月工具使用次数相同， 从中位数看，八年级的中位数大于九年级的中位数， 从众数看，八年级的众数大于九年级的众数， ∴八年级学生每月工具使用次数更多； （3）解：（人） 答：该校八，九年级学生每月工具使用次数不低于20次的学生总人数为1920人． 21．【问题提出】 （1）如图1，在中，点是的中点，点是边的中点，连接，若，则的度数为_______________； 【问题探究】 （2）如图2，在中，，，点是上方一动点，连接、、，若，求的最大值； 【问题解决】 （3）如图3，菱形是某公园的一片油菜花海，对角线是中间的一条通道，为方便游客观赏花海全景，现要在花海外（右侧）修建一座观景塔（看作点），再沿和分别铺设两条小路（宽度忽略不计），要求，点是的中点，连接，沿开设美食一条街，为了使游客有更多美食进行选择，要求美食一条街尽可能的长．已知菱形的边长为，，求美食一条街长度的最大值． 【详解】解：（1）点是的中点，点是边的中点， ， ． 故答案为：90． （2）如图2，取的中点，连接、， ，点是的中点，， ，， ， ， ， ， 的最大值为． （3）如图3，连接交于点，取的中点，连接、、， 菱形， ，， ， ， ， ，， ， 点是的中点，点是的中点， ，， ， ， ， 美食一条街长度的最大值为． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22．某餐厅在门外走廊安装了遮阳棚，通过实地测得相关数据，并画出了侧面示意图（如图1），遮阳棚长为，其与墙面的夹角为，靠墙端离地面高为． (1)求出遮阳棚前端到墙面的距离； (2)到了旺季客流激增，走廊也要摆放餐桌加大供应量．为了加强遮阳效果，要在遮阳棚前端加装一块挡板（竖直方向），示意图如图2所示，已知旺季当地正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角）为，为了走廊上用餐的顾客不受阳光照射，走廊的遮阳宽度至少要．根据以上信息，请你计算挡板至少要多长才能确保遮阳效果．（结果精确到，参考数据：，，） 【详解】（1）解：如图所示：过点作， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴遮阳棚前端到墙面的距离为米； （2）解：如图，延长交于点M，则， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 又，由（1）得， ∴， 又走廊的遮阳宽度至少要， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴挡板至少要米长才能确保遮阳效果． 23．学校数学兴趣小组在探究二次函数最值问题的数学活动时，发现一个有趣现象：如图，直线与抛物线交于两点．点为抛物线上的动点，过点且平行于轴的直线交直线于点．当点在直线下方时，连接得到．当面积最大时，点在什么位置？ (1)数学兴趣小组成员很快就求出点的坐标，请你也求出点的坐标． (2)机智的小涛同学通过计算发现，当面积最大时，点与线段有特殊的位置关系，请你写出小涛的结论． (3)爱动脑筋的小婷根据小涛的发现提出了一个大胆的猜想：本类问题中，当面积取最大值时，动点的位置和直线与抛物线的交点都有这种“特殊关系”，请说明这种“特殊关系”是什么？并证明结论． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴设点， ∵轴， ∴， ∵点在直线上， ∴点， ∴ ∵直线与抛物线交于两点， ∴， 解得：，， 当时，；当时，， ∴，． ∴ ∵， ∴当时，有最大值，最大为， ∵把代入点中， ∴点； （2）由（1）得，当时，有最大值， ∴将代入点得：点， ∵，， 点的中点坐标为点，即点， ∴点和点重合， ∴当面积最大时，点为线段的中点； （3）猜想：当直线过线段中点时（或），最大． 证明：设抛物线解析式为：，直线：， 直线与抛物线交于两点，设， ∴则方程的解为：，， ∵点在抛物线上， ∴设点， ∵轴， ∴， ∵点在直线上， ∴点， ∴，即为关于的二次函数， ∵当时，，， 由二次函数对称性知，当时，有最大值， ∵ ∴当时，有最大值， ∴，即点为线段中点． ∴当直线过线段中点时（或），最大． / 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考第一次模拟考试 数学 本试卷共8页，23小题，满分120分，考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号，将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用塑料橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1．下列各数中负数是（　　） A． B． C． D． 2．微信支付方便生活．如图是某人某天的微信支付账单，如果支出用负数表示，收入用正数表示，则这个人一天的收支情况表述正确的是（    ） A．收入元 B．支出元 C．支出元 D．结余元 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．“四书五经”是历代儒家学子研学的核心书经，在中国的传统文化中，占据着相当重要的位置．在与国际好友的交流中，鲲鹏打算制作一个正方体礼盒送给外国朋友，六个面上包含了中国古代儒家典籍五经．如图是她设计礼盒的平面展开图，那么“礼”字对面的字是（    ） A．礼 B．易 C．书 D．诗 5．如图，把等边沿着折叠，使点恰好落在边上的点处，且，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 6．如图，该箱线图反映了某场女排决赛中两队队员拦网高度情况．下列说法正确的是（　　） A．甲队队员拦网高度的整体水平更高 B．乙队队员拦网高度的平均数更大 C．甲队队员拦网高度的方差更大 D．乙队队员拦网高度的中位数更大 7．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（   ） A． B． C． D． 8．两地相距，甲、乙两人沿同一条路从地到地．甲、乙两人离开地的距离（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示，则下列结论： ①乙比甲提前出发； ②甲行驶的速度为； ③时，甲、乙两人相距； ④时，乙比甲多行驶． 其中正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，在中，，为斜边上一点，以为直径的圆与相切于点．若，，则的长是(    ) A．10 B．12 C．13 D．15 10．如图，四边形是矩形，以点为圆心，任意长为半径作弧分别交和于点；分别以点为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；作射线交边于点；作射线，交于点，交射线于点，连接．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11．因式分解 ． 12．若点是线段上的一点，满足，已知，那么的长为 ． 13．若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于 ． 14．若为实数，且，则的值为 ． 15．如图，已知点是反比例函数图象上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图象于点、，交坐标轴于、，且，连接则下列结论：；在点运动过程中，的面积始终不变，面积为；连接，则；存在点，使得．其中正确的结论有 填写所有正确结论的序号 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16．解分式方程：． 解：方程两边同乘以，得，……第一步 去括号，得，……第二步 移项､合并同类项，得，……第三步 方程两边同除以2，得，……第四步 经检验是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为．……第五步 任务一：①上述解题过程中第一步的依据是____________________________________； ②上述解题过程是从第_______步开始出现错误的，错误的原因是__________________； 任务二：求出分式方程正确的解并有详细的过程． 17．如图，和是四边形的对角线，，，若，求． 18．掷实心球是中考体育考试的选考项目，如图是一名女生掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． （1）求抛物线的表达式； （2）根据中考体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分分，该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． （3）在掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变的情况下，提高掷出点，可提高成绩，则掷出点的高度至少达到______时，可得满分． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19．阅读与思考 下面是小王同学写的一篇数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． x年x月x日   星期二 数学推理真有趣 今天数学课上学习了如果交换某命题的条件和结论，可以得到一个新命题，这个命题是原命题的逆命题．例如：原命题是两直线平行，同位角相等，交换该命题的条件和结论，就可以得到该命题的逆命题是同位角相等，两直线平行…… 在数学中有很多类似的情况，例如：如图，E是上一点，①，②是的平分线，③，如果这三个条件中已知其中的任意两个，那么就能推导出第三个． 第一种情况：已知，如图，E是上一点；，是的平分线．求证：． 证明：∵，∴． ∵是的平分线，∴．∴．∴（依据） 第二种情况：已知，如图，E是上一点，，．求证：______ 证明：…… 第三种情况…… 任务： （1）以上证明过程中，依据是指______． （2）请你将日记中第二种情况的求证和第三种情况的已知和求证补充完整，并选择其中一种情况进行证明． 20．某学校在八，九年级学生中各随机抽取10名学生对每月的工具使用次数进行整理，描述和分析（次数表示，共分成四组，A：；B：；C：；D：）．下面给出了部分信息： 八年级10名学生每月使用次数分别是：11，13，17，19，20，22、25，27，28，28 九年级10名学生每月使用次数在C组中的数据是：20，20，21，24． 八、九年级抽取的学生每月使用次数统计表 年级 八年级 九年级 平均数 21 21 中位数 21 众数 27 九年级抽取的学生每月使用次数扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，_______． （2）你认为该校八，九年级中哪个年级学生每月工具使用次数更多？请判断并说明理由． （3）若该校共有八，九年级学生共3200名，请你根据样本数据，估计该校八，九年级学生每月工具使用次数不低于20次的学生总人数． 21．【问题提出】 （1）如图1，在中，点是的中点，点是边的中点，连接，若，则的度数为_______________； 【问题探究】 （2）如图2，在中，，，点是上方一动点，连接、、，若，求的最大值； 【问题解决】 （3）如图3，菱形是某公园的一片油菜花海，对角线是中间的一条通道，为方便游客观赏花海全景，现要在花海外（右侧）修建一座观景塔（看作点），再沿和分别铺设两条小路（宽度忽略不计），要求，点是的中点，连接，沿开设美食一条街，为了使游客有更多美食进行选择，要求美食一条街尽可能的长．已知菱形的边长为，，求美食一条街长度的最大值． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22．某餐厅在门外走廊安装了遮阳棚，通过实地测得相关数据，并画出了侧面示意图（如图1），遮阳棚长为，其与墙面的夹角为，靠墙端离地面高为． （1）求出遮阳棚前端到墙面的距离； （2）到了旺季客流激增，走廊也要摆放餐桌加大供应量．为了加强遮阳效果，要在遮阳棚前端加装一块挡板（竖直方向），示意图如图2所示，已知旺季当地正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角）为，为了走廊上用餐的顾客不受阳光照射，走廊的遮阳宽度至少要．根据以上信息，请你计算挡板至少要多长才能确保遮阳效果．（结果精确到，参考数据：，，） 23．学校数学兴趣小组在探究二次函数最值问题的数学活动时，发现一个有趣现象：如图，直线与抛物线交于两点．点为抛物线上的动点，过点且平行于轴的直线交直线于点．当点在直线下方时，连接得到．当面积最大时，点在什么位置？ （1）数学兴趣小组成员很快就求出点的坐标，请你也求出点的坐标． （2）机智的小涛同学通过计算发现，当面积最大时，点与线段有特殊的位置关系，请你写出小涛的结论． （3）爱动脑筋的小婷根据小涛的发现提出了一个大胆的猜想：本类问题中，当面积取最大值时，动点的位置和直线与抛物线的交点都有这种“特殊关系”，请说明这种“特殊关系”是什么？并证明结论． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $