精品解析：安徽亳州市蒙城县城区学校联考2025-2026学年九年级上学期2月期末数学试题

安徽省蒙城县2025-2026学年度第一学期阶段检测 数学试题 一、选择题（本大题共10小题，满分40分） 1. 下列四个数中，最大的数是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较． 比较各数大小，进而作答即可． 【详解】解：∵， ∴最大的数是2． 故选：A． 2. 2025年“五一”假期，济南市图书馆推出全民阅读文化市集、集邮展销等活动，累计接待读者96110人次，数据96110用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选:C． 3. 如图是一个几何体切割后的左视图，则该切割体可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，找到从左面看所得到的图形与题干图形对应即可，理解从不同方向看立体图形是解题的关键，另外要注意虚线和实线的使用区别． 【详解】解：的左视图为， 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查指数运算的基本规则，包括合并同类项、积的乘方、同底数幂的除法和幂的乘方，根据相关运算法则逐一计算即可． 【详解】解：A、与指数不同，不能直接相加，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意； 故选：D． 5. 已知，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，掌握三个性质是解决本题的关键．不等式的基本性质：基本性质1，不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变；基本性质2，不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；基本性质3，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质即可得出答案． 【详解】解：A、，则，选项错误，不符合题意； B、，则，选项错误，不符合题意； C、，则，选项错误，不符合题意； D、，则，即，选项正确，符合题意， 故选：D． 6. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得且且， 故选：D． 7. 某校九年级1班的同学毕业时都将自己的生活照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1540张照片，求全班的学生人数．设全班有名学生，根据题意，列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如果全班有名同学，那么每名同学要送出()张，共有名同学，那么总共送的张数应该是)张，即可列出方程． 【详解】∵全班有名同学， ∴每名同学要送出()张； 又∵是互送照片， ∴总共送的张数应该是)=1540． 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限． 【详解】解：原方程 展开并整理为标准形式： 其中 ，，． ∴，． ∴点即 的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限． 故选：C． 9. 设整式，其中为整数且．下列说法： ①可以表示为关于的二次多项式； ②若且，则； ③满足且的正整数解有7组． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多项式的定义，三元一次方程组的整数解，不等式的性质；根据二次多项式得到，即可判断①错误；由且，得到，整理得到，②错误；由且，得到，，则，正整数或或，据此分情况讨论求解即可判断③正确． 【详解】解：①若表示为关于的二次多项式，则，不满足，故①错误； ②若且，则 ， ∴， 故②错误； ③∵且， ∴，， ∴， ∴正整数或或， 当时，，则或或或，一共4组正整数解， 当时，，则或，一共2组正整数解， 当时，，，一共1组正整数解， 综上，满足且的正整数解有7组， 故③正确． 故选：B． 10. 已知四个整式分别为：；若对这四个整式中的一个添加绝对值符号或多个分别添加绝对值符号（注：绝对值里面无绝对值，即不出现多重绝对值）后再求和称为一次“防御操作”；例如：为一次“防御操作”，为一次“防御操作”等；则以下表述正确的是（ ） ①对于任意的实数x，存在某种“防御操作”使得化简结果恒为0； ②对于特殊“防御操作”：的最小值是6； ③共有15种不同的“防御操作”； A. ②③ B. ①③ C. ①② D. ① 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值，整式的加减运算；熟练掌握去绝对值及其几何意义，读懂防御操作的定义是解题的关键． ①当时，四个整式中不论一个添加绝对值符号或多个分别添加绝对值符号，求和后结果均大于0； ②利用绝对值的几何意义求解即可； ③四个整式中的一个添加绝对值符号或多个分别添加绝对值符号，再求和即可． 【详解】解：①当时，四个整式中不论添加一个或多个绝对值符号，去绝对值后再求和，结果均为，故①错误； ②表示数轴上表示x的点到表示2，1， ，的点的距离之和，所以当 时，的值最小，最小值为6，故②正确； ③共有15种不同的“防御操作”，依次为： ，， ，， ，， ，， ，， ，， ，， 故③正确． 综上，②③正确， 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，满分20分） 11. 若关于的方程的解为，则__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了方程的解的定义、一元一次方程的解法，理解方程的解的意义，得到关于a的方程是解题关键．把代入关于x的方程，得到关于a的方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴， 解得：， 故答案为：4． 12. 若，则的值为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，非负数的性质． 将化为，利用非负数的性质，得到两个方程并求解，进而代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，且， ∴和， 即和， 解得，， ∴． 故答案为：． 13. 不等式组的解集是，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集，熟知不等式组的解集取值规则是关键． 先分别求出每一个不等式的解集，再根据两个解集结合不等式组的解集求出m的取值范围即可． 【详解】解： 解不等式得：， 解不等式得：， ∵不等式组的解集是， ∴， ∴． 故答案为： 14. 将一枚六个面编号分别为的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为，第二次掷出的点数为，则使关于的方程组只有正数解的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了列表法求概率，以及二元一次方程的解法，首先分两种情况：①当时，方程组无解；②当时，方程组的解为由、的实际意义为1，2，3，4，5，6可得．把方程组两式联合求解可得，，再由、都大于0可得，，求出、的范围，列举出，所有的可能结果，然后求出有正数解时，所有的可能，进而求出概率． 【详解】解：①当时，即时，方程组无解； ②当时，即时，方程组的解为由、的实际意义为1，2，3，4，5，6可得． 易知，都为大于0的整数，则两式联合求解可得，， 使、都大于0则有，， 解得，或者，， ，都为1到6的整数， 可知当为1时，只能是1，2，3，4，5，6；或者为2，3，4，5，6时，无解， 这两种情况的总出现可能有6种； ， 掷两次骰子出现的基本事件共种情况，故所求概率为； 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，满分90分） 15. （1）解方程：； （2）解不等式组：． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，一元一次不等式组的解法． （1）把方程化为，再进一步解方程即可． （2）分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可． 【详解】解：（1）， 方程移项得：， 配方得：，即， 开方得：， 解得：，． （2）， 由①得：， 由②得：， 则不等式组的解集为． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，先计算零次幂，负整数次幂，绝对值，三角函数，化简二次根式，最后进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 17. 在解分式方程时，小李的解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 第五步：检验：当时，． 第六步：∴原分式方程的解为． 判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 【答案】小李的解答过程不正确，见解析． 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的解法，先去分母，化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后进行检验即可，熟练掌握分式方程的解法步骤是解题的关键． 【详解】解：小李的解答过程不正确，正确解答如下： 方程两边同时乘，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 检验：当时，， ∴原分式方程无解． 18. 年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进款个，款个，需花费元；购进款个，款个，需花费元． （1）求两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ （2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过元的资金购进两款“哪吒”纪念品共个，那么至少需要购进款纪念品多少个？ 【答案】（1）款“哪吒”纪念品每个进价为元，款“哪吒”纪念品每个进价为元； （2）至少需要购进款纪念品个． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意，列出方程组和不等式是解题的关键． （）设款“哪吒”纪念品每个进价为元，款“哪吒”纪念品每个进价为元，由题意得二元一次方程组，然后解方程组即可； （）设需要购进款纪念品个，则需要购进款纪念品个，由题意得，然后解不等式即可． 【小问1详解】 解：设款“哪吒”纪念品每个进价为元，款“哪吒”纪念品每个进价为元， 由题意得， 解得， 答：款“哪吒”纪念品每个进价为元，款“哪吒”纪念品每个进价为元； 【小问2详解】 解：设需要购进款纪念品个，则需要购进款纪念品个， 由题意得：，    ，  答：至少需要购进款纪念品个． 19. 设，是关于的方程的两根． （1）当时，求及m的值． （2）求证：． 【答案】（1），； （2） 证明：方程可化为， ∵， ∴原方程有两个不相同实数根， 由根与系数的关系得，， ∵， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，方程的解，正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程的两个根为，，则，是解题的关键． （）把代入方程求出，然后再解一元二次方程即可； （）利用根的判别式，根与系数的关系求解即可． 【小问1详解】 解：把代入方程得， ∴ ， ∴，即， 解方程得，，， 故，； 【小问2详解】 略 20. 某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： （1）具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． （2）观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． （3）应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 【答案】（1） （2）（为正整数） （3）①；②22 【解析】 【分析】本题考查数字类规律探究，二次根式的乘法，找出数的变化规律是解题的关键． （1）观察特例可得结论； （2）观察特例与结果间及数字间关系得结论； （3）①先计算，再算二次根式的乘法得结论； ②根据（2）中总结的规律得到a、b间关系并求出a、b，最后算出结果． 【小问1详解】 解：． 故答案为：； 【小问2详解】 解: 当为正整数，按此规律第个式子可以表示为， 【小问3详解】 解: ① ； ②∵(a，b均为正整数)， ∴，， 解得，， ∴． 21. 定义一种新运算：，若，． （1）求、的值； （2）若关于的不等式组有解，求实数的取值范围； （3）若的解集为，求的解集． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的解法、一元一次不等式的解法和一元一次不等式组的解法． （1）根据定义的新运算，列出二元一次方程组，解方程组可求出m，n的值； （2）根据（1）求出的新运算列出一元一次不等式组，解不等式组并根据不等式组解集的情况可求出的取值范围； （3）根据（1）求出的新运算列出一元一次不等式，根据解集为可得出a与b的数量关系；再根据，的值和新运算列出一元一次不等式求解即可． 【小问1详解】 解：∵，若，， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：关于的不等式组， 整理得， 解得， 解得， ∵关于的不等式组有解， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 整理得， ∵的解集为， ∴且， 整理得， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得， 将代入得， ∵， ∴． 22. 阅读与思考： 站队问题 问题提出：即将离开生活了3年的母校，几位同学站在一排在教学楼前合影．他们共有多少种站法？ 问题探究：我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法． 探究一： 当只有、两人时，此时站法有：、两种． 探究二： 当有三人时，我们把位置命名为第1位、第3位． 进行如下分析： 此时站法有6种． 探究三： 当有三人时，我们把位置命名为第1位、第2位、第3位；当安排第1位同学时，我们有3种选择；第1位同学安排好后，再来安排第2位同学，此时我们有2种选择；剩下的一位同学只有一种选择，故站法共有（种）． 任务： （1）探究二中问题的分析方法为_____； （2）按照上面的分析方法，若四位同学站在一排照相，则共有_____种站法； （3）现有四位男同学和一名女同学共五位同学站在一排照相，其中这名女生必须站在第1位或者最后一位，求他们共有多少种站法？ 【答案】（1）树状图分析法 （2）24 （3）48种 【解析】 【分析】本题主要考查了排列问题，掌握分布乘法原理是解题的关键． （1）根据题中的图即可解答； （2）根据探究三中的分布乘法原理解答即可； （3）结合第二小问，分析当女生站在第1位时和最后一位时的站法，相加即可． 【小问1详解】 解：由题意可知探究二中问题的分析方法为树状图分析法， 故答案为：树状图分析法． 【小问2详解】 解：安排第1位同学有四种选择，安排第2位同学有三种选择，安排第3位同学有2种选择，安排第4位同学有1种选择，因此共有（种）站法． 故答案为：24． 【小问3详解】 解：当女生站在第1位时，其余四位男生站4个位置共有24种站法；同理当女生站在最后一位时，其余四位男生站4个位置共有24种站法，因此共有（种）站法，即共有48种站法． 23. 为了全面落实“双减”政策，促进学生整体素质的均衡发展，师一学校小学部语文组的老师带领孩子们“泛舟书海”，举办了一系列丰富多彩的读书活动．小狮宝们纷纷把自己收藏的图书带到学校．充实班级“图书漂流角”和移动绘本小屋．语文组的老师对小学部借阅登记簿进行统计时发现，在4月份有1000名学生借阅了图书，5月份比4月份增加10%，6月份全校借阅图书人数比5月增加340人． （1）5月份借阅图书的学生人数______，6月份借阅图书的学生人数______， （2）求从4月份到6月份小学部借阅图书的学生人数的平均增长率？ （3）由于小学部小狮宝们读书情绪十分高涨，于是在国庆节后，学校决定派图书室陈老师去锦江区“幸福里书屋”再购买一批图书，书店老板透露在九月底他以每本8元的价格进货500本图书，然后按照每本9.6元的价格在国庆节全部售出；国庆节后老板去进货发现进货价上涨了，进货量比九月底增加，他以12元的价格全部售出后，比国庆节的总利润多1200元，求的值． 【答案】（1）1100，1440 （2）从4月份到6月份小学部借阅图书的学生人数的平均增长率为 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）5月份借阅图书的人数是，则6月份借阅图书的人数为：5月份借阅图书的人数人； （2）根据增长后的量增长前的量增长率）．设平均每年的增长率是，列出方程求解即可． （3）求出国庆节的总利润、国庆节后的进货量、进货价以及售价，再由题意：比国庆节的总利润多1200元，列出一元二次方程，解方程即可． 【小问1详解】 由题意，得5月份借阅图书的人数是：（人， 则6月份借阅图书的人数为：（人， 故答案为：1100，1440； 【小问2详解】 设平均增长率为． 解得： 答：从4月份到6月份小学部借阅图书的学生人数的平均增长率为； 【小问3详解】 国庆节的总利润为：（元， 国庆节后的进货量为：本，进货价为：， 由题意得：， 解得：或（不符合题意舍去）， ， 答：的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省蒙城县2025-2026学年度第一学期阶段检测 数学试题 一、选择题（本大题共10小题，满分40分） 1. 下列四个数中，最大的数是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 2025年“五一”假期，济南市图书馆推出全民阅读文化市集、集邮展销等活动，累计接待读者96110人次，数据96110用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 如图是一个几何体切割后的左视图，则该切割体可能为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 6. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且且 7. 某校九年级1班的同学毕业时都将自己的生活照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1540张照片，求全班的学生人数．设全班有名学生，根据题意，列出方程为（ ） A. B. C. D. 8. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 设整式，其中为整数且．下列说法： ①可以表示为关于的二次多项式； ②若且，则； ③满足且的正整数解有7组． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 已知四个整式分别为：；若对这四个整式中的一个添加绝对值符号或多个分别添加绝对值符号（注：绝对值里面无绝对值，即不出现多重绝对值）后再求和称为一次“防御操作”；例如：为一次“防御操作”，为一次“防御操作”等；则以下表述正确的是（ ） ①对于任意的实数x，存在某种“防御操作”使得化简结果恒为0； ②对于特殊“防御操作”：的最小值是6； ③共有15种不同的“防御操作”； A. ②③ B. ①③ C. ①② D. ① 二、填空题（本大题共4小题，满分20分） 11. 若关于的方程的解为，则__________． 12. 若，则的值为___________． 13. 不等式组的解集是，则的取值范围是________． 14. 将一枚六个面编号分别为的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为，第二次掷出的点数为，则使关于的方程组只有正数解的概率为______． 三、解答题（本大题共9小题，满分90分） 15. （1）解方程：； （2）解不等式组：． 16. 计算：． 17. 在解分式方程时，小李的解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 第五步：检验：当时，． 第六步：∴原分式方程的解为． 判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 18. 年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进款个，款个，需花费元；购进款个，款个，需花费元． （1）求两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ （2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过元的资金购进两款“哪吒”纪念品共个，那么至少需要购进款纪念品多少个？ 19. 设，是关于的方程的两根． （1）当时，求及m的值． （2）求证：． 20. 某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： （1）具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． （2）观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． （3）应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 21. 定义一种新运算：，若，． （1）求、的值； （2）若关于的不等式组有解，求实数的取值范围； （3）若的解集为，求的解集． 22. 阅读与思考： 站队问题 问题提出：即将离开生活了3年的母校，几位同学站在一排在教学楼前合影．他们共有多少种站法？ 问题探究：我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法． 探究一： 当只有、两人时，此时站法有：、两种． 探究二： 当有三人时，我们把位置命名为第1位、第3位． 进行如下分析： 此时站法有6种． 探究三： 当有三人时，我们把位置命名为第1位、第2位、第3位；当安排第1位同学时，我们有3种选择；第1位同学安排好后，再来安排第2位同学，此时我们有2种选择；剩下的一位同学只有一种选择，故站法共有（种）． 任务： （1）探究二中问题的分析方法为_____； （2）按照上面的分析方法，若四位同学站在一排照相，则共有_____种站法； （3）现有四位男同学和一名女同学共五位同学站在一排照相，其中这名女生必须站在第1位或者最后一位，求他们共有多少种站法？ 23. 为了全面落实“双减”政策，促进学生整体素质的均衡发展，师一学校小学部语文组的老师带领孩子们“泛舟书海”，举办了一系列丰富多彩的读书活动．小狮宝们纷纷把自己收藏的图书带到学校．充实班级“图书漂流角”和移动绘本小屋．语文组的老师对小学部借阅登记簿进行统计时发现，在4月份有1000名学生借阅了图书，5月份比4月份增加10%，6月份全校借阅图书人数比5月增加340人． （1）5月份借阅图书的学生人数______，6月份借阅图书的学生人数______， （2）求从4月份到6月份小学部借阅图书的学生人数的平均增长率？ （3）由于小学部小狮宝们读书情绪十分高涨，于是在国庆节后，学校决定派图书室陈老师去锦江区“幸福里书屋”再购买一批图书，书店老板透露在九月底他以每本8元的价格进货500本图书，然后按照每本9.6元的价格在国庆节全部售出；国庆节后老板去进货发现进货价上涨了，进货量比九月底增加，他以12元的价格全部售出后，比国庆节的总利润多1200元，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $