1.3.4完全平方公式的应用 课件 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

北师大版数学7年级下册培优精做课件 1.3.4完全平方公式的应用 第一章 整式的乘除 授课教师： Home . 班 级： 7年级（*）班 . 时 间： . 2026年2月25日 2026年2月25日星期三2时21分45秒 2026年2月25日星期三2时21分47秒 学习目标 1.会利用多项式乘多项式的运算法则推导完全平方公式. 2.掌握完全平方公式，能正确运用公式进行简单计算和推理. 3.了解完全平方公式的几何背景，发展几何直观，培养数形结合思想. (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 前面我们学习了完全平方公式： 复习导入 口诀:首平方，尾平方，首尾乘积的2倍放中间。 (1) 1022=(100+2)2 =1002+2×100×2+22 =10000+400+4 =10404 新课探究 怎样计算1022，1972更简单呢? (2)1972=(200-3)2 =2002-2×200×3+32 =40000-1200+9 =38809 你是怎样做的?与同伴进行交流。 1.3.4 完全平方公式的应用 教学课件 第1页：复习回顾 1. 完全平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b²；(a-b)²=a²-2ab+b² 2. 结构口诀：首平方，尾平方，积的2倍在中间，符号随括号内符号定 3. 提问：公式中a、b可以表示哪些数或式子？（引导学生明确a、b可表示单项式、多项式） 第2页：基础应用·直接套用 例1：计算下列各式 （1）(2x+3y)² （2）(m-5)² （3）(-a+2b)² 教学步骤： 1. 学生独立尝试，指名板演；2. 师生共评，强调找准“首、尾”，规范步骤；3. 小结：含负号时可转化为(a+b)²形式计算，如(-a+2b)²=(2b-a)² 第3页：进阶应用·简便计算 例2：用完全平方公式简便计算 （1）102² （2）99² 教学步骤： 1. 引导转化：102=100+2，99=100-1；2. 学生分组计算，分享思路；3. 小结：将接近整十、整百的数拆成“整十/百数±小数”，简化运算 第4页：易错辨析·避坑指南 常见错误展示与纠正： 1. 错误：(x+2)²=x²+4 纠正：遗漏中间项2·x·2=4x，正确结果x²+4x+4 2. 错误：(3a-2b)²=9a²-6ab+4b² 纠正：中间项系数应为2·3a·2b=12ab，正确结果9a²-12ab+4b² 3. 小组讨论：如何避免上述错误？（强化“积的2倍”不可漏，系数要乘满） 第5页：拓展应用·整体代入 例3：已知a+b=5，ab=3，求a²+b²的值 教学步骤： 1. 引导变形：a²+b²=(a+b)²-2ab；2. 代入数值计算：5²-2×3=25-6=19；3. 小结：利用公式变形，将未知转化为已知条件，渗透整体思想 第6页：课堂小结 1. 完全平方公式应用的三种常见类型：直接套用、简便计算、整体代入 2. 核心要点：找准首末项，牢记中间项，符号细分辨，变形巧应用 3. 思想方法：转化思想、整体思想、数形结合思想（回顾公式几何意义） 返回 1．用简便方法计算9.52，下列变形正确的是(　　) A．9.52＝102－2×10×0.5＋0.52 B．9.52＝(10＋0.5)(10－0.5) C．9.52＝92＋0.52 D．9.52＝92＋9×0.5＋0.52 A 中考考法 5 2．如图①是由4个相同的白色长方形和1个灰色的正方形拼接而成的正方形瓷砖，图②是由5个白色的长方形(每个长方形大小和图①相同)和1个灰色的不规则图形构成的长方形瓷砖．已知图①和图②中灰色图形的面积分别为35和102，则每个白色 长方形的面积为________． 8 中考考法 6 返回 【点拨】由题图①可得(a＋b)2－4ab＝35，即a2＋ b2＝2ab＋35①，由题图②可得(2a＋b)(a＋2b)－ 5ab＝102，即a2＋b2＝51②，由①②得2ab＋35＝51，所以ab＝8，所以每个白色长方形的面积为8. 中考考法 例6 计算： （1）(x+3)2-x2； （2）(a+b+3) (a+b-3)； （3）(x+5)2-(x-2)(x-3)； （4）[(a+b)(a-b)]2。 解： （1）(x+3)2-x2 =x2+6x+9-x2 =6x+9； （2）(a+b+3) (a+b-3) = [(a+b)+3][(a+b)-3] = (a+b)2-32 = a2+2ab+b2-9 例6 计算： （1）(x+3)2-x2； （2）(a+b+3) (a+b-3)； （3）(x+5)2-(x-2)(x-3)； （4）[(a+b)(a-b)]2。 （4） [(a+b)(a-b)]2 = (a2- b2)2 = a4-2a2b2+b4。 （3）(x+5)2-(x-2)(x-3) = x2+10x+25-(x2-5x+6) = x2+10x+25-x2+5x-6 = 15x+19 利用整式乘法公式计算： (1) 962 (2) (a-b-3) (a-b+3) 解：962 =(100-4)2 =1002-2×100×4+42 =10000-800+16 =9216 解：(a-b-3) (a-b+3) =(a-b)2-32 =a2-2ab+b2-9 随堂练习 3．利用简便方法计算： (1)499.92； 【解】499.92＝(500－0.1)2＝5002－2×500×0.1＋0.12＝250 000－100＋0.01＝249 900.01. 中考考法 11 (3)2 0262－4 050×2 026＋2 0252； 返回 【解】2 0262－4 050×2 026＋2 0252＝2 0262－2× 2 025×2 026＋2 0252＝(2 026－2 025)2＝12＝1. 中考考法 12 返回 中考考法 13 5．计算： (1)(3x－1)2－(2x＋5)2； (2)(m＋n)2(m－n)2； 【解】(3x－1)2－(2x＋5)2＝9x2－6x＋1－(4x2＋20x＋ 25)＝9x2－6x＋1－4x2－20x－25＝5x2－26x－24. (m＋n)2(m－n)2＝[(m＋n)(m－n)]2＝(m2－n2)2＝ m4－2m2n2＋n4. 中考考法 14 (3)2(a＋3)2－4(a＋3)(a－3)＋3(a－2)2. 返回 【解】2(a＋3)2－4(a＋3)(a－3)＋3(a－2)2＝2(a2＋6a＋ 9)－4(a2－9)＋3(a2－4a＋4)＝2a2＋12a＋18－4a2＋36＋3a2－12a＋12＝a2＋66. 中考考法 15 6. 【阅读理解】一般地，如果正整数a，b，c(a≠b≠c)满足a2＋b2＝c2，那么a，b，c称为一组“完美数”．例如，32＋42＝52，则称3，4，5是一组“完美数”． 【问题解决】(1)下列数组：①1，2，3；②5，7，8；③5，12，13，其中是“完美数”的有________(填序号)； ③ 中考考法 16 (2)“完美数”有很多的构造方法．试说明：如果m，n为任意正整数，且m＞n，那么m2－n2，2mn，m2＋n2一定是一组“完美数”； 【解】因为m，n为任意正整数，且m＞n，(m2－n2)2＋(2mn)2＝m4－2m2n2＋n4＋4m2n2＝m4＋2m2n2＋n4＝(m2＋n2)2，所以m2－n2，2mn，m2＋n2一定是一组“完美数”． 中考考法 17 (3)若按(2)中的方法构造出的一组“完美数”中最大数是2t2＋14t＋25(t是任意正整数)，求这组“完美数”中的最小数(用含t的代数式表示)． 中考考法 18 返回 【解】由题意得m2＋n2＝2t2＋14t＋25＝t2＋8t＋16＋ t2＋6t＋9＝(t＋4)2＋(t＋3)2. 因为t是正整数，所以t＋4＞t＋3. 所以m＝t＋4，n＝t＋3. 所以m2－n2＝(t＋4)2－(t＋3)2＝2t＋7，2mn＝ 2(t＋4)(t＋3)＝2t2＋14t＋24＞2t＋7. 所以这组“完美数”中的最小数为2t＋7. 中考考法 课堂小结 简便运算 混合运算 平方差公式的应用 实际应用:运用完全平方公式进行推理 ＝＝3 600＋60＋＝3 660. (2). 【解】原式＝4x2－12xy＋9y2－4x2＋y2＝－12xy＋10y2，当x＝－，y＝1时，原式＝－12××1＋10×12＝2＋10＝12. 4．先化简，再求值：(2x－3y)2－(2x＋y)(2x－y)，其中x＝－，y＝1. $