1.3.3完全平方公式的认识 课件 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

北师大版数学7年级下册培优精做课件 1.3.3完全平方公式的认识 第一章 整式的乘除 授课教师： Home . 班 级： 7年级（*）班 . 时 间： . 2026年2月25日 2026年2月25日星期三2时16分42秒 2026年2月25日星期三2时16分43秒 学习目标 1.会利用多项式乘多项式的运算法则推导完全平方公式. 2.掌握完全平方公式，能正确运用公式进行简单计算和推理. 3.了解完全平方公式的几何背景，发展几何直观，培养数形结合思想. 多项式乘多项式的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的结果相加 . 1 2 3 4 (a+b)(m+n) = am 1 2 3 4 +an +bm +bn 新课探究 计算下列各式： （1）(m + 3)2 ； （2）(2+ 3x)2 。 （1）(m+3)2 =m2+6m+9 =(m+3)(m+3) （2）(2+3x)2 =(2+3x)(2+3x) =4+12x+9x2 观察以上算式及其运算结果， 你有什么发现? m2+2·3m+9 4+2·2·3x+9x2 两个数的和的平方，等于这两个数的平方和加这两个数乘积的 2 倍。 平方式，两项 首平方，尾平方， 积的2倍放中间 你能再举一些类似的例子验证你的发现? （1）(2x + y)2 ; （2）(3a + 2b)2。 （1）(2x + y)2 =(2x + y)(2x + y) = 2x·2x + 2x·y + y·2x + y·y = 4x2 + 4xy + y2 （2）(3a + 2b)2 =(3a + 2b) (3a +2b) = 3a·3a+3a·2b+2b·3a+2b·2b = 9a2 +12ab + 4b2 你能用字母表示你发现的规律吗? (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 返回 C 中考考法 6 2．[2025重庆巴渝学校期中]如图，根据标注，该图可验证的乘法公式是(　　) A．(m＋n)(m－n)＝m2－n2 B．(m＋n)2＝m2＋2mn＋n2 C．(m－n)2＝m2－2mn＋n2 D．(m＋n)2＝(m－n)2＋4mn C 返回 中考考法 7 （1）你能用下图解释这一公式吗? b a b a 思考·交流 b a b a = + + a2 ab ab b2 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 （2）如何计算(a – b)2 ?你是怎样做的? (a – b)2 = (a – b)(a – b) = a2 – 2ab + b2 1 (a – b)2 = [a+(– b)]2 = a2 +2a(– b)+(– b)2 = a2 – 2ab + b2 2 用自己的语言叙述这一公式！ 两个数的差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的2倍。 b a b a (a – b)2 a2 ab ab b2 = – + (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 请你设计一个图形解释这一公式。 尝试·思考 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 完全平方公式： 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或减去)它们的积的2倍。 口诀: 首平方，尾平方，首尾二倍中间放。 3. 对于任意有理数a，b，现用“☆”定义一种运算：a☆b＝a2－b2.根据这个定义，代数式x☆(x－y)可以化简为(　　) A．2xy＋y2 B．－2xy＋y2 C．2xy－y2 D．x2 返回 【点拨】x☆(x－y)＝x2－(x－y)2＝x2－(x2－2xy＋y2)＝2xy－y2.故选C. C 中考考法 13 4．要使等式(x－y)2＋M＝(x＋y)2成立，整式M应是(　　) A．2xy B．4xy C．－4xy D．－2xy B 返回 中考考法 14 5．若(2x－ky)2＝4x2＋12xy＋9y2，则k的值为________． 返回 －3 中考考法 15 完全平方公式 平方差公式 整式乘法公式 例 5 利用完全平方公式计算： （1）(2x – 3)2； （2）(4x + 5y)2； （3）(mn – a)2 解：（1） (2x–3)2 = (2x)2–2·2x·3+32 （2）(4x + 5y )2 = (4x)2 + 2·4x·5y + (5y)2 = 16x2 + 40xy + 25y2 ； （3） (mn – a)2 = (mn)2 – 2·mn·a + a2 = m2n2 – 2amn + a2。 (a -b)2 a2 - 2ab + b2 = 4x2–12x+9； 如果将 (a + b)n（n 为非负整数）的每一项按字母 a 的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： 阅读·思考 (a + b)0 = 1，它只有一项，系数为 1； (a + b)1 = a + b，它有两项，系数分别是 1， 1； (a + b)2 = a2 + 2ab + b2，它有三项，系数分别是 1， 2， 1； (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3，它有四项，系数分别是 1， 3， 3， 1. 如果将上述每个式子的各项系数排成下表， 那么你能发现什么规律? 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 按照这个规律可以继续将这个表写下去： 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 …… 杨辉三角 返回 6. 若将多项式4a2－2a＋1加上一个单项式成为一个多项式的平方，则这个单项式可以是_________________．(只要写出符合条件的一个即可) －2a(答案不唯一) 中考考法 22 【解】(2a－3b)2＝(2a)2－2·2a·3b＋(3b)2＝4a2－12ab＋9b2. 中考考法 23 (3)(－4a－3b)2; (4)(x－1)2－x2. 【解】(－4a－3b)2＝(－4a)2－2·(－4a)·3b＋(3b)2＝ 16a2＋24ab＋9b2. 返回 (x－1)2－x2＝x2－2x＋1－x2＝－2x＋1. 中考考法 24 8．已知(a＋b)2＝16，(a－b)2＝9，求a2＋b2，ab的值． 返回 中考考法 25 9. 已知2a2－a－3＝0，则(2a＋3)(2a－3)＋(2a－1)2的值是(　　) A．6 B．－5 C．－3 D．4 返回 D 中考考法 26 10．如图，长方形ABCD的周长是10，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和正方形ADGH的面积之和为17，那么长方形ABCD的面积是(　　)  A．3　　 B．4　　 C．5　　　 D．6 中考考法 27 返回 【点拨】因为正方形ABEF和正方形ADGH的面积之和为17，所以AB2＋AD2＝17.因为长方形ABCD的周长是10，所以AB＋AD＝×10＝5，所以(AB＋AD)2＝25，所以AB2＋AD2＋2AB·AD＝25，所以17＋2AB·AD＝25，所以AB·AD＝4.所以长方形ABCD的面积是4. 【答案】B 中考考法 11．若x满足(x－2 026)(2 027－x)＝0.25，则(x－2 026)2＋(2 027－x)2＝(　　) A．0.25　　 B．0.5 C．1　 D．－0.25 返回 【点拨】(x－2 026)2＋(2 027－x)2＝(x－2 026＋2 027－x)2－2(x－2 026)(2 027－x)＝1－2×0.25＝0.5. B 中考考法 29 12．【阅读】求x2＋6x＋11的最小值． 解：x2＋6x＋11＝x2＋6x＋9＋2＝(x＋3)2＋2. 因为(x＋3)2的值为非负数，所以(x＋3)2＋2的最小值为2，即x2＋6x＋11的最小值为2. 中考考法 30 【问题解决】 (1)对于多项式x2＋y2－2x＋2y＋5，当x，y取何值时有最小值？最小值为多少？ 【解】x2＋y2－2x＋2y＋5＝x2－2x＋12＋y2＋2y＋12＋ 3＝(x－1)2＋(y＋1)2＋3.因为(x－1)2和(y＋1)2的结果都为非负数，所以当x＝1，y＝－1时，(x－1)2＋(y＋1)2＋3的最小值为3，即x2＋y2－2x＋2y＋5的最小值为3. 中考考法 31 (2)若多项式m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求mn的值． 【解】因为m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0， 所以m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0， 所以(m＋n)2＋(n－3)2＝0. 因为(m＋n)2与(n－3)2的值都是非负数， 所以m＋n＝0，n－3＝0. 所以m＝－3，n＝3.所以mn＝－9. 中考考法 32 (3)多项式－x2＋10x－36是否有最值？若有，则求出最值；若没有，请说明理由． 返回 【解】有最大值．－x2＋10x－36＝－(x2－10x＋36)＝－(x2－10x＋25＋11)＝－(x－5)2－11. 因为(x－5)2≥0，所以－(x－5)2≤0. 所以－(x－5)2－11≤－11. 所以多项式－x2＋10x－36有最大值，最大值是－11. 中考考法 33 13. 如图①所示的是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分成4个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． 中考考法 (1)请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积： 方法1：________________； 方法2：________________； (2)由(1)写出(m＋n)2，(m－n)2，mn这三个代数式之间的等量关系：_______________________； (m＋n)2－4mn (m－n)2 (m－n)2＝(m＋n)2－4mn 中考考法 (3)根据(2)中的等量关系，解决如下问题： ①已知a－b＝5，ab＝－6，求(a＋b)2的值； 【解】因为a－b＝5，ab＝－6， 所以(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab＝52＋4×(－6)＝25－24＝1. 中考考法 返回 中考考法 课堂小结 （a±b）2 = a2 ± 2ab + b2 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或减去)它们的积的2倍。 语言叙述： 完全平方公式： 1．下列运算：①(3x＋y)2＝9x2＋y2；②(a－2b)2＝a2－4b2；③(－x－y)2＝x2＋2xy＋y2；④＝x2－2x＋.其中，运算错误的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．计算： (1)(2a－3b)2; (2)(x－2y)2； ＝－2·x·2y＋(2y)2＝x2－2xy＋4y2. 【解】因为(a＋b)2＝16，(a－b)2＝9， 所以a2＋b2＋2ab＝16，a2＋b2－2ab＝9， 所以两式相加，化简可得a2＋b2＝12.5， 两式相减，化简可得ab＝. ②已知a>0，a－＝1，求a＋的值． 【解】由已知得＝＋4×a×＝12＋8＝9.因为a>0，所以a＋>0，所以a＋＝3. $