精品解析：河北保定市安国市2025-2026学年度第一学期期末教学质量监测七年级数学试卷

2025-2026学年度第一学期期末教学质量监测 七年级数学试卷 注意事项：1．本试卷共6页． 2．答题卡上选择题用2B铅笔填涂，综合题用黑色碳素笔在规定范围内书写． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星，其高度大约是米．将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 手机信号的强弱通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强（单位：），则下列信号最强的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列结论不成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 下列选项中，与是同类项的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图,将一块三角形木板截去一部分后,发现剩余木板的周长要比原三角形木板的周长大,能正确解释这一现象的数学知识是( ) A. 两直线相交只有一个交点 B. 两点确定一条直线 C. 经过一点有无数条直线 D. 两点之间,线段最短 6. 下列说法正确的是（ ） A. 五棱柱有10个顶点，10条棱，7个面 B. 如图是正方体的展开图形，正方体的对面数字相等，则 C. 圆锥的侧面展开图是一个圆 D. 用平面去截一个正方体，截面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形、七边形 7. 数据世界是丰富多彩的，我们可以将数据分为定性数据和定量数据两种，下面数据：①春节档某部电影大年初一当天的票房；②你们学校所有老师的学历情况；③全班同学家养宠物的种类；④你们学校七年级同学音乐考试的成绩等级；⑤我市7月份的平均降雨量．其中是定量数据的有（ ） A. ①⑤ B. ①④⑤ C. ①③⑤ D. ①②④ 8. 已知关于的方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（ ） A B. C. D. 9. 如图所示运算程序中，若开始输入的值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，……，则第2025次输出的结果为（ ）． A. 3 B. 6 C. D. 10. 如图，将正整数至按一定规律排列，图中十字框框住了个数字，将十字框上下左右移动，按同样的方式可框住另外的个数字，则框住的个数的和可能是（ ） A. B. C. D. 11. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”若设有牧童x人，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 12. 嘉嘉设计了一个“幻方”游戏，现在将1、、3、、5、、7、分别填入图中圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点上的4个数字之和都相等，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 二、填空题（本大题4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知关于x的方程的解为，根据等式的性质，可得的值为_________． 14. 如果一个角的余角是，那么这个角的度数是___________． 15. 如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这根绳子原来的长度为______． 16. 小明和小聪一起去操场跑步，小明跑一圈要用分钟，小聪跑一圈要用分钟，如果两人同时同地出发，同方向而行，分钟后小聪超出小明一整圈，则的值为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列一元一次方程 （1） （2） 18. 用尺规完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）： 如图，以点为顶点、射线为一边，作，使． 19. 先化简，再求值：，其中，． 20. 如图，线段延长线上一点，为线段BC上一点，． （1）若，，求的长． （2）若，，是的中点，求的长． 21. 一家公司对一种新研发的产品进行市场问卷调查，其中一个项目是让每个人按A（不喜欢）、B（一般）、C（比较喜欢）、D（非常喜欢）四个等级对该产品进行评价，图1和图2是该公司采集数据后，绘制的两幅不完整的统计图，请你根据以下统计图提供的信息，回答下列问题： （1）本次调查的人数为多少人？C等级的人数是多少？请在图中补全条形统计图； （2）图①中，a等于多少？D等级所占的圆心角为多少度？ 22. 观察下面三行数： 2，，8，，32，…① 1，，7，，31，…② ，2，，8，，…③ （1）第①行数第7个数是________； （2）第②行数的第7个数是________；第②行数的第个数是________；第③行数的第7个数是________； （3）利用观察出的规律，取每行数的第个数，分别设为，，，求的值． 23. 一元一次方程解决实际问题 某球队为备战新赛季，计划从体育用品店采购训练用足球和护腿板，已知足球每个定价180元，护腿板每个定价40元，商店提供两种优惠方案： 方案一：买1个足球送1个护腿板； 方案二：足球和护腿板都按定价的付款，该球队需购买足球35个，护腿板个． （1）方案一的总付款金额为___________元（用含的代数式表示并化简），方案二的总付款金额为___________元（用含的代数式表示并化简）； （2）当时，哪种方案更省钱？计算说明理由； （3）当时，该球队是否存在更省钱的混合采购方案？若存在，写出方案并计算总费用． 24. 如图1，直线上有一点O，过点O在直线上方作射线．最开始，将直角三角板的直角顶点放在O处， 一条直角边在射线上，另一边在直线上方，将直角三角板绕着点O按每秒 的速度逆时针旋转一周停止，设旋转时间为t秒． （1）若射线的位置保持不变，当 时，求旋转的时间t； （2）如图2，在旋转的过程中，若射线的位置保持不变，是否存在某个时刻，使得射线，与中的某一条射线是另两条射线所成夹角的平分线？ 若存在，求出所有满足题意的 t的取值，若不存在，请说明理由； （3）在三角板旋转过程的同时，射线绕着点O按每秒 的速度逆时针旋转，当 时，求出t的取值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末教学质量监测 七年级数学试卷 注意事项：1．本试卷共6页． 2．答题卡上选择题用2B铅笔填涂，综合题用黑色碳素笔在规定范围内书写． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星，其高度大约是米．将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的形式为，其中，n为整数，关键要正确确定a的值以及n的值．将表示为符合要求． 【详解】解： 移动小数点位得到， 即，且 ，为整数， 故选：C． 2. 手机信号的强弱通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强（单位：），则下列信号最强的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，比较各数的绝对值大小，即可解答． 【详解】解：， 则信号最强的是， 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，负数比较大小时，绝对值大的反而小，熟知比较法则是解题的关键． 3. 下列结论不成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等式的基本性质，关键是熟练应用此知识点解题；需依据等式性质逐一分析各选项，找出不成立的结论． 【详解】解：∵等式性质：等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立， ∴若，两边同时减，可得， 故A结论成立； ∵等式性质：等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），等式仍然成立， ∴若，两边同时乘，可得， 故B结论成立； ∵中（分母不能为0），两边同时乘，可得， 故C结论成立； ∵当时，和无意义， ∴若，不能直接推出， 故D结论不成立； 故选：D． 4. 下列选项中，与是同类项的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同类项的定义，关键是熟练应用定义解题；根据同类项的定义，对各选项进行判断． 【详解】解：同类项的定义是所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同的单项式， A选项不含字母，不符合同类项定义； B选项是多项式，不符合同类项定义； C选项中的指数为，的指数为，与题干中对应字母指数不同，不符合同类项定义； D选项含字母，且指数为，的指数为，的指数为，符合同类项定义， 故选：D． 5. 如图,将一块三角形木板截去一部分后,发现剩余木板的周长要比原三角形木板的周长大,能正确解释这一现象的数学知识是( ) A. 两直线相交只有一个交点 B. 两点确定一条直线 C. 经过一点有无数条直线 D. 两点之间,线段最短 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用线段的性质进而分析得出答案． 【详解】将一块三角形木板截去一部分后，发现剩余木板的周长要比原三角形木板的周长大，能正确解释这一现象的数学知识是：两点之间线段最短， 故选D． 【点评】本题主要考查了线段的性质，正确把握线段的性质是解题关键． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 五棱柱有10个顶点，10条棱，7个面 B. 如图是正方体的展开图形，正方体的对面数字相等，则 C. 圆锥的侧面展开图是一个圆 D. 用平面去截一个正方体，截面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形、七边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查立体图形的基本性质与正方体展开图，掌握各类立体图形的展开图是解题关键． 根据各类立体图形的基本特征，结合选项逐一分析． 【详解】解： A．五棱柱上下底面各有5个顶点，共10个顶点；棱包括上下底面的棱和侧棱，上下底面各5条棱，侧棱有5条，共15条棱；面包括上下2个底面和5个侧面，共7个面，选项说法错误，不符合题意； B．据题图可知，正方体中所对数字是，所对数字是4，故，选项说法正确，符合题意； C．圆锥的侧面展开图是一个扇形，而不是圆，选项说法错误，不符合题意； D．用平面去截一个正方体，最多与6个面相交，得到六边形，不可能得到七边形，选项说法错误，不符合题意． 故选：B． 7. 数据的世界是丰富多彩的，我们可以将数据分为定性数据和定量数据两种，下面数据：①春节档某部电影大年初一当天的票房；②你们学校所有老师的学历情况；③全班同学家养宠物的种类；④你们学校七年级同学音乐考试的成绩等级；⑤我市7月份的平均降雨量．其中是定量数据的有（ ） A. ①⑤ B. ①④⑤ C. ①③⑤ D. ①②④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查定量数据与定性数据的区分，关键是明确定义；根据定量数据是可通过具体数值表示、能进行量化分析的数据，定性数据是描述类别、等级的非数值型数据进行判断即可. 【详解】解：∵定量数据是能用具体数值体现的量化数据，定性数据是描述事物类别、等级的文字型数据， ①春节档某部电影大年初一当天的票房：可用具体数值表示，属于定量数据； ②学校所有老师的学历情况：是类别型文字描述，属于定性数据； ③全班同学家养宠物的种类：是类别型文字描述，属于定性数据； ④七年级同学音乐考试的成绩等级：是等级型文字描述，属于定性数据； ⑤我市7月份的平均降雨量：可用具体数值表示，属于定量数据； ∴定量数据为①⑤， 故选：A. 8. 已知关于的方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，已知方程的解求参数．由第一个方程的解代入得到 的关系式，然后将第二个方程化简，利用该关系式求解，即可作答． 【详解】解：∵方程 的解为， ∴代入得 ， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 移项得， ∴， 把代入，得， ∵， ∴， 故选：D． 9. 如图所示的运算程序中，若开始输入的值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，……，则第2025次输出的结果为（ ）． A 3 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了程序题型，有理数的加法和乘法运算，周期规律的探索，解题的关键是找出周期规律． 根据程序运算得出结果，探索出周期规律，然后进行求解即可． 【详解】解：根据题意得， 第一次输出结果为24， 第二次输出的结果为12， 第三次输出的结果为6， 第四次输出的结果为3， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为3， 第七次输出结果为， …… 往后计算为周期为2的循环规律， ∴第2025次输出循环的周期个数为， ∴第2025次输出的结果为6， 故选：B． 10. 如图，将正整数至按一定规律排列，图中十字框框住了个数字，将十字框上下左右移动，按同样的方式可框住另外的个数字，则框住的个数的和可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探索，一元一次方程的应用，正确得出规律是解题关键；设中间的数为，则用代数式表示这五个数的和为，即可判断和为的正整数倍． 【详解】解：设中间的数为， ∴这五个数的和为：， ∴框住的个数的和是的正整数倍， 故选：B ． 11. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”若设有牧童x人，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列一元一次方程，掌握此知识点是解题的关键． 根据竹竿总数不变列方程即可解答． 【详解】解：∵每人6竿多14竿，竹竿总数为；每人8竿少2竿，竹竿总数为，且竹竿总数相等， ∴． 故选：A． 12. 嘉嘉设计了一个“幻方”游戏，现在将1、、3、、5、、7、分别填入图中圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点上的4个数字之和都相等，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了有理数加减运算与一元一次方程在幻方数字和问题中的应用，解题关键是通过总数字和确定相等的和，再列方程求解未知量． 先计算所有数字的总和，确定横、竖及正方形顶点数字之和的定值，再通过列方程依次求出b、，最后结合内正方形顶点数字和的关系求出c的值． 【详解】计算所有数字的总和为： ； 因为横、竖以及内外两个正方形顶点上的4个数字之和都相等， 所以每个“和”为． 先看竖列：，即， 解得． 再看外正方形顶点：，即， 解得． 剩下的数字为、3、、， 因为，而剩下的两个数字， 所以和分别为和（顺序可换）． 最后看内正方形顶点：， 已知，代入得，即， 解得． 故选：C． 二、填空题（本大题4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知关于x的方程的解为，根据等式的性质，可得的值为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】将代入方程可得，然后利用等式的基本性质变形即可求解． 【详解】解：已知的方程的解为 得到：， 根据等式的性质可得：， 则． 故答案为：3． 【点睛】本题考查方程的解，等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解决问题的关键． 14. 如果一个角的余角是，那么这个角的度数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了余角的定义，关键是熟练应用知识点解题；根据余角的定义求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 15. 如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这根绳子原来的长度为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查求线段长．根据题意，分两种情况：①当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：、、；②当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：、、；再根据剪断后的各段绳子中最长的一段为，列式求解即可得到答案． 【详解】解：根据题意，分两种情况： ①当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：、、， ，即， ，即线段是最长的一段， 最长的一段为， ，解得， 这条绳子的原长为； ②当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：、、， ， 线段是最长的一段， 最长的一段为， ，解得， ， 这条绳子的原长为； 故答案为：或． 16. 小明和小聪一起去操场跑步，小明跑一圈要用分钟，小聪跑一圈要用分钟，如果两人同时同地出发，同方向而行，分钟后小聪超出小明一整圈，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程与实际问题，关键是根据路程差建立方程求解；设一圈长度为，则小明的速度为，小聪的速度为，小聪超出小明一整圈，即小聪比小明多跑一圈，由此列出方程即可求解． 【详解】解：设一圈长度为，则小明的速度为，小聪的速度为， 根据题意，得方程：，， 解得：， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列一元一次方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，关键是熟练应用知识点解题； （1）按照移项、合并同类项、系数化为的步骤解方程即可； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤解方程即可. 【小问1详解】 解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：； 【小问2详解】 解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：. 18. 用尺规完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）： 如图，以点为顶点、射线为一边，作，使． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查作图—基本作图，熟练掌握作一个角等于已知角的方法是解答本题的关键． 根据作一个角等于已知角的方法作图即可． 【详解】解：如图，和均满足题意． 19. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】先去中括号，再去小括号，然后合并同类项，最后把，代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式＝． 【点睛】本题考查了整式的加减以及化简求值：先去括号，然后进行合并同类项，再把字母的值代入计算得到整式的值． 20. 如图，为线段延长线上一点，为线段BC上一点，． （1）若，，求的长． （2）若，，是的中点，求的长． 【答案】（1）15 （2）9 【解析】 【分析】本题主要考查线段的和差关系，线段的中点的有关计算问题，掌握线段和差关系和中点定义是本题的关键； （1）根据得到，可求得，由此可求得； （2）先求得，进而可求得，根据线段中点的定义，可求得，进而可求得的长． 【小问1详解】 解： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长为； 【小问2详解】 解： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴的长为． 21. 一家公司对一种新研发的产品进行市场问卷调查，其中一个项目是让每个人按A（不喜欢）、B（一般）、C（比较喜欢）、D（非常喜欢）四个等级对该产品进行评价，图1和图2是该公司采集数据后，绘制的两幅不完整的统计图，请你根据以下统计图提供的信息，回答下列问题： （1）本次调查的人数为多少人？C等级的人数是多少？请在图中补全条形统计图； （2）图①中，a等于多少？D等级所占的圆心角为多少度？ 【答案】（1）200；70；图见解析 （2）35； 【解析】 【分析】（1）根据条形图和扇形图得到A等级的人数和A等级的人数所占的百分比，求出本次调查的人数，求出C等级的人数，补全条形统计图； （2）根据各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°计算即可． 【小问1详解】 解：由条形图可知，A等级的人数是20人， 由扇形图可知，A等级的人数所占的百分比为10%， 则本次调查的人数为（人）， C等级的人数为（人）． 补全条形统计图如图所示． 【小问2详解】 解：，所以． ． 则D等级所占的圆心角为． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 22. 观察下面三行数： 2，，8，，32，…① 1，，7，，31，…② ，2，，8，，…③ （1）第①行数的第7个数是________； （2）第②行数的第7个数是________；第②行数的第个数是________；第③行数的第7个数是________； （3）利用观察出的规律，取每行数的第个数，分别设为，，，求的值． 【答案】（1）128 （2）127，， （3） 【解析】 【分析】本题考查数字类规律探究，从给出的数字中获取规律是解题的关键： （1）第①行的数字为的次方，奇数位为正，偶数位为负，进行求解即可； （2）第②行的数字比第①行相同位置上的数字小1，第③行的数字是第①行相同位置上的数字的，据此进行求解即可； （3）根据规律进行求解即可． 【小问1详解】 解：观察可知，第①行的数字为的次方，奇数位为正，偶数位为负， ∴第①行数的第7个数是； 【小问2详解】 观察可知：第②行的数字比第①行相同位置上的数字小1， 故第②行数的第7个数是； 第②行数的第个数是； 第③行的数字是第①行相同位置上的数字的， 故第③行数的第7个数是； 【小问3详解】 由题意，第①行的第个数是；第②行数的第个数是；第③行数的第个数是； ∴，，， ∴ ． 23. 一元一次方程解决实际问题 某球队为备战新赛季，计划从体育用品店采购训练用足球和护腿板，已知足球每个定价180元，护腿板每个定价40元，商店提供两种优惠方案： 方案一：买1个足球送1个护腿板； 方案二：足球和护腿板都按定价的付款，该球队需购买足球35个，护腿板个． （1）方案一的总付款金额为___________元（用含的代数式表示并化简），方案二的总付款金额为___________元（用含的代数式表示并化简）； （2）当时，哪种方案更省钱？计算说明理由； （3）当时，该球队是否存在更省钱的混合采购方案？若存在，写出方案并计算总费用． 【答案】（1）, （2）方案一更省钱 （3）存在，混合采购方案为：用方案一购买35个足球（获赠35个护腿板），剩余65个护腿板用方案二购买，总费用为8640元 【解析】 【分析】本题考查列代数式，代数式求值，整式加减的应用，解题关键是正确理解题意列出代数式． （1）分别根据方案一和方案二列式计算即可； （2）将代入（1）中代数式求解并判断，即可解题； （3）先用方案一购买35个足球（获赠35个护腿板），剩余65个护腿板用方案二购买，计算出结果，再与每一个方案的付款比较大小，选择最合算方案即可． 小问1详解】 解：由题知，方案一的总付款金额为：元， 方案二的总付款金额为元； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：当时， 方案一的总付款金额为：（元）， 方案二的总付款金额为：（元）， ， 方案一更省钱； 【小问3详解】 解：存在，用方案一购买35个足球（获赠35个护腿板），剩余65个护腿板用方案二购买， 混合总费用为：（元）， ， 存在更省钱的混合采购方案，方案为用方案一购买35个足球（获赠35个护腿板），剩余65个护腿板用方案二购买，总费用为8640元． 24. 如图1，直线上有一点O，过点O在直线上方作射线．最开始，将直角三角板的直角顶点放在O处， 一条直角边在射线上，另一边在直线上方，将直角三角板绕着点O按每秒 的速度逆时针旋转一周停止，设旋转时间为t秒． （1）若射线的位置保持不变，当 时，求旋转的时间t； （2）如图2，在旋转的过程中，若射线的位置保持不变，是否存在某个时刻，使得射线，与中的某一条射线是另两条射线所成夹角的平分线？ 若存在，求出所有满足题意的 t的取值，若不存在，请说明理由； （3）在三角板旋转过程的同时，射线绕着点O按每秒 的速度逆时针旋转，当 时，求出t的取值． 【答案】（1）或 （2）存在，或或 （3）或或 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，角平分线，解一元一次方程，解答的关键是对所求的直线位置进行讨论，并结合图形分析清楚角之间的关系． （1）分两种情况讨论：当在下方时；当在上方时，再结合角的和差进行求解即可； （2）分①平分；②若平分；③若平分，三种情况进行讨论计算即可； （3）首先根据题意得到当与重合时，与重合时，与重合时的时间，之后再根据讨论即可． 【小问1详解】 解：①如图，当在下方时， ， ， 直角三角板绕点按每秒的速度旋转， ； ②如图，当在上方时， ， ， 直角三角板绕点按每秒的速度逆时针旋转， ， 故当或时，； 【小问2详解】 解：①平分，， ，解得； ②若平分，， ，解得； ③若平分， ，解得， 综上所述，或或； 【小问3详解】 解：由题意得： 与重合时，，解得：， 与重合时，，解得：， 与重合时： ，解得：， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：（舍）； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：． 综上所述：或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $