1.3.2平方差公式的应用 课件 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

北师大版数学7年级下册培优精做课件 1.3.2平方差公式的应用 第一章 整式的乘除 授课教师： Home . 班 级： 7年级（*）班 . 时 间： . 2026年2月25日 2026年2月25日星期三1时56分25秒 2026年2月25日星期三1时56分27秒 学习目标 1.会利用多项式乘多项式的运算法则推导平方差公式. 2.掌握平方差公式，能正确运用公式进行简单计算和推理. 如图，边长为 a 的大正方形中有一个边长为 b 的小正方形。 （1）请表示图中阴影部 分的面积。 a b a2 – b2 新课探究 3 （2）小颖将阴影部分拼成了一个长方形，这个长方形的长和宽分别是多少?你能表示出它的面积吗? (a + b) (a – b) a-b a b b 4 （3）比较（1）（2） 的结果， 你能验证平方差公式吗 ? a b a b 阴影部分的面积相等：a2 – b2 =(a + b)(a – b) （4）对于阴影部分的面积，你还有其他计算方法? a b 把阴影部分分割成两个一样的直角梯形，如图所示。 阴影部分的面积：(a + b)(a – b) a+b a-b 返回 A 1．计算a2－(a＋1)(a－1)的结果是(　　) A．1 B．－1 C．2a2＋1 D．2a2－1 中考考法 7 2. 我们可以利用图形的面积解释一些代数恒等式．如图，能够使用其中阴影部分面积说明的等式是(　　) A．a(a＋9)＝a2＋9a B．(a＋3)(a－3)＝a2－9 C．(a＋3)(a－6)＝a2－3a－18 D．(a＋3)2＝a2＋6a＋9 B 返回 中考考法 8 （1）计算下列各组算式： 7×9 = 8×8 = 11×13 = 12×12 = 79×81 = 80×80 = 63 64 143 144 6399 6400 （2）观察上述算式及其结果，你发现了什么? (a – 1)(a + 1) = a2 – 1。 观察·思考 （3）请用字母表示这一规律。 符合平方差公式。 返回 C 中考考法 10 例 3 用平方差公式进行计算： （1）103×97； （2）118×122 。 解：（1）103×97 =(100 + 3)(100 – 3) = 1002 – 32 = 9 991； （2）118×122 = (120 – 2)(120 + 2) = 1202 – 22 = 14 396。 (103+97)÷2=100 (118+122)÷2=120 你有什么发现? 例 3 计算： （1）a2(a + b) (a – b) + a2b2； （2）(2x – 5) (2x + 5) – 2x(2x – 3)。 解（1）a2(a + b) (a – b) + a2b2； = a2(a2 – b2) + a2b2； = a4 – a2b2 + a2b2； = a4； 例 3 计算： （1）a2(a + b) (a – b) + a2b2； （2）(2x – 5) (2x + 5) – 2x(2x – 3)。 （2）(2x – 5) (2x + 5) – 2x(2x – 3) = (2x)2 – 25 – (4x2 – 6x) = 4x2 – 25 – 4x2 + 6x = 6x – 25。 4．已知(x＋2)(x－2)－2x＝1，则2x2－4x＋3的值为(　　) A．13 B．3 C．－3 D．5 A 返回 中考考法 14 5. 小王叔叔改建一个边长为a m的正方形养鸡场，计划纵向扩大2 m，横向缩短2 m，则改建后养鸡场面积的变化情况是(　　) A．面积减少4 m2 B．面积增加4 m2 C．面积增加2 m2 D．面积不变 中考考法 15 返回 【点拨】由题意，得改建后养鸡场的长为(a＋2) m，宽为(a－2) m，所以改建后养鸡场的面积为(a＋2)(a－2)＝(a2－4) m2.因为a2－(a2－4)＝4(m2)，所以改建后养鸡场面积减少4 m2. 【答案】A 中考考法 返回 6. 利用平方差公式计算： (1)100.5×99.5；     (2)2 024×2 026－2 0252. 【解】原式＝(100＋0.5)×(100－0.5)＝1002－0.52＝10 000－0.25＝9 999.75. 原式＝(2 025－1)(2 025＋1)－2 0252＝2 0252－1－2 0252＝－1. 中考考法 17 7．先化简，再求值：(2x－1)(2x＋1)－(x－2)(x＋3)－ 2x(x－1)，其中x＝－2. 返回 【解】(2x－1)(2x＋1)－(x－2)(x＋3)－2x(x－1) ＝4x2－1－(x2＋x－6)－2x2＋2x ＝4x2－1－x2－x＋6－2x2＋2x＝x2＋x＋5. 当x＝－2时，原式＝(－2)2＋(－2)＋5＝4－2＋5＝7. 中考考法 18 8. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“完美数”，如12＝42－22，52＝142－122，因此12，52这两个数都是“完美数”，则下列说法中错误的是(　　) A．20是“完美数” B．最小的“完美数”是4 C．“完美数”一定是4的奇数倍 D．小于30的所有“完美数”之和是60 中考考法 19 返回 【点拨】由于20＝62－42，因此20是“完美数”，所以选项A不符合题意；两个连续偶数的平方差最小为4，因此“完美数”最小为4，所以选项B不符合题意；两个连续偶数的和是2的奇数倍，两个连续偶数的差是2，所以两个连续偶数的平方差是4的奇数倍，即“完美数”一定是4的奇数倍，所以选项C不符合题意；小于30的所有“完美数”的和为4＋12＋20＋28＝64，因此选项D符合题意．故选D. 【答案】D 中考考法 9. 如图，大正方形与小正方形的面积之差是30，则阴影部分的面积是(　　) A．15 B．20 C．30 D．35 中考考法 21 返回 【答案】A 中考考法 10．发现：41＝4，42＝16，43＝64，44＝256，45＝1 024，46＝4 096，47＝16 384，48＝65 536，依据上述规律，通过计算判断3×(4＋1)(42＋1)(44＋1)…(432＋1)＋1的结果的个位数字是(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 中考考法 23 【点拨】41＝4，42＝16，43＝64，44＝256，45＝ 1 024，46＝4 096，47＝16 384，48＝65 536， 观察上面运算结果发现：当4的指数是奇数时，运算结果的个位数字是4；当4的指数是偶数时，运算结果的个位数字是6. 中考考法 返回 3×(4＋1)(42＋1)(44＋1)…(432＋1)＋1 ＝(4－1)(4＋1)(42＋1)(44＋1)…(432＋1)＋1 ＝(42－1)(42＋1)(44＋1)…(432＋1)＋1 ＝(44－1)(44＋1)…(432＋1)＋1＝464－1＋1＝464. 由规律可得464的个位数字是6，所以3×(4＋1)(42＋1)(44＋1)…(432＋1)＋1的结果的个位数字是6. 【答案】C 中考考法 11．若a＝1 954×1 946，b＝1 957×1 943，c＝1 949×1 951，则a，b，c的大小关系为___________(用“<”连接)． 【点拨】a＝1 954×1 946＝(1 950＋4)(1 950－4)＝1 9502－16，b＝1 957×1 943＝(1 950－7)(1 950＋7)＝1 9502－49，c＝1 949×1 951＝(1 950＋1)(1 950－1)＝1 9502－1.因为1 9502－49<1 9502－16<1 9502－1，所以b<a<c. b<a<c 返回 中考考法 26 12．已知a2－2b2＝5，则代数式(a＋b)(a－b)＋(2a＋3b)(2a－3b)的值为________． 【点拨】原式＝a2－b2＋(2a)2－(3b)2＝a2－b2＋4a2－9b2＝5a2－10b2.因为a2－2b2＝5，所以原式＝5×(a2－2b2)＝5×5＝25. 返回 25 中考考法 27 13．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m－n>1，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，16＝52－32，16就是一个智慧优数．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是________；第23个智慧优数是________． 15 57 中考考法 课堂小结 原理:等面积法 简便运算 方法:用不同方法表示 同一图形的面积 混合运算 平方差公式 验证公式 应用 3．用简便方法计算99×(100)，变形正确的是(　　) A．(99＋)×(100＋) B．(100－)×(100＋) C．(100－)×(100＋) D．(100－)×(101－) 【点拨】设大正方形的边长为x，小正方形的边长为y，则AE＝x－y，由题意可知x2－y2＝30，所以阴影部分的面积是AE·BC＋AE·DB＝(x－y)·x＋(x－y)·y＝ (x－y)(x＋y)＝(x2－y2)＝×30＝15. $