第07讲 相似三角形及其应用（6命题点+13题型+4突破）（复习讲义）（广东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第四章 三角形 第07讲 相似三角形及其应用 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 11 命题点一 相似三角形的判定与性质基础 题型01 选择或补充一个条件使两个三角形相似 题型02 选择合适的方法证明两个三角形相似 题型03 补全判定相似三角形的证明过程 题型04 利用相似三角形的性质求解 题型05 利用相似的性质求坐标 题型06 相似三角形在网格中的应用 命题点二 相似三角形的判定与性质提高 题型01 利用相似三角形的性质与判定解决折叠问题 题型02 利用相似三角形的性质与判定解决动态函数图像 题型03 利用相似三角形的性质与判定解决动点问题 题型04 尺规作图与相似三角形综合应用 题型05 三角板与相似三角形综合应用 命题点三 相似三角形的应用 题型01利用相似三角形的性质求高度 题型02相似三角形的物理学应用 05·重难突破·思维进阶难 34 突破一相似三角形的判定与性质综合 突破二相似三角形的判定与性质中的多结论问题 突破三相似三角形的存在性问题 突破四相似三角形的实际应用综合 06·优题精选·练能提分 41 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 相似三角形的判定与性质 广东卷 T10广州卷 T25深圳卷T8 深圳卷T14 广州卷T18 理解并掌握相似三角形的判定与性质； 相似三角形的应用 深圳卷T20 深圳卷T20 会利用图形的相似解决一些简单的实际问题； 命题预测 本专题主要考查相似三角形的判定和性质，利用相似的性质求线段的长度、图形的面积等，试题形式多样，难度不一，相似三角形的判定方法较多，合理的选择方法是解题的关键，常见的相似模型有“A”字形、8”字形及“一线三等角”等，熟练掌握这些模型能提升解题速度. 相似三角形是中考数学中非常重要的一个考点，也是难度最大的一个考点. 它不仅可以作为简单考点单独考察，还经常作为压轴题的重要解题方法，和其他如函数、特殊四边形、圆等问题一起考察. 而且在很多压轴题中，经常通过相似三角形的判定以及性质来得到角相等或者边长间的关系，也是动点问题中得到函数关系式的重要手段，考生在复习时要多加注意! 考点一 相似多边形 知识点一、相似图形 把形状相同的图形叫做相似形. 【补充】1）相似图形的形状完全一样，图形的大小不一定相同； 2）全等图形是一种特殊的相似图形，它们不仅形状相同，大小也相同； 3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形的是不是形状相同，与其它的因素无关. 知识点二、相似多边形及、性质与判定 相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形. 相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比. 相似多边形的表示：两个相似多边形可以用符号“∽”，读作“相似于”. 【补充】1、相似多边形的三个条件：①边数相同；②对应角相等；③对应边成比例； 2、全等多边形的相似比是1，即全等图形是一种特殊的相似图形；； 3、当用符号“∽”表示两个相似图形时，对应点必须写在对应位置. 1．（2025·广东中山·一模）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（　　） A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对 2．（2025·广东阳江·一模）下列说法中，正确的个数有（  ） ①位似图形都相似； ②两个等边三角形一定是位似图形； ③两个相似多边形的面积比为，则周长的比为； ④两个圆一定是位似图形； A．个 B．个 C．个 D．个 3．（2025·广东湛江·二模）如图所示的两个四边形相似，则的度数是 ． 4．（2025·广东惠州·二模）综合与实践： 主题：A4纸的研究 在进行综合与实践活动时，学习小组在研究生活中常用的A4纸的规格，并了解到工业上对关于纸张规格的一些知识．A系列中最大的规格为，面积约为1平方米，对半裁开得到；再对裁得到，…，以此类推得到，裁剪后得到形状是相似的矩形，如图所示． (1)【初步研究】查阅资料知纸张的规格如表： 规格 长 1189 841 594 420 297 宽 841 594 420 297 210 长与宽的比值（保留两位小数） 1.41 1.41 1.41 请计算、纸的长宽比，并填在上面表中；通过查阅资料，可知系列纸的长宽比为一个固定的无理数．请你猜想这个无理数为________． 设的长为毫米，宽为毫米，证明你的猜想． (2)【深入研究】 已知矩形是一张纸，点、点分别为边、的中点，请判断的形状，并证明． 考点二 相似三角形 知识点一、相似三角形的定义 三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.如△ABC和△DEF相似可表示为△ABC∽△DEF. 【补充】三角形全等是三角形相似的特殊情况，全等三角形的相似比等于1. 【注意事项】符号“∽”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大宇母写在对应的位置上，如△ABC∽△DEF，表示顶点A与D，B与E，C与F分别对应； 【易错点】如果仅说△ABC与△DEF相似，没有用“∽”连接，则需要分情况讨论它们之间的对应关系. 相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比. 【补充】相似比具有顺序性，如△ABC∽△DEF，相似比为k，则△DEF与△ABC的相似比为. 常见的基本图形： 图①和图②分别为“A型”图和“X型”图，条件是DE//BC，基本结论是△ABC∽△ADE； 图③、图④是图①的变形图，图⑤是图②的变形图; 图⑥是“母子型”图，条件是BD为直角△ABC斜边上的高，基本结论是△ABC∽△BDC∽△ADB. 知识点二、相似三角形的判定方法 1、判定三角形相似的常用定理： ①平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． ②三边成比例的两个三角形相似； ③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ④两角分别相等的两个三角形相似． 2、直角三角形相似的判定方法： ①有一个锐角相等的两个直角三角形相似. ②两组直角边成比例的两个直角三角形相似. ③斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 知识点三、相似三角形的性质 1、相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 【补充】己知两三角形相似，写对应角相等，对应边成比例时，原则是“大对大，小对小；长对长，短对短”. 【小技巧】相似多边形对应边的比相等是求某条线段的长或求两条线段的比的一种常用方法，采用此方法时一定要注意找准对应关系. 2、相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 3、相似三角形周长的比等于相似比. 4、相似三角形面积比等于相似比的平方. 5、传递性：若△ABC∽△BDC，△ABC∽△ADB，则△BDC∽△ADB. 5．（2025·广东广州·中考真题）如图，在中，点，分别在，上，，若，则 ． 6．（2025·广东·中考真题）如图，在矩形中，，是边上的三等分点，连接，相交于点，连接．若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·广东深圳·中考真题）如图，将正方形沿折叠，使得点与对角线的交点重合，为折痕，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．（2024·广东·中考真题）【知识技能】 （1）如图1，在中，是的中位线．连接，将绕点D按逆时针方向旋转，得到．当点E的对应点与点A重合时，求证：． 【数学理解】 （2）如图2，在中，是的中位线．连接，将绕点D按逆时针方向旋转，得到，连接，，作的中线．求证：． 【拓展探索】 （3）如图3，在中，，点D在上，．过点D作，垂足为E，，．在四边形内是否存在点G，使得？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由． 考点三 相似三角形的应用 知识点一、相似三角形的应用 1、利用影子测高度（太阳光线平行） 原理：太阳光线互相平行 → 形成相似三角形。 2、利用光的反射测高度 原理：入射角＝反射角 → 两角对应相等 → 相似。 3、测河宽 / 隧道宽 原理：构造**“A 字型”或“8 字型”相似**。 4、几何体内部：截面、梯子、小孔成像 梯子靠墙：两个直角三角形相似 小孔成像：像高/物高＝像距/物距 9．（2024·广东清远·一模）如图，在水平桌面上的两个“”均垂直于桌面，，，在一条直线上．若，，号“”的测试距离，则号“”的测试距离为（    ） A． B． C． D． 10．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，点光源到胶片的距离长为，长为，则胶片与屏幕的距离为 ． 11．（2025·广东·模拟预测）如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A，B，C，D在同一水平面上． 的长为 ． 12．（2025·广东汕头·二模）在进行光的反射实验中，小明将一块硬纸板竖直立在平面镜上，如图所示，用激光笔紧贴纸板从点A处射向平面镜，光线从点E点射出，将激光笔向后平移至纸板边缘的B点处，射向平面镜，使得光线依旧从点E射出，若激光笔高度，，，，已知点C，F，G，H，D在同一水平线上，且均与垂直．则的长度为 命题点一 相似三角形的判定与性质基础 ►题型01 选择或补充一个条件使两个三角形相似 相似三角形的判定方法： 判定三角形相似的常用定理 直角三角形相似的判定方法 1 平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似 2 三边成比例的两个三角形相似 有一个锐角相等的两个直角三角形相似 3 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 两组直角边成比例的两个直角三角形相似 4 两角分别相等的两个三角形相似 解题方法：判定两个三角形相似需要根据条件选择方法．有时条件不具备，需从以下几个方面探求： 1、条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形； 2、两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例； 3、两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例； 4、条件中若有一组直角，可再找一组等角或证明斜边、直角边对应成比例； 5、条件中若有等腰三角形，可找顶角相等，或找底角相等，或找底和腰对应成比例. 【拓展】特殊三角形相似的判定： 1、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似. 2、两个等腰直角三角形一定相似. 【典例1】（2025·广东阳江·一模）如图，在中，D是上一点，连接，下列条件中不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2023·广东广州·一模）已知：如图，点在边上，若 时，则． 【变式2】（2024·广东佛山·一模）如图，点P是△ABC的AC边上一点，连接BP，添加下列条件，不能判定△ABC∽△APB的是（ ） A．∠C＝∠ABP B．∠ABC＝∠APB C．＝ D．＝ 【变式3】（2026·上海虹口·一模）如图，在五边形中，，延长、，分别交直线于点、．如果添加下列一个条件后，仍无法判定，那么这个条件是（   ） A． B． C． D． ►题型02 选择合适的方法证明两个三角形相似 【典例1】（2024·福建福州·一模）如图，中，点D是边上一点，，连接．从下列条件中，选择一个作为附加条件①；②；③，求证：． 【变式1】（2025·浙江杭州·一模）在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，使命题正确，并证明． 问题：如图，四边形的两条对角线交于点，若 （填序号） 求证：． 【变式2】（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在Rt中，，点为斜边上一点，以为直径的交于点，交于点，连接，与的延长线相交于点． (1)请从以下条件中：①；②点是弧的中点；③．选择一个能证明是切线的条件，你选择的条件是___________，并写出证明过程； (2)若是的切线，连接，若，，求的长． 【变式3】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，点B为边上一点，以为直径的圆交于点D、F．连接、、，交于点H．给出下列三个信息：①D为弧的中点；②；③是的切线； (1)请从上述三个信息中选择两个信息作为条件，余下的一个信息作为结论组成一个真命题．你选择的条件是_________，结论是_________．（只要填写序号）并证明． (2)在（1）的条件下，若，，求的长 ►题型03 补全判定相似三角形的证明过程 【典例1】（2025·广东东莞·一模）水兴县某中学的同学们在学习了《图形的相似》之后，数学柳老师给出了下面的问题：如图，与中，斜边与相交于点，过点作于点．探究、、之间的数量关系，并证明． 下面是小许同学的探究过程，请根据题意补充完整探究过程． (1)请在答题卡上完成尺规作图：过点作垂足为点．（保留作图痕迹，不用写作法） (2)请将①②③④⑤补充完整并填写在答题卡上． 解：， ， （注意：这里要求填写化简之后的数字结果） 小许进一步探究，如果把题设中的三个垂直关系改为：，请你帮她写出、、这三条线段之间的数量关系 ⑤ ． 【变式1】（2024·江苏淮安·一模）如图，在矩形中，，，点E在上，连接、，相交于点G，作，交于点F，设． 【变中不变】 （1）明明发现：连接，当点E的位置在上发生变化时，的度数始终不变．经过思考，他整理出如下说理过程，请补充完整． ∵，且①_______； ∴； ∴即：； 又∵； ∴②_______； ∴； ∴； 在矩形中，； ∴； ∴③_______°，即度数不变． 【尝试应用】 （2）若，求的长； 【思维拓展】 （3）将绕着点E顺时针旋转得到，是否存在这样的x，使得有顶点落在直线上，若存在，请求出满足条件的x值；若不存在，请说明理由． 【变式2】（2023·广东深圳·三模）（1）[探究发现]如图①，已知四边形是正方形，点为边上一点（不与端点重合），连接，将沿折叠，点落在处，、的延长线交于点． 小明探究发现：当点在上移动时，．并给出如下不完整的证明过程，请帮他补充完整． 证明：延长交于点．      （2）[类比迁移]如图②，四边形为矩形，点为边上一点，连接，将沿折叠，点落在处，的延长线与的延长线交于点，连接，当，，时，求的长； （3）[拓展应用]如图③，已知四边形为菱形，，，点为线段上一动点，将线段绕点按顺时针旋转，当点旋转后的对应点落在菱形的边上（顶点除外）时，如果，请直接写出此时的长．    【变式3】（2023·广东深圳·三模）（1）【探究发现】如图①，已知四边形是正方形，点E为边上一点（不与端点重合），连接，作点D关于的对称点，的延长线与BC的延长线交于点F，连接．    ①小明探究发现：当点E在上移动时，．并给出如下不完整的证明过程，请帮他补充完整． 证明：延长交于点G． ②进一步探究发现，当点与点F重合时，　　　． （2）【类比迁移】如图②，四边形为矩形，点E为边上一点，连接，作点D关于的对称点D，的延长线与的延长线交于点F，连接，，．当，，时，求的长；    （3）【拓展应用】如图③，已知四边形为菱形，，，点F为线段上一动点，将线段绕点A按顺时针方向旋转，当点D旋转后的对应点E落在菱形的边上（顶点除外）时，如果，请直接写出此时的长．    ►题型04 利用相似三角形的性质求解 利用相似三角形的性质可推得成比例线段，从而建立等式求得未知线段的长.在中考题中常常运用相似三角形的面积比等于相似比的平方解决与几何图形面积相关的问题. 【典例1】（2025·广东深圳·一模）如图①，在Rt中，，，点D为边上的一点，连接，过点C作于点F，交于点E，连接． (1)若，求证：； (2)如图②，若，，求的值． 【变式1】（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在矩形中，E是上一点，，连接，F是上一点，且，，则 ．    【变式2】（2023·广东中山·一模）如图，在平行四边形中，，若，则的面积为 ． 【变式3】（2025·河南洛阳·一模）定义：有一组对角互余的四边形叫做“对余四边形”． 【认识模型】 （1）如图①，四边形是对余四边形，则与的度数之和为______； 【性质探究】 四边形是对余四边形，为对角线，已知． 如图②，若，求证：，小唯发现将绕点按逆时针方向旋转，构造等边三角形结合对余四边形即可得证，下面是小唯的部分证明过程： 证明：如图②，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接， ∴，， ∴，，， ∴是等边三角形， … （2）请补全上面的证明过程； （3）如图③，连接，若，，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明过程，若不成立，请说明理由． ►题型05 利用相似的性质求坐标 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点在第一象限内，连接、．已知，则 ． 【变式1】（2025·广东广州·一模）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则线段CD的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 【变式2】（2024·重庆九龙坡·一模）如图，中，两个顶点在轴上方，点的坐标是，以点为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，得到，并把放大到原来的2倍，设点的对应点的横坐标为2，则点的横坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式3】（2024·山东潍坊·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O是坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，，D为边的中点．若E为边上的一个动点，当的周长最小时，则点E的坐标 ． ►题型06 相似三角形在网格中的应用 【典例1】（2026·上海长宁·一模）如图，在由大小相同的小正方形组成的网格图中，连接格点的线段交网格线于两点，那么 ． 【变式1】（2025·吉林长春·二模）图①、图②均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点均为格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图． (1)图①中，画出的中线； (2)图②中，在的边上找一点F，连接，使； (3)图③中，在的边上找一点G，连接，使的面积为2． 【变式2】（2024·浙江绍兴·模拟预测）如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请按要求作图． (1)在图1中画一个格点，使． (2)在图2中找一点F，使． 【变式3】（2024·宁夏银川·二模）综合与探究 【特例感知】 （1）如图1，已知，则，，可得；这一步的依据是____________________________．又因为，可得； 【类比探究】                                                              （2）如图2，点P是线段上与点A，点B不重合的任意一点，分别以A，P，B为顶点作，其中与的一边分别是射线和射线，的两边不在直线上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段为等联线． ①请直接写出图2中与的形状关系___________________； ②如图3，在边长均为方格的纸上，小正方形的顶点为格点，A，B在格点上．请用两种不同连接格点的方法，作出以线段为等联线、某格点为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹； 【迁移应用】 （3）如图4，在矩形中，，，点P是线段上的一个动点，将三角板的直角顶点重合于点P，三角板两直角中的一边始终经过点，另一直角边交线段于点E，是否存在这样的点P，使的周长等于周长的4倍？若存在，请求出的长度；若不存在，请简要说明理由．    命题点二 相似三角形的判定与性质提高 ►题型01 利用相似三角形的性质与判定解决折叠问题 【典例1】（2025·广东珠海·三模）综合与实践 【发现问题】在进行综合与实践活动时，真智学习小组发现生活中常用的纸是一个长与宽的比为的矩形． 【定义】若一个四边形为矩形，且相邻边的比为，则这个四边形为类矩形． 【提出问题】如何用不同形状的纸折一个类矩形？ 【分析并解决问题】 （1）真智学习小组利用一张纸对折一次，使与重合，折叠过程如图1所示，求证：四边形是类矩形； （2）真智学习小组利用一张正方形纸片折叠2次，展开后得折痕，，再将其沿折叠，使得点与点重合，折叠过程如图2所示．求证：四边形是类矩形； 【拓展】 （3）如图3，四边形纸片中，垂直平分，，，点，，，分别是边上的点，将四边形纸片沿折叠，使得点的对应点落在上，再沿折叠，使得点的对应点分别落在上，若四边形是类矩形，请直接写出的值． 【变式1】（2024·广东清远·一模）综合与实践：小明想在如图1所示的三角形纸片折出一个菱形，使为菱形的一个内角． (1)小明进行如下折叠过程： 步骤1：如图2，将三角形纸片沿过点A的直线折叠，使得点C的对应点落在边上（点D在边上），展平纸片； 步骤2：如图3，再次折叠该三角形纸片，使得点A与点D重合，再次展平后，连接，，得到菱形． ①折痕为的 （填“中线”“角平分线”或“高”）； ②若，，求菱形的边长． (2)若将（1）中的步骤2改为：如图4，再次折叠该三角形纸片（且A与D不重合），折痕为，展平纸片，连接，．证明：四边形是菱形． 【变式2】（2025·广东珠海·一模）在综合实践活动课上，同学们以“折叠正方形纸片”为主题开展数学探究活动． 【操作判断】操作一：如图①，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在边上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部，得到折痕，如图②； 操作三：在边上选一点，沿折叠，使边与边重合，得到折痕，如图③． 把正方形纸片展平，得图④，折痕，与的交点分别为，． (1)根据以上操作，得_________． (2)若正方形的边长为，，试求的长． (3)经过多次折叠和测量，小浩发现线段与的比值不变，但他无法证明，请聪明的你帮小浩写出证明过程，并求出其比值． 【变式3】（2025·江苏宿迁·二模）数学兴趣小组的同学们以“图形的折叠”为主题开展探究活动． 【操作推断】 (1)如图①，点P是正方形纸片的边的中点，沿折叠，使点A落在点M处， 延长交于点F， 连接， 则 ； 【迁移探究】 (2)如图②， 延长交于点 E， 连接． ① ； ②小明用大小不同的正方形纸片重复几次以上操作，总发现 ．请判断该发现是否正确？并说明理由； 【拓展应用】 (3)将边长为2的两个相同正方形拼成矩形，如图③，点P 是 上一动点，沿折叠，使点A落在点M处，射线交射线于点F．当时，直接写的长． ►题型02 利用相似三角形的性质与判定解决动态函数图像 【典例1】（2023·河北邯郸·三模）在中，于点，点从点出发沿向点运动，设线段的长为，线段的长为（如图1），而关于的函数图象如图2所示．是函数图象上的最低点．当为锐角三角形时的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·安徽滁州·三模）如图，在中，，M，N分别是BC，BA上的点且，将沿着直线MN对叠，得到，点B落在射线BA上，对应点为D．设，已知，与重叠部分的面积为S，则S与x之间的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·广东梅州·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，以为边，在x轴上方作正方形，动点P从点A出发，沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动．线段交于点M．设点P运动时间为t秒，的面积为S，则S关于t的函数表达式为（   ） A． B． C． D． ►题型03 利用相似三角形的性质与判定解决动点问题 对于动态相似图形问题，一般是已知结论，求使结论成立的条件，可采取逆向思维，把结论视为题设的一部分，再结合已有的条件和图形进行分析、探究，便可得到所需的条件. 【典例1】（2023·广东珠海·一模）如图（1）所示，E为矩形的边上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线运动到点C时停止，点Q沿运动到点C时停止，它们运动的速度都是/秒．设P、Q同时出发t秒时，的面积为．已知y与t的函数关系图像如图（2）（曲线为抛物线的一部分），则下列结论：①；②；③当时，；④当秒时，；其中正确的结论是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（2025·广东深圳·模拟预测）如图，三角形△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，点P从A出发沿AB运动到点B，作如图的Rt△PQC，且∠P＝30°，∠Q＝90°，点P运动过程中，BQ的最小值为 ． 【变式2】（2025·广东湛江·三模）在中，，，，现有动点从点出发，沿向点方向运动，动点从点出发，沿线段也向点方向运动，如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为秒．    (1)求为多少秒时，的面积为为 (2)当为多少时，以点为顶点的三角形与相似. 【变式3】（2023·广东东莞·二模）如图，在中，，，．点P从点A出发，沿线段以每秒4个单位长度的速度向终点B匀速运动．当点P不与点A、点B重合时，过点P作，其中点Q在上方，，以、为邻边作．设点P运动的时间为t（秒）．    (1)边的长为 ；点C到边的距离为 ； (2)当点F落在边上时，求t的值； (3)设线段与边交于点M，线段与边交于点N，当时，求的长． ►题型04 尺规作图与相似三角形综合应用 【典例1】（2024·广东广州·二模）如图，为的直径，点C在上． (1)尺规作图：求作的中点D（保留作图痕迹，不写作法）； (2)过点D作交延长线于点E（画出图形即可，不必尺规作图），求证：与相切； (3)连接，若，求的值． 【变式1】（2023·广东佛山·三模）如图，在直角内，以A为一个顶点作正方形，使得点E落在边上． (1)用尺规作图，作出D、E、F中的任意一点（保留作图痕迹，不写作法和证明，另外两点不需要用尺规作图确定，作草图即可）； (2)若，求正方形的边长． 【变式2】（2024·广东佛山·一模）综合与实践 数学活动课上，同学们用尺规作图法探究在菱形内部作一点到该菱形三个顶点的距离相等． 【动手操作]如图，已知菱形，求作点E，使得点E到三个顶点A，D，C的距离相等．小红同学设计如下作图步骤∶ 连接； ②分别以点A，D为圆心，大于的长为半径分别在的上方与下方作弧：上方两弧交于点M，下方两弧交于点N，作直线交于点E． ③连接，，则． (1)根据小红同学设计的尺规作图步骤，在题图中完成作图过程(要求∶用尺规作图并保留作图痕迹) (2)[证明结论]证明：． (3)[拓展延伸]当时，求与的面积比． ►题型05 三角板与相似三角形综合应用 【典例1】（2025·广东惠州·二模）如图，一副直角三角板满足，，，． 【操作】将三角板的直角顶点放置于三角板的斜边上，再将三角板绕点旋转，并使边与边交于点，边与边于点． (1)【探究一】在旋转过程中， ①如图2，当时，求证：． ②如图3，当时，与满足怎样的数量关系？并说明理由． ③根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当时，与满足的数量关系式为___________，其中的取值范围是___________（直接写出结论，不必证明） (2)【探究二】若且，连接，设的面积为，在旋转过程中：是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由． 【变式1】（2024·广东深圳·模拟预测）一块矩形木板ABCD，长AD=3cm，宽AB=2cm，小虎将一块等腰直角三角板的一条直角边靠在顶点C上，另一条直角边与AB边交于点E，三角板的直角顶点P在AD边上移动(不含端点A、D)，当线段BE最短时，AP的长为(    ) A．cm B．1cm C．cm D．2cm 【变式2】（2025·广东深圳·二模）一副三角板按如图1放置，图2为简图，D为AB中点，E、F分别是一个三角板与另一个三角板直角边AC、BC的交点，已知AE=2，CE=5，连接DE，M为BC上一点，且满足∠CME=2∠ADE，EM= ． 命题点三 相似三角形的应用 ►题型01 利用相似三角形的性质求高度 【典例1】（2024·广东·模拟预测）如图，身高1.5米的小明在太阳光下的影子长1.8米，此时，立柱的影子一部分是落在地面的，一部分是落在墙上的．若量得米，米，求立柱的高． 【变式1】（2025·广东广州·二模）九年级数学项目式学习小组通过学习知道太阳光是平行光，可以借助太阳光线构成两个相似三角形，来计算出一些没办法直接测量的物体的高度．学习小组利用可伸缩的标杆和卷尺展开了测量物体高度的学习． (1)如图1，若垂直于地面的标杆米，它的影长米，同一时刻，旗杆的影长米，则旗杆的高度为______米； (2)如图2，学习小组计划测量运动场围墙外的电线杆的高度，但受围墙的阻碍，没办法直接测量电线杆的影长．同学们进行了如下操作：①在某一时刻，垂直于地面的2米标杆的端点C的影子恰好与电线杆的端点A的影子重合于点E，测得米；②把标杆缩短为1.2米，记作，过了一段时间，标杆的端点D的影子恰好与电线杆的端点A的影子重合于点F，测得米．请求出电线杆的高度． 【变式2】（2024·广东东莞·三模）【综合与实践】 要测量学校旗杆的高度，三个数学研究小组设计了不同的方案，测量方案与数据如表： 课题 测量学校旗杆的高度 测量工具 测量角度的仪器，皮尺，小镜子，直角三角形纸板等 测量小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案示意图 说明 利用镜子反射测量旗杆的高度，点为镜子，眼睛看到镜子中的旗杆顶端． 先测量观测台的高，再在观测点处测得旗杆顶端点的仰角，旗杆底端点的俯角．（其中于） 利用直角三角形纸板的直角边保持水平，并且边与点在同一直线上，直角三角板的斜边与旗杆顶端在同一直线上． 测量数据 ，． ，，． ，，． (1)根据测量数据，无法计算学校旗杆的高度的小组有第______小组和第______小组； (2)请选择其中一个可计算的方案及运用其数据求学校旗杆的高度． ►题型02 相似三角形的物理学应用 【典例1】（2025·广东湛江·一模）综合与实践-项目式学习 【项目主题】学科融合-用数学的眼光观察现实世界． 【项目背景】学习完相似三角形的性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律． 【项目素材】 素材一：凸透镜成像中，光路图的规律：通过凸透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后经过焦点． 素材二：设表示物体到凸透镜的距离，表示像到凸透镜的距离，表示凸透镜的焦距（凸透镜中心到焦点之间的距离），小明在研究的过程中发现了，和之间在成实像时存在着关系： 【项目任务】根据项目素材解决问题： 任务一：如图，为物体，点为凸透镜的中心，入射光线主光轴，折射光线经过焦点，为所成的像．当时，求的值． 任务二：已知凸透镜的焦距为，物体的高度为，当物体到凸透镜的距离为（）时，测量物体的成像的高度为． (1)请你利用所学的知识求出与的关系式． (2)当时，随的增大而________（填“增大”或“减小”）． 【变式1】（24-25九年级上·广东深圳·期中）【项目式学习】 项目主题：学科融合—用数学的眼光观察世界 项目背景：学习完相似三角形性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律． 项目素材： 素材一：凸透镜成像规律：（ ）表示凸透镜的焦距，（）表示物体到凸透镜的距离，（ ）表示像到凸透镜的距离，规律如下表 物体到凸透镜距离u 像到凸透镜距离v 像的大小 像的正倒 缩小 倒立 等大 倒立 放大 倒立 与物同侧 放大 正立 素材二：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点． 项目任务： (1)任务一：凸透镜的焦距为，蜡烛的高为，离透镜中心的距离是时，请你利用所学的知识填空：①_________， ②_________，③ _________； (2)任务二：某实验小组取焦距 为的凸透镜，高度是的蜡烛，设置物距时，测量蜡烛的成像的高 ， ①以为自变量，为因变量，写出与的关系式： ； ②当 时，随的增大而 （选填“增大”或“减小”） （提示：可在平面直角坐标系中作出函数的图象，不计分）． 【变式2】（24-25九年级上·辽宁本溪·期中）如图，某小组进行凸透镜成像规律的探究实验，他们依次在光具座上垂直放置发光物、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心，将长度为的发光物进行移动，使物距为，光线，传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为． (1)求像的长； (2)已知光线平行于主光轴，经过凸透镜折射后通过焦点，求凸透镜的焦距的长（结果精确到）． 突破一 相似三角形的判定与性质综合 【典例1】（2024·广东·模拟预测）如图，在菱形中，对角线、相交于点，过点作一条直线分别交、的延长线于点、，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，垂足为，，求的值． 【变式1】（2024·广东·模拟预测）综合探究 如图1所示，已知四边形是正方形，点是边上的中点，连接，在线段上有一动点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接与延长线交于点． (1)证明：； (2)当点与点重合时，如图2所示，求的值； (3)当点与点不重合时，求、与之间的数量关系． 【变式2】（2024·广东·二模）已知：如图，在中，，，，，垂足为点D，E是的中点，连结并延长，交边于点F． (1)求的余弦值； (2)求的值． 突破二 相似三角形的判定与性质中的多结论问题 【典例1】（2024·安徽合肥·一模）如图，将正方形纸片沿折叠，使点C的对称点E落在边上，点D的对称点为点F，交于点G，连接交于点H，连接，，下列说法错误的是（    ） A． B．当时， C．当时，或3 D． 【变式1】（2024·广东深圳·一模）如图，在正方形中，的顶点，分别在，边上，高与正方形的边长相等，连接分别交，于点，，下列说法： ①； ②连接，，则为直角三角形； ③； ④若，，则的长为．其中正确结论的个数是(    ) A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2】（2025·广东深圳·三模）如图，在中，，分别以和为边向外作正方形和正方形，过点作的延长线的垂线，垂足为点．连接，交的延长线于点．下列说法：①；②若，，则；③；④；⑤若，，则的面积为．正确的个数有(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 突破三 相似三角形的存在性问题 【典例1】（2025·广东中山·模拟预测）如图，在边长为6的正方形内部存在一动点P，且满足，连接，则的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（2023·广东东莞·二模）如图，二次函数的图象与轴交于点和点，以为边在轴上方作正方形，点是轴上一动点，连接，过点作的垂线与轴交于点．    (1) ___；点D的坐标：___； (2)线段上是否存在点P（点P不与A、O重合），使得的长为？若存在，请求出点P，若不存在，请说明理由． (3)在x轴负半轴上是否存在这样的点P，使是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时与正方形重叠部分的面积；若不存在，请说明理由． 【变式2】（2024·广东·模拟预测）如图，已知点和点B（点B不与点A 重合）都在反比例函数的图象上，直线与坐标轴交于P，Q两点．过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，与交于点E，连接． (1)求反比例函数的解析式． (2)求证： ． (3)试探究是否存在点B，使得？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由． 突破四 相似三角形的实际应用综合 【典例1】（2025·广东佛山·二模）【项目主题】测量距离 【项目背景】在一次数学项目式学习活动中，老师带领同学们测量池塘两点间的距离（A、B两点距离不可直接测得）． 【实践工具】皮尺，测角仪等工具． 【实践操作】 方案一：如图1，一位同学在离池塘边B点不远处的C点站立，A、B、C三点在同一条直线上．调整帽子，使得视线通过帽檐正好观测到池塘对面的A点．该同学保持刚才的姿势，转过，这时视线刚好落在点E处．利用皮尺测得，． 同学们还设计了方案二、方案三…… 【问题解决】 (1)根据方案一，求、两点间的距离； (2)尝试设计与方案一不同的方案，在图2中画出几何图形，并求、两点间的距离（为使表达简洁，需要测量的角建议用、、等表示）． 【变式1】（2025·广东深圳·一模）【项目主题】合理设计，实用便民 【项目背景】为了提升交通安全，南山某城市隧道入口进行道路设施规划，计划安装车道指示灯．现需要对隧道入口隔音屏顶部的装灯位置进行合理设计．某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动： 素材1 图1是隧道入口隔音屏，其顶部轮廓可近似的看成抛物线，其截面如图2所示．以地面为轴，以左侧墙面为轴，建立平面直角坐标系，则抛物线符合．最高点离地面，照明灯安装轴右侧的点，距轴． 素材2 为测量素材1的点到地面的距离的长度，小组参考《海岛算经》中的测量方法，使用两根标杆进行测量，具体测量方法如图3所示．经测量，标杆（标杆垂直于地面），两杆相距15步，从退行10步到点，从退行15步到点．（共线，共线） 素材3 为提高通行效率，需在隔音屏顶部加装灯架，为每个车道增设指示灯．按要求，指示灯需距离地面．如图2所示，灯架，，均平行于轴，共线，且所在直线平行于轴，，的坐标为．为加强稳固性，还需在每个灯架上端加装两个长度为的支架．记灯架和支架总长． 根据提供素材，完成下列问题： (1)数学小组计算出的长度，具体如下： 解：设，步， ， ， ______①， 又， ， ， ， ______②， ______③． 请补全上述求解过程中①②③所缺的内容： (2)根据已知条件，求出抛物线的解析式（不需要写出x的取值范围）． (3)求出素材3中l的值，并判断长的材料能否完成灯架和支架的安装． 【变式2】（2025·广东深圳·一模）为响应国家节能减排的号召，广东新农村建设把主要村道道路上安装了太阳能路灯．如图（a）所示是行人在某村村道路灯下的影子，图（b）是该村村道上安装的两盏高度不同的太阳能路灯的示意图，其中电线杆的高度为，电线杆的高度为，的长为．身高的聪聪同学（）在两盏路灯之间走动，他在 B，D 两盏路灯下形成的影长分别记作和．（A，E，C，M，N在同一直线上，电线杆和人均垂直于地面） (1)请在图（b）中画出聪聪同学在路灯D照射下形成的影长； (2)当聪聪同学站在两盏路灯的中间（即E为的中点）时，请求出影长； (3)若影长端点N处有一个竹竿，它在路灯B 的照射下其影长端点恰好与点M重合，同时影长端点M处也有一个竹竿，它在路灯D的照射下其影长端点恰好与点N重合．（竹竿，均垂直于地面）请回答下列问题： ①设的长为，则的长为 _______（请用含有x的代数式来表示）； ②请判断的值是否为定值？若是，请求出此定值 ；若不是，请说明理由． 1．（2024·广东·模拟预测）如图，中，点、分别是、的中点，若，则（　　） A． B． C． D． 2．（2024·广东·模拟预测）如图，在水平桌面上的两个均垂直于桌面，在一条直线上．若．①号的测试距离，则②号的测试距离为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·广东东莞·模拟预测）如图是凸透镜成像的示意图，是蜡烛通过透镜所成的实像．已知蜡烛的高度，．若，则实像的高度是（　　） A． B． C． D． 4．（2025·广东揭阳·一模）如图，四边形为平行四边形，E，F分别为和的中点，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·广东·二模）如图，在中，，，，，则的长 ． 6．（2025·广东深圳·二模）如图，矩形护栏中，竖直方向加装4条平行且等距的钢条（相邻钢条间距相等，钢条粗细不计），连接交第一根钢条于点，连接并延长交于点，若，则的长度为 ． 7．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在四边形中，与相交于点O，，，，则的值为 ． 8．（2024·广东深圳·三模）已知等腰中，，，点D是边的中点，沿翻折，使点A落在同一平面的点E处，若，则 ． 9．（2024·广东·模拟预测）如图，已知，，，两个三角形重叠部分为，请你找出一个与相似的三角形，并说明理由．    10．（2024·山东潍坊·二模）如图，在四边形中，，，点，分别在线段，上，且，． (1)求证：； (2)若，求证：． 11．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，的直角边经过正方形的顶点， ，，若，则点到的距离的最大值为（   ） A． B．2 C． D． 12．（2024·广东·模拟预测）如图，四边形是矩形，E为边上一点，将矩形沿向上折叠，使点B落在边的点F处．若的周长为18，，则矩形的周长为（   ） A．20 B．24 C．32 D．48 13．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在菱形中，过点A作，垂足E在的延长线上，过点E作，垂足为．若，，则菱形的边长为（   ） A． B． C． D． 14．（2025·湖南长沙·二模）如图，矩形中，E是中点，于点F，连接，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有(  ) A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①③④ 15．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片沿剪开，再把沿着方向平移，得到，当时，两个三角形重叠部分（阴影部分）的面积为 ． 16．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，四边形中，，，是的中点，连接并延长交于点，若，，则 ． 17．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，，，点D在边上，且．过点D作，与边相交于点E，连接．线段的长为 ； 18．（2024·广东·二模）如图，将足够大的等腰直角三角板的锐角顶点放在另一个等腰直角三角板的直角顶点处，三角板绕点在平面内转动，且的两边始终与斜边相交，交于点，交于点，设，，，则与的函数关系是 ． 19．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，点是菱形的对角线上一点，连接并延长，交于点，交的延长线于点，连接． (1)求证：． (2)若，且，求的值． 20．（2025·广东深圳·二模）【定义】平行四边形边上一动点与它所在边的对边的两个端点所形成的折线，叫做平行四边形的“对动线”． 例如，如图1，在平行四边形中，E是边上一动点，连接、，则折线叫做平行四边形的“对动线”，折线的长叫做对动线的长． (1)如图1，菱形的边长为5，，当时，对动线的长为______． (2)如图2，当时，设此时对动线的长为l，菱形的边长为a，当时，求l与a满足的数量关系． (3)平行四边形一边的长度为，，E是平行四边形边上一动点，当E将所在的边分为且满足对动线的夹角与平行四边形的一个内角相等时，直接写出平行四边形另外一边的长度． 21．（2025·河北·中考真题）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 22．（2025·陕西·中考真题）如图，正方形的边长为4，点为的中点，点在上，，则的面积为（    ） A．10 B．8 C．5 D．4 23．（2025·江西·中考真题）如图，是面积为1的等边三角形，分别取的中点得到；再分别取，，的中点得到；…依此类推，则的面积为（   ） A． B． C． D． 24．（2025·江苏淮安·中考真题）在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是（    ） A． B． C．1 D．2 25．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的直角边在轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为（　　） A． B． C．5 D．10 26．（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，点在边上（与点，不重合），四边形为正方形，过点作，交的延长线于点，连接，交于点．下列结论：①；②；③；④，其中结论正确的序号是（   ） A．①②④ B．①②③ C．①②③④ D．②③④ 27．（2025·山东威海·中考真题）如图，的中线交于点F，连接．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 28．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，一张锐角三角形纸片，点、分别在边、上，，沿将剪成面积相等的两部分，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 29．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在中，，是边上的高，，则的值是 ． 30．（2025·江苏盐城·中考真题）如图，在中，．若，，则 ． 31．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，E是上一点，，、的延长线相交于点F，若，则 ． 32．（2025·青海·中考真题）如图，在中，，且，，则的值是 ． 33．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的处，然后沿着大树底部和竹竿底部所在水平直线由点后退2m至点时，看大树顶部视线恰好经过竹竿的顶端，测得小明的眼睛距地面的高度为1.6m，竹竿长3m，则大树的高度为 m． 34．（2025·四川·中考真题）一块三角形材料的形状如图所示，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为 ． 35．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，与相切于点，连接，过点作的垂线，交于点，连接，交线段于点．若，则的值为 ． 36．（2025·广东深圳·中考真题）如图，以矩形的点为圆心，的长为半径作，交于点，点为上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转至，点落在上，且点为中点．若，，则的长为 ． 37．（2025·四川·中考真题）如图，为的直径，C为上的一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D．延长交的延长线于点E． (1)求证：平分； (2)若，，求的半径和的长． 38．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点分别是边的中点，与相交于点，连接，．证明： (1)； (2)． 39．（2025·江苏南通·中考真题）如图，矩形中，对角线相交于点．是的中点，交于点． (1)求证：； (2)设的角平分线交于点． ①当时，求点到的距离； ②若，作直线分别交于两点，求的值． 40．（2025·宁夏·中考真题）如图，四边形内接于⊙平分，连接． (1)求证：； (2)延长至点，使，连接．求证：． 41．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，过点B的切线交的延长线于点D，连接并延长，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 42．（2025·广西·中考真题）【平行六边形】如图1，在凸六边形中，满足，我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”，其中与，与，与叫做“主对边”；和，和，和叫做“主对角”；叫做“主对角线”． (1)类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”． 猜想 判断正误 ①平行六边形的三组主对边分别相等 _________ ②平行六边形的三组主对角分别相等 _________ ③平行六边形的三条主对角线互相平分 _________ 【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”． (2)如图2，已知平行六边形满足． 求证：平行六边形是菱六边形： (3)如图3是一张边长为的三角形纸片．剪裁掉三个小三角形，使剪裁后的纸片为菱六边形．请在剪裁掉的小三角形中，任选一个，求它的各边长． 43．（2025·河南·中考真题）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上． 测量数据 备注 点在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． (1)由标杆的影子的长和标杆的长相等，可得，请说明理由． (2)求纪念碑的高度． (3)小红通过间接测量得到的长，进而求出纪念碑的高度约为．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）． 44．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于、两点，一次函数的图象过点A与反比例函数交于另一点，与轴交于点，其中，． (1)求一次函数的表达式，并求的面积． (2)连接，在直线上是否存在点，使以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 45．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在中，对角线的垂直平分线与边，分别相交于点，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，平分，求的长． 46．（2025·四川眉山·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点，与x轴交于点C，点D与点A关于点O对称，连接． (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)点P在x轴的负半轴上，且与相似，求点P的坐标． 47．（2025·江苏连云港·中考真题）一块直角三角形木板，它的一条直角边长，△ABC的面积为． (1)甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大； (2)丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面．请分别求出图3、图4中长方形的面积与的长之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 三角形 第07讲 相似三角形及其应用 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 19 命题点一 相似三角形的判定与性质基础 题型01 选择或补充一个条件使两个三角形相似 题型02 选择合适的方法证明两个三角形相似 题型03 补全判定相似三角形的证明过程 题型04 利用相似三角形的性质求解 题型05 利用相似的性质求坐标 题型06 相似三角形在网格中的应用 命题点二 相似三角形的判定与性质提高 题型01 利用相似三角形的性质与判定解决折叠问题 题型02 利用相似三角形的性质与判定解决动态函数图像 题型03 利用相似三角形的性质与判定解决动点问题 题型04 尺规作图与相似三角形综合应用 题型05 三角板与相似三角形综合应用 命题点三 相似三角形的应用 题型01利用相似三角形的性质求高度 题型02相似三角形的物理学应用 05·重难突破·思维进阶难 102 突破一相似三角形的判定与性质综合 突破二相似三角形的判定与性质中的多结论问题 突破三相似三角形的存在性问题 突破四相似三角形的实际应用综合 06·优题精选·练能提分 133 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 相似三角形的判定与性质 广东卷 T10广州卷 T25深圳卷T8 深圳卷T14 广州卷T18 理解并掌握相似三角形的判定与性质； 相似三角形的应用 深圳卷T20 深圳卷T20 会利用图形的相似解决一些简单的实际问题； 命题预测 本专题主要考查相似三角形的判定和性质，利用相似的性质求线段的长度、图形的面积等，试题形式多样，难度不一，相似三角形的判定方法较多，合理的选择方法是解题的关键，常见的相似模型有“A”字形、8”字形及“一线三等角”等，熟练掌握这些模型能提升解题速度. 相似三角形是中考数学中非常重要的一个考点，也是难度最大的一个考点. 它不仅可以作为简单考点单独考察，还经常作为压轴题的重要解题方法，和其他如函数、特殊四边形、圆等问题一起考察. 而且在很多压轴题中，经常通过相似三角形的判定以及性质来得到角相等或者边长间的关系，也是动点问题中得到函数关系式的重要手段，考生在复习时要多加注意! 考点一 相似多边形 知识点一、相似图形 把形状相同的图形叫做相似形. 【补充】1）相似图形的形状完全一样，图形的大小不一定相同； 2）全等图形是一种特殊的相似图形，它们不仅形状相同，大小也相同； 3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形的是不是形状相同，与其它的因素无关. 知识点二、相似多边形及、性质与判定 相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形. 相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比. 相似多边形的表示：两个相似多边形可以用符号“∽”，读作“相似于”. 【补充】1、相似多边形的三个条件：①边数相同；②对应角相等；③对应边成比例； 2、全等多边形的相似比是1，即全等图形是一种特殊的相似图形；； 3、当用符号“∽”表示两个相似图形时，对应点必须写在对应位置. 1．（2025·广东中山·一模）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（　　） A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对 【答案】A 【分析】根据边数相同的两个多边形，如果对应角相等，且对应边成比例，那么这两个多边形相似，即可判断． 【详解】解：如图：甲：根据题意得：，，， ，， ， ∴甲说法正确； 乙：∵根据题意得：，，则，， ，， ， ∴新矩形与原矩形不相似． ∴乙说法正确． 故选：A． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定以及相似多边形的判定，熟练掌握和运用相似形的判定方法是解决本题的关键． 2．（2025·广东阳江·一模）下列说法中，正确的个数有（  ） ①位似图形都相似； ②两个等边三角形一定是位似图形； ③两个相似多边形的面积比为，则周长的比为； ④两个圆一定是位似图形； A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查位似，相似，掌握相关知识是解决问题的关键．根据概念逐项判断即可 【详解】①位似图形都相似，原命题正确，故此选项符合题意； ②两个等边三角形不一定是位似图形，原命题错误，故此选项不符合题意； ③两个相似多边形的面积比为，则周长的比为，原命题错误，故此选项不符合题意； ④两个圆一定是位似图形，原命题正确，故此选项符合题意； 故选：B． 3．（2025·广东湛江·二模）如图所示的两个四边形相似，则的度数是 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查相似性质，多边形内角和．根据题意利用相似性质可得对应角相等，再利用四边形内角和继而求出答案． 【详解】解：∵两个四边形相似，四边形内角和为， ∴的度数是：， 故答案为：． 4．（2025·广东惠州·二模）综合与实践： 主题：A4纸的研究 在进行综合与实践活动时，学习小组在研究生活中常用的A4纸的规格，并了解到工业上对关于纸张规格的一些知识．A系列中最大的规格为，面积约为1平方米，对半裁开得到；再对裁得到，…，以此类推得到，裁剪后得到形状是相似的矩形，如图所示． (1)【初步研究】查阅资料知纸张的规格如表： 规格 长 1189 841 594 420 297 宽 841 594 420 297 210 长与宽的比值（保留两位小数） 1.41 1.41 1.41 请计算、纸的长宽比，并填在上面表中；通过查阅资料，可知系列纸的长宽比为一个固定的无理数．请你猜想这个无理数为________． 设的长为毫米，宽为毫米，证明你的猜想． (2)【深入研究】 已知矩形是一张纸，点、点分别为边、的中点，请判断的形状，并证明． 【答案】(1)表格见解析；；证明见解析 (2)直角三角形，证明见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，正确理解题意是解题的关键． （1）用对应的长除以对应的宽即可求出表格中缺失的数据，再根据比值猜想结果，根据相似的性质得到，即可得到，据此可证明结论； （2）可证明，则可证明，得到，导角证明，则，即可得到为直角三角形． 【详解】（1）解：， 填表如下： 规格 长 1189 841 594 420 297 宽 841 594 420 297 210 长与宽的比值（保留两位小数） 1.41 1.41 1.41 1.41 1.41 猜想这个无理数为，证明如下： 据题意，与为相似的矩形，故有 ，化简得：，即或（舍去） 故的长与宽的比值为； （2）解：为直角三角形，证明如下： ∵矩形是一张纸， ∴，， ∵点、点分别为边、的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形． 考点二 相似三角形 知识点一、相似三角形的定义 三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.如△ABC和△DEF相似可表示为△ABC∽△DEF. 【补充】三角形全等是三角形相似的特殊情况，全等三角形的相似比等于1. 【注意事项】符号“∽”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大宇母写在对应的位置上，如△ABC∽△DEF，表示顶点A与D，B与E，C与F分别对应； 【易错点】如果仅说△ABC与△DEF相似，没有用“∽”连接，则需要分情况讨论它们之间的对应关系. 相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比. 【补充】相似比具有顺序性，如△ABC∽△DEF，相似比为k，则△DEF与△ABC的相似比为. 常见的基本图形： 图①和图②分别为“A型”图和“X型”图，条件是DE//BC，基本结论是△ABC∽△ADE； 图③、图④是图①的变形图，图⑤是图②的变形图; 图⑥是“母子型”图，条件是BD为直角△ABC斜边上的高，基本结论是△ABC∽△BDC∽△ADB. 知识点二、相似三角形的判定方法 1、判定三角形相似的常用定理： ①平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． ②三边成比例的两个三角形相似； ③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ④两角分别相等的两个三角形相似． 2、直角三角形相似的判定方法： ①有一个锐角相等的两个直角三角形相似. ②两组直角边成比例的两个直角三角形相似. ③斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 知识点三、相似三角形的性质 1、相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 【补充】己知两三角形相似，写对应角相等，对应边成比例时，原则是“大对大，小对小；长对长，短对短”. 【小技巧】相似多边形对应边的比相等是求某条线段的长或求两条线段的比的一种常用方法，采用此方法时一定要注意找准对应关系. 2、相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 3、相似三角形周长的比等于相似比. 4、相似三角形面积比等于相似比的平方. 5、传递性：若△ABC∽△BDC，△ABC∽△ADB，则△BDC∽△ADB. 5．（2025·广东广州·中考真题）如图，在中，点，分别在，上，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，根据题意证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴ 故答案为：． 6．（2025·广东·中考真题）如图，在矩形中，，是边上的三等分点，连接，相交于点，连接．若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的正切值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据矩形的性质，证明，得到，然后过点作，得到，根据相似三角形对应边成比例分别求出的长，进而求出的长，再利用正切的定义求解即可． 【详解】解：∵矩形，，是边上的三等分点，，， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， 过点作，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故选：B． 7．（2025·广东深圳·中考真题）如图，将正方形沿折叠，使得点与对角线的交点重合，为折痕，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查正方形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键. 根据折叠得出，，利用相似三角形的判定和性质得出，再由正方形的性质求解即可. 【详解】解：∵正方形沿折叠， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， 故选：D. 8．（2024·广东·中考真题）【知识技能】 （1）如图1，在中，是的中位线．连接，将绕点D按逆时针方向旋转，得到．当点E的对应点与点A重合时，求证：． 【数学理解】 （2）如图2，在中，是的中位线．连接，将绕点D按逆时针方向旋转，得到，连接，，作的中线．求证：． 【拓展探索】 （3）如图3，在中，，点D在上，．过点D作，垂足为E，，．在四边形内是否存在点G，使得？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，证明见解析 【分析】（1）根据中位线的性质、旋转的性质即可证明； （2）利用旋转的性质、外角定理、中位线的性质证明后即可证明； （3）通过解直角三角形得到，，过点C作于点M，易证，得到，即可求得，进而，从而点M是的中点，过点D作，交于点P，连接，，，根据三线合一得，证明，即可求的，过点P作于点N，则四边形是矩形，得到，因此点N是的中点，进而，再证，得到，根据，即可推出，因此当点G与点P重合时，满足． 【详解】证明：（1）是的中位线， 且． 又绕点D按逆时针方向旋转得到 ． （2）由题意可知：，，． 作，则且， 又， ． 根据外角定理 ， ， ． 又，是的中位线， ， ， ， ， ， ． （3）存在点使得． ∵， ∴， ∴在中，， 过点C作于点M， ∴， ∵， ∴ ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点M是的中点， ∴是的垂直平分线， 过点D作，交于点P，连接，， ∴， ∴根据三线合一得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 过点P作于点N，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴点N是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴ 即， ∴， ∴当点G与点P重合时，满足． 【点睛】本题考查了旋转的性质、中位线的性质、外角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形，熟练掌握知识点以及灵活运用是解题的关键． 考点三 相似三角形的应用 知识点一、相似三角形的应用 1、利用影子测高度（太阳光线平行） 原理：太阳光线互相平行 → 形成相似三角形。 2、利用光的反射测高度 原理：入射角＝反射角 → 两角对应相等 → 相似。 3、测河宽 / 隧道宽 原理：构造**“A 字型”或“8 字型”相似**。 4、几何体内部：截面、梯子、小孔成像 梯子靠墙：两个直角三角形相似 小孔成像：像高/物高＝像距/物距 9．（2024·广东清远·一模）如图，在水平桌面上的两个“”均垂直于桌面，，，在一条直线上．若，，号“”的测试距离，则号“”的测试距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质，理解题意，采用数形结合的思想是解此题的关键，根据相似三角形的对应边成比例代入数据进行计算即可． 【详解】解：，， ， ， ， ，，， ， 解得：． 故选：C． 10．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，点光源到胶片的距离长为，长为，则胶片与屏幕的距离为 ． 【答案】80 【分析】本题考查中心投影，相似三角形的判定和性质等知识，证明，推出，构建方程求出EF即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：80． 11．（2025·广东·模拟预测）如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A，B，C，D在同一水平面上． 的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的应用，由相似得到对应线段成比例是解题的关键． 证明即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故，即， ， 故答案为：． 12．（2025·广东汕头·二模）在进行光的反射实验中，小明将一块硬纸板竖直立在平面镜上，如图所示，用激光笔紧贴纸板从点A处射向平面镜，光线从点E点射出，将激光笔向后平移至纸板边缘的B点处，射向平面镜，使得光线依旧从点E射出，若激光笔高度，，，，已知点C，F，G，H，D在同一水平线上，且均与垂直．则的长度为 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，证明，列出比例式进行求解即可．解题的关键是证明三角形相似． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴； 故答案为：． 命题点一 相似三角形的判定与性质基础 ►题型01 选择或补充一个条件使两个三角形相似 相似三角形的判定方法： 判定三角形相似的常用定理 直角三角形相似的判定方法 1 平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似 2 三边成比例的两个三角形相似 有一个锐角相等的两个直角三角形相似 3 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 两组直角边成比例的两个直角三角形相似 4 两角分别相等的两个三角形相似 解题方法：判定两个三角形相似需要根据条件选择方法．有时条件不具备，需从以下几个方面探求： 1、条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形； 2、两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例； 3、两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例； 4、条件中若有一组直角，可再找一组等角或证明斜边、直角边对应成比例； 5、条件中若有等腰三角形，可找顶角相等，或找底角相等，或找底和腰对应成比例. 【拓展】特殊三角形相似的判定： 1、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似. 2、两个等腰直角三角形一定相似. 【典例1】（2025·广东阳江·一模）如图，在中，D是上一点，连接，下列条件中不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键． 根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、根据，，并不满足相似三角形的判定条件中的“两边成比例且夹角相等”所以，不能判断，故本选项符合题意； B、因为，，满足相似三角形的判定条件“两组对应角相等”，所以，，故本选项不符合题意； C、因为，，满足相似三角形的判定条件“两组对应角相等”，所以，，故本选项不符合题意； D、因为，，满足相似三角形的判定条件中的“两边成比例且夹角相等”所以，，故本选项不符合题意． 故选：A． 【变式1】（2023·广东广州·一模）已知：如图，点在边上，若 时，则． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定条件求解即可． 【详解】解：当时，，理由如下， ∵，， ∴， 故答案为：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知两个角对应相等的三角形相似是解题的关键． 【变式2】（2024·广东佛山·一模）如图，点P是△ABC的AC边上一点，连接BP，添加下列条件，不能判定△ABC∽△APB的是（ ） A．∠C＝∠ABP B．∠ABC＝∠APB C．＝ D．＝ 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定条件求解即可． 【详解】解：添加条件∠C＝∠ABP，再由∠A=∠A，可以判断△ABC∽△APB，故A不符合题意； 添加条件∠ABC＝∠APB，再由∠A=∠A，可以判断△ABC∽△APB，故B不符合题意； 添加条件＝，再由∠A=∠A，可以判断△ABC∽△APB，故C不符合题意； 添加条件＝，再由∠A=∠A，不可以判断△ABC∽△APB，故D符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定条件是解题的关键． 【变式3】（2026·上海虹口·一模）如图，在五边形中，，延长、，分别交直线于点、．如果添加下列一个条件后，仍无法判定，那么这个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形相似的判定，根据题意得，逐个判断各选项是否可证即可． 【详解】解：∵， ∴， 选项A：添加，可得无法判定； 选项B：添加，可得，可以判定； 选项C：添加，可得，，可以判定； 选项D：添加，可得，可以判定； 故选A． ►题型02 选择合适的方法证明两个三角形相似 【典例1】（2024·福建福州·一模）如图，中，点D是边上一点，，连接．从下列条件中，选择一个作为附加条件①；②；③，求证：． 【答案】②，见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．可添加根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；或添加利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定其相似． 【详解】证明：选择② ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（2025·浙江杭州·一模）在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，使命题正确，并证明． 问题：如图，四边形的两条对角线交于点，若 （填序号） 求证：． 【答案】①，证明见解析或②，证明见解析． 【分析】若选择条件①，可利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； 若选择条件②，可利用两角相等的两个三角形相似． 【详解】解：选择条件①的证明为： ∵， ∴， 又∵， ∴； 选择条件②的证明为： ∵， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，能熟记相似三角形的判定定理，并正确识图是解题关键． 【变式2】（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在Rt中，，点为斜边上一点，以为直径的交于点，交于点，连接，与的延长线相交于点． (1)请从以下条件中：①；②点是弧的中点；③．选择一个能证明是切线的条件，你选择的条件是___________，并写出证明过程； (2)若是的切线，连接，若，，求的长． 【答案】(1)②，证明见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）选择②，连接，证明，得到，即可得证； （2）直径得到，切线的性质，结合同角的余角，推出，进而得到，分别解，求出的长，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）解：选择条件②，证明如下： 连接，， 则：， ∵点是弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是切线； （2）∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵是切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， ∴． 【变式3】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，点B为边上一点，以为直径的圆交于点D、F．连接、、，交于点H．给出下列三个信息：①D为弧的中点；②；③是的切线； (1)请从上述三个信息中选择两个信息作为条件，余下的一个信息作为结论组成一个真命题．你选择的条件是_________，结论是_________．（只要填写序号）并证明． (2)在（1）的条件下，若，，求的长 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定和性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质； （1）条件：①②，结论:③，连接，根据垂径定理的推论得到，然后得到，进而得到，即可得到结论； （2）连接交于点G，根据垂径定理得到且，设，则，证明，得到解方程即可解题． 【详解】（1）若条件：①②，结论:③ 证明：连接， ∵D为弧的中点且为半径， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵为半径， ∴ 是的切线； 若条件：②③，结论:①； 证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴D为弧的中点； 若条件：①③，结论:② 证明：连接， ∵D为弧的中点且为半径， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵是直径，          ∴， ∴， ∴； （2）连接交于点G， ∵D为弧的中点且为半径， ∴且， ∵， 设， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∴，解得， ∴， ∴． ►题型03 补全判定相似三角形的证明过程 【典例1】（2025·广东东莞·一模）水兴县某中学的同学们在学习了《图形的相似》之后，数学柳老师给出了下面的问题：如图，与中，斜边与相交于点，过点作于点．探究、、之间的数量关系，并证明． 下面是小许同学的探究过程，请根据题意补充完整探究过程． (1)请在答题卡上完成尺规作图：过点作垂足为点．（保留作图痕迹，不用写作法） (2)请将①②③④⑤补充完整并填写在答题卡上． 解：， ， （注意：这里要求填写化简之后的数字结果） 小许进一步探究，如果把题设中的三个垂直关系改为：，请你帮她写出、、这三条线段之间的数量关系 ⑤ ． 【答案】(1)画图见解析 (2)，，，， 【分析】本题考查了作垂线，相似三角形的性质与判定； （1）根据题意，过点作垂足为点； （2）根据相似三角形的性质与判定，完成填空，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2），， ， ， ， ，， ， ， ， ， 如果把题设中的三个垂直关系改为：， ，， ，， ， ∴． 【变式1】（2024·江苏淮安·一模）如图，在矩形中，，，点E在上，连接、，相交于点G，作，交于点F，设． 【变中不变】 （1）明明发现：连接，当点E的位置在上发生变化时，的度数始终不变．经过思考，他整理出如下说理过程，请补充完整． ∵，且①_______； ∴； ∴即：； 又∵； ∴②_______； ∴； ∴； 在矩形中，； ∴； ∴③_______°，即度数不变． 【尝试应用】 （2）若，求的长； 【思维拓展】 （3）将绕着点E顺时针旋转得到，是否存在这样的x，使得有顶点落在直线上，若存在，请求出满足条件的x值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；；；（2）；（3）或或． 【分析】（1）证明推出，再证明，得到，据此即可求解； （2）由（1）得到，推出，得到，根据勾股定理求得相关数据，再代入求解即可； （3）分三种情况讨论，①当点与点重合时；②当点落在直线上时，过点作交分别为，证明，用表示出，在中，利用勾股定理列式计算即可求解；③当点落在直线上时，过点作交分别为，用表示出，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：（1）∵，且； ∴； ∴即：； 又∵； ∴； ∴； ∴； 在矩形中，； ∴； ∴，即度数不变． 故答案为：；；； （2）∵矩形中，，， ∴，，， ∵， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴，即， 解得； （2）存在，①当点与点重合时，点都在直线上，此时； ②当点落在直线上时，由旋转得，，， 过点作交分别为， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， ∴，，， ∴， 由勾股定理得， 同理， 在中，，即， 整理得， 解得或， ∵， ∴不合题意，舍去， ∴； ③当点落在直线上时，过点作交分别为， 同理四边形为矩形， ∴， 由旋转得，，， 同理得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 整理得， 解得（舍去负值）， ∴， 综上，或或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，解一元二次方程，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 【变式2】（2023·广东深圳·三模）（1）[探究发现]如图①，已知四边形是正方形，点为边上一点（不与端点重合），连接，将沿折叠，点落在处，、的延长线交于点． 小明探究发现：当点在上移动时，．并给出如下不完整的证明过程，请帮他补充完整． 证明：延长交于点．      （2）[类比迁移]如图②，四边形为矩形，点为边上一点，连接，将沿折叠，点落在处，的延长线与的延长线交于点，连接，当，，时，求的长； （3）[拓展应用]如图③，已知四边形为菱形，，，点为线段上一动点，将线段绕点按顺时针旋转，当点旋转后的对应点落在菱形的边上（顶点除外）时，如果，请直接写出此时的长．    【答案】（1）见解析；（2）；（3）或 【分析】（1）延长交于点，则由折叠可知，结合得到，由正方形的性质得到、，从而证明； （2）延长交于点，由折叠可知点是的中点、，结合得到，从而有是的中位线，得到点是的中点，从而求得，再由勾股定理求得的长；由，得到，进而借助相似三角形的性质求得的长，然后由中位线的性质求得的长； （3）以点为圆心，的长为半径作圆弧，与和的交点即为点，然后分点在上和点在上讨论，延长交于点，然后借助（1）（2）的思路求解． 【详解】解：（1）证明：如图①，延长交于点． 由折叠可知，，   ， ， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ； （2）如图②，延长交于点，    由折叠可知，点是的中点，， ， ， 是的中位线， 点是的中点， ， ， ，， ， ， ， ， 是的中位线， ； （3）以点为圆心，的长为半径作圆弧，与和的交点即为点， ①如图③，当点在上时，延长交于点，    由（1）可得，， 四边形为菱形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ； ②如图④，当点在上时，延长交于点，则，，   ， ， 四边形是菱形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、轴对称的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，解题的关键是通过菱形的性质和三角形的内角和定理得到，从而得到相似三角形或全等三角形，难度较大，需要学生学会利用前面所学的知识解答后面的题目，具有很强的综合性，是中考常考题型． 【变式3】（2023·广东深圳·三模）（1）【探究发现】如图①，已知四边形是正方形，点E为边上一点（不与端点重合），连接，作点D关于的对称点，的延长线与BC的延长线交于点F，连接．    ①小明探究发现：当点E在上移动时，．并给出如下不完整的证明过程，请帮他补充完整． 证明：延长交于点G． ②进一步探究发现，当点与点F重合时，　　　． （2）【类比迁移】如图②，四边形为矩形，点E为边上一点，连接，作点D关于的对称点D，的延长线与的延长线交于点F，连接，，．当，，时，求的长；    （3）【拓展应用】如图③，已知四边形为菱形，，，点F为线段上一动点，将线段绕点A按顺时针方向旋转，当点D旋转后的对应点E落在菱形的边上（顶点除外）时，如果，请直接写出此时的长．    【答案】（1）①见解析；②；（2）；（3）的长为或． 【分析】（1）①延长交于点，则由对称可知，结合得到，由正方形的性质得到、，从而证明； ②当点与点重合时，由对称可知，然后由①得到； （2）延长交于点，由对称可知点是的中点，，结合得到，从而有是的中位线，得到点是的中点，从而求得，再由勾股定理求得的长；由（1）①得，得到，进而借助相似三角形的性质求得的长，然后由中位线的性质求得的长； （3）以点为圆心，的长为半径作圆弧，与和的交点即为点，然后分点在上和点在上讨论，延长交于点，然后借助（1）（2）的思路求解． 【详解】（1）①证明：如图①，延长由对称可知，， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ． ②解：如图1，当点与点重合时，由对称可知， ∵四边形是正方形， ， ， 由①得到， ， 故答案为：； （2）解：如图2，延长交于点， 由对称可知，点是的中点，， ， ， ∴是的中位线， ∴点是的中点， ∴， ∴＝， 由（1）①得，， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的中位线， ∴． （3）以点为圆心，的长为半径作圆弧，与和的交点即为点， ①如图3，当点在上时，延长交于点， 由（1）①可得，，且， ∵四边形为菱形， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ， ∴； ②如图4，当点在上时，延长交于点，则， ， ， ∵四边形是菱形， ∴， ， ， 在和中， ， ， ∴， ， ， ， 设，则， 在中，， ∴＝， 解得：， ∴， 综上所述，的长为或．    【点睛】本题考查了矩形的性质、轴对称的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，解题的关键是通过菱形的性质和三角形的内角和定理得到相似三角形或全等三角形． ►题型04 利用相似三角形的性质求解 利用相似三角形的性质可推得成比例线段，从而建立等式求得未知线段的长.在中考题中常常运用相似三角形的面积比等于相似比的平方解决与几何图形面积相关的问题. 【典例1】（2025·广东深圳·一模）如图①，在Rt中，，，点D为边上的一点，连接，过点C作于点F，交于点E，连接． (1)若，求证：； (2)如图②，若，，求的值． 【答案】(1)答案见详解 (2) 【分析】（1）要证，过点B作，交的延长线于H，证得，得出与的数量关系，再证得，得出根据线段间关系，即可求证； （2）要求的值，根据角度间的转化，得出，即可求出的值，根据，推出，即可得到最后结果． 【详解】（1）证明：如图，过点B作，交的延长线于H， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ,， ， ， ． （2）解：，， ， ， 由（1）可知， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， 设，则， ，, ， 解得（舍去），， ， 又， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，求证三角形相似和全等，正确做出辅助线，利用直角三角形特殊三角函数求角，是解本题的关键． 【变式1】（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在矩形中，E是上一点，，连接，F是上一点，且，，则 ．    【答案】 【分析】根据，设，过作交于，根据，设，，根据可得，，再延长、交于点，即可得到，求出，，然后根据得到，可以求出，最后求出即可． 【详解】过作交于，延长、交于点，    ∵ ∴设， ∵， ∴设，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴, ∵矩形， ∴， ∴， ∴ ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， 整理得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形，相似三角形的性质与判定，矩形的性质，难度比较大，解题的关键是设未知数表示线段并求出不同未知数的关系． 【变式2】（2023·广东中山·一模）如图，在平行四边形中，，若，则的面积为 ． 【答案】16 【分析】根据题意可得：，根据相似的性质可得：，且，即可求得的面积为16． 【详解】∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，且， ∴， 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查了利用相似比求面积，理解相似比的特征是解决本题的关键． 【变式3】（2025·河南洛阳·一模）定义：有一组对角互余的四边形叫做“对余四边形”． 【认识模型】 （1）如图①，四边形是对余四边形，则与的度数之和为______； 【性质探究】 四边形是对余四边形，为对角线，已知． 如图②，若，求证：，小唯发现将绕点按逆时针方向旋转，构造等边三角形结合对余四边形即可得证，下面是小唯的部分证明过程： 证明：如图②，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接， ∴，， ∴，，， ∴是等边三角形， … （2）请补全上面的证明过程； （3）如图③，连接，若，，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明过程，若不成立，请说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）（2）中的结论不成立，理由见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质，等腰三角形的性质与等边三角形的性质，理解对余四边形的性质是解题的关键； （1）根据定义得，进而根据四边形内角和为，即可求解； （2）根据等边三角形的性质，结合（1）的结论，根据勾股定理，即可求解； （3）根据（2）的方法旋转，并缩小，得出，连接，进而根据相似三角形的性质，证明即可求解． 【详解】解：（1）解：∵四边形是对余四边形， ∴， ∴ 故答案为：． （2）证明：如图②，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接， ∴，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ 在中， ∴ （3）（2）中的结论不成立，理由见解析 ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴ 如图②，将绕点按逆时针方向旋转，并缩小，得到，连接， ∴， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ 在中， ∴ 即 ►题型05 利用相似的性质求坐标 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点在第一象限内，连接、．已知，则 ． 【答案】 【分析】过点C作CD⊥y轴，交y轴于点D，则CD∥AO，先证CDE≌CDB（ASA），进而可得DE＝DB＝4－n，再证AOE∽CDE，进而可得，由此计算即可求得答案． 【详解】解：如图，过点C作CD⊥y轴，交y轴于点D，则CD∥AO， ∴∠DCE＝∠CAO， ∵∠BCA＝2∠CAO， ∴∠BCA＝2∠DCE， ∴∠DCE＝∠DCB， ∵CD⊥y轴， ∴∠CDE＝∠CDB＝90°， 又∵CD＝CD， ∴CDE≌CDB（ASA）， ∴DE＝DB， ∵B（0，4），C（3，n）， ∴CD＝3，OD＝n，OB＝4， ∴DE＝DB＝OB－OD＝4－n， ∴OE＝OD－DE ＝n－（4－n） ＝2n－4， ∵A（－4，0）， ∴AO＝4， ∵CD∥AO， ∴AOE∽CDE， ∴ ， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及点的坐标的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决本题的关键． 【变式1】（2025·广东广州·一模）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则线段CD的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】直接利用A，B点坐标得出AB的长，再利用位似图形的性质得出CD的长． 【详解】解：∵A（6，6），B（8，2）， ∴AB＝＝2， ∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD， ∴线段CD的长为：×2＝． 故选：D． 【点睛】本题考查了位似图形，解题的关键是熟悉位似图形的性质． 【变式2】（2024·重庆九龙坡·一模）如图，中，两个顶点在轴上方，点的坐标是，以点为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，得到，并把放大到原来的2倍，设点的对应点的横坐标为2，则点的横坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形的性质、相似三角形的判定与性质、点坐标与图形、熟练掌握位似图形的性质是解题关键．过点作轴于点，过点作轴于点，先求出，，再根据位似图形的性质可得点在同一条直线上，且，然后证出，根据相似三角形的性质可得的长，则可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∵点的坐标是，点的对应点的横坐标为2， ∴，， ∵以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，得到，并把放大到原来的2倍， ∴点在同一条直线上，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 又∵点位于第二象限， ∴点的横坐标为， 故选：D． 【变式3】（2024·山东潍坊·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O是坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，，D为边的中点．若E为边上的一个动点，当的周长最小时，则点E的坐标 ． 【答案】 【分析】由于C、D是定点，则是定值，如果的周长最小，即有最小值．为此，作点D关于x轴的对称点，当点E在线段上时的周长最小． 考查轴对称-最短路线问题， 坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质等，找出点E的位置是解题的关键. 【详解】解：如图，作点D关于x轴的对称点连接，与x轴交于点E，连接. 若在边上任取点与点E不重合，连接 由， 可知的周长最小， ∵在矩形中，，D为边的中点， ∴， ∵， ∴ 则 故 ∴， ∴点E的坐标为. 故答案为： ►题型06 相似三角形在网格中的应用 【典例1】（2026·上海长宁·一模）如图，在由大小相同的小正方形组成的网格图中，连接格点的线段交网格线于两点，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，设小正方形的边长为1，根据勾股定理得，分别证明和，可求出，，，从而可求出结论． 【详解】解：如图， 设小正方形的边长为1，则，， 根据勾股定理得， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 同理可得，则， 得， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1】（2025·吉林长春·二模）图①、图②均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点均为格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图． (1)图①中，画出的中线； (2)图②中，在的边上找一点F，连接，使； (3)图③中，在的边上找一点G，连接，使的面积为2． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了网格作图，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）取格点，连接，交于点D，利用矩形的性质得到点D是的中点，连接即可； （2）取格点P、Q，连接交于点F，连接，，得，根据相似三角形的性质，即可得； （3）取格点J，K，连接交于点G，连接即可（的面积的面积）． 【详解】（1）如图①中，线段即为所求； （2）如图②中，线段即为所求； （3）如图③中，线段即为所求． 【变式2】（2024·浙江绍兴·模拟预测）如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请按要求作图． (1)在图1中画一个格点，使． (2)在图2中找一点F，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查基本作图，涉及相似三角形的判定、勾股定理、圆周角定理等知识，熟系相关知识是解答的关键． （1）找格点E、D，根据网格特点，得到，根据相似三角形的判定可求解； （2）找格点F，证得点F为的外接圆圆心，利用圆周角定理可得结论． 【详解】（1）解：如图，即为所求： 作图依据：由网格特点，，， ∴，又， ∴； （2）解：如图，点F即为所求： 作图依据：取格点F，连接、、，则， ∴点F为的外接圆圆心， ∴，则点F即为所求． 【变式3】（2024·宁夏银川·二模）综合与探究 【特例感知】 （1）如图1，已知，则，，可得；这一步的依据是____________________________．又因为，可得； 【类比探究】                                                              （2）如图2，点P是线段上与点A，点B不重合的任意一点，分别以A，P，B为顶点作，其中与的一边分别是射线和射线，的两边不在直线上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段为等联线． ①请直接写出图2中与的形状关系___________________； ②如图3，在边长均为方格的纸上，小正方形的顶点为格点，A，B在格点上．请用两种不同连接格点的方法，作出以线段为等联线、某格点为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹； 【迁移应用】 （3）如图4，在矩形中，，，点P是线段上的一个动点，将三角板的直角顶点重合于点P，三角板两直角中的一边始终经过点，另一直角边交线段于点E，是否存在这样的点P，使的周长等于周长的4倍？若存在，请求出的长度；若不存在，请简要说明理由．    【答案】（1）同角的余角相等；（2）①；②见解析；（3）存在这样的点P，使周长等于周长的4倍， 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，一元二次方程的应用； （1）根据同角的余角相等即可求解； （2）①根据三角形的外角的性质得出，进而结合，即可得证； ②根据新定义，画出等联角； （3）设，，当在线段上时即，证明，根据相似三角形的性质，根据题意结合相似三角形的性质得出，联立解析式，解方程即可求解． 【详解】解：（1）如图1，已知，则，， 可得，这一步的依据是是同角的余角相等． 又因为，可得； 故答案为：同角的余角相等； （2）①∵， ∴ 又∵ ∴      故答案为：； ②解：如图所示（方法不唯一）    （3）存在这样的点P，使周长等于周长的4倍，，理由如下： 设，，当在线段上时即，如图所示，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴，， ∴， ∴ 当时，即重合，此时重合，则，不符合题意， ∴ ∵ ∴当周长等于周长的4倍时， 即，即，， 解得：（舍去）或， 即：， ∴存在这样的点P，使周长等于周长的4倍，． 命题点二 相似三角形的判定与性质提高 ►题型01 利用相似三角形的性质与判定解决折叠问题 【典例1】（2025·广东珠海·三模）综合与实践 【发现问题】在进行综合与实践活动时，真智学习小组发现生活中常用的纸是一个长与宽的比为的矩形． 【定义】若一个四边形为矩形，且相邻边的比为，则这个四边形为类矩形． 【提出问题】如何用不同形状的纸折一个类矩形？ 【分析并解决问题】 （1）真智学习小组利用一张纸对折一次，使与重合，折叠过程如图1所示，求证：四边形是类矩形； （2）真智学习小组利用一张正方形纸片折叠2次，展开后得折痕，，再将其沿折叠，使得点与点重合，折叠过程如图2所示．求证：四边形是类矩形； 【拓展】 （3）如图3，四边形纸片中，垂直平分，，，点，，，分别是边上的点，将四边形纸片沿折叠，使得点的对应点落在上，再沿折叠，使得点的对应点分别落在上，若四边形是类矩形，请直接写出的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）或 【分析】本题是四边形的综合题，解题的关键是掌握折叠的性质，矩形的性质和判定，新定义类矩形的理解和运用，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，掌握折叠的性质和新定义的运用是解本题的关键． （1）先证明，再证明四边形是矩形，即可得结论； （2）如图2，由折叠得：，先证明四边形是矩形，如图3，设，，则，根据折叠的性质和等腰直角三角形的性质表示，的长，即可解答； （3）设与交于点，分两种情况：或，①如图4，当时，，根据，，列比例式即可得结论；②如图5，当时，，同理可得结论． 【详解】（1）证明：设，则， 由折叠得，， ，四边形是矩形， ，， ， ， 四边形是矩形， 四边形是类矩形； （2）证明：如图2，由折叠得：，， 四边形是正方形， ，， ， 四边形是矩形， 如图3，设，， 由正方形的性质可得，，， 由折叠的性质可得，， ∴， 是等腰直角三角形， ∴， ， ∵ ， 在图2中，，， ， ， 四边形是类矩形； （3）设与交于点， 垂直平分， ， 四边形纸片沿折叠，使得点的对应点落在上， ， 同理得：，， 四边形是类矩形， 或， ①如图4，当时，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ； ②如图5，当时，， 由①同理得：，， ，即， ， ， ，即， ， ， ， ， ； 综上，的长为或． 【变式1】（2024·广东清远·一模）综合与实践：小明想在如图1所示的三角形纸片折出一个菱形，使为菱形的一个内角． (1)小明进行如下折叠过程： 步骤1：如图2，将三角形纸片沿过点A的直线折叠，使得点C的对应点落在边上（点D在边上），展平纸片； 步骤2：如图3，再次折叠该三角形纸片，使得点A与点D重合，再次展平后，连接，，得到菱形． ①折痕为的 （填“中线”“角平分线”或“高”）； ②若，，求菱形的边长． (2)若将（1）中的步骤2改为：如图4，再次折叠该三角形纸片（且A与D不重合），折痕为，展平纸片，连接，．证明：四边形是菱形． 【答案】(1)①角平分线；② (2)证明见解析 【分析】（1）①由折叠的性质可得出结论； ②证明，由相似三角形的性质列出方程，解方程即可得出答案． （2）由折叠的性质可知四个三角形全等，即可得到四条边相等，进而得到菱形即可解决问题． 【详解】（1）解：①∵将三角形纸片沿过点A的直线折叠， ∴折痕为的角平分线， 故答案为：角平分线； ②∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴， 解得． ∴菱形的边长为． （2）证明：由折叠的性质可知,，, ∴, ∵，,, ∴， ∴ ∴， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查了折叠的性质，菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的性质和判定等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 【变式2】（2025·广东珠海·一模）在综合实践活动课上，同学们以“折叠正方形纸片”为主题开展数学探究活动． 【操作判断】操作一：如图①，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在边上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部，得到折痕，如图②； 操作三：在边上选一点，沿折叠，使边与边重合，得到折痕，如图③． 把正方形纸片展平，得图④，折痕，与的交点分别为，． (1)根据以上操作，得_________． (2)若正方形的边长为，，试求的长． (3)经过多次折叠和测量，小浩发现线段与的比值不变，但他无法证明，请聪明的你帮小浩写出证明过程，并求出其比值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析， 【分析】（1）根据折叠的性质，正方形的性质，结合角的和差关系，求解即可； （2）连接，正方形的性质，推出，得到点四点共圆，进而得到，得到为等腰直角三角形，求出的长，再利用勾股定理求出的长； （3）连接，8字形推出，折叠得到，进而求出，证明，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵折叠， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：45； （2）连接， ∵正方形， ∴，，， 由（1）知：， ∴点四点共圆， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，； （3）证明：连接，由（2）可知：为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形与折叠，四点共圆，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 【变式3】（2025·江苏宿迁·二模）数学兴趣小组的同学们以“图形的折叠”为主题开展探究活动． 【操作推断】 (1)如图①，点P是正方形纸片的边的中点，沿折叠，使点A落在点M处， 延长交于点F， 连接， 则 ； 【迁移探究】 (2)如图②， 延长交于点 E， 连接． ① ； ②小明用大小不同的正方形纸片重复几次以上操作，总发现 ．请判断该发现是否正确？并说明理由； 【拓展应用】 (3)将边长为2的两个相同正方形拼成矩形，如图③，点P 是 上一动点，沿折叠，使点A落在点M处，射线交射线于点F．当时，直接写的长． 【答案】(1)90 (2)① 45；②正确，理由见解析 (3)1或 【分析】（1）根据正方形的性质得到，根据折叠的性质得到，，，根据全等三角形的性质即可解答； （2）①根据正方形的性质得到，进而得到，根据折叠的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，进而完成解答；②根据相似三角形的判定和性质定理即可解答； （3）根据矩形的性质得到，再分点F在的延长线上和上两种情况，分别运用正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质定理解答即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点P是正方形纸片的边的中点， ∴， ∵沿折叠，使点A落在点M处， ∴，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：90． （2）解：①∵四边形是正方形， ∴， ∵点P是正方形纸片的边的中点， ∴， ∵沿折叠，使点A落在点M处， ∴，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：45． ②判断正确，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． （3）解：∵将边长为2的两个相同正方形拼成矩形， ∴， ∴， ∵沿折叠，使点A落在点M处， ∴． 当点F在的延长线上时，设与交于E， 在中，， ， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ， ∴， ∴，即， 解得， ∴； 当点F在上时， ， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质、矩形的性质、勾股定理、折叠的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握正方形的性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键． ►题型02 利用相似三角形的性质与判定解决动态函数图像 【典例1】（2023·河北邯郸·三模）在中，于点，点从点出发沿向点运动，设线段的长为，线段的长为（如图1），而关于的函数图象如图2所示．是函数图象上的最低点．当为锐角三角形时的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到的长度，分类讨论为直角三角形时的情况即可． 【详解】解：根据题意得： ，点到的距离为，即，此时点到达点，， 当点与点重合时，为直角三角形，则在右侧时，为锐角三角形， 当时，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当为锐角三角形时，， 故选：C． 【点睛】本题为动点函数图象问题，考查了二次函数图象最小值的实际意义以及直角三角形的分类讨论，相似三角形的判定与性质，解题的关键是以为直角三角形作为临界条件解决问题． 【变式1】（2025·安徽滁州·三模）如图，在中，，M，N分别是BC，BA上的点且，将沿着直线MN对叠，得到，点B落在射线BA上，对应点为D．设，已知，与重叠部分的面积为S，则S与x之间的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要研究与重叠部分面积和之间的函数关系．需要分情况讨论：当时，重叠部分就是，通过相似三角形和的性质求出的面积表达式，发现是二次函数且抛物线开口向上，随增大而增大，时取得最大值．当时，重叠部分是四边形，其面积通过的面积减去的面积得到．同样利用相似三角形和以及和的性质求出面积表达式，是二次函数且抛物线开口向下，进而确定最大值及函数图象．本题主要考查相似三角形的判定与性质、二次函数的性质．解题关键在于根据的取值范围分情况讨论重叠部分的形状，利用相似三角形对应边成比例的性质求出相关线段长度，进而得到面积表达式，再依据二次函数的系数判断开口方向、求最值，从而确定函数图象． 【详解】解：当时，与重叠部分的面积为的面积． ，即， 解得． ． ， ∴抛物线开口向上．当时，S随x的增大而增大．当时，S有最大值，最大值为4．当时，与重叠部分的面积为四边形的面积，如图所示．由，则． ， ． ，即， 解得． ． ， ∴抛物线开口向下．当时，S有最大值．观察图象可知只有C符合题意， 故选：C 【变式2】（2025·广东梅州·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，以为边，在x轴上方作正方形，动点P从点A出发，沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动．线段交于点M．设点P运动时间为t秒，的面积为S，则S关于t的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积公式，由题意可得，，，证明，由相似三角形的性质求出，最后由三角形面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． ►题型03 利用相似三角形的性质与判定解决动点问题 对于动态相似图形问题，一般是已知结论，求使结论成立的条件，可采取逆向思维，把结论视为题设的一部分，再结合已有的条件和图形进行分析、探究，便可得到所需的条件. 【典例1】（2023·广东珠海·一模）如图（1）所示，E为矩形的边上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线运动到点C时停止，点Q沿运动到点C时停止，它们运动的速度都是/秒．设P、Q同时出发t秒时，的面积为．已知y与t的函数关系图像如图（2）（曲线为抛物线的一部分），则下列结论：①；②；③当时，；④当秒时，；其中正确的结论是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点P到达点E时点Q到达点C，从而得到的长度，再根据M、N是从5秒到7秒，可得的长度，然后表示出的长度，根据勾股定理求出的长度，然后针对各结论分析解答即可． 【详解】解：根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C， ∵点P、Q的运动的速度都是/秒， ∴， ∴，故①正确； ∵从M到N的变化是2， ∴， ∴， 在中，， ∴，故②错误； 过点P作于点F， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，故③正确； 当秒时，点P在上，此时，， ， ∵，， ∴， 又∵， ∴，故④正确． 综上所述，正确的有①③④． 故选：C． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解题的关键是根据图（2）判断出点P到达点E时点Q到达点C，也是本题的突破口． 【变式1】（2025·广东深圳·模拟预测）如图，三角形△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，点P从A出发沿AB运动到点B，作如图的Rt△PQC，且∠P＝30°，∠Q＝90°，点P运动过程中，BQ的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点C作CT⊥AB于点T，连接TQ，过点B作BH⊥QT于点H，利用∠CQP＝∠CTP＝90°，得出C，P，T，Q四点共圆，则点Q的运动轨迹是射线TQ，再利用垂线段最短和三角形相似，求出BH的长度即可． 【详解】解：如图，过点C作CT⊥AB于点T，连接TQ，过点B作BH⊥QT于点H． ∵∠CQP＝∠CTP＝90°， ∴C，P，T，Q四点共圆． ∴∠CTQ＝∠CPQ＝30°， ∴点Q的运动轨迹是射线TQ， ∵AC＝4，BC＝3，AB＝5， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， ∵∠CBT＝∠ABC，∠ACB＝∠CTB＝90°， ∴△BTC∽△BCA， ∴BC2＝BT•BA， ∴BT， ∵∠BTH＝60°， ∴BH＝BT•sin60°， ∴当点Q与点H重合时，CQ的值最小，最小值为． 【点睛】本题考查了四点共圆，直角三角形的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，垂线段最短，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，明确垂线段最短． 【变式2】（2025·广东湛江·三模）在中，，，，现有动点从点出发，沿向点方向运动，动点从点出发，沿线段也向点方向运动，如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为秒．    (1)求为多少秒时，的面积为为 (2)当为多少时，以点为顶点的三角形与相似. 【答案】(1)当为或秒时，的面积为为. (2)或时，以点、、为顶点的三角形与相似 【分析】（1）根据路程速度时间可知，，，再根据三角形的面积公式列方程即可解答； （2）根据根据路程速度时间可知，，，再根据相似三角形的性质列方程即可解答． 【详解】（1）解：设运动时间为t秒， ∵点P的速度是，点Q的速度是， ∴，， ∵， ∴， ∴的面积为， 即， 解得： ，, ∴当为或秒时，的面积为为； （2）解：设运动时间为秒， ∵点的速度是，点的速度是， ∴，， ∵， ∴， ①当时， ∴， 即， 解得； ②当时， ∴， 即， 解得． ∴或时，以点、、为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题考查了三角形的面积公式，路程速度时间，相似三角形的性质，一元二次方程与几何图形，一元一次方程与几何图形，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【变式3】（2023·广东东莞·二模）如图，在中，，，．点P从点A出发，沿线段以每秒4个单位长度的速度向终点B匀速运动．当点P不与点A、点B重合时，过点P作，其中点Q在上方，，以、为邻边作．设点P运动的时间为t（秒）．    (1)边的长为 ；点C到边的距离为 ； (2)当点F落在边上时，求t的值； (3)设线段与边交于点M，线段与边交于点N，当时，求的长． 【答案】(1)25；12 (2) (3)11 【分析】（1）由勾股定理可得，过点作于，利用，即可求得答案； （2）过点作于，先证明，可得，再利用等腰三角形的判定和性质得出，得出，即可求得答案； （3）过点作于，由，可得，求得，，利用等腰三角形性质可得，，再由，可得，即，求得，即可得出答案． 【详解】（1）   解：，，， ； 如图，过点作于， ， ， ； 故答案为：25；12． （2）   解：当点落在边上时，如图，过点作于， 由题意得：， 四边形是平行四边形， ，，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：； （3）   解：如图，过点作于， ，， ，， ， ，即， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，即， 解得：， ， 故的长为11． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，解题关键是添加辅助线构造全等三角形和相似三角形． ►题型04 尺规作图与相似三角形综合应用 【典例1】（2024·广东广州·二模）如图，为的直径，点C在上． (1)尺规作图：求作的中点D（保留作图痕迹，不写作法）； (2)过点D作交延长线于点E（画出图形即可，不必尺规作图），求证：与相切； (3)连接，若，求的值． 【答案】(1)画图见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先连接，再作的垂直平分线即可； （2）如图，记与的交点为，证明，再证明四边形为矩形，可得，从而可得结论； （3）记交于点Q，连接，，，由，结合勾股定理可得，再证明，即可证明，，则有，，结合勾股定理可得， ，问题得解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； ． （2）证明：如图，记与的交点为， ∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵为的半径， ∴为的切线； （3）解：记交于点Q，连接，，，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵根据相切有， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴，即：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 【变式1】（2023·广东佛山·三模）如图，在直角内，以A为一个顶点作正方形，使得点E落在边上． (1)用尺规作图，作出D、E、F中的任意一点（保留作图痕迹，不写作法和证明，另外两点不需要用尺规作图确定，作草图即可）； (2)若，求正方形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)正方形的边长为 【分析】本题主要考查相似三角形的判定定理及性质，正方形的有关性质．本题关键在于相似三角形的判定定理及性质及正方形的有关性质的综合应用． （1）以A为圆心，以任意长为半径作弧，交于M，交于N，分别以M、N为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于P，作射线，交于E，即可得出答案； （2）易证，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求解． 【详解】（1）解：作图：作的平分线交线段交于E； （2）解：∵四边形是正方形， ∴，． ∴． ∴ ∵， 设， ∴， ∴， ∴． 即正方形的边长为． 【变式2】（2024·广东佛山·一模）综合与实践 数学活动课上，同学们用尺规作图法探究在菱形内部作一点到该菱形三个顶点的距离相等． 【动手操作]如图，已知菱形，求作点E，使得点E到三个顶点A，D，C的距离相等．小红同学设计如下作图步骤∶ 连接； ②分别以点A，D为圆心，大于的长为半径分别在的上方与下方作弧：上方两弧交于点M，下方两弧交于点N，作直线交于点E． ③连接，，则． (1)根据小红同学设计的尺规作图步骤，在题图中完成作图过程(要求∶用尺规作图并保留作图痕迹) (2)[证明结论]证明：． (3)[拓展延伸]当时，求与的面积比． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据小红同学设计作图即可； （2）由菱形可得，，即得，有，而垂直平分，有，故； （3）由，可得，求出，，，，即可得，可得 ，证明，设，，有，从而， 从而可得面积比 ． 【详解】（1）解：根据小红同学设计，作图如下： ． （2）在菱形中，，， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴； （3）∵在菱形中，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， 设，（其中），则 ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，三角形面积，菱形的性质及应用，相似三角形判定与性质等知识，解题的关键是掌握相似三角形判定定理． ►题型05 三角板与相似三角形综合应用 【典例1】（2025·广东惠州·二模）如图，一副直角三角板满足，，，． 【操作】将三角板的直角顶点放置于三角板的斜边上，再将三角板绕点旋转，并使边与边交于点，边与边于点． (1)【探究一】在旋转过程中， ①如图2，当时，求证：． ②如图3，当时，与满足怎样的数量关系？并说明理由． ③根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当时，与满足的数量关系式为___________，其中的取值范围是___________（直接写出结论，不必证明） (2)【探究二】若且，连接，设的面积为，在旋转过程中：是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)①见解析；②，理由见解析；③； (2)见解析 【分析】（1）①如图所示，连接BE，首先得到，然后证明出，得到； ②作，，证明出，得到，然后证明出，得到，进而求解即可； ③同②的方法求解即可；如图所示，当且，点F在上，设，则，然后由得到，进而求解即可； （2）由【探究一】中（2）知当时，，设，则，表示出，得到当时，与重合时，面积取最小，求出，，得到当时，；当时，取得最大，进而求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，连接BE． ①当时，为中点， 是等腰直角三角形， ， 又，， ， 在和中， ， ； ②；理由如下： 作，， ， 又， ， ， ， 又，， ， ， ． ③；理由如下： 作，， ， 又， ， ， ， 又，， ， ， ； 如图所示，当且，点F在上 ∴是等腰直角三角形 ∴设，则 ∴ ∴ 由题意得， ∴ ∴当时，和没有交点 ∴的取值范围是； （2）解：存在．由【探究一】中（2）知当时，； 设，则， ， 当时，与重合时，面积取最小， ，是等腰直角三角形， ， ，， ，， 在等腰中， ， 当时，； 当时，取得最大， ，，， 在中， ， ，此时面积最大， ． 【点睛】此题考查了全等三角形和相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式1】（2024·广东深圳·模拟预测）一块矩形木板ABCD，长AD=3cm，宽AB=2cm，小虎将一块等腰直角三角板的一条直角边靠在顶点C上，另一条直角边与AB边交于点E，三角板的直角顶点P在AD边上移动(不含端点A、D)，当线段BE最短时，AP的长为(    ) A．cm B．1cm C．cm D．2cm 【答案】C 【分析】设，，由得，构建二次函数即可解决问题； 【详解】设BE=y，AP=x， ∵四边形ABCD是矩形， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴时，y有最小值． 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了求解二次函数的最值问题，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式2】（2025·广东深圳·二模）一副三角板按如图1放置，图2为简图，D为AB中点，E、F分别是一个三角板与另一个三角板直角边AC、BC的交点，已知AE=2，CE=5，连接DE，M为BC上一点，且满足∠CME=2∠ADE，EM= ． 【答案】 【分析】由CE=5， AE=2，得AC=7，利用勾股定理，得到AD的长度，过E作EN⊥AD于N，求出EN和DN的长度，由于∠CME=2∠ADE，延长MB至P，是MP=ME，可以证明，MP=x，在中，利用勾股定理列出方程，即可求解． 【详解】解：如图，过E作EN⊥AD于N， ∴NE= NA， 同理， 延长MB至P，使MP=ME，连接PE， ∴可设 又 设则 在中， 【点睛】本题考查了勾股定理，二倍角的辅助线的构造，方程思想求线段，熟练掌握二倍角辅助线是解决问题的关键． 命题点三 相似三角形的应用 ►题型01 利用相似三角形的性质求高度 【典例1】（2024·广东·模拟预测）如图，身高1.5米的小明在太阳光下的影子长1.8米，此时，立柱的影子一部分是落在地面的，一部分是落在墙上的．若量得米，米，求立柱的高． 【答案】2.5米 【分析】本题考查了平行投影以及相似三角形的应用，过点D作交于H，过点作，交于点，根据相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：如图，过点D作交于H，过点作，交于点，则四边形是平行四边形，即米， 可得：， ， ， 米， （米， 故立柱的高为2.5米． 【变式1】（2025·广东广州·二模）九年级数学项目式学习小组通过学习知道太阳光是平行光，可以借助太阳光线构成两个相似三角形，来计算出一些没办法直接测量的物体的高度．学习小组利用可伸缩的标杆和卷尺展开了测量物体高度的学习． (1)如图1，若垂直于地面的标杆米，它的影长米，同一时刻，旗杆的影长米，则旗杆的高度为______米； (2)如图2，学习小组计划测量运动场围墙外的电线杆的高度，但受围墙的阻碍，没办法直接测量电线杆的影长．同学们进行了如下操作：①在某一时刻，垂直于地面的2米标杆的端点C的影子恰好与电线杆的端点A的影子重合于点E，测得米；②把标杆缩短为1.2米，记作，过了一段时间，标杆的端点D的影子恰好与电线杆的端点A的影子重合于点F，测得米．请求出电线杆的高度． 【答案】(1)12 (2)10米 【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定的应用，解题的关键是掌握相似三角形的性质． （1）首先证明出，得到，然后代数求解即可； （2）证明出，得到，推出，然后表示出，同理证明出，得到，然后代数求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴电线杆的高度为10米． 【变式2】（2024·广东东莞·三模）【综合与实践】 要测量学校旗杆的高度，三个数学研究小组设计了不同的方案，测量方案与数据如表： 课题 测量学校旗杆的高度 测量工具 测量角度的仪器，皮尺，小镜子，直角三角形纸板等 测量小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案示意图 说明 利用镜子反射测量旗杆的高度，点为镜子，眼睛看到镜子中的旗杆顶端． 先测量观测台的高，再在观测点处测得旗杆顶端点的仰角，旗杆底端点的俯角．（其中于） 利用直角三角形纸板的直角边保持水平，并且边与点在同一直线上，直角三角板的斜边与旗杆顶端在同一直线上． 测量数据 ，． ，，． ，，． (1)根据测量数据，无法计算学校旗杆的高度的小组有第______小组和第______小组； (2)请选择其中一个可计算的方案及运用其数据求学校旗杆的高度． 【答案】(1)一；三 (2)选择方案二，旗杆的高度为 【分析】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，相似三角形的应用，解决本题的关键是熟练掌握仰角俯角定义． （1）根据相似三角形的性质和解直角三角形的知识，可作出判断； （2）对方案二，先求出，进而求出，即可求出． 【详解】（1）解：第一，第三小组的数据无法算出大楼高度， 理由：第一小组是利用进行计算的，即利用求，但只测量了，，没有测量长度，所以第一小组的数据无法算出大楼高度， 第三小组利用进行计算的，即利用求，再加，但只测量了，，．没有测量线段或的长度，所以第三小组的数据无法算出大楼高度， 故答案为：一，三； （2）解：选择第二小组的方案， 由题意得：，，，， 在中，，，， ∴， 在中，，， ， ∴， 答：学校旗杆的高度为． ►题型02 相似三角形的物理学应用 【典例1】（2025·广东湛江·一模）综合与实践-项目式学习 【项目主题】学科融合-用数学的眼光观察现实世界． 【项目背景】学习完相似三角形的性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律． 【项目素材】 素材一：凸透镜成像中，光路图的规律：通过凸透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后经过焦点． 素材二：设表示物体到凸透镜的距离，表示像到凸透镜的距离，表示凸透镜的焦距（凸透镜中心到焦点之间的距离），小明在研究的过程中发现了，和之间在成实像时存在着关系： 【项目任务】根据项目素材解决问题： 任务一：如图，为物体，点为凸透镜的中心，入射光线主光轴，折射光线经过焦点，为所成的像．当时，求的值． 任务二：已知凸透镜的焦距为，物体的高度为，当物体到凸透镜的距离为（）时，测量物体的成像的高度为． (1)请你利用所学的知识求出与的关系式． (2)当时，随的增大而________（填“增大”或“减小”）． 【答案】(1)任务一： (2)任务二：（1）；（2）减小 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键； 任务一：由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； 任务二：（1）由任务一可知，，，则，从而得，然后根据可得出与 （2）根据反比例数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵光轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）任务二：（1）依题意得：四边形为矩形，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 由任务一可知：，设， ∴， ∴， ， ， 解得：， ∴， 即与的关系式是：； （2）由（1）可得，可以看成向右平移个单位， ∵ ∴时，随的增大而减小 故答案为：减小． 【变式1】（24-25九年级上·广东深圳·期中）【项目式学习】 项目主题：学科融合—用数学的眼光观察世界 项目背景：学习完相似三角形性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律． 项目素材： 素材一：凸透镜成像规律：（ ）表示凸透镜的焦距，（）表示物体到凸透镜的距离，（ ）表示像到凸透镜的距离，规律如下表 物体到凸透镜距离u 像到凸透镜距离v 像的大小 像的正倒 缩小 倒立 等大 倒立 放大 倒立 与物同侧 放大 正立 素材二：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点． 项目任务： (1)任务一：凸透镜的焦距为，蜡烛的高为，离透镜中心的距离是时，请你利用所学的知识填空：①_________， ②_________，③ _________； (2)任务二：某实验小组取焦距 为的凸透镜，高度是的蜡烛，设置物距时，测量蜡烛的成像的高 ， ①以为自变量，为因变量，写出与的关系式： ； ②当 时，随的增大而 （选填“增大”或“减小”） （提示：可在平面直角坐标系中作出函数的图象，不计分）． 【答案】(1)，，； (2)①；②减小 【分析】本题考查了，相似三角形的性质与判定，画反比例函数，反比例函数的性质 （1）任务一：①由矩形，得到的长，由，得到，即：，设，用含的代数式，表示出、，由，得到，解出，即可求解， （2）任务二：①由，整理得到，根据描点法，画出函数图象， ②根据反比例函数的增减性，即可求解， 【详解】（1）解：任务一：①根据题意得：矩形， ∴， 根据题意得：与平行， 则， ∴，即：， 设，则，， 由题意得， ∴， ∴，即：，解得：， ∴， 故答案为：，，；． （2）任务二：①依题意得：四边形为矩形，， ， 由任务一可知：， ， 即， 解得：； ②用描点法可得该函数的图象，如下图所示： 当当 时，随的增大而减小， 故答案为：减小． 【变式2】（24-25九年级上·辽宁本溪·期中）如图，某小组进行凸透镜成像规律的探究实验，他们依次在光具座上垂直放置发光物、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心，将长度为的发光物进行移动，使物距为，光线，传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为． (1)求像的长； (2)已知光线平行于主光轴，经过凸透镜折射后通过焦点，求凸透镜的焦距的长（结果精确到）． 【答案】(1)像的长为 (2)焦距的长约为 【分析】本题为相似三角形的应用，考查了相似三角形的判定及性质，平行四边形的性质及判定，熟悉掌握相似三角形的比值关系是解题的关键． （1）利用平行判定出，再通过相似三角形比值关系求解即可； （2）证出，再通过相似三角形比值关系求解即可． 【详解】（1）由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 答：的长为； （2）解；由（1）得， ∴， 由题意得，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， 答：焦距的长约为． 突破一 相似三角形的判定与性质综合 【典例1】（2024·广东·模拟预测）如图，在菱形中，对角线、相交于点，过点作一条直线分别交、的延长线于点、，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，垂足为，，求的值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题主要考查菱形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形函数的计算，掌握菱形的性质，相似三角形的性质，正切三角形函数的计算是解题的关键． （1）在菱形中，，，，，可证，则有，由对角线相互平方的四边形是平行四边形即可求证； （2）设，可证，则，即，再证，即可求解． 【详解】（1）证明：在菱形中，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：如图所示， 设， ∵，，即， ∴， 又∵菱形，则对角线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（2024·广东·模拟预测）综合探究 如图1所示，已知四边形是正方形，点是边上的中点，连接，在线段上有一动点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接与延长线交于点． (1)证明：； (2)当点与点重合时，如图2所示，求的值； (3)当点与点不重合时，求、与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3)在线段上：；在延长线上： 【分析】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定与性质（、）、勾股定理及相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用旋转的性质构造全等三角形，将分散的边和角转化为关联条件，结合正方形的特殊边角关系进行推理与计算． （1）由正方形性质得、，由旋转得、，推出；用证，即可得； （2）设正方形边长为（简化中点计算），用勾股定理求；由得，结合对顶角证，用相似比求；计算，进而求的值； （3）分两种情况：①当在CH延长线上时，过作垂线构造正方形DMHN，证得、，结合为中点得，推出； ②当在线段CH上时，过作垂线构造正方形，证得、，结合为中点得，推出． 【详解】（1）证明： ∵四边形是正方形， ∴， ∵ ， ∴ ∴ ∴ ∴ （2）边上的中点是E，设正方形边长为， ∴， ， ∵， ∴ ∵ ， （3）解： ①当点G在的延长线上时， 如图所示． 过点 D 作， 的延长线于点， 则 ∵， ∴， ， ∴ ∴ ∴， ， ∴四边形 是正方形． ∴ ∴ ∵点E是的中点， ∴ ②当点G在线段上时， 过点 D 作 ， 的延长线于点Q，如图所示． 则 ∵ ， ∴， ∴ ∴， ， ∵ ∴ ∴四边形 是正方形， ∴ ∴ ∵点E是的中点， ∴ ∴ 【变式2】（2024·广东·二模）已知：如图，在中，，，，，垂足为点D，E是的中点，连结并延长，交边于点F． (1)求的余弦值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在 中，根据求出，再根据勾股定理求出，即可求出，再根据勾股定理求出，然后根据得出答案； （2）过点作，交于点，根据“角角边”证明可得，再说明，然后根据相似三角形的对应边成比例得，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中， ，， ∴， 由勾股定理得：， ∵E是的中点， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∴． （2）解：如图所示，过点作，交于点， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了余弦的应用，勾股定理，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 突破二 相似三角形的判定与性质中的多结论问题 【典例1】（2024·安徽合肥·一模）如图，将正方形纸片沿折叠，使点C的对称点E落在边上，点D的对称点为点F，交于点G，连接交于点H，连接，，下列说法错误的是（    ） A． B．当时， C．当时，或3 D． 【答案】B 【分析】利用有两个角对应相等的两个三角形相似进行判定A选项即可；设，结合正方形性质以及折叠性质，得出，运用勾股定理解出，运用解直角三角形的相关性质内容列式，计算得出，故B是错误的；设，运用勾股定理解出，运用解直角三角形的相关性质内容列式，计算得出，则或3，故C是正确的，连接，，，由，可知：，，所以，由于，则，由折叠可得：，则；利用勾股定理可得；由，，得到，所以，，，四点共圆，所以，通过，可得，这样，，因为，易证，则得，从而说明D成立． 【详解】解：四边形是正方形， ． 由折叠可知：，． ， ， ， ． ， ． ， ． 故A选项是正确； 设 ∵四边形是正方形 ∴ ∵折叠性质 ∴ ∴ ∴ 同理，得 即 在中， 即 解得 ∵ ∴ 则 ∴ ∵ ∴ 则 解得， 故B选项是错误的； 设 ∵ ∴ 在中， 即 解得 ∵ ∴ 则 则 ∵ ∴ ∵ ∴ 解得或3 故C选项是正确的； 过点作于，连接，，，如图， 由折叠可得：， ∵， ， ， 在和中， ， ． ，． ， ∴， ，， ，， ， ， ． ． 由折叠可得：， ． ． 由折叠可知：． ． ，， ， ，，，四点共圆， ． 在和中， ， ． ， ， ， ， ． ， ， ， ， ． 故选项是正确； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似形的综合题，正方形的性质，翻折问题，勾股定理，三角形全等的判定与性质，三角形的相似的判定与性质，解直角三角形，翻折问题是全等变换，由翻折得到对应角相等，对应边相等是解题的关键． 【变式1】（2024·广东深圳·一模）如图，在正方形中，的顶点，分别在，边上，高与正方形的边长相等，连接分别交，于点，，下列说法： ①； ②连接，，则为直角三角形； ③； ④若，，则的长为．其中正确结论的个数是(    ) A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据正方形的性质及定理求得，，从而求得，，然后求得，从而得到，由此判断①； 将绕点顺时针旋转至位置，连接，，，由旋转的性质根据结合定理求得，得到，结合正方形和旋转的性质求得，从而可得，然后根据定理求得，，从而得到，，从而求得，由此判断②； 由垂直可得 ，然后结合①中已证，可得，由此得到 ，然后根据定理求得三角形形式，由此判断③； 旋转到，由旋转性质和定理可得得，，设，在中，根据勾股定理列方程求，从而求得正方形的边长，设，结合②中的结论列方程求的值，从而判断④． 【详解】解：如图中， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 同理可证， ， ， ， ，故①正确； 如图②，将绕点顺时针旋转至位置，连接，， 由旋转知：，， 四边形是正方形， ， ， ， ， ，又， ， ， 四边形是正方形， ． 由旋转知：，， ， ， ． 又，， ， ， 同理可证： ， 即为直角三角形，故②正确； ， ， 又， 由①可知：， ， ， 又， ，故③正确； 如图中， 旋转到，， ，， 同理②中可证：， ，设， ，， 四边形是正方形， ， ， 在中，根据勾股定理得， 或舍， ， ， 正方形的边长为； 由正方形的边长为， ， 由①可知， ，， 由②得， 设， ，， ， ， 解得， ，故④正确 故选：A． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题关键是学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 【变式2】（2025·广东深圳·三模）如图，在中，，分别以和为边向外作正方形和正方形，过点作的延长线的垂线，垂足为点．连接，交的延长线于点．下列说法：①；②若，，则；③；④；⑤若，，则的面积为．正确的个数有(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据正方形的性质，结合已知条件证明，即可判断①，根据，得出，进而得出，即可判断②，证明为的中位线，即可判断③，证明，即可判断④，进而即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ，故①正确； ，， ，， 则， ， ， ，故②正确； ， ，又， ，又， 为的中位线， ，， ；故③④正确； ， ，在中，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，故⑤错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解直角三角形，综合运用以上知识是解题的关键． 突破三 相似三角形的存在性问题 【典例1】（2025·广东中山·模拟预测）如图，在边长为6的正方形内部存在一动点P，且满足，连接，则的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的性质和判定等知识，判断出点P的运动轨迹是以点D为圆心，的长为半径的圆（在正方形内部部分），延长交于点E，连接，证明与相切，得到，延长交于点F，则，，证明，则，由的长为定值6，则若要取最大值，则取最大值即可，求出的最大值为，即可得到答案． 【详解】∵点P在运动过程中始终满足， 故点P的运动轨迹是以点D为圆心，的长为半径的圆（在正方形内部部分）， 延长交于点E，连接， ∵四边形为正方形， ∴，且， ∴与相切， ∴， ∴， 延长交于点F， 则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的长为定值6， 故若要取最大值，则取最大值即可， ∴要取得最大值，则为直径时，可取得最大值为12， ∴的最大值为， 即的最大值为2． 故选：B． 【变式1】（2023·广东东莞·二模）如图，二次函数的图象与轴交于点和点，以为边在轴上方作正方形，点是轴上一动点，连接，过点作的垂线与轴交于点．    (1) ___；点D的坐标：___； (2)线段上是否存在点P（点P不与A、O重合），使得的长为？若存在，请求出点P，若不存在，请说明理由． (3)在x轴负半轴上是否存在这样的点P，使是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时与正方形重叠部分的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1；． (2)线段上存在点P（点P不与A、O重合），使得的长为．此时点P坐标为或， (3)存在这样的点，点的坐标为，此时与正方形重叠部分的面积为． 【分析】（1）利用点在二次函数图象上，代入即可求得，将二次函数换成交点式，即能得出点的坐标，由可算出点坐标； （2）假设存在，由，找出，利用等角的正切相等，可得出一个关于长度的一元二次方程，再求解即可； （3）利用角和边的关系，找到全等，再利用三角形相似，借助相似比即可求得，求出的面积即是所求． 【详解】（1）点在二次函数的图象上， ，解得， 二次函数解析式为， 点，， 四边形为正方形， ， 点， 故答案为：1；． （2）直线交轴于点，如图1，    假设存在点，使得的长为，设，则， ，， ， ，， ，即， 解得：， 或， 故线段上存在点P（点P不与A、O重合），使得的长为．此时点P坐标为或， （3）假设存在这样的点，交轴于点，如图2，    是等腰三角形， ， ，四边形为正方形 ，，， ，， 在和中， ， ， ，， 点坐标为． 轴， ， ， 又， ， ， ， ， 与正方形重叠部分面积为． 答：存在这样的点，点的坐标为，此时与正方形重叠部分的面积为． 【点睛】本题考查了二次函数的交点式、全等三角形的判定、相似三角形的相似比等知识，解题的关键是注重数形结合，找准等量关系． 【变式2】（2024·广东·模拟预测）如图，已知点和点B（点B不与点A 重合）都在反比例函数的图象上，直线与坐标轴交于P，Q两点．过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，与交于点E，连接． (1)求反比例函数的解析式． (2)求证： ． (3)试探究是否存在点B，使得？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的解析式为； (2)见解析： (3)存在；； 【分析】（1）根据待定系数法求出反比例函数的解析式即可； （2）根据一次函数解析式的k值相等，对应的函数图象两条直线是平行的即可解决问题； （3）根据平行线间的线段成比例算出答案即可； 【详解】（1）解：∵已知点在反比例函数的图象上， ∴ ， ∴反比例函数的解析式为； （2）证明：由（1）可知反比例函数的解析式为， 可设点， 又∵点, ∴设直线的函数解析式为 ∴ 解得：， ∵过点A作轴于点C，过点B作轴于点D， ∴点，点， ∴可设直线的函数解析式为 ∴ ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点作于点， ∴， ∵， ∴， 由上可知：， ， 设，则， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象的性质，待定系数法求反比例函数解析式，平行线的判定，平行线间的线段成比例等知识点，解决此题的关键是作出合理的辅助线． 突破四 相似三角形的实际应用综合 【典例1】（2025·广东佛山·二模）【项目主题】测量距离 【项目背景】在一次数学项目式学习活动中，老师带领同学们测量池塘两点间的距离（A、B两点距离不可直接测得）． 【实践工具】皮尺，测角仪等工具． 【实践操作】 方案一：如图1，一位同学在离池塘边B点不远处的C点站立，A、B、C三点在同一条直线上．调整帽子，使得视线通过帽檐正好观测到池塘对面的A点．该同学保持刚才的姿势，转过，这时视线刚好落在点E处．利用皮尺测得，． 同学们还设计了方案二、方案三…… 【问题解决】 (1)根据方案一，求、两点间的距离； (2)尝试设计与方案一不同的方案，在图2中画出几何图形，并求、两点间的距离（为使表达简洁，需要测量的角建议用、、等表示）． 【答案】(1) (2)详见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的应用，相似三角形的应用； （1）由，，，可得，从而可得结论． （2）利用相似三角形的性质涉及含的两个相似三角形即可. 【详解】（1）解：在和中， ∵，，， ∴． ∴． ∴． （2）解：方案如下：如图， ①在池塘边上确定点C； ②测量与的长度，取两边点D、E，使得，且的长度皮尺可测量； ③测量的长度； ④由，，可得， ∴， ∴． 【变式1】（2025·广东深圳·一模）【项目主题】合理设计，实用便民 【项目背景】为了提升交通安全，南山某城市隧道入口进行道路设施规划，计划安装车道指示灯．现需要对隧道入口隔音屏顶部的装灯位置进行合理设计．某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动： 素材1 图1是隧道入口隔音屏，其顶部轮廓可近似的看成抛物线，其截面如图2所示．以地面为轴，以左侧墙面为轴，建立平面直角坐标系，则抛物线符合．最高点离地面，照明灯安装轴右侧的点，距轴． 素材2 为测量素材1的点到地面的距离的长度，小组参考《海岛算经》中的测量方法，使用两根标杆进行测量，具体测量方法如图3所示．经测量，标杆（标杆垂直于地面），两杆相距15步，从退行10步到点，从退行15步到点．（共线，共线） 素材3 为提高通行效率，需在隔音屏顶部加装灯架，为每个车道增设指示灯．按要求，指示灯需距离地面．如图2所示，灯架，，均平行于轴，共线，且所在直线平行于轴，，的坐标为．为加强稳固性，还需在每个灯架上端加装两个长度为的支架．记灯架和支架总长． 根据提供素材，完成下列问题： (1)数学小组计算出的长度，具体如下： 解：设，步， ， ， ______①， 又， ， ， ， ______②， ______③． 请补全上述求解过程中①②③所缺的内容： (2)根据已知条件，求出抛物线的解析式（不需要写出x的取值范围）． (3)求出素材3中l的值，并判断长的材料能否完成灯架和支架的安装． 【答案】(1)①，②，③； (2) (3)，长的材料能完成灯架和支架的安装 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定和性质即可得到答案； （2）根据题意得到，将代入解析式求出，即可得到答案； （3）根据题意得到的横坐标依次为，得到的横坐标依次为，设的坐标依次为 求出的值，得到的值，求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：设，步， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 故答案为：①，②，③； （2）解：抛物线：的最高点离地面， ， 把代入得， 解得：， 抛物线的解析式为； （3）解：的坐标为，， 的横坐标依次为， 的横坐标依次为， 设的坐标依次为 把代入得， 解得：， ， 同理可得，，； ，； ， ， ， 长的材料能完成灯架和支架的安装． 【变式2】（2025·广东深圳·一模）为响应国家节能减排的号召，广东新农村建设把主要村道道路上安装了太阳能路灯．如图（a）所示是行人在某村村道路灯下的影子，图（b）是该村村道上安装的两盏高度不同的太阳能路灯的示意图，其中电线杆的高度为，电线杆的高度为，的长为．身高的聪聪同学（）在两盏路灯之间走动，他在 B，D 两盏路灯下形成的影长分别记作和．（A，E，C，M，N在同一直线上，电线杆和人均垂直于地面） (1)请在图（b）中画出聪聪同学在路灯D照射下形成的影长； (2)当聪聪同学站在两盏路灯的中间（即E为的中点）时，请求出影长； (3)若影长端点N处有一个竹竿，它在路灯B 的照射下其影长端点恰好与点M重合，同时影长端点M处也有一个竹竿，它在路灯D的照射下其影长端点恰好与点N重合．（竹竿，均垂直于地面）请回答下列问题： ①设的长为，则的长为 _______（请用含有x的代数式来表示）； ②请判断的值是否为定值？若是，请求出此定值 ；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①或；②是， 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用． （1）连接并延长交与点N即可． （2）先得出，，由相似三角形的性质得出，，分别求出和，最后根据代入计算即可． （3）①根据题意画出图形， 设，由（2）可知，，由全等三角形的性质得出，，再根据，进而可得出，再证明，即可由全等三角形的性质得出． ②方法一：根据，直接计算即可． 方法二：证明，，由相似三角形的性质得出，，进而可得出，然后求解即可． 【详解】（1）解：图中线段为所求． （2）解：当米时， ∵， ∴，， ，， 即，， 解得：，， ∴． （3）解：①根据题意画出图形： 设， 由（2）可知，， ，， 即，， 解得：，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 即， 整理得：或， ②方法一：同①可求得， ∵， ∴， ， ， ， ． 方法二： ∵， ∴，， ∴，， ∴， ， ， ， ∴． 1．（2024·广东·模拟预测）如图，中，点、分别是、的中点，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中位线的判定和性质，相似三角形的判定和性质．熟练掌握三角形的中位线的性质和相似三角形的性质是解题的关键．先证明是的中位线，根据中位线的性质得，，再根据相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴． 故选：A． 2．（2024·广东·模拟预测）如图，在水平桌面上的两个均垂直于桌面，在一条直线上．若．①号的测试距离，则②号的测试距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，根据题意可证明，则，据此代值求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵在水平桌面上的两个均垂直于桌面， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，即②号的测试距离为， 故选：B． 3．（2024·广东东莞·模拟预测）如图是凸透镜成像的示意图，是蜡烛通过透镜所成的实像．已知蜡烛的高度，．若，则实像的高度是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，先根据凸透镜成像原理确定物体与像的相似关系，再利用相似三角形对应边成比例的性质，通过已知的物高、物距和像距计算像高． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故选：C． 4．（2025·广东揭阳·一模）如图，四边形为平行四边形，E，F分别为和的中点，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股逆定理以及勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过点作，交于一点，结合平行四边形的性质以及中点，得，再证明，得出，，然后证明，得出，运用勾股逆定理得是直角三角形，最后运用勾股定理列式进行计算，即可作答． 【详解】解：过点作，交于一点，如图所示： ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵E，F分别为和的中点， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 则， 故是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 5．（2024·广东·二模）如图，在中，，，，，则的长 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，根据，得出，根据相似三角形的性质得出比例式，代入数据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴． 解得：． 故答案为：． 6．（2025·广东深圳·二模）如图，矩形护栏中，竖直方向加装4条平行且等距的钢条（相邻钢条间距相等，钢条粗细不计），连接交第一根钢条于点，连接并延长交于点，若，则的长度为 ． 【答案】15 【分析】此题主要考查矩形的性质，相似三角形的性质与判定，首先利用矩形性质可以证明，，然后利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，矩形护栏中，， ， ， ， ， ， 故答案为：15． 7．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在四边形中，与相交于点O，，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的性质和判定．设，通过作辅助线，得到，，，进而得出对应边成比例，再根据，，得出对应边之间关系，先后用表示，，，的长，利用正切函数的定义求解即可． 【详解】解：如图，过点D作，交的延长线于点M，延长交于点N， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（2024·广东深圳·三模）已知等腰中，，，点D是边的中点，沿翻折，使点A落在同一平面的点E处，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握翻折的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 记的交点为F，设，，则，，，由翻折的性质可知，，，，证明，则，即，可得，则，由勾股定理得，，即，整理得，；，即，整理得，；得，，可求，则，，由勾股定理得，，即，可求满足要求的解，，进而可求的值． 【详解】解：如图，记的交点为F，设，，则，，， 由翻折的性质可知，，，， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 由勾股定理得，，即，整理得，； ，即，整理得，； 得，， ∴， ∴，， 由勾股定理得，，即， 解得，或（舍去）， ∴， 故答案为：． 9．（2024·广东·模拟预测）如图，已知，，，两个三角形重叠部分为，请你找出一个与相似的三角形，并说明理由．    【答案】；理由见解析（或；理由见解析） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握三角形相似的判定方法，是解题的关键． 根据两个角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可． 【详解】解：；理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴； ；理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 10．（2024·山东潍坊·二模）如图，在四边形中，，，点，分别在线段，上，且，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据全等三角形的判定证明，即可得． （2）结合相似三角形的判定证明，则可得． 【详解】（1）证明：， ． ， ， ， ， ． （2）证明：， ， ． ， ， ， ， ， 11．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，的直角边经过正方形的顶点， ，，若，则点到的距离的最大值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、解直角三角形，由题意可得，由正方形的性质可得，，延长 至点，使，连接，，证明，得出．分别取，的中点，，连接，，作 于点，则，求出，再结合计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：∵的直角边经过正方形的顶点， ，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， 如图，延长 至点，使，连接，． 则，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 分别取，的中点，，连接，，作 于点， 则， ∵， ∴． ， ， 即点到的距离的最大值为， 故选：A． 12．（2024·广东·模拟预测）如图，四边形是矩形，E为边上一点，将矩形沿向上折叠，使点B落在边的点F处．若的周长为18，，则矩形的周长为（   ） A．20 B．24 C．32 D．48 【答案】B 【分析】本题主要考查矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定及性质．由矩形的性质与折叠可得，，从而证得，根据相似三角形的性质得到，因此，再由矩形的周长等于与的周长之和即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴ 由折叠可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴ ∴． 故选：B 13．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在菱形中，过点A作，垂足E在的延长线上，过点E作，垂足为．若，，则菱形的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由菱形的面积公式得到，由勾股定理求出，判定，推出，求出，即可得到菱形的边长． 本题考查菱形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是由菱形的面积公式推出，判定． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， ， ， 菱形的面积， ， ， ， ，， ∴， ， ， ， 菱形的边长为． 故选：C． 14．（2025·湖南长沙·二模）如图，矩形中，E是中点，于点F，连接，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有(  ) A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，相似三角的判定和性质，求正切值等知识，先推导④再推导③是解题的关键．推导得到，从而得到，从而判定①，设，则，证明得到，继而求出，再用正切的定义得到，从而判断②，过点F作于点G，则，利用，求出和，从而求出，从而判断④，再根据④正确得到，再用余角的性质和等量代换得到，从而判断③． 【详解】∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴ 又∵E是中点， ∴，故①正确； 设，则 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴(舍去负值)， ∴，故②错误； ∵， ∴， 过点F作于点G，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确， 故， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴故③正确， 故选：D． 15．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片沿剪开，再把沿着方向平移，得到，当时，两个三角形重叠部分（阴影部分）的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质． 根据平移的性质得到，，进而证明四边形是平行四边形，证明，求出，进而根据平行四边形的面积公式计算即可． 【详解】如图， 由平移的性质可知：，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积， 故答案为：． 16．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，四边形中，，，是的中点，连接并延长交于点，若，，则 ． 【答案】 【分析】连接，作于点，根据直角三角形斜边中线和等腰三角形的性质可得，再证明可得，再根据中位线的性质即可得解． 【详解】解：如图，连接，作于点， ，是的中点， ， ，， ， ， ，， ， ， 是的中位线， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边中线，中位线的性质，解题的关键综合运用以上知识点，正确作出辅助线． 17．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，，，点D在边上，且．过点D作，与边相交于点E，连接．线段的长为 ； 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． 利用平行线的性质得出相等的角，判定出，然后利用相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 故答案为：． 18．（2024·广东·二模）如图，将足够大的等腰直角三角板的锐角顶点放在另一个等腰直角三角板的直角顶点处，三角板绕点在平面内转动，且的两边始终与斜边相交，交于点，交于点，设，，，则与的函数关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了动点问题的函数：利用点运动的几何性质列出有关的函数关系式，注意自变量的取值范围．作于，根据等腰直角三角形的性质得，，则可判断和都是等腰直角三角形，得到，，由于的两边始终与斜边相交，交于点，交于点，而，所以，再证明，这样可判断，利用相似比得，则，所以得到与的函数关系的图象为反比例函数图象，且自变量为． 【详解】解：作于，如图， 为等腰直角三角形， ，， 和都是等腰直角三角形， ，， 的两边始终与斜边相交，交于点，交于点 而， ，即， ，， ， 而， ， ，即， ， 故答案为：． 19．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，点是菱形的对角线上一点，连接并延长，交于点，交的延长线于点，连接． (1)求证：． (2)若，且，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正弦等知识，熟练掌握菱形和相似三角形的性质是解题关键． （1）先根据菱形的性质可得，，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）先根据菱形的性质可得，，再证出，根据相似三角形的性质可得，然后根据正弦的定义求解即可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， 由（1）已证：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴在中，． 20．（2025·广东深圳·二模）【定义】平行四边形边上一动点与它所在边的对边的两个端点所形成的折线，叫做平行四边形的“对动线”． 例如，如图1，在平行四边形中，E是边上一动点，连接、，则折线叫做平行四边形的“对动线”，折线的长叫做对动线的长． (1)如图1，菱形的边长为5，，当时，对动线的长为______． (2)如图2，当时，设此时对动线的长为l，菱形的边长为a，当时，求l与a满足的数量关系． (3)平行四边形一边的长度为，，E是平行四边形边上一动点，当E将所在的边分为且满足对动线的夹角与平行四边形的一个内角相等时，直接写出平行四边形另外一边的长度． 【答案】(1) (2) (3)或或或或或或或． 【分析】（1）先根据题意得出，在中根据勾股定理求出的长度，进而在中由勾股定理求出DE的长度，即可求出答案． （2）通过延长和交于点先根据题意推出，再由平行线分线段成比例求得，即可由求出结论． （3）根据题意分类讨论：，；，；，；，由题意得到由“对动线”围成的三角形的相似三角形，再根据相似三角形对应边成比例，结合勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）解：，， ． 在中，设，由得． ，即， 解得（负值舍去）． ． 在中，根据菱形的性质． 对动线长为：． 故答案为： （2）解：如图，延长和交于点 ， ，． ， ． ． ， ，． ． 和a的数量关系为：． （3）解：当，时，设，如图，根据点E的分为两种情况：；． 过点E作． ，则，． 由可得． ． ，即． 解得：． 在中，，即， ， ．即 解得：． ． 由勾股定理可得：． 即： 解得：． 故． ，则，． 同理由可得． 解得． 由和，可得，． 由勾股定理可得：，求解关于n的方程可得：． 则． 故的长度为或． 当，时，如图： 同理可求的长度为：或． 当，时，如图： 同理由，可求出的值为或． 当，时，如图： 同理由，可求出的值为或 综上，平行四边形另外一边的长度为： 或或或或或或或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，平行线分线段成比例等知识点，分类讨论是本题的难点． 21．（2025·河北·中考真题）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质与判定，当时，可证明，由平行线的性质得到，，则可证明，据此可判断A、B；由平行线的性质可得，则，同理可判断C；D中条件结合已给条件不能证明． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故A不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C不符合题意； D、根据结合已知条件不能证明，故D符合题意； 故选：D． 22．（2025·陕西·中考真题）如图，正方形的边长为4，点为的中点，点在上，，则的面积为（    ） A．10 B．8 C．5 D．4 【答案】C 【分析】该题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，证明三角形相似是解题的关键． 根据四边形为正方形，得出，，勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求出，即可求出的面积． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∵为的中点， ， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ， ∴，即， ∴， ∴的面积． 故选：C． 23．（2025·江西·中考真题）如图，是面积为1的等边三角形，分别取的中点得到；再分别取，，的中点得到；…依此类推，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质．根据三角形中位线定理得到，相似比，的面积，的面积，总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：点、、分别为等边的边的中点， ，，， ，相似比， 的面积为1， 的面积， 同理，的面积， 则的面积， 故选：C． 24．（2025·江苏淮安·中考真题）在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，反比例函数，根据相似求出点A的坐标是解题的关键． 过点A作轴，垂足为C，过点B作轴，垂足为D，证明，根据相似三角形对应边长成比例求出点A的坐标，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴，垂足为C，过点B作轴，垂足为D， 直角三角板中， ， 轴， ， 直角三角板中， ， ， 又， ， ， 点B坐标为， ，， ，， 点A坐标为， 点A在反比例函数的图像上， ， 故选：C． 25．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的直角边在轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为（　　） A． B． C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 设，可证明，则，，那么，再由，即可求解． 【详解】解：设， 由题意得， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 26．（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，点在边上（与点，不重合），四边形为正方形，过点作，交的延长线于点，连接，交于点．下列结论：①；②；③；④，其中结论正确的序号是（   ） A．①②④ B．①②③ C．①②③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】由正方形的性质得出，证出，由证明，得出，①正确；证明四边形是矩形，得出，②正确；由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出，③正确；证出，得出对应边成比例，得出，④正确． 【详解】解：∵四边形为正方形， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ∴，故①正确； ， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ∴， ∴，故②正确； ， ∴，故③正确； ∵， ∴， ， ， ， ，故④正确； ∴正确的有①②③④． 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质等知识．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 27．（2025·山东威海·中考真题）如图，的中线交于点F，连接．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、三角形中线的性质以及相似三角形的判定和性质等知识； 根据三角形的中位线定理结合三角形中线的性质可得，可得，再根据相似三角形的性质进一步判断即可. 【详解】解：∵的中线交于点F， ∴， ∴，，故D选项结论正确； ∴，， ∴，，，故A、C选项结论正确，B选项结论错误； 故选：B. 28．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，一张锐角三角形纸片，点、分别在边、上，，沿将剪成面积相等的两部分，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，过点D作交于点F，证明出，得到，，设，，表示出，然后得到，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作交于点F， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴设，， ∵沿将剪成面积相等的两部分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 29．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在中，，是边上的高，，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据，是边上的高，证明，故，则，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 则 ∴， 故答案为：． 30．（2025·江苏盐城·中考真题）如图，在中，．若，，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据题意，易得，有，结合已知条件，得到的长． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：12． 31．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，E是上一点，，、的延长线相交于点F，若，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．先利用平行四边形的性质得，，证明，得出，结合，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：1． 32．（2025·青海·中考真题）如图，在中，，且，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由，可得，根据相似三角形性质得，然后把，代入即可求解，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 故答案为：． 33．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的处，然后沿着大树底部和竹竿底部所在水平直线由点后退2m至点时，看大树顶部视线恰好经过竹竿的顶端，测得小明的眼睛距地面的高度为1.6m，竹竿长3m，则大树的高度为 m． 【答案】10 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意找出对应线段的长是解题关键． 先根据题意找出图中已知线段的长度，再利用平行线得到相似三角形，通过相似三角形对应线段成比例计算即可． 【详解】解：如图，过点B作，交于点M，于点N， ∴， 由题意，得，，， ∴， ∴，， ∴四边形，，都是矩形， ∴，，，， 由题意，得，，，， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：10． 34．（2025·四川·中考真题）一块三角形材料的形状如图所示，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、矩形的性质及二次函数的最值求解，解题的关键是通过设未知数，利用几何关系建立矩形面积的二次函数表达式，再根据二次函数“开口向下时顶点处取最大值”的性质计算最大面积． 设矩形一边长为未知数（如），利用等腰直角三角形的性质及矩形对边相等的特点，得出也为等腰直角三角形，进而用未知数表示出矩形另一边长（如）；根据矩形面积公式列出面积与未知数的二次函数关系式，通过二次函数顶点坐标公式或配方法求出最大值． 【详解】解：设矩形中，（）．   ∵ ，， ∴ 是等腰直角三角形．   ∵ 四边形是矩形， ∴ ，， ∵ ， ∴ ，又是等腰直角三角形， ∴ 为等腰直角三角形， ∴ . 则. 矩形面积 ∵ 二次函数中，，图象开口向下， 当时，取最大值．   最大值. 故答案为：． 35．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，与相切于点，连接，过点作的垂线，交于点，连接，交线段于点．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用平行线的判定与性质证明，再求得，再利用直角三角形的边角关系解答即可． 【详解】解：∵与相切于点B， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键． 36．（2025·广东深圳·中考真题）如图，以矩形的点为圆心，的长为半径作，交于点，点为上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转至，点落在上，且点为中点．若，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】由矩形的性质得，根据圆周角定理，可求得，根据，可推出为直角，从点为中点，可推出，接着再证明，利用相似三角形的性质求解即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 为所对的圆周角，所对的圆心角为， ， 将线段绕点顺时针旋转至， ， ， ， ， ， 又， ∴， ∴， 点为中点， ， ， ， ． 故答案为：6． 【点睛】本题考查矩形的性质，圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，旋转的性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 37．（2025·四川·中考真题）如图，为的直径，C为上的一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D．延长交的延长线于点E． (1)求证：平分； (2)若，，求的半径和的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的半径长为5，的长为 【分析】（1）连接，由等边对等角得到，由切线的性质得，而，则，再由平行线的性质以及等量代换即可证明平分． （2）作于点，因为，，所以，则，求得，可证明，得，求得，则，即可求解半径和． 【详解】（1）证明：连接，则， ， 与相切于点， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：作于点，， ，， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 的半径长为5，的长为． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 38．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点分别是边的中点，与相交于点，连接，．证明： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，中位线定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由点分别是边的中点，则有，，所以，，从而可得，然后根据性质即可求证； （）连接，，证明四边形为平行四边形，所以，，又，为中点，故有，所以，，然后通过“”证明即可． 【详解】（1）证明：∵点分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接，， ∵点分别是边的中点， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵，为中点， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． 39．（2025·江苏南通·中考真题）如图，矩形中，对角线相交于点．是的中点，交于点． (1)求证：； (2)设的角平分线交于点． ①当时，求点到的距离； ②若，作直线分别交于两点，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)①2；②． 【分析】本题考查的是矩形的性质、平行四边形性质与判定及相似三角形判定与性质， （1）先证明，根据相似三角形性质即可证明结论； （2）①过点作，垂足为，设，借助三角形面积求出即可；②作，垂足为，作，垂足为，设，借助三角形面积求出，再通过求出，证明四边形是平行四边形，从而证明，即可求出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①在中，∵， ∴， ∴， 如图，过点作，垂足为， 设，则， ∴， 即， ∴点到的距离为2； ②如图，作，垂足为，作，垂足为， 设， ， ， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 即， ∴，， ∴， ∴． 40．（2025·宁夏·中考真题）如图，四边形内接于⊙平分，连接． (1)求证：； (2)延长至点，使，连接．求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、角平分线的定义以及全等三角形与相似三角形的判定和性质，解题的关键是利用圆周角与弧的对应关系转化角的等量关系，通过构造辅助线（延长线段）创造全等或相似的条件． （1）利用平分得到角相等，结合圆周角定理（同弧所对的圆周角相等），将角平分线得到的等角转化为与、相关的角，进而证明两角相等． （2）由可得通过圆内接四边形的对角互补性质得到结合第一问结论及角平分线性质证明再通过角的等量转化证明，最终得到比例式． 【详解】（1）证明：∵ 平分， ∴． ∵四边形内接于， ∴（同弧所对的圆周角相等）． ∵， ∴． （2）证明：∵， ∴． ∵四边形内接于， ∴（圆内接四边形对角互补）． 又∵（平角定义）， ∴． 由（1）知 ∴（等角对等边）． 在和中 ∴． ∴． ∵， ∴． 又∵ ，， ∴即 ∴． ∴， ∴，即． 41．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，过点B的切线交的延长线于点D，连接并延长，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）由切线的性质求得，由圆周角定理求得，利用同角的余角相等求得，再利用圆周角定理即可证明结论成立； （2）由（1）得，求得，求得，利用勾股定理求得，证明，求得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的切线， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，切线的性质．熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 42．（2025·广西·中考真题）【平行六边形】如图1，在凸六边形中，满足，我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”，其中与，与，与叫做“主对边”；和，和，和叫做“主对角”；叫做“主对角线”． (1)类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”． 猜想 判断正误 ①平行六边形的三组主对边分别相等 _________ ②平行六边形的三组主对角分别相等 _________ ③平行六边形的三条主对角线互相平分 _________ 【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”． (2)如图2，已知平行六边形满足． 求证：平行六边形是菱六边形： (3)如图3是一张边长为的三角形纸片．剪裁掉三个小三角形，使剪裁后的纸片为菱六边形．请在剪裁掉的小三角形中，任选一个，求它的各边长． 【答案】(1)错误；正确；错误 (2)详见解析 (3) 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定、相似三角形的性质与判定以及解方程：（1）连接，根据相似三角形和平行线的性质即可判断；（2）先证明为平行四边形，再证明为平行四边形，即可证明是菱六边形；（3）根据菱六边形得到，设，根据解得，代入即可． 【详解】（1）解：连接，交于点，由图可知： ①平行于，只能知道，其他对边同理，故平行六边形的三组主对边分别相等是错误的； ②平行于，，同理可得，其他对角同理，故平行六边形的三组主对角分别相等是正确的； ③由①可知，平行六边形的三条主对角线互相平分是错误的． （2）证明：过点作平行且相等于，连接， 则平行四边形是平行四边形， 平行于，， 在平行六边形中，平行于，， 平行且相等于， 为平行四边形， 平行于，， 在平行六边形中，平行于，平行于， 平行于，平行于， 为平行四边形， ， ， ， ， 平行六边形是菱六边形． （3）解：设三角形纸片为， 裁剪后的纸片为菱六边形， 平行于，平行于，平行于，， ， ， 设， 则， ， ， ， 解得：， ． 43．（2025·河南·中考真题）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上． 测量数据 备注 点在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． (1)由标杆的影子的长和标杆的长相等，可得，请说明理由． (2)求纪念碑的高度． (3)小红通过间接测量得到的长，进而求出纪念碑的高度约为．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）． 【答案】(1)见解析； (2)纪念碑的高度为． (3)小红的结果误差较大，理由见解析 【分析】本题考查了平行投影，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据平行投影的性质可得，即可证明结论； （2）令与的交点为，则四边形和是矩形，设，证明，得到，求出的值即可； （3）比较纪念碑的实际高度与小红和（2）中的结果，得到误差较大的一方，再分析可能的原因即可． 【详解】（1）解：太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处， ， 标杆的影子的长和标杆的长相等，即， ； （2）解：如图，令与的交点为， 则四边形和是矩形， ，，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 解得：， 答：纪念碑的高度为． （3）解：纪念碑的实际高度为，小红求出纪念碑的高度约为，（2）中纪念碑的高度为， 则小红的结果误差较大， 理由是：纪念碑位于有台阶的平台上，点的位置无法正确定位，使得的长存在误差，影响计算结果． 44．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于、两点，一次函数的图象过点A与反比例函数交于另一点，与轴交于点，其中，． (1)求一次函数的表达式，并求的面积． (2)连接，在直线上是否存在点，使以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，相似三角形的性质，两点距离计算公式，勾股定理的逆定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数解析式，则可求出点C坐标，再把点A和点C坐标代入一次函数的解析式中求出一次函数的解析式，进而求出点M的坐标，再利用三角形面积计算公式求解即可； （2）利用对称性可得点B坐标，利用两点距离计算公式和勾股定理的逆定理可证明，则只存在和这两种情况，当时，则，此时点D为的中点，利用中点坐标公式可得答案当时，则，可求出；设，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入到中得：，解得， ∴反比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴； 把，代入到中得：，解得， ∴一次函数的表达式为， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵直线经过原点， ∴由反比例函数的对称性可得点B的坐标为，， ∵，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴与不垂直， ∵与相似， ∴只存在和这两种情况， 当时，则，， ∴，， ∴此时点D为的中点， ∴点D的坐标为； 当时，则，， ∴； 设， ∴， 解得， ∴， ∴点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标为或． 45．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在中，对角线的垂直平分线与边，分别相交于点，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，平分，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明得到，根据得到，那么可得四边形是平行四边形，再由线段垂直平分线的性质得到，即可证明其为菱形； （2）根据菱形的性质结合已知条件证明，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵对角线的垂直平分线是， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：如图， ∵平分， ∴， ∵菱形， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 46．（2025·四川眉山·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点，与x轴交于点C，点D与点A关于点O对称，连接． (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)点P在x轴的负半轴上，且与相似，求点P的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为：，反比例函数解析式为． (2)点P的坐标为或 【分析】（1）利用系数待定法分别求出一次函数和反比例函数的解析式即可． （2）先求出点C的坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特点求出点D，设，再根据直角坐标系两点之间的距离公式分别求出，，，由对顶角相等得出，再根据相似三角形的性质分两种情况或代入求解即可． 【详解】（1）解：把代入反比例函数，则， 则反比例函数解析式为：， 把代入， 则， ∴， 再把，代入， 则， 解得：， 则一次函数的解析式为：． （2）解：令时，则， ∴， ∵点D与点A关于点O对称， ∴ 设点， ∵， ∴ 又∵，， ∴，，， ∵与相似，， ∴分两种情况：或， 当时， 即， 解得：， 此时，点， 当， 即， 解得：， 此时， 综上：当点P在x轴的负半轴上，且与相似，点P的坐标为或 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合问题，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，关于原点对称的点的坐标特点，相似三角形的性质，直角坐标系中两点之间的距离等知识，掌握这些知识是解题的关键． 47．（2025·江苏连云港·中考真题）一块直角三角形木板，它的一条直角边长，△ABC的面积为． (1)甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大； (2)丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面．请分别求出图3、图4中长方形的面积与的长之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值． 【答案】(1)图1的正方形面积较大 (2)在图3中，，当时，长方形的面积有最大值为；在图4中，，当时，长方形的面积有最大值为 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，二次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用勾股定理算出，再运用正方形的性质分别证明，，，然后代入数值化简得，进行计算得，然后进行比较，即可作答． （2）与（1）同理证明，则长方形的面积，结合二次函数的图象性质得当时，长方形的面积有最大值为．，然后证明，，再把数值代入长方形的面积，化简得，结合二次函数的图象性质进行作答即可． 【详解】（1）解：∵，△ABC的面积为， ∴， ∴． 设正方形的边长为， ∵四边形是正方形 ∴，， ∵ ∴ 得， 即， 解得． ∵四边形是正方形 ∴， ∴ ∴， 得， 即， ∴． ， ∵ ∴， 得， 即， 解得． ∵， ∴图1的正方形面积较大． （2）解：∵四边形是长方形 ∴，， ∵ ∴； 得， 则，， ∴长方形的面积， ∵ ∴开口向下， 当时，长方形的面积有最大值为． 在图4中，同理得， 得， ∴，， 同理得， 得， 则， ∴长方形的面积， ∵ ∴开口向下， ∴当时，长方形的面积有最大值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $