第01讲 实数及其运算（6命题点+15题型+3突破）（复习讲义）（广东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习资料聚焦“实数及其运算”核心模块，覆盖实数分类、数轴相反数绝对值、科学记数法、平方根立方根及混合运算等中考必考考点，以命题点为纲构建知识网络，通过考情剖析、考点解析、真题训练等环节，帮助学生系统梳理知识，突破数轴与绝对值结合等难点。 亮点在于“命题点-题型-真题”精准对接，如通过“实数与数轴结合化简绝对值”培养几何直观，“规律计算题”发展抽象能力，设基础巩固、能力提升、全国新趋势分层练习。真题选用2023-2025年广东中考题，确保复习针对性，助力学生高效提升运算与应用能力，教师可据此精准把控复习节奏。

第一章 数与式 第01讲 实数及其运算 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 14 命题点一 实数的分类 题型01正负数的意义 题型02无理数的估算 题型03 实数的分类 命题点二 实数的有关概念(数轴、相反数、绝对值、倒数) 题型01 实数的有关概念及性质 题型02 数轴、相反数、绝对值、倒数 命题点三 实数的大小比较 题型01 实数的大小比较 命题点四 科学记数法与近似数 题型01 科学记数法表示数 题型02 近似数 命题点五 平方根、算术平方根与立方根 题型01 求一个数的平方根、立方根 题型02 根据（算术）平方根、立方根的性质求解 题型03 与平方根、立方根有关的规律探索题 题型04 平方根、立方根的实际应用 命题点六 实数的运算 题型01 实数的混合运算 题型02 实数混合运算的实际应用 题型03 实数混合运算的新定义问题 05·重难突破·思维进阶难 26 突破一 实数与数轴相结合的应用 突破二 实数与绝对值相结合的应用 突破三 与实数相关的规律计算题 06·优题精选·练能提分 30 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 实数的分类 广州卷T1 广东卷T1 深圳卷T1 广州卷T1 深圳卷T1 广东卷T1 理解有理数、无理数的概念，知道实数是由有理数和无理数组成的 实数的有关概念 深圳卷T2 了解实数与数轴上的点一一对应；能用数轴上的点表示实数；能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值. 实数的大小比较 广州卷T1 能用有理数估计一个无理数的大致范围；能比较实数的大小. 科学记数法与近似数 广东卷T2 广东卷T3 广州卷T11 深圳卷T3 深圳卷T3 会用科学记数法表示数 平方根、算术平方根与立方根 广东卷T3 广东卷T12 了解平方根、算术平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根；了解乘方与开方互为逆运算. 实数的运算 广州卷T3 广东卷T14 深圳卷T14 深圳卷T14 广东卷T1 广东卷T16 深圳卷T16 广东卷T16 理解乘方的意义；掌握有理数的加减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主)；理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算. 命题预测 在数轴、绝对值、相反数、科学记数法表示和实数的混合运算等情境考查实数相关知识，题型一般以选择题和计算题为主。在数轴、绝对值、相反数考点中，常见实数与数轴点的对应关系、式子正负判断、相反数的关系、绝对值的性质与意义等；科学记数法考点中，考查大数或小数的科学记数法表示，常与实际问题结合；实数的运算考点中，考查绝对值、二次根式、特殊角的三角函数值、负指数幂、零指数幂等的混合运算，注重计算过程和准确性。预测2026年广东的中考题仍以选择题、计算题为主，难度不大，但在题型创新上要注意审题。 考点一 实数的分类 知识点01 正数与负数 正数：大于0的数叫做正数，如：0.5，，+2等. 负数：小于0的数叫做负数.如：-0.5，-，-2，-（+1）等. 知识点02 有理数及分类 有理数：整数和分数统称为有理数.（【实质】可以写成形式的数，其中m，n为整数且m≠0） 【补充】有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数. 例：0.53（分数形式：），1.333333…（分数形式：），，整数3（分数形式：）等. 有理数分类： 知识点03 无理数 无理数：无限不循环小数叫做无理数. 【补充】无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数. 常见的无理数： 1） 一般的无限不循环小数，如0.43241…，7.6385661…等 2） 开方开不尽的数，如： 、等. [易错]带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数. 3）与圆周率π有关的数，如5π，3+π，等. 4）看似有规律循环实际上是无限不循环的小数，如0.1010010001（两个1之间依次增加1个0）… 5）某些三角函数，如sin60°、cos20°. 【注意】无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数. 知识点04 实数及其分类 实数的定义：有理数和无理数统称为实数. 1、 按定义分类： 2、按性质分类： 1．（2025·广东·中考真题）某品牌乒乓球产品质量参数是，如果一只乒乓球的质量高于标准质量记作，那么低于标准质量记作（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东深圳·中考真题）节约水5吨记作吨，则浪费水2吨记作（   ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 3．（2024·广东清远·一模）中国古代著名数学家、天文学家祖冲之通过研究得到了的近似值：（约率）和（密率）．其中约率是（   ） A．整数 B．有限小数 C．有理数 D．无理数 4．（2023·广东东莞·模拟预测）在六张卡片上分别写有，，，，，六个数（卡片除了数字不同，其他均相同），从中随机抽取一张，卡片上的数为有理数的概率是（     ） A． B． C． D． 考点二 实数的有关概念(数轴、相反数、绝对值、倒数) 知识点01 数轴 数轴的定义：在数学中，通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴. 数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可. 【补充】 1）数轴是一条可以向两端无限延伸的直线； 2）数轴三要素是“规定”的，通常，我们习惯性向右为正方向，原点的位置和单位长度的大小要依据实际情况灵活选取，但是一旦选定后就不能随意改变； 3）在同一条数轴上，单位长度的大小必须统一，要根据实际问题灵活选取单位长度的大小. 4）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应. 知识点02 相反数 相反数：只有符号不同的两个数称为互为相反数，相反数是成队出现的. 性质：1）【热考】若a，b互为相反数，则a+b=0；反之，若a+b=0，则若a，b互为相反数. 2）一个有理数有且只有一个相反数； 3）正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0. 几何意义：1）互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的距离相等且位于原点的两侧. 2）位于原点的两侧且到原点距离相等的点，所表示的两个数互为相反数. 知识点03 绝对值 绝对值：数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记为|a|． 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数，即. 【易混易错】 1）若|a|=a（或|a|-a=0），则a≥0，若|a|= -a（或|a|+a=0），则a≤0. 2）任何一个有理数的绝对值都是非负数，即a取任意实数，都有|a|≥0. 3）当绝对值符号里的数的正负不能确定时，要分类讨论，即将其分成大于0，小于0，等于0这三类讨论. 知识点04 倒数 倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数． 【易混易错】 1）0没有倒数，倒数是本身的只有1和-1. 2）若a、b互为倒数，则ab=1. 3）互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数） 5．（2023·广东广州·中考真题）计算：（ ） A． B． C． D． 6．（2024·广东·模拟预测）如图，数轴上A，B两点分别对应实数a，b，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（2023·广东·模拟预测）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则 ． 8．（2025·广东汕头·一模）如题图，将，，0，，，3，，5，6填入九宫格内，使每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等，则a的值是 ． 5 考点三 实数的大小比较 1、实数性质法：正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小； 2、数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小； 3、作差比较法：a，b是任意两个实数，若a-b>0，则a>b；若a-b=0，则a=b；若a-b<0，则a<b. 4、作商比较法：a、b为正数，若>1，则a>b；若=1，则a=b；若<1，则a<b 5、倒数比较法： 6、平方比较法：a、b为正数，若a2>b2，则a>b. a、b为负数，若a2>b2，则a<b. 【补充】主要应用于二次根式的估值及比较含有根式的实数大小. 7、特殊值法：通过估算，将无理数取近似值，即可比较出这两个实数的大小.这里需要我们记住三个常用的近似值: ≈1.414，≈1.732，≈2.236 9．（2024·广东广州·中考真题）四个数，，，中，最小的数是（    ） A． B． C．0 D．10 10．（2024·广东·模拟预测）在0，这四个数中，比小的数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 11．（2025·广东东莞·模拟预测）在粤北某地生活的小红在冬至日查看天气预报时，得知未来一周的周一的最低气温是，周二的最低气温是，周三的最低气温是，周四的最低气温是．这四天中，气温最低的是（    ） A．周一 B．周二 C．周三 D．周四 12．（2025·广东汕头·一模）实验室检测四个零件的质量（单位：克），按照“超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数”记录如下，其中最接近标准质量的是（    ） A．1.1 B． C． D．0.9 考点四 科学记数法与近似数 知识点01 科学记数法 定义：把一个数A表示成的形式（其中1≤|a|＜10，n为整数），这种记数法叫做科学记数法． 类别 a的确定 n的确定 示例 |A|＞10 1≤|a|＜10 n为正整数，n=小数点左移的位数 a=5.5，n=6 0＜|A|＜1 n为负整数，n=小数点右移的位数 a=-5.5，n=6- 【补充】 1）用科学记数法表示数时，不改变数的符号，只是改变数的书写形式而已，可以方便地表示日常生活中遇到的一些很大或很小的数. 2）一个负数也可以用科学记数法表示. 3）科学记数法的常见类型: ① 直接将像26000000、320万这样的较大数字用科学记数法表示； ② 将450 km或 35 nm 换算单位后用科学记数法表示； ③ 根据题意，先计算，再将计算结果用科学记数法表示. 知识点02 近似数 准确数：在日常生活或生产实际中，能准确地表示一些数的量，成为准确数. 近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个数的近似数. 精确度：近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 【补充】对于带单位的数或用科学记数法表示的近似数，a的末位数字在还原后的数中是哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 有效数字的概念：从左边第一位非0的数字到精确数位的所有的数字.例：0.012有两个个有效数字：1,2；3.6万有两个有效数字：3,6；有四个有效数字：4,3,6,0. 13．（2025·广东·中考真题）依据《广东省推动低空经济高质量发展行动方案（2024-2026年）》，预计2026年广东省低空经济规模将超过3000亿元．数据3000亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 14．（2024·广东·中考真题）年6月6日，嫦娥六号在距离地球约千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 15．（2024·广东清远·一模）已知：1纳米米，则纳米用科学记数法表示为 米． 16．（2024·广东·模拟预测）2023年10月18日，在国新办举行的新闻发布会上，国家统计局介绍，前三季度国内生产总值（）达到913027亿元，将数据913027亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 考点五 算术平方根、平方根与立方根 知识点01 算术平方根 定义：如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为，读作“根号a”，a叫做被开方数. 算术平方根(a≥0)具有双重非负性：1）被开方数具有非负性，即a≥0； 2）算术平方根本身具有非负性，即≥0； 【小结】即在式子中，a≥0且≥0. 两个重要等式：1），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 2），即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 知识点02 平方根 定义：如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根或二次方根.正数a的两个平方根记作±，读作“正、负根号a”. 性质：正数有两个平方根，且它们互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根. 知识点03 立方根 定义：如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x叫做a的立方根或三次方根. 数a的立方根记作“”，读作“三次根号a”. 【补充】1）立方根等于本身的有0和±1. 2）互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数. 性质：正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数只有一个负的立方根． 平方根与立方根的区别与联系 关系 名称 平方根 立方根 区别 性质 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数 表示方法 非负数a的平方根表示为±，根指数是2，常省略不写 数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写 被开方数的取值范围 在±中，a是非负数，即 在中，a是任意数 联系 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究，即. 知识点04 常见实数的平方与立方： 常见数的平方 12 22 32 42 52 62 72 82 92 102 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 112 122 132 142 152 162 172 182 192 202 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400 常见数的立方 13 23 33 43 53 63 73 83 93 103 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 17．（2024·广东·中考真题）完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是（    ） A．2 B．5 C．10 D．20 18．（2024·广东深圳·中考真题）如图所示，四边形，，均为正方形，且，，则正方形的边长可以是 ．（写出一个答案即可） 19．（2025·广东·模拟预测）已知，则的平方根为 ． 20．（2025·广东清远·模拟预测）计算： 考点六 实数的运算 实数的四则运算：当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，又增加了非负数的开平方运算，任意实数可以进行开立方运算. 进行实数运算时，有理数的运算法则及性质等同样适用. 1. 实数的加法法则：1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2)异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 2. 实数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数. 3. 实数的乘方法则：1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2）任何数同0相乘，都得0. 【补充】1）正数的任何次幂都是正数；2）0的任何正整数次幂都是0；3）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数. 4. 实数的除法法则：1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数； 2）0除以任何不为0的数，都得0. 5. 运算顺序：先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 6.运算律 类别 表示 加法交换律 加法结合律 乘法交换律 乘法结合律 乘法分配律 7.常见的三角函数值 三角函数 30° 45° 60° 1 【易混易错】 1. 有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、乘法分配律． 2. 在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错： ①先算乘方，再算乘除，最后算加减； ②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号． 21．（2025·广东深圳·中考真题）计算：． 22．（2024·广东·模拟预测）计算：． 23．（2025·广东·模拟预测）计算： 24．（2024·广东·模拟预测）计算 (1) (2) 命题点一 实数的分类 ►题型01 正负数的意义 【典例1】（2025·广东深圳·三模）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”意思：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数如果温度上升，记作，那么温度下降记作（   ） A． B． C． D． 【典例2】（2025·广东东莞·模拟预测）北宋沈括在《梦溪笔谈》中提到“算法用赤筹、黑筹，以别正、负之数”，古人用红色、黑色算筹分别表示具有相反意义的正数和负数，下列各数中不是负数的是（   ） A． B． C．1 D． 【变式1】（2024·广东惠州·模拟预测）某仓库运进小麦6吨，记为 吨，那么仓库运出小麦8吨应记为 吨． 【变式2】（2024·广东·模拟预测）如果高于海平面100m记作，那么低于海平面50m应该记作（　　） A． B． C．m D．m ►题型02 无理数的估算 【典例1】（2025·广东东莞·一模）如图，数轴上表示的点可能是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 【典例2】（2025·广东清远·二模）是一个很奇妙的数，在艺术、建筑中以“黄金分割”体现美感，估计的值（　　） A．在0和1之间 B．在1和2之间 C．在2和3之间 D．在3和4之间 【变式1】（2025·广东广州·二模）若的整数部分为a，小数部分为b，则（） A．2 B．1 C．0 D． 【变式2】（2025·广东云浮·一模）估算的值在（    ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 ►题型03 实数的分类 1.有理数都可以写成分数的形式，而无理数不能写成分数的形式. 2. 判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如√16是有理数，而不是无理数． 常见的无理数： 1 开方开不尽的数，如：、 等. 2 有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如5π，3+π，等. 3 具有特定结构的数，如0.1010010001···（两个1之间依次增加1个0）. 某些三角函数，如sin60°、cos20°. 【典例1】（2025·广东深圳·二模）下列各数中，负数的是（    ） A． B． C．0 D． 【典例2】（2025·广东揭阳·三模）下列实数中，是有理数的为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·广东清远·二模）下列各数中，是有理数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·广东湛江·一模）下列四个数中，负整数是（    ） A． B． C．0 D． 命题点二 实数的有关概念(数轴、相反数、绝对值、倒数) ►题型01 实数的相关概念及性质 【典例1】（2024·广东广州·模拟预测）数轴上到表示的点的距离等于的点表示的数是（   ） A．或 B． C． D．或 【典例2】（2025·广东清远·三模）若与互为相反数，则的值为 ． 【变式1】（2025·广东深圳·模拟预测）实数a、b、c、d在数轴上的对应点的位置如图所示，在这四个数中，绝对值最小的数是（　　） A．a B．b C．c D．d 【变式2】（2024·广东深圳·二模）一个数在数轴上的对应点在原点左边，且，则的值为（   ） A．或 B． C． D．以上都不对 ►题型02 数轴、相反数、绝对值、倒数 【典例1】（2024·广东汕头·模拟预测）如图，数轴上，，A，B两点对应的实数分别是和，则点C所对应的实数是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（2025·广东韶关·一模）如图，数轴上的点A、B分别表示实数a、b，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·广东·模拟预测）有理数大小比较的历史可以追溯到古希腊和古印度时期．下列各组有理数大小比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·广东广州·模拟预测）已知，则的值等于 ． 命题点三 实数的大小比较 ►题型01 实数的大小比较 实数比较大小的常用方法 1）两个负数比较大小，绝对值大的数反而小； 2）将实数在数轴上表示出来，左边的数小于右边的数； 3）作差或作商法：作差后与0进行比较，作商后与1进行比较； 4）估算法：常见≈1.414，≈1.732，≈2.236； 5）乘方法：符号相同的两个根式，利用乘方法来比较大小. 【典例1】（2025·广东清远·模拟预测）广东第一峰位于阳山县秤架乡，现记录冬季某天4 个时刻的气温（单位：）分别为， 其中最低的气温是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2025·广东汕头·一模）把0，1，三个数按从小到大的顺序排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·广东深圳·一模）几种气体的液化温度（标准大气压）如下表： 气体 氦气（He） 氢气（H） 氮气（N） 氧气（O） 液化温度（℃） 其中液化温度最低的气体是（   ） A．氦气 B．氢气 C．氮气 D．氧气 【变式2】（2024·广东珠海·三模）2024年元旦，哈尔滨、北京、南京、海南四地气温最低气温分别为、、、，其中最低的气温是（    ） A． B． C． D． 命题点四 科学记数法与近似数 ►题型01 科学记数法表示数 用科学记数法表示数时，确定a，n的值是关键，具体方法为： 1）a是一个整数数位只有一位的数，即1≤|a|＜10； 2）确定n的两种方法： ①当原数绝对值大于10时，则n的值等于原数中整数部分的位数减1； ②当原数绝对值小于1时，n为负整数，n的值等于原数中第一个非零数字前面所有零的个数的相反数（包括小数点前面的零）. 【小结】将数字用科学记数法表示时，小数点移动的位数，即为10的指数的绝对值. 3）用科学记数法表示带单位的大数的技巧：1万=；1亿= 【典例1】（2024·广东·模拟预测）2023年第四季度，某中小企业实现营业收入1.48百万元，将“1.48百万”用科学记数法表示为 ． 【典例2】（2024·广东·模拟预测）2024年1月1日晚，经文化和旅游部数据中心测算，元旦假期3天，全国旅游出游约1462000000人次．1462000000用科学记数法表示为 【变式1】（2025·广东广州·三模）数字用科学记数法表示为 ． 【变式2】（2025·广东揭阳·三模）梅花象征着坚韧不拔、奋勇当先的美好品质，很多描写梅花的诗句广为流传，比如“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”．已知梅花花粉的直径约为米．数据“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． ►题型02 近似数 【典例1】（2024·广东惠州·三模）下列说法正确的是（    ） A．近似数0.21与0.210的精确度相同 B．小明的身高为161cm中的数是准确数 C．0.000109这个数用科学记数法可表示为1.09×10﹣4 D．近似数1.3×104精确到十分位 【典例2】（2024·广东广州·二模）2021年5月11日，第七次全国人口普查结果公布，全国人口共1411778724人．用科学记数法表示1411778724精确到亿位的近似值为（    ）． A． B． C． D． 【变式1】（2024·广东·一模）据《世界统计年鉴2000》记载1996年中国、美国、印度、澳大利亚四个国家的人口分别为122389万，26519万，94561万，1831万人，则以上四国人口之比为 （精确到0.01） 【变式2】截至北京时间2020年3月22日14时30分，全球新冠肺炎确诊病例达305740例，超过30万，死亡病例累计12762人，将“305740”这个数字用科学记数法表示保留两位有效数字为(　　) A．3.05740×105 B．3.05×105 C．3.0×105 D．3.1×105 命题点五 平方根、算术平方根与立方根 ►题型01 求一个数的平方根、立方根 【典例1】（2023·广东珠海·一模）4的平方根是（    ） A．2 B． C． D． 【典例2】（2024·广东汕头·三模）下列各数中立方根为的是（   ） A．1 B． C． D． 【变式1】（2025·广东江门·一模）下列语句正确的是（　　） A．负数没有立方根 B．的立方根是 C．立方根等于本身的数只有 D． 【变式2】（2024·广东广州·二模）下列运算不正确的是（    ） A． B． C． D． ►题型02 根据（算术）平方根、立方根的性质求解 算术平方根的非负性，即根号下的值与根号的结果均≥0； 【典例1】（2023·广东深圳·模拟预测）一个数的两个平方根分别是与，则这个数是（    ） A． B． C．16 D．4 【典例2】（2024·广东佛山·二模）已知的平方根是，的立方根是2，m是的算术平方根． (1)填空：______，______，______ (2)若 m的整数部分是 x，小数部分是 y，求的值． 【变式1】（2025·广东·模拟预测）已知，则的平方根为 ． 【变式2】（2024·广东中山·二模）面积为9的正方形，其边可以表示为（   ） A．的算术平方根 B．9的平方根 C．9的算术平方根 D．9的立方根 ►题型03 与平方根、立方根有关的规律探索题 两个算术平方根里边的数字是100倍，算术平方根的结果是10倍； 两个立方根里边的数字是1000倍，算术平方根的结果是10倍； 【典例1】已知：、，根据以上规律，那么（    ） A．44.72 B．14.414 C．28.828 D．以上均不正确 【典例2】（2024·广东佛山·模拟）先填写下表，通过观察后再回答问题． ．．． 0.000001 0.0001 0.01 1 ．．． 100 10000 1000000 100000000 ．．． ．．． (1)被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动有无规律？若有规律，请写出它的移动规律． (2)已知：，你能求出的值吗？ (3)试比较与的大小． 【变式1】（2024·广东汕头·模拟）（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 【变式2】（2024·广东佛山·模拟）一位爱探究思考的同学，利用计算器计算得到下列数据： 请你根据上述规律解决以下问题：已知，，则 ； ►题型04 平方根、立方根的实际应用 【典例1】在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，并令正方体铁块完全浸没在盛满水的圆柱体烧杯中．若用一量筒量得铁块排出的水的体积为，则该正方体铁块的棱长为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2025·广东潮州·一模）综合与实践 主题：制作长方体包装盒． 素材：一张边长为30cm的正方表纸板． 步骤1：如图，在正方形纸板的边上取点E、F，使，以为斜边向下等腰直角三角形；在正方形纸板的边上取点P、Q，使，以为斜边向左作等腰直角三角形；分别在边上以同样的方式操作，得到四个全等的等腰直角三角形（阴影部分），剪去阴影部分． 步骤2：将剩余部分沿虚线折起，点A、B、C、D恰好重合于点O处，如图，得到一个底面为正方形的长方休包装盒． 若该长方体包装盒的底面积为288，求该长方体包装盒的体积． 【变式1】数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形．下面是他们探究的部分结果： (1)如图1，当时，拼成的大正方形的边长为___________； (2)如图2，当时，拼成的大正方形的边长为___________cm； (3)小李想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为？他能裁出吗？请说明理由． 【变式2】（2024·广东中山·模拟）某小区准备开发一块长为，宽为的长方形空地， (1)方案一：如图，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移就是它的右边线．则这块草地的面积为 _____ ； (2)方案二：修建一个长是宽的1.5 倍，面积为的篮球场，若比赛用的篮球场要求长在到之间，宽在到之间． 这个篮球场能用做比赛吗？ 并说明理由． 命题点六 实数的运算 ►题型01 实数的混合运算 运算顺序：先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 【注意】 1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、乘法分配律． 2）在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错： ①先算乘方，再算乘除，最后算加减； ②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号． 实数计算的易错点： 1）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； 2）一个非负数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 3）， 在计算中常用的锐角三角函数值： 三角函数 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 【典例1】（2025·广东中山·二模）计算：． 【典例2】（2025·广东韶关·一模）计算： 【变式1】（2025·广东深圳·三模）计算：． 【变式2】（2025·广东深圳·三模）计算：． ►题型02 实数混合运算的实际应用 【典例1】（2024·广东肇庆·二模）如图，为正方形内的一点，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D．7 【典例2】（2024·广东梅州·模拟）如图，四边形均为正方形，其中正方形面积为．图中阴影部分面积为，正方形面积为 ． 【变式1】第19届亚运会即将在杭州举行，某商店购进一批亚运会纪念品进行销售，已知每件纪念品的成本是30元，如果销售单价定为每件40元，那么日销售量将达到100件．据市场调查，销售单价每提高1元，日销售量将减少2件． (1)若销售单价定为每件45元，求每天的销售利润； (2)要使每天销售这种纪念品盈利1600元，同时又要让利给顾客，那么该纪念品的售价单价应定为每件多少元？ 【变式2】如图，长方形的长为，宽为． （1）将长方形进行适当的分割（画出分割线），使分割后的图形能拼成一个正方形，并画出所拼的正方形；（标出关键点和数据） （2）求所拼正方形的边长． ►题型03 实数混合运算的新定义问题 【典例1】（2024·广东·模拟预测）若关于，的方程组与有相同的解． (1)求的值． (2)阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为．例如，求的值． 【典例2】（2025·广东广州·二模）在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：，，则方程的解为 ． 【变式1】（2025·广东东莞·一模）十八世纪伟大的数学家欧拉最先用记号的形式来表示关于的多项式，把等于某数时的多项式的值用来表示．例如时，多项式的值可以记为，即．如果定义，则 ． 【变式2】（2025·广东广州·模拟预测）定义新运算：，例如：，．若，则x的值为 ． 突破一 实数与数轴相结合的应用 【典例】（2024·广东梅州·一模）实数和在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·广东广州·一模）如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中的虚线相互平行，若点A在数轴上表示的数是，则点B在数轴上表示的数是 ． 【变式2】（2023·广东惠州·二模）已知有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（    ）    A． B． C． D． 【变式3】有理数，，在数轴上的位置如图所示． (1)______0（填“＞”“＜”“＝”）； (2)试化简下式：． 突破二 实数与绝对值相结合的应用 【典例】（2024·广东广州·一模）我们知道在化简的时候，需要判断a的正负：当时，；当时，． (1)已知a，b，c三个数在数轴上的对应的点如图所示： 用“>”、“<”或“=”填空， ______0，______0，______0， (2)化简：． (3)思维扩展：由“当时，；时，”可以推出： 当时，；当时，． 应用这个结论，解决下列问题： 已知x，y，z是有理数，，，化简：______． 【变式1】（2024·广东梅州·一模）已知数a，b，c在数轴上的位置如图，下列说法： ①；②；③； ④．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】我们知道，在数轴上表示数到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点，，分别用数，表示，那么、两点之间的距离为：．例如，点表示的数是2，点表示的数为，，两点之间的距离为：．利用此结论，回答以下问题： (1)A所表示的数是，B所表示的数是6，A，B两点之间的距离是_____． (2)若，则_____， (3)结合数轴，求得的最小值为_____； 【变式3】（2024·广东湛江·一模）阅读理解：数轴上表示有理数的点到原点的距离，叫做这个有理数的绝对值．例如：，它表示数轴上有理数的点到原点的距离；另外观察数轴，容易发现有理数表示的点到原点的距离是个单位长度，所以（如图1）．同样的，数轴上表示和表示的两个有理数之间的距离可以用来表示．例如：数轴上表示的点到表示的点的距离用表示；观察数轴，容易发现表示的点到表示的点的距离是个单位长度，从而得到：（如图2）．以上这种借助直观的数轴来解决问题的方法就是研究数学问题常用的“数形结合”的方法．请你根据以上学到的方法完成下列任务解答： (1)填空：数轴上表示的点和表示的点之间的距离为_____； (2)若，求所表示的有理数． (3)设点在数轴上表示的有理数是，借助数轴解答下列问题： ①代数式有最小值吗？有最大值吗？若有，请求出相应的最值． ②若，求的值． 突破三 与实数相关的规律计算题 【典例】（2024·广东茂名·一模）阅读下列解题过程，解答问题． ； ； ； … (1) ， ； (2)观察上面的解题过程，求（为自然数）； (3)计算： ． 【变式1】（2024·广东潮州·一模）我们来看下面的两个例子： ，， 和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个， 所以． ， 和都是的算术平方根， 而的算术平方根只有一个，所以 （填空） （1）猜想：一般地，当时，与之间的大小关系是怎样的？ （2）运用以上结论，计算：的值． 【变式2】（2024·广东江门·一模）先观察下列各式4； (1)计算： (2)已知n为正整数，通过观察并归纳，请写出： (3)应用上述结论，请计算的值． 【变式3】（2024·广东河源·一模）阅读下文，寻找规律： 已知 ，观察下列各式： ，，   (1)填空： (2)观察上式，并猜想： ① ． ② ． (3)根据你的猜想，计算： ① ． ② ． 1．（2025·广东韶关·二模）若，则（    ） A．4 B． C． D． 2．（2025·广东广州·二模）我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．如收入100元记为元，那么支出60元记为（    ） A．元 B．60元 C．元 D．40元 3．（2024·广东·模拟预测）2023年12月24日上午，2023东楚汕头马拉松鸣枪开跑，来自世界各地近25000名跑者齐聚汕头，在风光旖旎、充满潮式热情的赛道上挥洒汗水，感受汕头风情，享受体育盛宴带来的快乐．数据25000用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 4．（2024·广东·模拟预测）如图，将长和宽分别为2和1的长方形剪开，拼成一个正方形，下列说法正确的是（　　） A．面积不变，周长变小 B．面积不变，周长变大 C．面积变小，周长不变 D．面积变大，周长变小 5．（2025·广东广州·三模）如图，数轴上点、表示的数分别为、，化简： ． 6．（2025·广东东莞·一模）已知，满足，则式子的值是 ． 7．（2025·广东广州·二模）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，如图1，孩子出生后的天数（天），请根据图2，计算孩子自出生后的天数是 天． 8．（2025·广东深圳·三模）大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为8，小正方形的面积为2，则正方形的边长可能是 ． 9．（2025·广东河源·模拟预测）计算：． 10．（2025·广东汕头·一模）计算：． 1．（2025·广东深圳·三模）手机移动支付给生活带来便捷．如表是小颖某天微信账单的收支明细（单位：元），若小颖当天微信收支的最终结果是收入6元，则应表示为（　　） 转账——来自小明 微信红包——发给小红 A． B． C． D． 2．（2025·广东肇庆·一模）如图，已知正方体展开图中线段的长是10，则正方体的棱长在（　　） A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间 3．（2024·广东广州·二模）点A在数轴上的位置如图所示，已知点A所表示的数是一个无理数，则点A表示的数可能为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·广东·模拟预测）规定一种新运算，如，则 ． 5．（2024·广东肇庆·一模）如图为一张方格纸，的顶点位于网格线的交点上．若的面积为，则该方格纸的面积为 ． 6．（2025·广东江门·一模）计算：． 1．（2025·江苏无锡·中考真题）计算的结果为（　　） A． B． C．1 D．5 2．（2025·山东滨州·中考真题）截至2025年5月，国家智慧教育平台注册用户已突破亿，成为世界第一大教育资源数字化中心和平台．将亿用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江绥化·中考真题）计算： ． 4．（2025·重庆·中考真题）若实数x，y同时满足，，则的值为 ． 5．（2025·江苏宿迁·中考真题）计算：． 6．（2025·四川遂宁·中考真题）计算：． 7．（2025·河北·中考真题）（1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步 （2）计算： 8．（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 9．（2025·江苏南通·中考真题）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，则的值为 ． 10．（2025·四川泸州·中考真题）对于任意实数，定义新运算：，给出下列结论：①；②若，则；③；④若，则的取值范围为．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．（2025·安徽·中考真题）对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m：若余数为0．则；若余数为1，则；若余数为2，则．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数，根据4除以3的余数为1，由知，对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由知，对4进行三次变换得到的数为3． （1）对正整数15进行三次变换，得到的数为 ； （2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式 第01讲 实数及其运算 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 20 命题点一 实数的分类 题型01正负数的意义 题型02无理数的估算 题型03 实数的分类 命题点二 实数的有关概念(数轴、相反数、绝对值、倒数) 题型01 实数的有关概念及性质 题型02 数轴、相反数、绝对值、倒数 命题点三 实数的大小比较 题型01 实数的大小比较 命题点四 科学记数法与近似数 题型01 科学记数法表示数 题型02 近似数 命题点五 平方根、算术平方根与立方根 题型01 求一个数的平方根、立方根 题型02 根据（算术）平方根、立方根的性质求解 题型03 与平方根、立方根有关的规律探索题 题型04 平方根、立方根的实际应用 命题点六 实数的运算 题型01 实数的混合运算 题型02 实数混合运算的实际应用 题型03 实数混合运算的新定义问题 05·重难突破·思维进阶难 49 突破一 实数与数轴相结合的应用 突破二 实数与绝对值相结合的应用 突破三 与实数相关的规律计算题 06·优题精选·练能提分 59 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 实数的分类 广州卷T1 广东卷T1 深圳卷T1 广州卷T1 深圳卷T1 广东卷T1 理解有理数、无理数的概念，知道实数是由有理数和无理数组成的 实数的有关概念 深圳卷T2 了解实数与数轴上的点一一对应；能用数轴上的点表示实数；能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值. 实数的大小比较 广州卷T1 能用有理数估计一个无理数的大致范围；能比较实数的大小. 科学记数法与近似数 广东卷T2 广东卷T3 广州卷T11 深圳卷T3 深圳卷T3 会用科学记数法表示数 平方根、算术平方根与立方根 广东卷T3 广东卷T12 了解平方根、算术平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根；了解乘方与开方互为逆运算. 实数的运算 广州卷T3 广东卷T14 深圳卷T14 深圳卷T14 广东卷T1 广东卷T16 深圳卷T16 广东卷T16 理解乘方的意义；掌握有理数的加减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主)；理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算. 命题预测 在数轴、绝对值、相反数、科学记数法表示和实数的混合运算等情境考查实数相关知识，题型一般以选择题和计算题为主。在数轴、绝对值、相反数考点中，常见实数与数轴点的对应关系、式子正负判断、相反数的关系、绝对值的性质与意义等；科学记数法考点中，考查大数或小数的科学记数法表示，常与实际问题结合；实数的运算考点中，考查绝对值、二次根式、特殊角的三角函数值、负指数幂、零指数幂等的混合运算，注重计算过程和准确性。预测2026年广东的中考题仍以选择题、计算题为主，难度不大，但在题型创新上要注意审题。 考点一 实数的分类 知识点01 正数与负数 正数：大于0的数叫做正数，如：0.5，，+2等. 负数：小于0的数叫做负数.如：-0.5，-，-2，-（+1）等. 知识点02 有理数及分类 有理数：整数和分数统称为有理数.（【实质】可以写成形式的数，其中m，n为整数且m≠0） 【补充】有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数. 例：0.53（分数形式：），1.333333…（分数形式：），，整数3（分数形式：）等. 有理数分类： 知识点03 无理数 无理数：无限不循环小数叫做无理数. 【补充】无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数. 常见的无理数： 1） 一般的无限不循环小数，如0.43241…，7.6385661…等 2） 开方开不尽的数，如： 、等. [易错]带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数. 3）与圆周率π有关的数，如5π，3+π，等. 4）看似有规律循环实际上是无限不循环的小数，如0.1010010001（两个1之间依次增加1个0）… 5）某些三角函数，如sin60°、cos20°. 【注意】无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数. 知识点04 实数及其分类 实数的定义：有理数和无理数统称为实数. 1、 按定义分类： 2、按性质分类： 1．（2025·广东·中考真题）某品牌乒乓球产品质量参数是，如果一只乒乓球的质量高于标准质量记作，那么低于标准质量记作（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正数和负数．根据正数和负数表示具有相反意义的量，即可解答． 【详解】解：∵一只乒乓球的质量高于标准质量记作， ∴那么低于标准质量记作． 故选：A． 2．（2025·广东深圳·中考真题）节约水5吨记作吨，则浪费水2吨记作（   ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 【答案】C 【分析】本题考查了正数与负数，利用相反意义量的定义判断即可． 【详解】解：如果节约用水5吨记作吨，那么浪费水2吨，记作吨， 故选：C． 3．（2024·广东清远·一模）中国古代著名数学家、天文学家祖冲之通过研究得到了的近似值：（约率）和（密率）．其中约率是（   ） A．整数 B．有限小数 C．有理数 D．无理数 【答案】C 【分析】本题考查了实数的分类，根据实数包括有理数和无理数，有理数包括整数和分数（有限小数或无限循环小数），无理数是无限不循环小数进行判断即可，熟练掌握有理数的定义是解题的关键． 【详解】解：约率是分数，是有理数， 故选：C． 4．（2023·广东东莞·模拟预测）在六张卡片上分别写有，，，，，六个数（卡片除了数字不同，其他均相同），从中随机抽取一张，卡片上的数为有理数的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理数是有限小数和有限循环小数统称可知有理数为，，，，再根据概率的定义即可解答． 【详解】解：∵六张卡片上分别写有，，，，，六个数， ∴有理数为，，，， ∴有理数有个， ∴抽到有理数的概率为， 故选． 【点睛】本题考查了有理数是有限小数和有限循环小数统称，概率的定义，理解有理数的概念是解题的关键． 考点二 实数的有关概念(数轴、相反数、绝对值、倒数) 知识点01 数轴 数轴的定义：在数学中，通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴. 数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可. 【补充】 1）数轴是一条可以向两端无限延伸的直线； 2）数轴三要素是“规定”的，通常，我们习惯性向右为正方向，原点的位置和单位长度的大小要依据实际情况灵活选取，但是一旦选定后就不能随意改变； 3）在同一条数轴上，单位长度的大小必须统一，要根据实际问题灵活选取单位长度的大小. 4）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应. 知识点02 相反数 相反数：只有符号不同的两个数称为互为相反数，相反数是成队出现的. 性质：1）【热考】若a，b互为相反数，则a+b=0；反之，若a+b=0，则若a，b互为相反数. 2）一个有理数有且只有一个相反数； 3）正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0. 几何意义：1）互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的距离相等且位于原点的两侧. 2）位于原点的两侧且到原点距离相等的点，所表示的两个数互为相反数. 知识点03 绝对值 绝对值：数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记为|a|． 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数，即. 【易混易错】 1）若|a|=a（或|a|-a=0），则a≥0，若|a|= -a（或|a|+a=0），则a≤0. 2）任何一个有理数的绝对值都是非负数，即a取任意实数，都有|a|≥0. 3）当绝对值符号里的数的正负不能确定时，要分类讨论，即将其分成大于0，小于0，等于0这三类讨论. 知识点04 倒数 倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数． 【易混易错】 1）0没有倒数，倒数是本身的只有1和-1. 2）若a、b互为倒数，则ab=1. 3）互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数） 5．（2023·广东广州·中考真题）计算：（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相反数等知识，化简多重符号，掌握相反数的概念是解题的关键．正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0． 【详解】解：， 故选：B． 6．（2024·广东·模拟预测）如图，数轴上A，B两点分别对应实数a，b，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数与数轴、实数的运算，先根据数轴得到，进而逐项判断即可求解． 【详解】解：由数轴得， ∴，，，， ∴选项A正确，符合题意，选项B、C、D错误，不符合题意， 故选：A． 7．（2023·广东·模拟预测）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上实数的位置与符号的关系、绝对值的性质以及二次根式的性质（，解题的关键是根据数轴信息确定a、b的符号及、的符号，再利用“负数的绝对值是它的相反数”化简． 根据数轴知a在原点左侧、b在原点右侧且，由此判断（异号两数相加，绝对值大的数的符号为和的符号）、（负数减正数结果为负）；利用将二次根式转化为绝对值，再根据绝对值性质时分别化简和，最后合并计算． 【详解】解：由数轴可知，且． ∴． ∵时，绝对值为其相反数）， 时，绝对值为其相反数）． ∴原式． 故答案为：． 8．（2025·广东汕头·一模）如题图，将，，0，，，3，，5，6填入九宫格内，使每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等，则a的值是 ． 5 【答案】 【分析】本题考查了乘方，零指数幂绝对值和数字类规律，找到规律是解决问题的关键： 先化简，，，得到一组常规有理数，计算这组有理数总和，除以得出每行、列、对角线三数之和（幻和），利用幻和，根据第三行已知数求出第三行第三个数，再依据第三列已有的两个数求出的值． 【详解】因为，，， 所以这组数据为，，，，，，，，． 这个数总和为 ． ∵九宫格三行（或三列）和等于这个数总和，且每行、每列、每条对角线三个数和相等， ∴每行、每列、每条对角线三个数和均为， ∴第三行的第三个数为， ∴第三列中间数a为， 故答案为：． 考点三 实数的大小比较 1、实数性质法：正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小； 2、数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小； 3、作差比较法：a，b是任意两个实数，若a-b>0，则a>b；若a-b=0，则a=b；若a-b<0，则a<b. 4、作商比较法：a、b为正数，若>1，则a>b；若=1，则a=b；若<1，则a<b 5、倒数比较法： 6、平方比较法：a、b为正数，若a2>b2，则a>b. a、b为负数，若a2>b2，则a<b. 【补充】主要应用于二次根式的估值及比较含有根式的实数大小. 7、特殊值法：通过估算，将无理数取近似值，即可比较出这两个实数的大小.这里需要我们记住三个常用的近似值: ≈1.414，≈1.732，≈2.236 9．（2024·广东广州·中考真题）四个数，，，中，最小的数是（    ） A． B． C．0 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的大小比较，解题关键是掌握有理数大小比较法则：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 【详解】解：， 最小的数是， 故选：A． 10．（2024·广东·模拟预测）在0，这四个数中，比小的数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数大小的比较，解题的关键是掌握负数大小比较的法则，即绝对值大的反而小． 根据有理数大小比较的法则进行比较即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴比小， ∵0大于负数， ∴， ∴比小的数有1个， 故选：B． 11．（2025·广东东莞·模拟预测）在粤北某地生活的小红在冬至日查看天气预报时，得知未来一周的周一的最低气温是，周二的最低气温是，周三的最低气温是，周四的最低气温是．这四天中，气温最低的是（    ） A．周一 B．周二 C．周三 D．周四 【答案】A 【分析】本题考查有理数大小比较的实际应用，根据有理数的大小比较方法，确定最小的那个数即可求解，掌握有理数的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴这四天中，气温最低的是周一， 故选：． 12．（2025·广东汕头·一模）实验室检测四个零件的质量（单位：克），按照“超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数”记录如下，其中最接近标准质量的是（    ） A．1.1 B． C． D．0.9 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值以及正数和负数的应用，掌握正数和负数的概念和绝对值的性质是解题的关键．分别求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可． 【详解】解：∵，，， ∴最接近标准质量的是记克的零件， 故选：C． 考点四 科学记数法与近似数 知识点01 科学记数法 定义：把一个数A表示成的形式（其中1≤|a|＜10，n为整数），这种记数法叫做科学记数法． 类别 a的确定 n的确定 示例 |A|＞10 1≤|a|＜10 n为正整数，n=小数点左移的位数 a=5.5，n=6 0＜|A|＜1 n为负整数，n=小数点右移的位数 a=-5.5，n=6- 【补充】 1）用科学记数法表示数时，不改变数的符号，只是改变数的书写形式而已，可以方便地表示日常生活中遇到的一些很大或很小的数. 2）一个负数也可以用科学记数法表示. 3）科学记数法的常见类型: ① 直接将像26000000、320万这样的较大数字用科学记数法表示； ② 将450 km或 35 nm 换算单位后用科学记数法表示； ③ 根据题意，先计算，再将计算结果用科学记数法表示. 知识点02 近似数 准确数：在日常生活或生产实际中，能准确地表示一些数的量，成为准确数. 近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个数的近似数. 精确度：近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 【补充】对于带单位的数或用科学记数法表示的近似数，a的末位数字在还原后的数中是哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 有效数字的概念：从左边第一位非0的数字到精确数位的所有的数字.例：0.012有两个个有效数字：1,2；3.6万有两个有效数字：3,6；有四个有效数字：4,3,6,0. 13．（2025·广东·中考真题）依据《广东省推动低空经济高质量发展行动方案（2024-2026年）》，预计2026年广东省低空经济规模将超过3000亿元．数据3000亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定以及的值是解题的关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可求解． 【详解】解：3000亿． 故选：D． 14．（2024·广东·中考真题）年6月6日，嫦娥六号在距离地球约千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定的值． 根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为整数位数少1． 【详解】解：大于1，用科学记数法表示为，其中，， ∴用科学记数法表示为， 故选：B． 15．（2024·广东清远·一模）已知：1纳米米，则纳米用科学记数法表示为 米． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法，有理数的乘法． 根据1纳米米，用乘以即可． 【详解】∵1纳米米， ∴纳米米， 故答案为：． 16．（2024·广东·模拟预测）2023年10月18日，在国新办举行的新闻发布会上，国家统计局介绍，前三季度国内生产总值（）达到913027亿元，将数据913027亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定以及的值是解题的关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可求解． 【详解】解：913027亿． 故选：D． 考点五 算术平方根、平方根与立方根 知识点01 算术平方根 定义：如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为，读作“根号a”，a叫做被开方数. 算术平方根(a≥0)具有双重非负性：1）被开方数具有非负性，即a≥0； 2）算术平方根本身具有非负性，即≥0； 【小结】即在式子中，a≥0且≥0. 两个重要等式：1），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 2），即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 知识点02 平方根 定义：如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根或二次方根.正数a的两个平方根记作±，读作“正、负根号a”. 性质：正数有两个平方根，且它们互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根. 知识点03 立方根 定义：如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x叫做a的立方根或三次方根. 数a的立方根记作“”，读作“三次根号a”. 【补充】1）立方根等于本身的有0和±1. 2）互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数. 性质：正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数只有一个负的立方根． 平方根与立方根的区别与联系 关系 名称 平方根 立方根 区别 性质 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数 表示方法 非负数a的平方根表示为±，根指数是2，常省略不写 数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写 被开方数的取值范围 在±中，a是非负数，即 在中，a是任意数 联系 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究，即. 知识点04 常见实数的平方与立方： 常见数的平方 12 22 32 42 52 62 72 82 92 102 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 112 122 132 142 152 162 172 182 192 202 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400 常见数的立方 13 23 33 43 53 63 73 83 93 103 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 17．（2024·广东·中考真题）完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是（    ） A．2 B．5 C．10 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，先求出一个正方形的面积，再根据正方形的面积计算公式求出对应的边长即可． 【详解】解：∵完全相同的4个正方形面积之和是100， ∴一个正方形的面积为， ∴正方形的边长为， 故选：B． 18．（2024·广东深圳·中考真题）如图所示，四边形，，均为正方形，且，，则正方形的边长可以是 ．（写出一个答案即可） 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题考查了算术平方根的应用，无理数的估算．利用算术平方根的性质求得，，再根据无理数的估算结合，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴正方形的边长，即， ∴正方形的边长可以是2， 故答案为：2（答案不唯一）． 19．（2025·广东·模拟预测）已知，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的平方根，二次根式的性质，根据二次根式的被开方数是非负数，确定的取值范围，从而求出和y的值，再计算的值，最后求其平方根，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ 故， ∴， ∴， ∴4的平方根为， 故答案为：． 20．（2025·广东清远·模拟预测）计算： 【答案】2 【分析】本题考查了含乘方的实数混合运算．解题的关键是熟练掌握运算顺序和相关运算法则． 先计算0指数幂，去绝对值，开立方，负整数指数幂运算，然后按照先乘再加减运算顺序计算即可求解． 【详解】解： ． 考点六 实数的运算 实数的四则运算：当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，又增加了非负数的开平方运算，任意实数可以进行开立方运算. 进行实数运算时，有理数的运算法则及性质等同样适用. 1. 实数的加法法则：1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2)异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 2. 实数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数. 3. 实数的乘方法则：1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2）任何数同0相乘，都得0. 【补充】1）正数的任何次幂都是正数；2）0的任何正整数次幂都是0；3）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数. 4. 实数的除法法则：1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数； 2）0除以任何不为0的数，都得0. 5. 运算顺序：先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 6.运算律 类别 表示 加法交换律 加法结合律 乘法交换律 乘法结合律 乘法分配律 7.常见的三角函数值 三角函数 30° 45° 60° 1 【易混易错】 1. 有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、乘法分配律． 2. 在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错： ①先算乘方，再算乘除，最后算加减； ②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号． 21．（2025·广东深圳·中考真题）计算：． 【答案】7 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键：先进行开方，去绝对值，零指数幂和乘方运算，再进行加减运算即可. 【详解】原式 . 22．（2024·广东·模拟预测）计算：． 【答案】6 【分析】根据负整数指数幂，特殊角的三角函数计算，绝对值的化简，二次根式的化简，解答即可． 本题考查了负整数指数幂，特殊角的三角函数计算，绝对值的化简，二次根式的化简，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键． 【详解】解： . 23．（2025·广东·模拟预测）计算： 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘方，算术平方根，特殊角的三角函数值，绝对值，负整数指数幂． 按照运算法则计算即可． 【详解】解： ． 24．（2024·广东·模拟预测）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，实数的计算．熟练掌握特殊角的三角函数值，实数的运算顺序和法则，是解题的关键． （1）直接利用特殊角的三角函数值分别代入，再计算得出答案； （2）直接利用零指数幂、二次根式性质、特殊角的三角函数值分别求出每一部分的值，再计算得出答案. 【详解】（1）解： ； （2） 命题点一 实数的分类 ►题型01 正负数的意义 【典例1】（2025·广东深圳·三模）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”意思：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数如果温度上升，记作，那么温度下降记作（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正数和负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：温度上升，记作，那么温度下降记作， 故选：C． 【典例2】（2025·广东东莞·模拟预测）北宋沈括在《梦溪笔谈》中提到“算法用赤筹、黑筹，以别正、负之数”，古人用红色、黑色算筹分别表示具有相反意义的正数和负数，下列各数中不是负数的是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据负数的定义，判断每个选项是否为负数，负数是小于的数．本题主要考查负数的定义，熟练掌握“小于的数是负数”是解题的关键． 【详解】解：是负数，是负数，不是负数，是负数． 故选： ． 【变式1】（2024·广东惠州·模拟预测）某仓库运进小麦6吨，记为 吨，那么仓库运出小麦8吨应记为 吨． 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数．根据互为相反意义的量，确定运出的符号是解决本题的关键．根据正负数的意义，直接写出答案即可． 【详解】解：仓库运进小麦6吨，记为吨，那么仓库运出小麦8吨应记为吨， 故答案为：． 【变式2】（2024·广东·模拟预测）如果高于海平面100m记作，那么低于海平面50m应该记作（　　） A． B． C．m D．m 【答案】B 【分析】本题考查了正负数的意义，“正负数一般用来表示具有相反意义的量”，据此即可求解﹒ 【详解】解：如果高于海平面100m记作，那么低于海平面50m应该记作﹒ 故选：B ►题型02 无理数的估算 【典例1】（2025·广东东莞·一模）如图，数轴上表示的点可能是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数与数轴，无理数的估算，根据无理数的估算方法估算出的范围即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴数轴上表示的点可能是点， 故选：D． 【典例2】（2025·广东清远·二模）是一个很奇妙的数，在艺术、建筑中以“黄金分割”体现美感，估计的值（　　） A．在0和1之间 B．在1和2之间 C．在2和3之间 D．在3和4之间 【答案】A 【分析】本题考查了估算无理数的大小，先估算的值，然后再减去1后的结果再除以2，即可解题． 【详解】解：， ， ， ， 即的值估计在0和1之间， 故选：A． 【变式1】（2025·广东广州·二模）若的整数部分为a，小数部分为b，则（） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查无理数的整数部分与小数部分的确定以及平方差公式的应用，解题关键是利用平方数大小关系确定的范围，从而得到其整数部分与小数部分． 1．利用，，，确定的范围为，得出整数部分，小数部分．将、的值代入，利用平方差公式计算出结果． 【详解】，，， ， 的整数部分，小数部分， 原式 ， 故选：B． 【变式2】（2025·广东云浮·一模）估算的值在（    ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【答案】C 【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴； 故选C． ►题型03 实数的分类 1.有理数都可以写成分数的形式，而无理数不能写成分数的形式. 2. 判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如√16是有理数，而不是无理数． 常见的无理数： 1 开方开不尽的数，如：、 等. 2 有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如5π，3+π，等. 3 具有特定结构的数，如0.1010010001···（两个1之间依次增加1个0）. 某些三角函数，如sin60°、cos20°. 【典例1】（2025·广东深圳·二模）下列各数中，负数的是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的分类，绝对值求值，相反数等知识点，解题的关键是掌握负数的概念． 先将各数化简，再由负数的定义，即可得出答案． 【详解】解：A. ，该选项结果为正数，不符合题意； B. ，该选项结果为负数，符合题意； C.0既不是正数，也不是负数，不符合题意； D. ，该选项结果为正数，不符合题意． 故选：B． 【典例2】（2025·广东揭阳·三模）下列实数中，是有理数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数的定义，判断各选项解答即可． 本题考查了有理数，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A. ，无理数，不符合题意；     B. ，有理数，符合题意；     C. ，无理数，不符合题意；     D. ，无理数，不符合题意；     故选：B． 【变式1】（2025·广东清远·二模）下列各数中，是有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查有理数的判断，解题的关键是熟知无理数与有理数的区别． 根据无理数与有理数的定义即可判断． 【详解】解：A． 是无理数； B． 为无理数； C． 为无理数； D．为有理数； 故选：D． 【变式2】（2024·广东湛江·一模）下列四个数中，负整数是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】此题考查了有理数的分类，根据有理数的分类进行解答即可． 【详解】解：在、、0、中，是正整数，是负分数，0是整数，是负整数． 故选：D． 命题点二 实数的有关概念(数轴、相反数、绝对值、倒数) ►题型01 实数的相关概念及性质 【典例1】（2024·广东广州·模拟预测）数轴上到表示的点的距离等于的点表示的数是（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，解题关键是掌握数轴上两点之间的距离并能运用求解． 数轴上到表示的点的距离等于的点有两个，分别位于表示的点左、右两侧，由此求得这两个点表示的数． 【详解】解：数轴上到表示的点的距离等于的点有两个，分别位于表示的点左、右两侧，表示的数为或， 故选：D． 【典例2】（2025·广东清远·三模）若与互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了相反数的定义，非负数的性质，根据相反数的定义得到，根据非负数的性质，可求出x、y的值，代入即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式1】（2025·广东深圳·模拟预测）实数a、b、c、d在数轴上的对应点的位置如图所示，在这四个数中，绝对值最小的数是（　　） A．a B．b C．c D．d 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的定义，根据绝对值是到原点的距离即可得到答案； 【详解】解：根据绝对值的定义：到原点的距离是一个数的绝对值，所以距离越近绝对值就越小； 由数轴可知：实数c距离原点最近， 所以绝对值最小的数是c． 故选：C． 【变式2】（2024·广东深圳·二模）一个数在数轴上的对应点在原点左边，且，则的值为（   ） A．或 B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴的特征，以及绝对值的含义和应用，首先求出，再根据在数轴上的对应点在原点左边，可得，即可求出a的值． 【详解】解：∵， ∴， 又∵数a在数轴上的对应点在原点左边， ∴． 故选：C． ►题型02 数轴、相反数、绝对值、倒数 【典例1】（2024·广东汕头·模拟预测）如图，数轴上，，A，B两点对应的实数分别是和，则点C所对应的实数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查用数轴上的点表示实数及数轴上两点间的距离．掌握数轴上两点间的距离是解题的关键．求出的距离，再求出点C所表示的数． 【详解】解：设点C所表示的数是m， 数轴上，A、B两点对应的实数分别是和， ，点C在点A的右侧， 点C所对应的实数是． 故选：D． 【典例2】（2025·广东韶关·一模）如图，数轴上的点A、B分别表示实数a、b，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查数轴，由数轴知：，逐一判断即可． 【详解】解：由数轴知：， ∵正数大于负数， ∴，故A错误； ∴，故B错误； ∵ ∴，故C正确； ∴，故D错误； 故选：C． 【变式1】（2024·广东·模拟预测）有理数大小比较的历史可以追溯到古希腊和古印度时期．下列各组有理数大小比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，先化简各个数字，再比较大小即可． 【详解】A.，原说法错误，不符合题意； B. ，，则，说法正确； C. ，则，原说法错误，不符合题意； D. ，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 【变式2】（2025·广东广州·模拟预测）已知，则的值等于 ． 【答案】8 【分析】本题考查了非负数的性质、算术平方根等，根据几个非负数的和为0，那么每一个非负数都为0．求出x，y，再代入计算并求出算术平方根即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：8． 命题点三 实数的大小比较 ►题型01 实数的大小比较 实数比较大小的常用方法 1）两个负数比较大小，绝对值大的数反而小； 2）将实数在数轴上表示出来，左边的数小于右边的数； 3）作差或作商法：作差后与0进行比较，作商后与1进行比较； 4）估算法：常见≈1.414，≈1.732，≈2.236； 5）乘方法：符号相同的两个根式，利用乘方法来比较大小. 【典例1】（2025·广东清远·模拟预测）广东第一峰位于阳山县秤架乡，现记录冬季某天4 个时刻的气温（单位：）分别为， 其中最低的气温是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较， 比较四个温度数值的大小，找出最小的数． 【详解】解：根据题意，得， 所以最低气温为． 故选：D． 【典例2】（2025·广东汕头·一模）把0，1，三个数按从小到大的顺序排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较．利用正数大于０大于负数比较即可． 【详解】解：根据有理数的大小来比较得，， 故选：C． 【变式1】（2025·广东深圳·一模）几种气体的液化温度（标准大气压）如下表： 气体 氦气（He） 氢气（H） 氮气（N） 氧气（O） 液化温度（℃） 其中液化温度最低的气体是（   ） A．氦气 B．氢气 C．氮气 D．氧气 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数比较大小，掌握比较有理数大小的方法是解决本题的关键． 先将液化温度从低到高排序，然后找出最低温度即可． 【详解】解：， 液化温度最低的气体是氦气． 故选A． 【变式2】（2024·广东珠海·三模）2024年元旦，哈尔滨、北京、南京、海南四地气温最低气温分别为、、、，其中最低的气温是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比较有理数的大小，根据有理数的大小比较法则，即可作出判断． 【详解】解：∵， ∴最低的气温是。 故选：A 命题点四 科学记数法与近似数 ►题型01 科学记数法表示数 用科学记数法表示数时，确定a，n的值是关键，具体方法为： 1）a是一个整数数位只有一位的数，即1≤|a|＜10； 2）确定n的两种方法： ①当原数绝对值大于10时，则n的值等于原数中整数部分的位数减1； ②当原数绝对值小于1时，n为负整数，n的值等于原数中第一个非零数字前面所有零的个数的相反数（包括小数点前面的零）. 【小结】将数字用科学记数法表示时，小数点移动的位数，即为10的指数的绝对值. 3）用科学记数法表示带单位的大数的技巧：1万=；1亿= 【典例1】（2024·广东·模拟预测）2023年第四季度，某中小企业实现营业收入1.48百万元，将“1.48百万”用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 本题主要考查了科学记数法的表示方法．表示时关键要确定的值以及的值． 【详解】解：1.48百万， 故答案为：． 【典例2】（2024·广东·模拟预测）2024年1月1日晚，经文化和旅游部数据中心测算，元旦假期3天，全国旅游出游约1462000000人次．1462000000用科学记数法表示为 【答案】 【分析】本题考查科学记数法的概念． 科学记数法是将数字表示为的形式，其中 ，且n为整数． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式1】（2025·广东广州·三模）数字用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式2】（2025·广东揭阳·三模）梅花象征着坚韧不拔、奋勇当先的美好品质，很多描写梅花的诗句广为流传，比如“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”．已知梅花花粉的直径约为米．数据“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，写成的形式即可．本题考查了绝对值小于1的数的科学记数法，按照左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，确定这两个关键要素是解题的关键． 【详解】解：∵， 故选：D． ►题型02 近似数 【典例1】（2024·广东惠州·三模）下列说法正确的是（    ） A．近似数0.21与0.210的精确度相同 B．小明的身高为161cm中的数是准确数 C．0.000109这个数用科学记数法可表示为1.09×10﹣4 D．近似数1.3×104精确到十分位 【答案】C 【分析】用科学记数法(，是正整数)表示的数的有效数字和精确度的表示方法是来求解. 【详解】解：A.近似数0.21精确度为百分位，0.210的精确度为千分位，精确度不同，故A不符合题意； B.小明的身高为161cm中的数是近似数，故B不符合题意； C.0.000109这个数用科学记数法可表示为，故C符合题意； D.近似精确到千位，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了科学记数法与近似数，正确理解科学记数法与近似数是解题的关键. 用科学记数法(，是正整数)表示的数的有效数字应该由首数a来确定，首数中的数字就是有效数字；用科学记数法(，是正整数)表示的数的精确度的表示方法是：先把数还原，再看首数的最后一位数字所在的位数，即为精确到的位数. 【典例2】（2024·广东广州·二模）2021年5月11日，第七次全国人口普查结果公布，全国人口共1411778724人．用科学记数法表示1411778724精确到亿位的近似值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“四舍五入”法和科学记数法的定义，即可得到答案． 【详解】解：1411778724≈， 故选B． 【点睛】本题主要考查近似数和科学记数法，掌握科学记数法的行形式：a×10n（1≤|a|＜10），是解题的关键． 【变式1】（2024·广东·一模）据《世界统计年鉴2000》记载1996年中国、美国、印度、澳大利亚四个国家的人口分别为122389万，26519万，94561万，1831万人，则以上四国人口之比为 （精确到0.01） 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的除法，选取最小的一个数作为基准，依次进行运算即可． 【详解】解：． 答：以上四国人口之比为． 【点睛】主要考查数的四舍五入．精确到0.01，运算时要看小数点后第三位． 【变式2】截至北京时间2020年3月22日14时30分，全球新冠肺炎确诊病例达305740例，超过30万，死亡病例累计12762人，将“305740”这个数字用科学记数法表示保留两位有效数字为(　　) A．3.05740×105 B．3.05×105 C．3.0×105 D．3.1×105 【答案】D 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．同时，注意四舍五入法保留两位有效数字． 【详解】解：305740这个数字用科学记数法并保留两位有效数字表示为3.1×105． 故选：D． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法和有效数字．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，注意保留的数位． 命题点五 平方根、算术平方根与立方根 ►题型01 求一个数的平方根、立方根 【典例1】（2023·广东珠海·一模）4的平方根是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用平方根的定义分析得出答案． 【详解】解：4的平方根是， 故选：C． 【点睛】本题考查了平方根的定义，正确掌握相关定义是解题的关键． 【典例2】（2024·广东汕头·三模）下列各数中立方根为的是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查立方根，熟练掌握求一个数的立方根是解题的关键；因此此题可根据立方根进行排除选项． 【详解】解：∵，， ∴1的立方根是1，的立方根是； 故选B． 【变式1】（2025·广东江门·一模）下列语句正确的是（　　） A．负数没有立方根 B．的立方根是 C．立方根等于本身的数只有 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了立方根的概念和求一个数的立方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的立方根，据此逐一求解判断即可． 【详解】解：∵正数、0和负数都有立方根， ∴选项A不符合题意； ∵64的立方根是4， ∴选项B不符合题意； ∵立方根等于本身的数有和0， ∴选项C不符合题意； ∴， ∴选项D符合题意， 故选：D． 【变式2】（2024·广东广州·二模）下列运算不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根，合并同类项，同底数幂的乘法，零次幂的运算，掌握实数的运算法则是解题的关键． 运用立方根的运算可判定A；根据二次根式的加减运算可判定B；根据同底数幂的运算法则可判定C；非零数的零次幂的运算可判定D；由此即可求解． 【详解】解：A、，计算正确，不符合题意； B、，原选项计算错误，不符合题意； C、，计算正确，不符合题意； D、，计算正确，不符合题意； 故选：B ． ►题型02 根据（算术）平方根、立方根的性质求解 算术平方根的非负性，即根号下的值与根号的结果均≥0； 【典例1】（2023·广东深圳·模拟预测）一个数的两个平方根分别是与，则这个数是（    ） A． B． C．16 D．4 【答案】C 【分析】根据一个数的两个平方根互为相反数列得，求出，即可得到这个数． 【详解】解：由题意得，得， ∴ ∴这个数是， 故选：C． 【点睛】此题考查了平方根的性质：正数的两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根，熟记性质是解题的关键． 【典例2】（2024·广东佛山·二模）已知的平方根是，的立方根是2，m是的算术平方根． (1)填空：______，______，______ (2)若 m的整数部分是 x，小数部分是 y，求的值． 【答案】(1) 5，， (2) 【分析】（1）根据平方根和立方根的定义得出方程组，求出方程组的解，再根据算术平方根求出即可； （2）先估算出的范围，再求出，的值，最后求出答案即可． 【详解】（1）解：的平方根是，的立方根是， ， 解得：，， ， ， 故答案为：，，； （2）， ，的整数部分是，小数部分是， ，， ． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，求代数式的值，立方根的定义，算术平方根的定义，解二元一次方程组等知识点，能得出关于，的方程组是解（1）的关键，能估算出的范围是解（2）的关键． 【变式1】（2025·广东·模拟预测）已知，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的平方根，二次根式的性质，根据二次根式的被开方数是非负数，确定的取值范围，从而求出和y的值，再计算的值，最后求其平方根，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ 故， ∴， ∴， ∴4的平方根为， 故答案为：． 【变式2】（2024·广东中山·二模）面积为9的正方形，其边可以表示为（   ） A．的算术平方根 B．9的平方根 C．9的算术平方根 D．9的立方根 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根、平方根以及立方根的求解，熟记相关结论即可． 【详解】解：∵面积为9的正方形，其边为，即9的算术平方根， 故选：C ►题型03 与平方根、立方根有关的规律探索题 两个算术平方根里边的数字是100倍，算术平方根的结果是10倍； 两个立方根里边的数字是1000倍，算术平方根的结果是10倍； 【典例1】已知：、，根据以上规律，那么（    ） A．44.72 B．14.414 C．28.828 D．以上均不正确 【答案】A 【分析】根据进行求解即可． 【详解】解：∵， ∵， 故选A． 【点睛】本题主要考查了无理数的估算，正确理解题意是解题的关键． 【典例2】（2024·广东佛山·模拟）先填写下表，通过观察后再回答问题． ．．． 0.000001 0.0001 0.01 1 ．．． 100 10000 1000000 100000000 ．．． ．．． (1)被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动有无规律？若有规律，请写出它的移动规律． (2)已知：，你能求出的值吗？ (3)试比较与的大小． 【答案】(1)填表见解析；有规律，见解析； (2) (3)当时，；当或时，；当时，． 【分析】本题考查了算术平方根的规律题，根据题意发现规律是解题关键． （1）先根据算术平方根的定义填表，再观察表格，即可发现位置规律； （2）根据（1）所得规律，观察发现小数点向右移动3位为，则被开方数向右移动6位，即可求出的值； （3）根据表格作答即可． 【详解】（1）解：填表如下： ．．． 0.000001 0.0001 0.01 1 ．．． 0.001 0.01 0.1 1 100 10000 1000000 100000000 ．．． 10 100 1000 10000 ．．． 观察发现，被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动有规律：当被开方数的小数点每向左（或向右）移动2位，它的算术平方根的小数点左（或向右）移动1位； （2）解：观察发现小数点向右移动3位为， 则被开方数向右移动6位，即； （3）解：由表格可知，当时，；当或时，；当时，． 【变式1】（2024·广东汕头·模拟）（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 【答案】（1）0.02，0.2，2，20；（2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位；（3）①12和13之间；②12.26；③需要大约9.02平方米的铁皮 【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键． （1）利用立方根的定义填表即可； （2）根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解； （3）①结合表格信息，对进行变形分析即可；②结合表格信息，对进行变形分析即可；③设正方体的棱长为米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解． 【详解】解：（1）填表如下： a 0.000008 0.008 8 8000 0.02 0.2 2 20 （2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位； （3）①， ， 介于整数12和13之间； ②， ； ③设正方体的棱长为a米，则， 由②知， ； ， （平方米）， 答：需要大约9.02平方米的铁皮． 【变式2】（2024·广东佛山·模拟）一位爱探究思考的同学，利用计算器计算得到下列数据： 请你根据上述规律解决以下问题：已知，，则 ； 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键．根据根号内的小数点移动规律即可求解，算术平方根的规律为，根号内的小数点移动2位，对应的结果小数移动1位，小数点的移动方向保持一致． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为：． ►题型04 平方根、立方根的实际应用 【典例1】在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，并令正方体铁块完全浸没在盛满水的圆柱体烧杯中．若用一量筒量得铁块排出的水的体积为，则该正方体铁块的棱长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查立方根，掌握立方根的定义是正确计算的前提．根据正方体体积为进行计算即可． 【详解】解：根据题意可知，正方体的体积为， 因此棱长为， 故选：A． 【典例2】（2025·广东潮州·一模）综合与实践 主题：制作长方体包装盒． 素材：一张边长为30cm的正方表纸板． 步骤1：如图，在正方形纸板的边上取点E、F，使，以为斜边向下等腰直角三角形；在正方形纸板的边上取点P、Q，使，以为斜边向左作等腰直角三角形；分别在边上以同样的方式操作，得到四个全等的等腰直角三角形（阴影部分），剪去阴影部分． 步骤2：将剩余部分沿虚线折起，点A、B、C、D恰好重合于点O处，如图，得到一个底面为正方形的长方休包装盒． 若该长方体包装盒的底面积为288，求该长方体包装盒的体积． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形和矩形的性质，等腰三角形的性质和判定，特殊角的三角函数， 根据题意得，由四边形是矩形，可得，则再求出， 进而求出，然后根据体积公式可得答案． 【详解】解：∵长方体包装盒得底面积为288， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∴ ∴． ∵， ∴该长方体包装盒得体积是． 【变式1】数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形．下面是他们探究的部分结果： (1)如图1，当时，拼成的大正方形的边长为___________； (2)如图2，当时，拼成的大正方形的边长为___________cm； (3)小李想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为？他能裁出吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能，理由见详解 【分析】本题主要考查图形的探究、算术平方根等知识，解题关键是正确理解题意，灵活运用相关知识． （1）先得出时图形的面积，然后根据正方形的性质，求得边长； （2）先得出时图形的面积，然后根据正方形的性质，求得边长； （3）设长方形的长宽分别为，，，则根据面积可求得的值，易得，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴即用2个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形， ∴大正方形的边长为； 故答案为：； （2）解：∵， ∴即用5个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形， ∴大正方形的边长为； 故答案为：； （3）解：能，理由如下： 设长方形纸片的长为，宽为， 则有：，解得，， ∵为长方形的长， ∴， ∴， 则长为， ∵， ∴能沿着正方形边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，且它的长宽之比为． 【变式2】（2024·广东中山·模拟）某小区准备开发一块长为，宽为的长方形空地， (1)方案一：如图，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移就是它的右边线．则这块草地的面积为 _____ ； (2)方案二：修建一个长是宽的1.5 倍，面积为的篮球场，若比赛用的篮球场要求长在到之间，宽在到之间． 这个篮球场能用做比赛吗？ 并说明理由． 【答案】(1)651 (2)能，理由见解析 【分析】本题考查了图形的平移，平方根的定义等知识． （1）由题意，草地的长减小，宽不变，因而可求得草地的面积； （2）设宽，则长为，根据面积公式即可得关于x的方程，由平方根的定义即可求得x，再对x的值进行估算，若满足题意即可，否则不行． 【详解】（1）解：由题意，小路的左边线向右平移就是它的右边线即小路的宽为， 则草地的长减小，宽不变， 面积为； 故答案为：651． （2）能，理由如下： 设宽，则长为， 依题意有：， ∵， ∴， 符合长在到之间，宽在到之间， ∴这个篮球场能用做比赛． 命题点六 实数的运算 ►题型01 实数的混合运算 运算顺序：先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 【注意】 1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、乘法分配律． 2）在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错： ①先算乘方，再算乘除，最后算加减； ②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号． 实数计算的易错点： 1）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； 2）一个非负数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 3）， 在计算中常用的锐角三角函数值： 三角函数 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 【典例1】（2025·广东中山·二模）计算：． 【答案】4 【分析】本题考查了实数的运算，根据负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值，绝对值的意义，零指数幂的意义，二次根式的运算法则等计算即可． 【详解】解：原式， ， ． 【典例2】（2025·广东韶关·一模）计算： 【答案】． 【分析】本题可根据根式化简、负整数指数幂的运算法则、特殊三角函数值以及零指数幂的运算法则分别对各项进行化简，然后再进行加减运算．本题主要考查了实数的综合运算，包括二次根式的化简、负整数指数幂、特殊三角函数值以及零指数幂的运算．熟练掌握二次根式的化简方法、负整数指数幂（，为正整数）、特殊三角函数值（如）以及零指数幂（）的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式1】（2025·广东深圳·三模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的运算，根据绝对值的意义、特殊角三角函数值、二次根式的乘法、零指数幂将原式化简，再进行加减运算．掌握相应的运算法则、性质、公式和运算顺序是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式2】（2025·广东深圳·三模）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，求绝对值，特殊角的三角函数值，二次根式的化简，零指数幂等运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． 利用求绝对值，特殊角的三角函数值，二次根式的化简，零指数幂等运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ►题型02 实数混合运算的实际应用 【典例1】（2024·广东肇庆·二模）如图，为正方形内的一点，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D．7 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，实数的运算，过点作于点，证明得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：B． 【典例2】（2024·广东梅州·模拟）如图，四边形均为正方形，其中正方形面积为．图中阴影部分面积为，正方形面积为 ． 【答案】18 【分析】先设出正方形边长，再分别求出它们的边长，即可求解． 【详解】设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b， ∴， ∵， ∴， ∴阴影面积为， ∵ ∴， ∴， 故答案为：18． 【点睛】本题考查了实数运算的实际应用，解题关键是正确求出正方形的边长并且表示出阴影面积． 【变式1】第19届亚运会即将在杭州举行，某商店购进一批亚运会纪念品进行销售，已知每件纪念品的成本是30元，如果销售单价定为每件40元，那么日销售量将达到100件．据市场调查，销售单价每提高1元，日销售量将减少2件． (1)若销售单价定为每件45元，求每天的销售利润； (2)要使每天销售这种纪念品盈利1600元，同时又要让利给顾客，那么该纪念品的售价单价应定为每件多少元？ 【答案】(1)1350元 (2)50元 【分析】（1）根据，计算求解即可； （2）设该纪念品的售价单价应定为每件元，则销售量为件，由题意得，，计算求解，然后判断即可． 【详解】（1）解：由题意知，（元）， ∴当销售单价定为每件45元，每天的销售利润为1350元； （2）解：设该纪念品的售价单价应定为每件元，则销售量为件， 由题意得，， 解得，， ∵， ∴该纪念品的售价单价应定为每件50元． 【点睛】本题考查了实数运算的应用，一元二次方程的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【变式2】如图，长方形的长为，宽为． （1）将长方形进行适当的分割（画出分割线），使分割后的图形能拼成一个正方形，并画出所拼的正方形；（标出关键点和数据） （2）求所拼正方形的边长． 【答案】（1）分割方法不唯一，如图，见解析；（2）拼成的正方形边长为. 【分析】（1）根据AB=2AD，可找到CD的中点，即可分成两个正方形，再沿对角线分割一次，即可补全成一个新的正方形； （2）设拼成的正方形边长为，根据面积相等得到方程，即可求解． 【详解】（1）如图， ∵AB=2AD，找到CD,AB的中点，如图所示，可把矩形分割成4个等腰直角三角形，再拼成一个新的正方形； （2）设拼成的正方形边长为，根据题意得， ∴（负值舍去） 答：拼成的正方形边长为． 【点睛】此题主要考查实数性质的应用，解题的关键是根据图形的特点进行分割． ►题型03 实数混合运算的新定义问题 【典例1】（2024·广东·模拟预测）若关于，的方程组与有相同的解． (1)求的值． (2)阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为．例如，求的值． 【答案】(1) (2)18 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法以及二阶行列式的运算，熟练掌握方程组同解问题的处理方法和二阶行列式的运算法则是解题的关键． （1）先求出两个方程组的公共解，再将公共解代入含、的方程，求出、的值，进而计算． （2）根据二阶行列式的运算法则，将、、、的值代入计算． 【详解】（1）解：∵关于，的方程组与有相同的解． ∴， 解该方程组得， ∴，， 解得：， ∴． （2）解：将，，，代入， ∴． 【典例2】（2025·广东广州·二模）在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：，，则方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查新定义，解一元二次方程，根据新定义得：，，由可得到一元二次方程，求解即可．根据题意得到一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 解得：，， ∴方程的解为，． 故答案为：，． 【变式1】（2025·广东东莞·一模）十八世纪伟大的数学家欧拉最先用记号的形式来表示关于的多项式，把等于某数时的多项式的值用来表示．例如时，多项式的值可以记为，即．如果定义，则 ． 【答案】16 【分析】本题考查了实数的运算，理解新运算的形式，并正确的进行计算是解题的关键．根据题意把，代入计算即可． 【详解】解：根据题意，， ， 故答案为：16． 【变式2】（2025·广东广州·模拟预测）定义新运算：，例如：，．若，则x的值为 ． 【答案】或19/19或 【分析】本题考查了解一元二次方程、解一元一次方程、新定义运算等知识，解题的关键是根据题意找到等量关系式．根据新定义运算法则，分别两种情况，列出方程求解即可． 【详解】解：当时， ， ∴， 当时， ， 解得（舍去）或． 综上所述，x的值为或19． 故答案为：或19． 突破一 实数与数轴相结合的应用 【典例】（2024·广东梅州·一模）实数和在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值的意义，数轴的定义，由数轴可得到，根据和绝对值的性质，即可得到答案．解题的关键是掌握所学的知识，正确得到． 【详解】解：根据题意，则， ∴，， ∴ = = =； 故选：B． 【变式1】（2024·广东广州·一模）如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中的虚线相互平行，若点A在数轴上表示的数是，则点B在数轴上表示的数是 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是数轴，熟练掌握两点间的距离公式和平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据题意，设点在数轴上表示的数为，再根据平行线分线段成比例定理，可得，即，求解即可． 【详解】解：由图可知，点在直尺的0刻度上，点在直尺的3刻度上，直尺的5刻度表示的数为8，图中的虚线相互平行， 点在数轴上表示的数是， 设点在数轴上表示的数为， ，即， 解得：， 即点在数轴上表示的数为4， 故答案为：4． 【变式2】（2023·广东惠州·二模）已知有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴的特征得到有理数的大小关系，逐项判断即可得到答案． 【详解】解：由有理数在数轴上的对应点的位置可知，且，则 A、由可知错误，不符合题意； B、由、得到且，可知错误，不符合题意； C、由题意可知，可知错误，不符合题意； D、由得到，从而，即正确，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查数轴的特征及数大小的比较，熟练掌握数轴的特征是解决问题的关键． 【变式3】有理数，，在数轴上的位置如图所示． (1)______0（填“＞”“＜”“＝”）； (2)试化简下式：． 【答案】(1)< (2)0 【分析】（1）根据，在数轴上的位置可判断与0的大小关系； （2）先判断，，的正负，再化简绝对值，然后去括号合并同类项即可． 【详解】（1）， ． 故答案为：<； （2）， ， ． 【点睛】本题考查了利用数轴判断式子的正负，化简绝对值，整式的加减，正确化简绝对值是解答本题的关键． 突破二 实数与绝对值相结合的应用 【典例】（2024·广东广州·一模）我们知道在化简的时候，需要判断a的正负：当时，；当时，． (1)已知a，b，c三个数在数轴上的对应的点如图所示： 用“>”、“<”或“=”填空， ______0，______0，______0， (2)化简：． (3)思维扩展：由“当时，；时，”可以推出： 当时，；当时，． 应用这个结论，解决下列问题： 已知x，y，z是有理数，，，化简：______． 【答案】(1)>，<，< (2) (3) 【分析】本题考查了绝对值的化简，整式的加减运算，数轴与有理数，解题的关键是熟练掌握绝对值的化简． （1）根据数轴可得且，即可判断所求式子的正负； （2）根据绝对值的性质去绝对值符号，再合并同类项即可； （3）根据，，可知，，中一正两负或两正一负，据此化简即可． 【详解】（1）解：由数轴知：且， ，，， 故答案为：，，； （2）解：，，， ； （3）解：，， 当，，中一正两负时，； 当，，中两正一负时，， 综上所述，． 故答案为：． 【变式1】（2024·广东梅州·一模）已知数a，b，c在数轴上的位置如图，下列说法： ①；②；③； ④．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查有理数与数轴，利用数轴确定式子或数的大小，化简绝对值，整式的加减运算等知识点． 由数轴可得，则，，，，，再一一判断各选项即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴，，，， ∴，故①错误； ，故②正确； ，故③错误； ，故④正确， ∴正确的有2个， 故选：B． 【变式2】我们知道，在数轴上表示数到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点，，分别用数，表示，那么、两点之间的距离为：．例如，点表示的数是2，点表示的数为，，两点之间的距离为：．利用此结论，回答以下问题： (1)A所表示的数是，B所表示的数是6，A，B两点之间的距离是_____． (2)若，则_____， (3)结合数轴，求得的最小值为_____； 【答案】(1)7 (2)或 (3) 【分析】本题考查绝对值的几何意义和数轴的应用，熟练掌握数轴上点的距离是解题的关键， （1）根据数轴上点的距离定义即可得到答案； （2），即，表示数轴上点到点的距离为1，从而即可得到答案； （3）要求的最小值，相当于在数轴上找一个点，使得它到6和的距离之和最小，根据几何意义，当点在6和之间时，它们的和最小，从而得到答案． 【详解】（1）解：由题可得：， 故答案为：7； （2）解：∵，即， ∴点到点的距离为1， ∴或； （3）解：设点是数轴上一点， ∴当点在6和之间时有最小值， ∴有最小值为． 【变式3】（2024·广东湛江·一模）阅读理解：数轴上表示有理数的点到原点的距离，叫做这个有理数的绝对值．例如：，它表示数轴上有理数的点到原点的距离；另外观察数轴，容易发现有理数表示的点到原点的距离是个单位长度，所以（如图1）．同样的，数轴上表示和表示的两个有理数之间的距离可以用来表示．例如：数轴上表示的点到表示的点的距离用表示；观察数轴，容易发现表示的点到表示的点的距离是个单位长度，从而得到：（如图2）．以上这种借助直观的数轴来解决问题的方法就是研究数学问题常用的“数形结合”的方法．请你根据以上学到的方法完成下列任务解答： (1)填空：数轴上表示的点和表示的点之间的距离为_____； (2)若，求所表示的有理数． (3)设点在数轴上表示的有理数是，借助数轴解答下列问题： ①代数式有最小值吗？有最大值吗？若有，请求出相应的最值． ②若，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)①有最小值，没有最大值；②或 【分析】本题考查数轴与绝对值的综合应用，解题思路是利用数轴上两点间距离公式和绝对值的几何意义，结合分类讨论思想，分别求解各问． （1）根据数轴上两点间距离公式（两点所表示数的差的绝对值），计算表示和的点的距离； （2）依据绝对值的定义，绝对值为的数有和，据此列方程求； （3）①利用绝对值的几何意义是点到的距离，是点到的距离），分析点在不同位置时距离和的最值；②分、、三类，根据绝对值定义化简方程求解． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）， 即或 解得或 （3）①代数式表示数的点到和的距离的和， 当在和之间时有最小值 即，， 代数式有最小值，没有最大值； ②当时，  解得：， 当时，  无解， 当时，  解得：， 所以：或． 突破三 与实数相关的规律计算题 【典例】（2024·广东茂名·一模）阅读下列解题过程，解答问题． ； ； ； … (1) ， ； (2)观察上面的解题过程，求（为自然数）； (3)计算： ． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了数字的规律探索，算术平方根，熟练掌握运算法则，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据题意结合算术平方根的运算法则计算即可得解； （2）根据题干所给例子得出结论即可； （3）根据（2）中得出的规律计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：，； （2）解：由题意可得：（为自然数）； （3）解：． 【变式1】（2024·广东潮州·一模）我们来看下面的两个例子： ，， 和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个， 所以． ， 和都是的算术平方根， 而的算术平方根只有一个，所以 （填空） （1）猜想：一般地，当时，与之间的大小关系是怎样的？ （2）运用以上结论，计算：的值． 【答案】（1）；（2）120 【分析】此题主要考查了实数运算以及算术平方根，正确由特殊值分析式子变化规律是解题关键． （1）直接利用算术平方根的定义得出答案； （2）直接利用得出答案． 【详解】解：， 和都是的算术平方根， 而的算术平方根只有一个，所以； （1）根据题意，当时， 则； （2）． 【变式2】（2024·广东江门·一模）先观察下列各式4； (1)计算： (2)已知n为正整数，通过观察并归纳，请写出： (3)应用上述结论，请计算的值． 【答案】(1)6 (2) (3)52 【分析】本题主要考查算术平方根与数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出规律：个连续奇数和的算术平方根等于． （1）由个连续奇数和的算术平方根等于可得答案； （2）利用以上所得规律可得； （3）将被开方数提取公因数4，再利用所得规律求解可得 【详解】（1）解：， 故答案为：6； （2）， 故答案为：； （3） ． 【变式3】（2024·广东河源·一模）阅读下文，寻找规律： 已知 ，观察下列各式： ，，   (1)填空： (2)观察上式，并猜想： ① ． ② ． (3)根据你的猜想，计算： ① ． ② ． 【答案】(1) (2)①；② (3)① ；② 【分析】归纳概括规律：等号左边为两个因式的乘积，第一个为，第二个为连续指数的和；等号的右边为两个数的差，被减数为1，减数为的幂，指数比等号前面第二个因式中，最大指数多1，然后将下面式子分别代入即可． 【详解】（1）解：中，指数为8， 故前面应该加到 答案为： （2）解：①根据规律可得： ② （3）解：①中， 让得： ② 【点睛】本题考查了归纳概括能力，以及类比思想，准确找出规律是解题关键． 1．（2025·广东韶关·二模）若，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性、负整数指数幂、求代数式的值，熟知绝对值和算术平方根具有非负性是解题的关键．根据绝对值和算术平方根的非负性，可得，，求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴． 故选：C． 2．（2025·广东广州·二模）我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．如收入100元记为元，那么支出60元记为（    ） A．元 B．60元 C．元 D．40元 【答案】A 【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．据此求解即可． 【详解】解：“正”和“负”相对，所以，我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．如收入100元记为元，那么支出60元记为元． 故选：A． 3．（2024·广东·模拟预测）2023年12月24日上午，2023东楚汕头马拉松鸣枪开跑，来自世界各地近25000名跑者齐聚汕头，在风光旖旎、充满潮式热情的赛道上挥洒汗水，感受汕头风情，享受体育盛宴带来的快乐．数据25000用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时，n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：数据25000用科学记数法表示为， 故选：B． 4．（2024·广东·模拟预测）如图，将长和宽分别为2和1的长方形剪开，拼成一个正方形，下列说法正确的是（　　） A．面积不变，周长变小 B．面积不变，周长变大 C．面积变小，周长不变 D．面积变大，周长变小 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形的剪拼以及长方形和正方形的面积、周长计算，熟练掌握长方形和正方形的面积、周长公式是解题的关键．分别计算长方形和拼成的正方形的面积与周长，再进行比较． 【详解】解：∵ 长方形长为，宽为， ∴ 长方形面积为，周长为． ∵把长方形剪开，拼成一个正方形， ∴ 拼成的正方形面积等于长方形面积， ∴ 正方形面积为，则正方形边长为， ∴ 正方形周长为． ∵ ，， ∴ 面积不变，周长变小． 故选：． 5．（2025·广东广州·三模）如图，数轴上点、表示的数分别为、，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴和绝对值，解题关键是熟练掌握数轴的定义和绝对值的性质． 先观察数轴，判断m，n的大小，然后根据绝对值的性质进行化简即可． 【详解】解：由数轴可知：，， ∴， ∴． 故答案为：． 6．（2025·广东东莞·一模）已知，满足，则式子的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意可知，，从而求得，的值，然后代入求值即可． 【详解】解：，，， ，， ，， 当，时， 故答案为：1． 7．（2025·广东广州·二模）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，如图1，孩子出生后的天数（天），请根据图2，计算孩子自出生后的天数是 天． 【答案】123 【分析】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数的混合运算，根据题意中的计算方法，列式计算，即可． 【详解】解：由题意得，图2，计算孩子自出生后的天数， 故答案为：123． 8．（2025·广东深圳·三模）大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为8，小正方形的面积为2，则正方形的边长可能是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查算术平方根的实际应用，求出大正方形的边长，小正方形的边长，根据正方形的边长介于大正方形的边长和小正方形的边长之间，进行求解即可． 【详解】解：∵大正方形的面积为8，小正方形的面积为2， ∴大正方形的边长为，小正方形的边长， 由图可知：， ∴正方形的边长可能是； 故答案为：（答案不唯一）． 9．（2025·广东河源·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据有理数的乘方，零指数幂以及特殊角的三角函数值进行计算即可求解． 【详解】解： ． 10．（2025·广东汕头·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是实数的混合运算，零次幂，负整数指数幂，先计算负整数指数幂，零次幂，乘方运算，算术平方根，再合并即可． 【详解】解：原式． 1．（2025·广东深圳·三模）手机移动支付给生活带来便捷．如表是小颖某天微信账单的收支明细（单位：元），若小颖当天微信收支的最终结果是收入6元，则应表示为（　　） 转账——来自小明 微信红包——发给小红 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正负数的实际意义以及有理数加法运算．根据正负数的意义以及有理数的加法法则求和即可． 【详解】解：根据题意可知，收入为正，支出为负，且（元） 则最终结果收入6元应表示为， 故选：B 2．（2025·广东肇庆·一模）如图，已知正方体展开图中线段的长是10，则正方体的棱长在（　　） A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，无理数的估算，先根据勾股定理求出正方体的棱长，再估算大小即可． 【详解】解：如图， 设正方体的棱长为，则，， 中，由勾股定理可得， ∴， 整理得， ∴（负值舍去）， ∵， ∴， 即正方体的棱长在2与3之间， 故选：B． 3．（2024·广东广州·二模）点A在数轴上的位置如图所示，已知点A所表示的数是一个无理数，则点A表示的数可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴、无理数、无理数的估算等知识点，掌握无理数的估算成为解题的关键． 根据点A在线段数轴上，且点A表示的数为无理数，可排除A、B选项，然后再确定C、D两项无理数的取值范围即可解答． 【详解】解：∵点A在数轴上的位置如图所示，已知点A所表示的数是一个无理数， ∴点C表示的数， ∵1.5，是有理数，，， ∴这个无理数可以是． 故选：C． 4．（2023·广东·模拟预测）规定一种新运算，如，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算的理解与应用、二次根式的平方运算，解题的关键是准确把握新运算“”的规则，明确运算中、的对应取值并代入计算． 先根据新运算规则确定、；再计算（即），接着计算；最后用的结果减去的结果，得到最终值． 【详解】解：由新运算，可得． 故答案为：． 5．（2024·广东肇庆·一模）如图为一张方格纸，的顶点位于网格线的交点上．若的面积为，则该方格纸的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，设小正方形的边长为，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设小正方形的边长为， ∴ 解得：（负值舍去） ∴该方格纸的面积为 故答案为：． 6．（2025·广东江门·一模）计算：． 【答案】5 【分析】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值的运算，先化简各数，再进行加减运算即可，熟练掌握相关运算法则，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键． 【详解】解：原式． 1．（2025·江苏无锡·中考真题）计算的结果为（　　） A． B． C．1 D．5 【答案】C 【分析】本题考查有理数的加法运算．绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，由此可解． 【详解】解：， 故选：C． 2．（2025·山东滨州·中考真题）截至2025年5月，国家智慧教育平台注册用户已突破亿，成为世界第一大教育资源数字化中心和平台．将亿用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．根据定义求解即可． 【详解】解：亿， 故选：C 3．（2025·黑龙江绥化·中考真题）计算： ． 【答案】0 【分析】此题考查了乘方和零指数幂，根据乘方和零指数幂计算后再计算加法即可． 【详解】解： 故答案为：0 4．（2025·重庆·中考真题）若实数x，y同时满足，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的非负性，解一元一次方程，负整数指数幂，根据绝对值的非负性，得到，，进而得到，进而得到关于的一元一次方程，求出的值，进而求出的值，再根据负整数指数幂的法则，进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， 当时，方程无解， 当时，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 5．（2025·江苏宿迁·中考真题）计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据二次根式的性质，特殊三角函数值，化简绝对值进行运算，然后合并即可，掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解： ． 6．（2025·四川遂宁·中考真题）计算：． 【答案】3 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，负整数指数幂，化简绝对值，先化简特殊角的三角函数，负整数指数幂，以及化简绝对值，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． 【详解】解： 7．（2025·河北·中考真题）（1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步 （2）计算： 【答案】（1）原计算第一步开始出错；；（2） 【分析】本题考查了有理数混合运算，实数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键； （1）第一步计算分配律时符号出错； （2）按照实数的混合运算法则进行，先计算括号里面的，再从左到右依次计算乘除． 【详解】解：（1）原计算第一步开始出错； ； （2） 8．（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查非负性，解二元一次方程组，求一个数的平方根，利用二次根式的性质进行化简，先根据非负性，得到关于的二元一次方程组，两个方程相减后求出的值，再根据平方根的定义，进行求解即可．熟练掌握非负性，平方根的定义，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ，得：， ∴的平方根是； 故选：C． 9．（2025·江苏南通·中考真题）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题给出了利用三角形三边求面积的公式，已知三角形三边的长度，直接将数值代入公式，通过计算即可求出三角形面积．本题主要考查了实数的运算以及根据给定公式进行代数计算．熟练掌握实数的运算法则以及代入公式求值的步骤是解题的关键． 【详解】解： 将，，代入上式： 故答案为：． 10．（2025·四川泸州·中考真题）对于任意实数，定义新运算：，给出下列结论：①；②若，则；③；④若，则的取值范围为．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了实数的新定义运算，解一元一次不等式组，根据新定义运算分类讨论是解题的关键．根据新定义运算法则，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：①∵， ∴，故①正确， ②∵， 当时，， 当时，，即，故②不正确； ③不成立，例如，则，故③不正确； ④当即时， 则：， 解得：， ∴； 当，即时， 则：， 解得：， ∴， 综上所述，，故④正确， 故正确的有①和④，共2个， 故选：B． 11．（2025·安徽·中考真题）对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m：若余数为0．则；若余数为1，则；若余数为2，则．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数，根据4除以3的余数为1，由知，对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由知，对4进行三次变换得到的数为3． （1）对正整数15进行三次变换，得到的数为 ； （2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为 ． 【答案】 2 11 【分析】本题主要考查了新定义，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据15除以3的余数为0可得第一次变换后的数为5，再根据5除以3的余数为2可得第二次变换后的数，同理可得第三次变换后的数； （2）第二次变换后的结果为1，那么第一次变换后的结果为3或或，再验证这三个数是否可经过变换后得1即可确定第一次变换后得到的数，据此根据第一次变换得到的数可推出n的三个值，再同理可验证符合题意的n，据此可得答案． 【详解】解；（1）∵， ∴15进行一次变换后得到的数为； ∵， ∴15进行二次变换后得到的数为； ∵， ∴15进行三次变换后得到的数为2， 故答案为：2； （2）当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为0时，则第一次变换后的数为，此时符合题意； 当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为1时，则第一次变换后的数为，此时不符合题意； 当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为2时，则第一次变换后的数为，此时不符合题意； 综上所述，第一次变换后所得的数为3， 当n除以3的余数为0时，则，符合题意； 当n除以3的余数为1时，则，不符合题意； 当n除以3的余数为2时，则，符合题意； ∴符合题意的n的值是9或2， ∴所有满足条件的n的值之和为， 故答案为；11． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $