2026年中考数学第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）第24课时： 轴对称与中心对称

2026 年中考第一轮复习 （核心知识 + 核心能力 + 解题思路 + 易错警示 + 真题演练） 第 24 课时 轴对称与中心对称 一、核心知识 （一）轴对称与轴对称图形 1. 基本概念 轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形______完全重合______，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做______对称轴______，折叠后重合的点叫做______对应点______。 轴对称图形：如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够______完全重合______，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做它的______对称轴______（轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条）。 2. 核心性质 对应线段______相等______，对应角______相等______； 对称轴是对应点所连线段的______垂直平分线______； 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在______对称轴______上。 3. 常见的轴对称图形 线段：有______2______条对称轴（线段所在直线和线段的垂直平分线）； 角：有______1______条对称轴（角平分线所在直线）； 等腰三角形：有______1______条对称轴（底边的垂直平分线）； 等边三角形：有______3______条对称轴（三条边的垂直平分线）； 矩形：有______2______条对称轴（两组对边中点连线）； 菱形：有______2______条对称轴（两条对角线所在直线）； 正方形：有______4______条对称轴（两组对边中点连线和两条对角线所在直线）； 圆：有______无数______条对称轴（过圆心的任意直线）。 4. 轴对称的判定与作图 判定：两个图形的对应点所连线段被同一条直线垂直平分，则这两个图形关于这条直线对称； 作图步骤： 确定已知图形的关键点； 分别作出关键点关于对称轴的______对称点______（作关键点到对称轴的垂线，延长垂线段使垂足为中点，得到对称点）； 顺次连接各对称点，得到对称图形。 （二）中心对称与中心对称图形 1. 基本概念 中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转______180° ，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做______对称中心______，旋转后重合的点叫做______对应点______。 中心对称图形：如果一个图形绕着某一个点旋转______180° 后，能与原来的图形完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的______对称中心______。 2. 核心性质 对应线段______相等______且______平行（或在同一直线上） ，对应角______相等 ； 对称中心是对应点所连线段的______中点______。 3. 常见的中心对称图形 线段：对称中心是______线段中点______； 平行四边形：对称中心是______对角线交点______； 矩形：对称中心是______对角线交点______； 菱形：对称中心是______对角线交点______； 正方形：对称中心是______对角线交点______； 圆：对称中心是______圆心______； 正偶数边形（如正四边形、正六边形等）：对称中心是______对角线交点（或中心）______。 4. 中心对称的判定与作图 判定：两个图形的对应点所连线段都经过同一点，且被这一点平分，则这两个图形关于这个点成中心对称； 作图步骤： 确定已知图形的关键点； 分别作出关键点关于对称中心的______对称点______（连接关键点与对称中心，延长并使对称中心为中点，得到对称点）； 顺次连接各对称点，得到对称图形。 （三）轴对称与中心对称的区别与联系 表格 项目 轴对称 中心对称 对称轴 / 对称中心 一条直线 一个点 对应点连线 被对称轴______垂直平分______ 被对称中心______平分______ 联系 若一个图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则其对称轴必经过对称中心 （四）图形的折叠与旋转（轴对称与中心对称的应用） 1. 图形折叠（轴对称的应用） 折叠的本质：折叠前后的图形关于折痕成______轴对称______，对应边相等、对应角相等、对应点所连线段被折痕垂直平分； 关键思路：利用折叠性质转化线段和角度，结合勾股定理、全等三角形等知识求解。 2. 图形旋转（中心对称的应用） 旋转的本质：旋转前后的图形全等，对应边相等、对应角相等，对应点到旋转中心的距离相等，旋转角相等； 中心对称是旋转的特殊情况（旋转角为 180°）； 关键思路：找准旋转中心、旋转方向和旋转角，利用旋转性质转化线段和角度，辅助解题。 二、核心能力 题型 1 轴对称与中心对称图形的识别 解题思路 明确定义：根据轴对称图形 “折叠后直线两旁部分重合”、中心对称图形 “旋转 180° 后与自身重合” 的定义逐一判断； 熟记常见图形：对常见图形的对称性烂熟于心（如：正奇数边形是轴对称图形但不是中心对称图形，正偶数边形既是轴对称图形也是中心对称图形）； 易错点：注意 “线段”“角” 等简单图形的对称轴数量，避免遗漏（如线段有 2 条对称轴，而非 1 条）。 题型 2 轴对称与中心对称的性质应用 解题思路 轴对称性质应用： 求线段长度：利用 “对应线段相等” 或 “对称轴是对应点连线的垂直平分线”，结合勾股定理计算； 求角度：利用 “对应角相等”，结合三角形内角和、外角性质等推导； 证明线段 / 角相等：通过对称性质转化为对应线段 / 角，直接证明。 中心对称性质应用： 求线段长度 / 中点：利用 “对称中心是对应点连线的中点”，结合中点性质、平行线分线段成比例等求解； 证明平行或相等：利用 “对应线段平行且相等”，转化线段关系。 题型 3 图形折叠问题（折叠求边长、角度、面积） 解题思路 标记已知与未知：折叠后重合的边、角用相同符号标记，明确对应关系； 设未知数：设关键线段长度为 x，利用折叠性质表示出其他相关线段； 构建方程：结合勾股定理（折叠后常形成直角三角形）、全等三角形、等腰三角形等知识建立方程，求解未知数； 验证结果：确保结果符合图形实际（线段长度为正、角度合理）。 题型 4 图形旋转问题（中心对称应用） 解题思路 确定旋转要素：明确旋转中心、旋转角、对应点，画出旋转后的图形； 转化线段和角度：利用旋转性质将分散的线段或角度集中到一个图形中（如三角形）； 结合其他知识：与全等三角形、相似三角形、勾股定理等结合，求解线段长度、角度或证明结论； 中心对称特殊处理：若为中心对称，直接利用 “对应点连线过对称中心且被平分” 简化计算。 题型 5 利用轴对称求最短路径 解题思路 核心模型：“两点之间线段最短” 结合轴对称性质，将折线转化为直线； 常见类型： 一点到两直线的最短路径：作该点关于其中一条直线的对称点，连接对称点与另一直线上的点，与第一条直线的交点即为所求； 两定点到直线上一点的最短路径：作其中一个定点关于直线的对称点，连接对称点与另一定点，与直线的交点即为所求； 关键步骤：准确作出对称点，利用两点之间线段最短确定最短路径，再计算长度。 三、易错警示 轴对称与中心对称图形识别错误 错误：混淆两种图形的定义，如误将平行四边形当作轴对称图形，误将等腰三角形当作中心对称图形；遗漏简单图形的对称轴数量（如线段有 2 条对称轴，误记为 1 条）。 提醒：牢记定义是根本，对常见图形的对称性分类记忆（轴对称图形：等腰三角形、正多边形、圆等；中心对称图形：平行四边形、圆等；既是轴对称又是中心对称图形：矩形、菱形、正方形、圆等）；线段的对称轴是 “线段所在直线” 和 “垂直平分线”，角的对称轴是 “角平分线所在直线”，而非线段或射线。 性质应用时忽略关键条件 错误：应用轴对称性质时，忘记 “对称轴是对应点连线的垂直平分线”，仅认为对应线段相等而忽略垂直关系；应用中心对称性质时，误将 “对应线段平行” 当作必然结论（对应线段可能在同一直线上）。 提醒：轴对称的核心是 “垂直平分”，中心对称的核心是 “平分”，解题时务必完整运用性质，不遗漏关键条件；涉及对应线段时，需结合图形判断是平行还是共线。 图形折叠问题中漏用隐含条件 错误：折叠问题中，仅关注对应边、对应角相等，忽略 “折痕垂直平分对应点连线” 的隐含条件；未利用折叠形成的直角三角形构建方程。提醒：折叠问题的关键是 “折痕是对称轴”，务必利用 “垂直平分” 性质；折叠后常形成直角三角形，优先考虑勾股定理，设未知数建立方程是常用方法。 最短路径问题中对称点作错 错误：求最短路径时，作错对称点（如作关于线段的对称点而非直线的对称点）；未明确最短路径的构成，导致计算错误。 提醒：最短路径问题中，对称轴是 “直线” 而非线段或射线，对称点需作在直线的另一侧；最短路径是 “对称点与另一点的连线”，与对称轴的交点即为所求，计算时需结合图形性质（如勾股定理）。 旋转问题中旋转角判断错误 错误：旋转问题中，误将对应边的夹角当作旋转角；未找准旋转中心，导致对应点判断错误。 提醒：旋转角是 “对应点与旋转中心连线的夹角”，而非对应边的夹角；解题时先明确旋转中心，再通过对应点确定旋转角，确保旋转前后的图形对应关系正确。 四、真题演练 （一）选择题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 1.（24-25·江西模拟）我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转，能够与自身重合的图形；轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断即可． 【解答】解：中、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 中、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； 中、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； 中、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 故选：． 2.（23-24·湖南中考）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A.中线、角平分线、高线 B.角平分线、高线、中线 C.高线、中线、角平分线 D.角平分线、中线、高线 【答案】B 【解析】本题考查了轴对称的性质及三角形的角平分线、中线和高线，解题关键是熟知三角形角平分线、中线和高线的定义． 根据三位同学的折纸示意图，结合三角形角平分线、中线和高线的定义求解． 【解答】解：由图①的折叠方式可知，， 所以是的角平分线． 由图②的折叠方式可知，， 因为， 所以， 所以， 所以是的高线． 由图③的折叠方式可知，， 所以是的中线． 故选：．  3.（23-24云南模拟）如图，与关于某点成中心对称，则对称中心是点（     ） A.M B.N C.P D.Q 【答案】C 【解析】此题主要考查了中心对称。熟练掌握中心对称的性质，是解决问题的关键。中心对称的性质：中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 连接 交于点 , 则点 即为所求. 【解答】解：如图,连接 , 交于点 , 所以对称中心是点 . 故选：C 4.（22-23·湖南中考）如图所示，在矩形中，，与相交于点，下列说法正确的是（ ） A.点为矩形的对称中心 B.点为线段的对称中心 C.直线为矩形的对称轴 D.直线为线段的对称轴 【答案】A 【解析】根据矩形的性质、轴对称图形的性质和中心对称图形的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决． 【解答】解：矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，故选项正确，符合题意； 线段的中点是为线段的对称中心，故选项错误，不符合题意； 矩形是轴对称图形，对称轴是过一组对边中点的直线，故选项错误，不符合题意； 过线段的中点的垂线是线段的对称轴，故选项错误，不符合题意； 故选：． 5.（24-25·四川模拟）如图，把长方形沿折叠后，点，分别落在，的位置．若，则是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质．熟练掌握折叠的性质，平行线的性质，明确角度之间的数量关系是解题的关键． 由折叠的性质可知，，，由，可得，根据，计算求解即可． 【解答】解：由折叠的性质可知，，， ， ， ， 故选：． 6.（24-25·广西模拟）如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处，下列结论一定正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查了矩形的折叠问题，三角形内角和定理以及三角形的外角的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键；结果矩形的性质的可得，，则，进而根据折叠的性质得出，，即可求解． 【解答】解：四边形是矩形， ， 折叠 ，即 ，故不正确 ，故不正确 折叠， ，故不正确，选项正确 故选：．  7.（24-25·江苏模拟）一个正比例函数的图象经过点和点，若点与点关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为（      ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据关于原点对称的两个点的横纵坐标均互为相反数，求出的坐标，进而利用待定系数法求出函数表达式即可． 【解答】解：点与点关于原点对称，， ，， 设正比例函数的解析式为，把代入，得， 故此题答案为． 8.（24-25·福建模拟）如图，在中，，，，是的垂直平分线，是直线上的一个动点，则的最小值是(        ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据线段的垂直平分线的性质可得，根据两点之间线段最短即可求解． 【解答】解：如图，连接， ∵ 是的垂直平分线， ∴ ， 根据两点之间线段最短， 为最小值， 此时点为与的交点． 所以的最小值即为的长，， 所以的最小值为． 故选． 9.（23-24·河南中考）将个边长都为的正方形按如图所示摆放，点、、、分别是正方形的中心，则个这样的正方形重叠部分的面积和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则个这样的正方形重叠部分即为阴影部分的和． 【解答】解：如图，连接，，点是正方形的对角线的交则, ∵ , ∴ , ∴ , ∴ 四边形的面积等于的面积， 而的面积是正方形的面积的，而正方形的面积为， ∴ 四边形的面积为，四块阴影面积的和为 故选 10.（24-25·陕西模拟）如图，点是直线在第二象限上的一个点，点关于轴对称的点为，关于轴对称的点为，连接，则线段的最小值为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题主要考查了一次函数与几何综合，坐标与图形变化——轴对称和关于原点对称，设直线分别与轴，轴交于，，连接，则，利用勾股定理求出的长；设，根据轴对称的性质得到，，则点和点关于原点对称，故三点共线，可推出，则当时，有最小值，即此时有最小值，利用等面积法求出的长即可得到答案． 【解答】解：设直线分别与轴，轴交于，，连接， 在中，当时，，当时，， ， ， ； 设， 点关于轴对称的点为，关于轴对称的点为， ，， 点和点关于原点对称， 三点共线， ， 当时，有最小值，即此时有最小值， 此时， ， 的最小值为， 故选：．  11.（22-23·湖北中考）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】如图，过作于，由对折可得：，，，，证明，而，可得，求解，，证明，，可得，再进一步求解即可. 【解答】解：如图，过作于， 正方形， ，，，，，， 由对折可得：，，，， ，而， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， 同理可得：， ； 故选： 12.（24-25·山东模拟）将直角三角形纸片按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 由折叠可得：，，则，那么，继而根据相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理逐一判断即可． 【解答】解：由折叠可得：，， ，故正确，不符合题意； ， ，， ，， ， ，故正确，不符合题意； ， ，， ，， ，故正确，不符合题意； ， ，，， ，故错误，符合题意， 故选：． 13.（22-23·浙江中考）对于坐标平面内的点，先将该点向右平移个单位，再向上平移个单位，这种点的运动称为点的斜平移，如点经次斜平移后的点的坐标为．已知点的坐标为，点是直线上的一点，点关于点的对称点为点，点关于直线的对称点为点，若点由点经次斜平移后得到，且点的坐标为，则的面积是（      ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】连接，根据中心和轴对称的性质和直角三角形的判定得到，延长交轴于点，过点作于点，根据待定系数法得出直线的解析式进而解答即可． 【解答】解：连接，如图： 由中心对称可知，， 由轴对称可知：， ， ，， ， ， ， 是直角三角形， 延长交轴于点，过点作于点，如图， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 点坐标为， 设直线的解析式为， ，点在直线上， 可得：， 解得：， ， 点由点经次斜平移得到， 点，由， 解得：， ， 的面积＝， 故选：．   14.（24-25·浙江模拟）如图，在中，，，，平分交于点，过点作于点，连接．则下列结论： ①垂直平分；        ②的周长为； ③的长是；        ④的面积为． 其中正确的结论有（   ） A.个 B.个 C.个 D.个 【答案】D 【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，勾股定理，三角形面积，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．根据角平分线的定义和垂线的定义，易证，可判断①结论；由勾股定理求出，再结合全等三角形的性质，可判断②结论；设，利用勾股定理解方程，可判断③结论；根据等高三角形面积之比等于高所在的边之比，可判断④结论． 【解答】解：平分 ， ， ， 又， ， ，， 垂直平分，①结论正确； 在中，，，， ， ， ，， ， 的周长，②结论正确； 设，则 在中，， ， 解得：， 的长是，③结论正确； 在中，，，， ， 和是等高三角形， ， ，④结论正确， 故选：． 15.（23-24·四川中考）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为．一个电动玩具从原点出发，按照与点依次成中心对称跳跃．第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；……．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题主要考查了中心对称，点的坐标的规律，解题关键是理解中心对称的概念．先求出、、、、、、的坐标，从中得出规律，再利用规律求点的坐标． 【解答】解：点，，的坐标分别为，，，一个电动玩具从原点出发，按照与点，，依次成中心对称跳跃，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称， 点的横坐标为，纵坐标为， 点， 第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称， 点的横坐标为，纵坐标为， ， 第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称， 点的横坐标为，纵坐标为， ， 第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称， 点的横坐标为，纵坐标为， ， 第五次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称， 点的横坐标为，纵坐标为， ， 第六次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称， 点的横坐标为，纵坐标为， ， 第七次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称， 点的横坐标为，纵坐标为， ， …… 点的坐标的变化规律是次一个循环， ， 点的坐标与相同为． 故选：． （二）填空题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题）   16.（23-24·江苏模拟）在平面直角坐标系中，点 与点 与点 关于原点对称，则的值为____4____． 【答案】4 【解析】本题主要考查二元一次方程组的应用, 熟知坐标关于原点对称的坐标特点是解题的关键. 先根据坐标与原点对称得到横纵坐标互为相反数列出方程求得 的值, 然后代入计算即可. 【解答】解：∵ 点 与点 关于原点对称， 故答案为4. 17.（24-25·江苏模拟）如图，已知与成中心对称，则对称中心是点_______P_________ 【答案】 【解析】此题考查了中心对称的性质：对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分．连接对应点、，根据对应点的连线经过对称中心，即可得到答案． 【解答】解：如图所示，连接、，交点即为对称中心点． 故答案为：． 18.（24-25·全国模拟）如图，关于点的是，若点的坐标为，则点的坐标为      ． 【答案】 【解析】分别过，向轴引垂线，可得，利用全等得到到轴，轴的距离，进而根据所在象限可得相应坐标． 【解答】作轴于点，轴于点，则， 点的坐标为，点， ，，， 由旋转的性质得， ，， ， ，， ， ， ， 点的坐标为． 故此题答案为：． 19.（24-25·四川模拟）如图，与 关于点对称，若，，，则的长为 _____4______． 【答案】 【解析】根据对称的性质得到，利用直角三角形角的性质求出，即可求出． 【解答】解：与 关于点对称， ， ， ，，， ， ， ， 故答案为：4 20.（24-25·安徽中考）如图，四边形是菱形，是两条对角线的交点，过点的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，若菱形的两条对角线长分别为和，求阴影部分的面积为___60_________． 【答案】 【解析】本题考查了菱形的性质、中心对称图形的性质、菱形的面积公式，熟知菱形的面积公式，利用菱形的性质判断出阴影的面积是菱形面积的一半是解答的关键．根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出菱形的面积，再根据菱形是中心对称图形判断出阴影的面积是菱形面积的一半即可解答． 【解答】解：如图所示： 菱形的两条对角线的长分别为和， 菱形的面积， 是菱形两条对角线的交点，菱形是中心对称图形， ， 阴影部分的面积， 故答案为∶．   21.（24-25·甘肃中考）如图，把平行四边形纸片沿对角线折叠，点落在点处，与相交于点，此时恰为等边三角形．若，则______12_______． 【答案】 【解析】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的性质，含度角的直角三角形的性质，折叠得到，平行线的性质，得到，进而得到，等边三角形的性质，结合三角形的外角推出，进而得到，再根据含度角的直角三角形的性质，得到即可． 【解答】解：折叠， ， 平行四边形纸片， ， ， ， 为等边三角形， ， ，， ， ， ； 故答案为： 22.（24-25·福建模拟）如图，在中，，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时，的长为____________． 【答案】 【解析】过点作交的延长线于点，根据平行四边形的性质以及已知条件得出，进而求得，根据折叠的性质得出，进而在中，勾股定理即可求解． 【解答】解：如图所示，过点作交的延长线于点， 在中，，，， ， ， 在中， 将沿折叠得到，当点恰好落在上时， 又 设， 在中， 解得：（负整数） 故答案为：． 23.（24-25·黑龙江中考）如图，在矩形中，，，点是边的中点，点是对角线上一动点，作点关于直线的对称点，若，则的长为____或_________． 【答案】或 【解析】本题考查了对称的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，根据题意画出示意图，连接，交直线于点，延长交于点，当点在上方时，由勾股定理求出，进而得到，由点关于直线的对称点，得到，，求出，进而得到，再求出，证明是等腰三角形，在中，解直角三角形求出，进而求解；当点在下方时，先求出，，结合对称的性质易证是等边三角形，易求，解直角三角形求出，由即可求解． 【解答】解：如图所示，连接，交直线于点，延长交于点， 当点在上方时， 在矩形中，，， ， ， ， 点是边的中点， ， 点关于直线的对称点， ，， ， ， ，， ， ， ， ； ，， ， 是等腰三角形， ， 在中，，， ， ； 如图，当点在下方时， ， ， ， ，， 由对称的性质得， 是等边三角形， ，， ，， ， ； 综上，的长为或． 故答案为：或． 24.（24-25·四川中考）如图，在中，，，，点、、分别是边、、上的动点，则周长的最小值是____________． 【答案】 【解析】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，垂线段最短，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键，作点关于的对称点，连接，得出是等腰直角三角形，当时，取得最小值，即周长最小，进而求得，即可求解． 【解答】解：如图，作点关于的对称点，连接， 周长为， 当四点共线时取得最小值， 是关于的对称点， ， 又 是等腰直角三角形， 当时，取得最小值，即周长最小 又，， 周长最小为 故答案为：． 25.（22-23·黑龙江中考）如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是      ． 【答案】 【解析】根据题意，证明，进而得出点在射线上运动，作点关于的对称点，连接，设交于点，则，则当三点共线时，取得最小值，即，进而求得，即可求解． 【解答】解：为高上的动点． 将绕点顺时针旋转得到．是边长为的等边三角形， ， 点在射线上运动， 如图所示， 作点关于的对称点，连接，设交于点，则 在中，，则， 则当三点共线时，取得最小值，即 ，， 在中，, 周长的最小值为， 故答案为：．  （三）解答题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 26.（24-25·贵州模拟）如图，方格纸中的每个小正方形的边长都为，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上． 画出关于原点成中心对称的，并写出点坐标． 【答案】解：所画图形如图所示，即为所求． 点的坐标为， 故答案为：． 【解析】此题暂无解析 【解答】解：所画图形如图所示，即为所求． 点的坐标为， 故答案为：． 27.（24-25·安徽模拟）如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点（顶点是网格线的交点）． （1）将先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到，请画出． （2）画出关于点对称的（点，，的对称点分别为点，，）． （3）与是否成中心对称？若是，画出对称中心点的位置． 【答案】见解答 见解答 是，画图见解析 【解析】（1）直接利用平移的性质得出对应点的位置，进而得出答案； （2）利用中心对称的性质得出对应点的位置，进而得出答案； （3）根据对称点连线交于一点即可判断否成中心对称并得到对称中心的位置． 【解答】（1）解：如图所示，即为所求， （2）解：如图所示，即为所求， （3）解：与成中心对称， 点的位置如图所示 28.（23-24·云南中考）如图，是矩形的对角线，请按以下要求解决问题： （1）利用尺规作，使与关于直线成轴对称（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在的条件下，若交于点，，，求的长． 【答案】作图见解答 【解析】（1）以为圆心，为半径画弧，以为圆心，为半径画弧，两弧交于点，连接，即可； （2）如图，证明，，，，可得，证明，设，则，可得，再解方程即可． 【解答】（1）解：如图，即为所求作的三角形； 由作图可得：，，， ， 即为所求作的三角形； （2）解：如图，矩形， ，，，， ， ， ， ， 设，则， ， 解得：； ． 29.（24-25·江苏模拟）如图，在中，两条对角线相交于点，，以为边向下方作菱形． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若菱形的周长为，，点是菱形的对称中心，求点、之间的距离． 【答案】四边形是矩形，理由见解析 【解析】（1）根据对角线相等的平行四边形是矩形即可判断； （2）根据菱形的性质可知：点、之间的距离等于点到点的距离，求出即可得解． 【解答】（1）解：四边形是矩形． 证明：四边形是平行四边形，， 四边形是矩形． （2）解：菱形的周长为， ，           在矩形中，，， ， ， ，           点是菱形的对称中心， 点、之间的距离等于点到点的距离， 即点、之间的距离等于2. 30.（24-25·四川中考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）利用图像，直接写出不等式的解集为________； （3）在轴上找一点，使的周长最小，并求出最小值． 【答案】； 当点的坐标为时，的周长有最小值，最小值为 【解析】（1）把点坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再把点坐标代入反比例函数解析式中求出点坐标，最后把点和点坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）只需要根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案； （3）作点关于轴的对称点，连接，则，由轴对称的性质可得；由两点距离计算公式可得，则可推出的周长，根据，可推出当、、三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为，利用两点距离计算公式可得，则的周长的最小值为；求出直线解析式为，在中，当时，，则． 【解答】（1）解：反比例函数的图象经过， ， 解得， 反比例函数的解析式为； 在中，当时，， ， 一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ， 解得， 一次函数解析式为； （2）解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数的 图象上方时自变量的取值范围为， 不等式的解集为； （3）解；如图所示，作点关于轴的对称点，连接，则， 由轴对称的性质可得； ，， ， 的周长， 当有最小值时，的周长有最小值， ， 当有最小值时，的周长有最小值， ， 当、、三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为， ，， ， 的周长的最小值为； 设直线解析式为，则， ， 直线解析式为， 在中，当时，， ； 综上所述，当点的坐标为时，的周长有最小值，最小值为． 31.（22-23·湖北中考）过正方形的顶点作直线，点关于直线的对称点为点，连接，直线交直线于点．   （1）如图，若，则  20     ； （2）如图，请探究线段，，之间的数量关系，并证明你的结论； （3）在绕点转动的过程中，设，请直接用含的式子表示的长． 【答案】; ; 或或. 【解析】（1）如图，连接，，由对称知，,由四边形是正方形得，所以，从而； （2）如图，连接，，，，交于点，由轴对称知，,，，可证得，由勾股定理得，中，，中，，从而； （3）由勾股定理，得，，分情况讨论：当点在之间时，；当点在之间时，；当点在之间时，． 【解答】（1）如图，连接，，点关于直线的对称点为点， ，关于对称， ，, 四边形是正方形， ， ，    图 ． 故答案为． （2）解：理由如下：如图，连接，，，，交于点， 由轴对称知，，,    图 而， ， ， ， 中，， 中，， ，即 （3），，， ， , 如图，当点在之间时，,    图 如图，当点在之间时，,    图 如图，当点在之间时，    图 【刷有所得】本题考查轴对称的性质、正方形的性质、等腰三角形知识、勾股定理等，将运动状态的所有可能考虑完备，分类讨论是解题的关键． 32.（24-25·吉林中考）【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下： 【探究发现】如图①，在平行四边形中，，，为边的中点，点在边上，且，连接，将沿翻折得到，点的对称点为点．小组成员发现四边形是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由． 【探究证明】取图①中的边的中点，点在边上，且，连接，将沿翻折得到，点的对称点为点．连接，，如图②．求证：四边形是平行四边形． 【探究提升】在图②中，四边形能否成为轴对称图形．如果能，直接写出的值；如果不能，说明理由． 【答案】[探究发现]：四边形是菱形，理由见解析；[探究证明]：四边形是平行四边形；[探究提升]：四边形为轴对称图形时，的值为或，理由见解析 【解析】本题考查四边形综合应用，涉及到平行四边形，矩形，菱形、等边三角形等知识，解题的关键是掌握菱形的判定定理，平行四边形的判定定理； [探究发现]由将沿翻折得到，即知，，而，故； [探究证明]同探究发现可知四边形是菱形，有，而为边的中点，为边的中点，四边形是平行四边形，即可得，，又，，故，，从而四边形是平行四边形； [探究提升]若四边形为轴对称图形，则四边形是矩形或菱形，分两种情况进行讨论：当四边形是矩形时，过作于，过作于，设，则，可得，，求出，即可得；当四边形是菱形时，延长交于，设，求出，即可得． 【解答】[探究发现]：解：四边形是菱形，理由如下： 将沿翻折得到， ，， ， ， 四边形是菱形； [探究证明]：证明：如图： 将沿翻折得到， ，， ， ， 四边形是菱形， ， 为边的中点，为边的中点， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，， 四边形是菱形， ，， ，， 四边形是平行四边形； [探究提升]：解：四边形能成为轴对称图形，理由如下： 由[探究证明]知，四边形是平行四边形，若四边形为轴对称图形，则四边形是矩形或菱形， 当四边形是矩形时，过作于，过作于，如图： ， ， ， 设，则， ， 为中点， ，， 四边形是菱形， ， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ， ， ； 当四边形是菱形时，延长交于，如图： 设，则， 四边形是菱形， ， ，， 四边形是平行四边形，， ，， ， 是等边三角形， ， ， ； 综上所述，四边形为轴对称图形时，的值为或． 33.（24-25·山西中考）综合与探究 问题情境：如图，在纸片中，，点在边上，．沿过点的直线折叠该纸片，使的对应线段与平行，且折痕与边交于点，得到，然后展平． 猜想证明：判断四边形的形状，并说明理由 拓展延伸：如图，继续沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在射线上，且折痕与边交于点，然后展平．连接交边于点，连接． ①若，判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长 【答案】四边形是菱形，理由见解析；①．理由见解析；②或 【解析】由折叠的性质可得，，再根据平行线的性质可得，进而得到，由等角对等边推出，从而证明，即可四边形是菱形； ①由（1）推出，由折叠的性质得到，结合已知可得，进而推出，得到，再根据三角形内角和定理即可求出，即可得到与的位置关系；②分是以为腰为底的等腰三角形和是以为腰为底的等腰三角形两种情况讨论，如图，延长交于点，设交点为，利用三角形相似的性质建立方程求解即可． 【解答】解：四边形是菱形，理由如下： 由折叠的性质可得，， ， ， ， ， ， 四边形是菱形； 证明：①，理由如下： 由（1）知四边形是菱形， ， 由折叠的性质得到， ， ， ， ， ， ， ； 解：②，，， ， 当是以为腰为底的等腰三角形时，如图，延长交于点，设交点为，则， ，， ， ， 由折叠的性质得，，， ， ； ， ； ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ； 当是以为腰为底的等腰三角形时，如图，则， 同理得，， 设， ， ， ， ，即， ， ， ， 是以为腰为底的等腰三角形，， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ； 综上，的长为或． 34.（24-25·甘肃模拟）如图，点为矩形的对称中心，，，点为边上一点，连结并延长，交于点，四边形与关于所在直线成轴对称，线段交边于点． （1）求证：． （2）当时，求的长． （3）如图，连结，，分别交，于点，．记四边形的面积为，的面积为，当时，求的值． 【答案】证明见解答 【解析】（1）此题考查了四边形的综合应用，轴对称变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，作出正确的辅助线，构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．根据矩形的性质得到对边平行，再利用平行线的性质，可得，再利用轴对称的性质，可得，即可解答； （2）过作于，设，则，利用中心对称的性质得到，从而得到的值，再根据勾股定理列方程，即可解答； （3）连接，，证明，进而证明，进而证明，可得，再证明，得到，再得到，最后根据①中结论，即可解答． 【解答】 （1）证明：四边形是矩形，， ， 四边形与关于所在的直线成轴对称， ， ； （2）过作于，如图 设，则， ， ， 四边形是矩形， ， ， 点为矩形的对称中心， ， ， 在中，， ， 解得(此时大于，舍去)或， ， 的长为： （3）证明：作于，连接，，，如图∶ 点为矩形的对称中心，过点， 为中点，， ， ， ， ， ， ，即， ， ，， ， ， ， ； 连接，， 如图： 四边形与关于所在直线成轴对称， ， 点为矩形的对称中心， ，， 同理， 由知， ，即 ， ， ， ， ，， ， ，， 即 ， ， ， ， ， ， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ，由①知：， ， ， ， 的值为 35.（24-25·四川模拟）在平面直角坐标系中的半径为为上一点，点．对于点给出如下定义：将点绕点顺时针旋转，得到点点关于点的对称点为称点为点关于点的“中旋点”． （1）如图，已知点点为点关于点的“中旋点”．①若点在图中画出点并直接写出的长度为      ； ②当点在上运动时，直线上存在点关于点的“中旋点”求的取值范围； （2）点当点在上运动时，若上存在点关于点的“中旋点”直接写出的取值范围． 【答案】①② 【解析】（1）①过作轴，交轴于作轴轴可得从而可求即可求解；②由①得：点的运动轨迹是以为圆心为半径的圆，根据图形即可求解． （2）设在第四象限的将以为中心顺时针旋转到连接过作轴，交轴于过作交的延长线于交轴于可证可得可求的运动轨迹是以为圆心为半径的圆在轴上运动，延长至使连接可证从而可得的运动轨迹是以为圆心为半径的圆在轴上运动，①当在的右侧时，②当运动到时，③当在与之间（不含、）时，④当运动到时，⑤当在与之间（不含、）时，⑥当运动到时，⑦当在与之间（不含、）时， ⑧当运动到时， ⑨当在的左侧时，根据图形即可求解． 【解答】 （1）解：①如图点如图所示，过作轴，交轴于作轴轴， 由旋转得： 在和中 ， 是关于的对称点， ． 故答案：． ②如图，由①得：点的运动轨迹是以为圆心为半径的圆， 当时，直线与相切于连接 当时，同理可求直线与相切时 当时，同理可求直线与相一定有交点． 综上所述：． （2）解：如图，设在第四象限的将以为中心顺时针旋转到连接过作轴，交轴于过作交的延长线于交轴于 在和中 ， 的运动轨迹是以为圆心为半径的圆在轴上运动， 延长至使连接 在和中 ， 的运动轨迹是以为圆心为半径的圆在轴上运动； ①如图，当在的右侧时与外离没有交点， 此时不存在； ②如图，当运动到时与外切， 此时切点是的“中旋点”， ； ③如图，当在与之间（不含、）时， 此时与相交有两个“中旋点”； ④如图，当运动到时内切与 此时切点是的“中旋点”， ； ⑤如图，当在与之间（不含、）时， 此时内含于此时没有交点点不存在； ⑥如图，当运动到时内切与 此时切点是的“中旋点”， ； ⑦如图，当在与之间（不含、）时， 此时与相交有两个“中旋点”； ⑧如图，当运动到时与外切， 此时切点是的“中旋点”， ； ⑨如图，当在的左侧时与外离没有交点， 此时不存在； 综上所述：． 第 1 页 共 80 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年中考第一轮复习 （核心知识 + 核心能力 + 解题思路 + 易错警示 + 真题演练） 第 24 课时 轴对称与中心对称 一、核心知识 （一）轴对称与轴对称图形 1. 基本概念 轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形____________，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做____________，折叠后重合的点叫做____________。 轴对称图形：如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够____________，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做它的____________（轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条）。 2. 核心性质 对应线段____________，对应角____________； 对称轴是对应点所连线段的____________； 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在____________上。 3. 常见的轴对称图形 线段：有____________条对称轴（线段所在直线和线段的垂直平分线）； 角：有____________条对称轴（角平分线所在直线）； 等腰三角形：有____________条对称轴（底边的垂直平分线）； 等边三角形：有____________条对称轴（三条边的垂直平分线）； 矩形：有____________条对称轴（两组对边中点连线）； 菱形：有____________条对称轴（两条对角线所在直线）； 正方形：有____________条对称轴（两组对边中点连线和两条对角线所在直线）； 圆：有____________条对称轴（过圆心的任意直线）。 4. 轴对称的判定与作图 判定：两个图形的对应点所连线段被同一条直线垂直平分，则这两个图形关于这条直线对称； 作图步骤： 确定已知图形的关键点； 分别作出关键点关于对称轴的____________（作关键点到对称轴的垂线，延长垂线段使垂足为中点，得到对称点）； 顺次连接各对称点，得到对称图形。 （二）中心对称与中心对称图形 1. 基本概念 中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转______ ，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做____________，旋转后重合的点叫做____________。 中心对称图形：如果一个图形绕着某一个点旋转 后，能与原来的图形完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的___________。 2. 核心性质 对应线段___________且______，对应角______； 对称中心是对应点所连线段的____________。 3. 常见的中心对称图形 线段：对称中心是___________； 平行四边形：对称中心是___________； 矩形：对称中心是____________； 菱形：对称中心是____________； 正方形：对称中心是____________； 圆：对称中心是__________； 正偶数边形（如正四边形、正六边形等）：对称中心是____________。 4. 中心对称的判定与作图 判定：两个图形的对应点所连线段都经过同一点，且被这一点平分，则这两个图形关于这个点成中心对称； 作图步骤： 确定已知图形的关键点； 分别作出关键点关于对称中心的____________（连接关键点与对称中心，延长并使对称中心为中点，得到对称点）； 顺次连接各对称点，得到对称图形。 （三）轴对称与中心对称的区别与联系 表格 项目 轴对称 中心对称 对称轴 / 对称中心 一条直线 一个点 对应点连线 被对称轴____________ 被对称中心____________ 联系 若一个图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则其对称轴必经过对称中心 （四）图形的折叠与旋转（轴对称与中心对称的应用） 1. 图形折叠（轴对称的应用） 折叠的本质：折叠前后的图形关于折痕成____________，对应边相等、对应角相等、对应点所连线段被折痕垂直平分； 关键思路：利用折叠性质转化线段和角度，结合勾股定理、全等三角形等知识求解。 2. 图形旋转（中心对称的应用） 旋转的本质：旋转前后的图形全等，对应边相等、对应角相等，对应点到旋转中心的距离相等，旋转角相等； 中心对称是旋转的特殊情况（旋转角为 180°）； 关键思路：找准旋转中心、旋转方向和旋转角，利用旋转性质转化线段和角度，辅助解题。 二、核心能力 题型 1 轴对称与中心对称图形的识别 解题思路 明确定义：根据轴对称图形 “折叠后直线两旁部分重合”、中心对称图形 “旋转 180° 后与自身重合” 的定义逐一判断； 熟记常见图形：对常见图形的对称性烂熟于心（如：正奇数边形是轴对称图形但不是中心对称图形，正偶数边形既是轴对称图形也是中心对称图形）； 易错点：注意 “线段”“角” 等简单图形的对称轴数量，避免遗漏（如线段有 2 条对称轴，而非 1 条）。 题型 2 轴对称与中心对称的性质应用 解题思路 轴对称性质应用： 求线段长度：利用 “对应线段相等” 或 “对称轴是对应点连线的垂直平分线”，结合勾股定理计算； 求角度：利用 “对应角相等”，结合三角形内角和、外角性质等推导； 证明线段 / 角相等：通过对称性质转化为对应线段 / 角，直接证明。 中心对称性质应用： 求线段长度 / 中点：利用 “对称中心是对应点连线的中点”，结合中点性质、平行线分线段成比例等求解； 证明平行或相等：利用 “对应线段平行且相等”，转化线段关系。 题型 3 图形折叠问题（折叠求边长、角度、面积） 解题思路 标记已知与未知：折叠后重合的边、角用相同符号标记，明确对应关系； 设未知数：设关键线段长度为 x，利用折叠性质表示出其他相关线段； 构建方程：结合勾股定理（折叠后常形成直角三角形）、全等三角形、等腰三角形等知识建立方程，求解未知数； 验证结果：确保结果符合图形实际（线段长度为正、角度合理）。 题型 4 图形旋转问题（中心对称应用） 解题思路 确定旋转要素：明确旋转中心、旋转角、对应点，画出旋转后的图形； 转化线段和角度：利用旋转性质将分散的线段或角度集中到一个图形中（如三角形）； 结合其他知识：与全等三角形、相似三角形、勾股定理等结合，求解线段长度、角度或证明结论； 中心对称特殊处理：若为中心对称，直接利用 “对应点连线过对称中心且被平分” 简化计算。 题型 5 利用轴对称求最短路径 解题思路 核心模型：“两点之间线段最短” 结合轴对称性质，将折线转化为直线； 常见类型： 一点到两直线的最短路径：作该点关于其中一条直线的对称点，连接对称点与另一直线上的点，与第一条直线的交点即为所求； 两定点到直线上一点的最短路径：作其中一个定点关于直线的对称点，连接对称点与另一定点，与直线的交点即为所求； 关键步骤：准确作出对称点，利用两点之间线段最短确定最短路径，再计算长度。 三、易错警示 轴对称与中心对称图形识别错误 错误：混淆两种图形的定义，如误将平行四边形当作轴对称图形，误将等腰三角形当作中心对称图形；遗漏简单图形的对称轴数量（如线段有 2 条对称轴，误记为 1 条）。 提醒：牢记定义是根本，对常见图形的对称性分类记忆（轴对称图形：等腰三角形、正多边形、圆等；中心对称图形：平行四边形、圆等；既是轴对称又是中心对称图形：矩形、菱形、正方形、圆等）；线段的对称轴是 “线段所在直线” 和 “垂直平分线”，角的对称轴是 “角平分线所在直线”，而非线段或射线。 性质应用时忽略关键条件 错误：应用轴对称性质时，忘记 “对称轴是对应点连线的垂直平分线”，仅认为对应线段相等而忽略垂直关系；应用中心对称性质时，误将 “对应线段平行” 当作必然结论（对应线段可能在同一直线上）。 提醒：轴对称的核心是 “垂直平分”，中心对称的核心是 “平分”，解题时务必完整运用性质，不遗漏关键条件；涉及对应线段时，需结合图形判断是平行还是共线。 图形折叠问题中漏用隐含条件 错误：折叠问题中，仅关注对应边、对应角相等，忽略 “折痕垂直平分对应点连线” 的隐含条件；未利用折叠形成的直角三角形构建方程。提醒：折叠问题的关键是 “折痕是对称轴”，务必利用 “垂直平分” 性质；折叠后常形成直角三角形，优先考虑勾股定理，设未知数建立方程是常用方法。 最短路径问题中对称点作错 错误：求最短路径时，作错对称点（如作关于线段的对称点而非直线的对称点）；未明确最短路径的构成，导致计算错误。 提醒：最短路径问题中，对称轴是 “直线” 而非线段或射线，对称点需作在直线的另一侧；最短路径是 “对称点与另一点的连线”，与对称轴的交点即为所求，计算时需结合图形性质（如勾股定理）。 旋转问题中旋转角判断错误 错误：旋转问题中，误将对应边的夹角当作旋转角；未找准旋转中心，导致对应点判断错误。 提醒：旋转角是 “对应点与旋转中心连线的夹角”，而非对应边的夹角；解题时先明确旋转中心，再通过对应点确定旋转角，确保旋转前后的图形对应关系正确。 四、真题演练 （一）选择题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 1.（24-25·江西模拟）我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A. B. C. D. 2.（23-24·湖南中考）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A.中线、角平分线、高线 B.角平分线、高线、中线 C.高线、中线、角平分线 D.角平分线、中线、高线 3.（23-24云南模拟）如图，与关于某点成中心对称，则对称中心是点（     ） A.M B.N C.P D.Q 4.（22-23·湖南中考）如图所示，在矩形中，，与相交于点，下列说法正确的是（ ） A.点为矩形的对称中心 B.点为线段的对称中心 C.直线为矩形的对称轴 D.直线为线段的对称轴 5.（24-25·四川模拟）如图，把长方形沿折叠后，点，分别落在，的位置．若，则是（    ） A. B. C. D. 6.（24-25·广西模拟）如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处，下列结论一定正确的是（    ） A. B. C. D. 7.（24-25·江苏模拟）一个正比例函数的图象经过点和点，若点与点关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为（      ） A. B. C. D. 8.（24-25·福建模拟）如图，在中，，，，是的垂直平分线，是直线上的一个动点，则的最小值是(        ) A. B. C. D. 9.（23-24·河南中考）将个边长都为的正方形按如图所示摆放，点、、、分别是正方形的中心，则个这样的正方形重叠部分的面积和为（ ） A. B. C. D. 10.（24-25·陕西模拟）如图，点是直线在第二象限上的一个点，点关于轴对称的点为，关于轴对称的点为，连接，则线段的最小值为（    ） A. B. C. D. 11.（22-23·湖北中考）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（   ） A. B. C. D. 12.（24-25·山东模拟）将直角三角形纸片按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（    ） A. B. C. D. 13.（22-23·浙江中考）对于坐标平面内的点，先将该点向右平移个单位，再向上平移个单位，这种点的运动称为点的斜平移，如点经次斜平移后的点的坐标为．已知点的坐标为，点是直线上的一点，点关于点的对称点为点，点关于直线的对称点为点，若点由点经次斜平移后得到，且点的坐标为，则的面积是（      ） A. B. C. D. 14.（24-25·浙江模拟）如图，在中，，，，平分交于点，过点作于点，连接．则下列结论： ①垂直平分；        ②的周长为； ③的长是；        ④的面积为． 其中正确的结论有（   ） A.个 B.个 C.个 D.个 15.（23-24·四川中考）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为．一个电动玩具从原点出发，按照与点依次成中心对称跳跃．第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；……．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（   ） A. B. C. D. （二）填空题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题）   16.（23-24·江苏模拟）在平面直角坐标系中，点 与点 与点 关于原点对称，则的值为________． 17.（24-25·江苏模拟）如图，已知与成中心对称，则对称中心是点______________ 18.（24-25·全国模拟）如图，关于点的是，若点的坐标为，则点的坐标为      ． 19.（24-25·四川模拟）如图，与 关于点对称，若，，，则的长为 ___________． 20.（24-25·安徽中考）如图，四边形是菱形，是两条对角线的交点，过点的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，若菱形的两条对角线长分别为和，求阴影部分的面积为__________．   21.（24-25·甘肃中考）如图，把平行四边形纸片沿对角线折叠，点落在点处，与相交于点，此时恰为等边三角形．若，则____________． 22.（24-25·福建模拟）如图，在中，，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时，的长为___________． 23.（24-25·黑龙江中考）如图，在矩形中，，，点是边的中点，点是对角线上一动点，作点关于直线的对称点，若，则的长为____________． 24.（24-25·四川中考）如图，在中，，，，点、、分别是边、、上的动点，则周长的最小值是____________． 25.（22-23·黑龙江中考）如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是      ．  （三）解答题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 26.（24-25·贵州模拟）如图，方格纸中的每个小正方形的边长都为，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上． 画出关于原点成中心对称的，并写出点坐标． 27.（24-25·安徽模拟）如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点（顶点是网格线的交点）． （1）将先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到，请画出． （2）画出关于点对称的（点，，的对称点分别为点，，）． （3）与是否成中心对称？若是，画出对称中心点的位置． 28.（23-24·云南中考）如图，是矩形的对角线，请按以下要求解决问题： （1）利用尺规作，使与关于直线成轴对称（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在的条件下，若交于点，，，求的长． 29.（24-25·江苏模拟）如图，在中，两条对角线相交于点，，以为边向下方作菱形． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若菱形的周长为，，点是菱形的对称中心，求点、之间的距离． 30.（24-25·四川中考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）利用图像，直接写出不等式的解集为________； （3）在轴上找一点，使的周长最小，并求出最小值． 31.（22-23·湖北中考）过正方形的顶点作直线，点关于直线的对称点为点，连接，直线交直线于点．   （1）如图，若，则      ； （2）如图，请探究线段，，之间的数量关系，并证明你的结论； （3）在绕点转动的过程中，设，请直接用含的式子表示的长． 32.（24-25·吉林中考）【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下： 【探究发现】如图①，在平行四边形中，，，为边的中点，点在边上，且，连接，将沿翻折得到，点的对称点为点．小组成员发现四边形是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由． 【探究证明】取图①中的边的中点，点在边上，且，连接，将沿翻折得到，点的对称点为点．连接，，如图②．求证：四边形是平行四边形． 【探究提升】在图②中，四边形能否成为轴对称图形．如果能，直接写出的值；如果不能，说明理由． 33.（24-25·山西中考）综合与探究 问题情境：如图，在纸片中，，点在边上，．沿过点的直线折叠该纸片，使的对应线段与平行，且折痕与边交于点，得到，然后展平． 猜想证明：判断四边形的形状，并说明理由 拓展延伸：如图，继续沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在射线上，且折痕与边交于点，然后展平．连接交边于点，连接． ①若，判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长 34.（24-25·甘肃模拟）如图，点为矩形的对称中心，，，点为边上一点，连结并延长，交于点，四边形与关于所在直线成轴对称，线段交边于点． （1）求证：． （2）当时，求的长． （3）如图，连结，，分别交，于点，．记四边形的面积为，的面积为，当时，求的值． 35.（24-25·四川模拟）在平面直角坐标系中的半径为为上一点，点．对于点给出如下定义：将点绕点顺时针旋转，得到点点关于点的对称点为称点为点关于点的“中旋点”． （1）如图，已知点点为点关于点的“中旋点”．①若点在图中画出点并直接写出的长度为      ； ②当点在上运动时，直线上存在点关于点的“中旋点”求的取值范围； （2）点当点在上运动时，若上存在点关于点的“中旋点”直接写出的取值范围． 第 1 页 共 80 页 学科网（北京）股份有限公司 $