精品解析：安徽六安市轻工中学2025-2026学年度第一学期九年级期末考试数学试题卷

2025～2026学年度第一学期九年级期末考试 数学试题卷 一、选择题（本大题共10题，每小题4分，满分40分） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形和轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 2. 下列函数表达式中，一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，判断各选项是否符合形如（为常数，）的整式函数即可． 【详解】解：选项A：是一次函数，最高次项次数为1，不符合二次函数定义，故A不符合题意； 选项B：含有分式，不是整式函数，不符合二次函数定义，故B不符合题意； 选项C：符合（，为常数）的形式，是整式函数，符合二次函数定义，故C符合题意； 选项D：含有分式，不是整式函数，不符合二次函数定义，故D不符合题意． 故选：C． 3. 如图所示的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了几何体的三视图，根据俯视图是从上面观察几何体，画出平面图形即可． 【详解】解：图中几何体的俯视图，如图所示： 故选：C． 4. 的值等于（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数定义：正切=对边与邻边之比，进行求解． 【详解】作一个直角三角形，∠C=90°，∠A=45°，如图： ∴∠B=90°-45°=45°， ∴△ABC是等腰三角形，AC=BC， ∴根据正切定义，， ∵∠A=45°， ∴， 故选 B． 【点睛】本题考查了三角函数，熟练理解三角函数的定义是解题关键． 5. 如图，已知 与位似，位似中心为，且 与的周长之比是 ，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质与判定．根据位似图形的概念得到，，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质计算即可解题． 【详解】解： 与位似，位似中心为， ，， 与的周长之比是， ， ， ， ． ∴的值为． 故选：C． 6. 已知反比例函数，当 时． 随 的增大而增大、则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数为常数，的增减性与 的关系． 根据反比例函数的性质，当反比例函数中时，在每个象限内 随 的增大而增大，据此列出关于 的不等式求解． 【详解】已知反比例函数，当 时， 随 的增大而增大． 得．解得． 故选：B． 7. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 明天下雨 B. 学校举办读书演讲比赛，九年级3班获得一等奖 C. 从分别标有数字1、2、3、4、5的五张卡片中随机抽取一张，上面的数字是6 D. 五个人分成四组，这四组中有一组有两人 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查必然事件的定义，必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件，需根据定义对各选项进行判断． 【详解】解：A选项明天下雨，天气情况具有不确定性，是随机事件，不符合题意； B选项学校举办读书演讲比赛，九年级3班获得一等奖，比赛结果无法确定，是随机事件，不符合题意； C选项从分别标有数字1、2、3、4、5的五张卡片中随机抽取一张，上面的数字是6，卡片中无数字6，该事件不可能发生，是不可能事件，不符合题意； D选项五个人分成四组，∵，∴必然存在一组有两人，是必然事件，符合题意． 故选：D． 8. 如图，点都在上，如果，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得到答案，熟练掌握圆周角定理是解此题的关键． 【详解】解： 点都在上，， ， 故选：C． 9. 在中，，，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形和勾股定理，熟练掌握锐角三角函数定义及勾股定理是解题的关键．根据的正切值用表示出，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又， ∴， 解得或（负值舍去）． 故选：D． 10. 抛物线过两点，点到抛物线对称轴的距离记为 ，满足，则实数 的取值范围是（　　） A. 2 B. 或 C. 3 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，解一元一次不等式， 将代入抛物线中得，根据，且点到抛物线对称轴的距离记为 ，满足可得进而得出或，然后将代入中，得可得，接下来得出不等式，求出解集即可． 【详解】解：将代入抛物线中， 得， 即． 对称轴，且点到抛物线对称轴的距离记为 ，满足 或． 将代入中，得 ， 即， 或 或． 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，计20分） 11. 二次函数的顶点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，本题中的二次函数是  形式中  的特殊情况，顶点横坐标由公式计算，代入求纵坐标即可． 【详解】解：由二次函数，得，， ， ∴顶点横坐标， 顶点纵坐标， 故顶点坐标为． 故答案为：． 12. 已知（），的值是________． 【答案】##0.8 【解析】 【分析】本题考查比例性质，直接由比例性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴，则， 故答案为：． 13. 圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长是__________cm 【答案】4π 【解析】 【分析】根据弧长公式即可求得． 【详解】解：由题意得，n=120°，R=6cm， 故可得：． 故答案为：4π． 【点睛】本题考查了弧长公式的应用，熟练掌握和运用弧长公式是解决本题的关键． 14. 如图，在中，，，为的中点，将绕着点逆时针旋转至． （1）求______；（用含的式子表示） （2）当时，的度数为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质． （1）根据中点的定义和旋转的性质可得，根据等边对等角可知，根据三角形外角的性质可得； （2）连接，可知，即可求出，根据，可知，根据三角形内角和定理可得，解方程即可求出的度数． 【详解】（1）解：为的中点， ， 由旋转可知， ， ， 是的外角， ， ， 故答案为：； （2）解：如下图所示，连接， ，为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ． 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．根据特殊角的三角函数值，绝对值意义，二次根式加法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 16. 已知抛物线过点，求抛物线的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的表达式，把点代入利用待定系数法列方程组，解方程组可得抛物线的解析式． 【详解】解： 抛物线过点， ， 即， 得：， ， 把代入①得：， 抛物线的解析式为：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在 中，，是上的点，已知是等边三角形，，，． （1）证明：； （2）求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据等边三角形性质得到角和边的关系，再通过计算边的比例证明相似； （2）利用（1）的相似结论得到角的关系，进而求出的度数． 【小问1详解】 证明：是等边三角形， ，， ， ，， ，， ， 又， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ． 18. 如图，在坐标系中， 的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出 关于y轴对称的图形； （2）以原点O为位似中心，位似比为2：1，在y轴的左侧，画出 放大后的图形； 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求． 【解析】 【分析】此题考查了轴对称作图、位似图形的作图，准确作图是解题的关键． （1）分别作出点A、B、C关于y轴对称的点，顺次连接即可； （2）分别作出点A、B、C的对应点为，顺次连接即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）直接写出不等式的解集． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象与一次函数的交点问题，能用待定系数法求出函数的解析式是解此题的关键．． （1）先根据一次函数图象上点的坐标特征求得a、b值，进而利用待定系数法求解即可； （2）根据图象，只需找到一次函数图象位于反比例函数图象上方部分点的横坐标的取值范围即可求解． 【小问1详解】 ，在一次函数的图象上， ，， ，， 在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：观察图象，当或时，一次函数图象位于反比例函数图象上方， ∴不等式的解集是或． 20. 如图，已知点E在直角 的斜边上，以为直径的与直角边相切于点D． （1）求证： 平分； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接 ， ∵是的切线， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵ ， ∴， ∴， ∴ 平分； （2）的半径为6 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质定理、等边对等角、角平分线的判定定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接 ，由切线的性质可得，结合题意得出，由平行线的性质结合等边对等角得出，即可得证； （2）证明，由相似三角形的性质求出的长，即可得解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵与圆相切于点D． ∴， ∵为的直径， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的半径为6． 六、（本题满分12分） 21. 如图，从高楼C点测得地面A，B两点的俯角分别为、，如果此时高楼C点的高度CD 为100米，点A，D，B在同一直线上，求AB两点的距离．（结果保留根号） 【答案】AB两点的距离是米． 【解析】 【分析】先根据从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°可求出∠BCD与∠ACD的度数，再由直角三角形的性质求出AD与BD的长，根据AB=AD+BD即可得出结论． 【详解】解： 从高楼C点测得地面A，B两点的俯角分别为，， ，， ，米，  是等腰直角三角形， 米， 在中， 米，， ， 米，  答：AB两点的距离是米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键． 七、（本题满分12分） 22. （1）如图1，在 中，，，垂足为点D，，垂足为点E， 与 交于点F． ①求证：； ②求证：； （2）如图2，在 中， ，点E为边上一点，过C作交 延长线于点D，若，，，求 的长． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）①利用等角对等边得到，通过证明得出结果即可； ②利用两个角对应相等的两个三角形相似，证明即可； （2）过点作交 的延长线于点，过点作交， 于，两点，过点作于点 ，首先通过平行四边形得到，通过得到，再利用得到，然后利用勾股定理求出结果 ． 【详解】解：（1）①∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∵， ∴； （2）过点作交 的延长线于点，过点作交， 于，两点，过点作于点 ，如图所示： ∵ ∥ ∥ ∴四边形为平行四边形， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ， ∴， ∴， ， ∴， 解得：（舍去），， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴ ， ∴， 在中，根据勾股定理得： ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、勾股定理、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、解一元二次方程等知识，识别图形之间的关系是解决问题的关键 ． 八、（本题满分14分） 23. 已知二次函数 （1）当时 ①求二次函数与坐标轴的交点坐标． ②若点是二次函数图象上的点，且，求的最小值． （2）若点和在二次函数图象上，且点在对称轴的左侧，求证：． 【答案】（1）①，；；②的最小值为； （2） 证明： 二次函数， 二次函数对称轴为直线， 点C在对称轴的左侧， ，即， 点和在二次函数图象上， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴交点情况，二次函数最值情况，解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质． （1）①将代入中，得到二次函数解析式，再当时，有，求解该方程，即可解题； ②根据题意得到，利用二次函数解析式表示出，进而得到，再结合二次函数最值情况求解，即可解题； （2）根据题意得到二次函数对称轴为直线，进而推出，再分别表示出，进而表示出，再结合求解，即可解题． 【小问1详解】 解：①当时，， 当时，有， 解得，， 二次函数图象与x轴的交点坐标为，； 当 时，有， 二次函数图象与y轴的交点坐标为； ② 点是二次函数图象上的点，且， ， ，， ， ， 的最小值为； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第一学期九年级期末考试 数学试题卷 一、选择题（本大题共10题，每小题4分，满分40分） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数表达式中，一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 的值等于（ ） A. 2 B. 1 C. D. 5. 如图，已知与位似，位似中心为 ，且与的周长之比是 ，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知反比例函数，当时． 随 的增大而增大、则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 明天下雨 B. 学校举办读书演讲比赛，九年级3班获得一等奖 C. 从分别标有数字1、2、3、4、5的五张卡片中随机抽取一张，上面的数字是6 D. 五个人分成四组，这四组中有一组有两人 8. 如图，点都在 上，如果，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 在 中，，，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 10. 抛物线过两点，点 到抛物线对称轴的距离记为 ，满足，则实数 的取值范围是（　　） A. 2 B. 或 C. 3 D. 或 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，计20分） 11. 二次函数的顶点坐标为______． 12. 已知（），的值是________． 13. 圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长是__________cm 14. 如图，在中，，， 为的中点，将绕着点 逆时针旋转至． （1）求______；（用含的式子表示） （2）当时，的度数为______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 已知抛物线过点，求抛物线的解析式． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在中， ， 是 上的点，已知是等边三角形，，，． （1）证明：； （2）求的度数． 18. 如图，在坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的图形； （2）以原点O为位似中心，位似比为2：1，在y轴的左侧，画出放大后的图形； 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）直接写出不等式的解集． 20. 如图，已知点E在直角的斜边上，以 为直径的 与直角边 相切于点D． （1）求证： 平分； （2）若，，求 的半径． 六、（本题满分12分） 21. 如图，从高楼C点测得地面A，B两点的俯角分别为、，如果此时高楼C点的高度CD 为100米，点A，D，B在同一直线上，求AB两点的距离．（结果保留根号） 七、（本题满分12分） 22. （1）如图1，在中，，，垂足为点D，，垂足为点E， 与 交于点F． ①求证：； ②求证：； （2）如图2，在中，，点E为 边上一点，过C作交 延长线于点D，若，，，求 的长． 八、（本题满分14分） 23. 已知二次函数 （1）当时 ①求二次函数与坐标轴的交点坐标． ②若点是二次函数图象上的点，且，求的最小值． （2）若点和在二次函数图象上，且点 在对称轴的左侧，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $