精品解析：山西吕梁一中2025-2026学年上学期高二第十次素养展示数学试卷

吕梁一中2025年秋高二年级第十次素养展示 数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题：每小题5分，共40分． 1. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出导函数后代入计算. 【详解】由已知， 所以， 故选：B. 2. 已知圆C过点，圆心在x轴上，则圆C的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出圆的标准方程，将已知点的坐标代入，解方程组即可. 【详解】设圆的标准方程为 ， 将坐标代入得: , 解得，故圆的方程为， 故选：C. 3. 已知是等差数列的前项和，，，则 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的前n项和公式及等差数列的性质可求出，即可求出公差，再根据通项公式求出. 【详解】因为， 所以， 故， ， 故选C. 【点睛】本题主要考查了等差数列的前n项和，等差数列的通项公式，等差数列的性质，属于中档题. 4. 若椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点坐标，可得出的值，进而可求得椭圆的离心率. 【详解】抛物线的焦点坐标为，由已知可得，可得， 因此，该椭圆的离心率为. 故选：B. 5. 已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先由点的坐标满足圆的方程来确定点在圆上，然后求出过点的圆的切线方程，最后由两直线的垂直关系转化为斜率关系求解. 【详解】由题知，圆的圆心，半径. 因为，所以点在圆上， 所以过点的圆的切线与直线垂直， 设切线的斜率，则有， 即，解得. 因为直线与切线垂直， 所以，解得. 故选：B. 6. 已知正项等比数列中，，，表示数列的前项和，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先计算出数列的通项公式，再计算的前项和，并求的取值范围. 【详解】因为，，且， 所以公比，，则，， ， ， 也成立 所以是以为首项，公比为的等比数列， 则的前项和 当时，有最小值，又, 所以的范围是. 故选：A. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式及前项和，较简单，只需要根据等比数列中的基本公式求解即可. 7. 已知分别为双曲线 的左、右顶点，过双曲线的左焦点作直线交双曲线于两点(点 异于)，则直线的斜率之比（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将所求的斜率之比用坐标表示，再设出直线的方程，联立直线的方程和双曲线的方程，结合根与系数之间的关系进行坐标运算即可求解. 【详解】如图所示，设 ，由题意得， 所以 ，所以 ， 当直线斜率存在时，设直线方程为 ， 所以联立双曲线方程得: ， 消元得 ， 所以 ①， 因为 ， 所以 将①代入得 ， 因为过双曲线的左焦点作直线交双曲线于两点， 所以 比值为负数，所以， 当直线 斜率不存在时，容易验证 故选：C. 8. 设，若函数，有大于零的极值点，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：设，则，若函数在x∈R上有大于零的极值点． 即有正根，当有成立时，显然有， 此时．由，得参数a的范围为．故选B． 考点：利用导数研究函数的极值． 二、多项选择题：每小题6分，共18分． 9. 已知数列的前n项和为Sn，，若存在两项，，使得，则（ ） A. 数列为等差数列 B. 数列为等比数列 C. D. 为定值 【答案】BD 【解析】 【分析】 由和的关系求出数列为等比数列，所以选项A错误，选项B正确；利用等比数列前项和公式，求出 ，故选项C错误，由等比数列的通项公式得到，所以选项D正确. 【详解】由题意，当时，，解得， 当时，， 所以， 所以，数列是以首项，公比的等比数列，， 故选项A错误，选项B正确； 数列是以首项，公比的等比数列， 所以，故选项C错误； ，所以为定值，故选项D正确. 故选：BD 【点睛】本题主要考查由和的关系求数列的通项公式，等比数列通项公式和前项和公式的应用，考查学生转化能力和计算能力，属于中档题. 10. 已知，下列说法正确的是（ ） A. 在处的切线方程为 B. 的单调递减区间为 C. 的极大值为 D. 方程有两个不同的解 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，利用导数的几何意义求解，对于B，求导后，由导数小于零求解，对于C，求导后求极值，对于D，函数与的交点个数判断 【详解】对于A，由（），得，，则，所以在处的切线方程为，所以A错误， 对于B，由，得，，所以的单调递减区间为，所以B正确， 对于C，由，得，当时，，当时，，所以当时，取得极大值，所以C正确， 对于D，由C选项可知的最大值为，且当时，，当时，， 所以函数与的交点个数为1，所以有1个解，所以D错误， 故选：BC 11. 已知函数，若区间的最小值为且最大值为1，则的值可以是（ ） A. 0 B. 4 C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】先求导，分类讨论利用导数法研究函数的最值，即可求解 【详解】， 令，解得或. ①当时，可知在上单调递增， 所以在区间的最小值为，最大值为. 此时，满足题设条件当且仅当，， 即，.故A正确. ②当时，可知在上单调递减， 所以在区间的最大值为，最小值为. 此时，满足题设条件当且仅当，， 即，.故B正确. ③当时，可知在的最小值为， 最大值为b或或，， 则，与矛盾. 若，， 则或或，与矛盾.故C､D错误. 故选：AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 根据下列4个图形及相应点的个数的变化规律，可以得出第个图形有___________个点． 【答案】 【解析】 【分析】由已知图形归纳出一般规律：第个图形是以一个点为中心向个方向各延展出个点，从而可得结论. 【详解】根据已知图形得出规律为：第个图形是以一个点为中心向个方向各延展出个点，因此它有个点， 故答案为：. 13. 抛物线的焦点到准线的距离等于___________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】求出焦参数即可得. 【详解】由抛物线的方程得，， 所以焦点到准线的距离为， 故答案为：. 14. 已知函数，设，且函数有3个不同的零点，则实数k的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意画出的函数图象，把函数有3个不同的零点的问题转化为函数与函数有3个交点的问题，分为和时分类讨论即可. 【详解】作出函数的图象如下图所示， 要使函数有3个不同的零点，则函数和函数有三个交点， 由已知得函数恒过点, 当时，过点时，函数和函数有三个交点，将代入得，即， 当时，与相切时，此时函数和函数有两个交点，如图所示，，设此时的切点为，则直线的斜率为 ，直线的方程为，将点代入得 ，解得，此时的斜率为， 将逆时针旋转至和平行时，即为的位置时，函数和函数有三个交点，此时，故的范围为， 综上所述实数k的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且满足． Ⅰ求数列的通项公式； Ⅱ设，，求数列的前n项和． 【答案】（Ⅰ）an=（n∈N*）（Ⅱ）1- 【解析】 【分析】Ⅰ根据条件列关于公比与首项的方程组，解得结果代入等比数列通项公式即可，Ⅱ先化简，再根据裂项相消法求结果. 【详解】解：（Ⅰ）设公比为，则因为，，成等差数列， 所以2=+，即 因为，所以 （Ⅱ）bn= = =-，n∈N*， ∴数列{bn}的前n项和Sn=++…+ =1-，n∈N*． 【点睛】本题考查等比数列通项公式以及裂项相消法求和，考查基本分析求解能力，属中档题. 16. 已知函数，，曲线在点（2，）处的切线方程为. （1）求的极值； （2）当时，恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】（1）极大值，无极小值 （2） 【解析】 【分析】（1）求得，根据曲线在点（2，）处的切线方程为，由，，求得，再利用导数法求解； （2）将时，恒成立，转化为对任意的恒成立，令，，用导数法求其最小值即可. 【小问1详解】 解：. 因为曲线在点（2，）处的切线方程为. 所以，， 解得，. 所以. 由，得，当时，，当时，， 所以在处取得极大值，无极小值. 【小问2详解】 由（1）知：，， 则. 依题意对任意的恒成立. 所以对任意的恒成立. 令，， ， 令，， 所以， 令，得. 则当时，，单调递减；当时，，单调递增. 所以当时，函数的最小值为，且. 所以，即，则在上单调递增， 所以， 所以， 故实数的取值范围为. 17. 如图，在四棱锥中，，，平面平面ABCD，点E在AD上，且，. （1）求证：. （2）设平面平面，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由，→四边形ABCE是平行四边形→，结合，再由面面垂直性质得平面APD→； （2）延长AB，DC交于点Q，连接PQ→直线PO就是交线l→二面角就是二面角，结合建系法，以E为坐标原点，直线EC，ED，EP分别为x轴､y轴､z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面ABP，平面PEQ的法向量，结合向量夹角的余弦公式即可求解. 【小问1详解】 在四边形ABCD中，，， 所以四边形ABCE是平行四边形，所以. 因为，所以， 因为平面平面ABCD，平面平面， 所以平面APD， 又平面APD，所以； 【小问2详解】 延长AB，DC交于点Q，连接PQ，则直线PQ就是交线l，（突破：通过作辅助线找到两平面的交线）， 连接EP，EQ，则二面角就是二面角. 因为，且，所以B为AQ的中点. 设，则在△PAD中，，，所以， 则，平面ABCD， 由（1）可知，故以E为坐标原点，直线EC，ED，EP分别为x轴､y轴､z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，所以，，，. 设平面ABP的法向量为，则，， 可得，即，取，则， 故为平面ABP的一个法向量， 设平面PEQ的法向量为，则，， 可得，即， 取，则，故为平面PEQ的一个法向量， 所以. 由图易知，二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为. 18. 已知函数． （1）讨论在上的单调性； （2）若不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数求解导数，故按照，确定导函数正负区间，得函数到单调性； （2）根据不等式，参变分离得恒成立，故可构造函数确定函数的单调性求最小值，则求得的取值范围． 【小问1详解】 解：因为，，所以． 当时，由，得；由，得． 则在上单调递减，在上单调递增． 当时，由，得；由，得． 则在上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 解：不等式恒成立，即不等式恒成立，即等价于恒成立． 设，则． 设，则． 设，则． 由，得，所以在上单调递增， 则，即，故在上单调递增． 因为，所以在上单调递增， 则，得，所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则． 故，即的取值范围是． 19. 已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，斜率为且过椭圆右焦点的直线交椭圆于、两点，与共线． （1）求椭圆的离心率； （2）设为椭圆上任意一点，且，证明：为定值． 【答案】（1）离心率为；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）设点、，将直线的方程代入椭圆的方程，列出韦达定理求出的坐标，利用与共线，可得出关于、、的齐次等式，进而可解得椭圆的离心率； （2）设，由可得出，由点在椭圆上可得出，利用韦达定理可计算得出，再由可计算得出，即可证得结论成立. 【详解】（1）设椭圆方程为，，则直线的方程为， 联立，消去并整理得， 设点、，由韦达定理可得，， 由，， 由与共线，得， 又，，， ，即，可得，所以，， 所以，椭圆的离心率为； （2）证明：由（1）知，所以椭圆方程可化为． 设，由得，. 在椭圆上，， ．（※） 由（1），知，，，． ． 又，，代入（※）式，得． 故为定值，定值为． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吕梁一中2025年秋高二年级第十次素养展示 数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题：每小题5分，共40分． 1. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆C过点，圆心在x轴上，则圆C的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知是等差数列的前项和，，，则 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 若椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知正项等比数列中，，，表示数列的前项和，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知分别为双曲线 的左、右顶点，过双曲线的左焦点作直线交双曲线于两点(点 异于)，则直线的斜率之比（ ） A. B. C. D. 8. 设，若函数，有大于零的极值点，则 A. B. C. D. 二、多项选择题：每小题6分，共18分． 9. 已知数列的前n项和为Sn，，若存在两项，，使得，则（ ） A. 数列为等差数列 B. 数列为等比数列 C. D. 为定值 10. 已知，下列说法正确的是（ ） A. 在处的切线方程为 B. 的单调递减区间为 C. 的极大值为 D. 方程有两个不同的解 11. 已知函数，若区间的最小值为且最大值为1，则的值可以是（ ） A. 0 B. 4 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 根据下列4个图形及相应点的个数的变化规律，可以得出第个图形有___________个点． 13. 抛物线的焦点到准线的距离等于___________． 14. 已知函数，设，且函数有3个不同的零点，则实数k的取值范围为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且满足． Ⅰ求数列的通项公式； Ⅱ设，，求数列的前n项和． 16. 已知函数，，曲线在点（2，）处的切线方程为. （1）求的极值； （2）当时，恒成立，求实数k的取值范围. 17. 如图，在四棱锥中，，，平面平面ABCD，点E在AD上，且，. （1）求证：. （2）设平面平面，求二面角的余弦值. 18. 已知函数． （1）讨论在上的单调性； （2）若不等式恒成立，求的取值范围． 19. 已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，斜率为且过椭圆右焦点的直线交椭圆于、两点，与共线． （1）求椭圆的离心率； （2）设为椭圆上任意一点，且，证明：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $