山西省吕梁市汾阳中学校2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题

汾阳中学2025-2026学年高二第一学期第一次月考 数学试题 (本试题共150分，考试时间120分。答案-律写在答题卡上) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合要求的。 1.复数2=1+的虚部为（) A.1 B.-1 C.i D.-1 2.如图，在平行四边形ABCD中，连结BD,下列运算正确的是() D B A.AB+BD=DA B.BA+BC=BD C.AB-AD=BD D.BD-BA=DA 3.已知ama=1,则cos+引-() A.0 B.1 C.-1 D.0或-1 4.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A'C=4,B'C=3,则VABC的面积是（） B 0(C) A.6 B.10 C.12 D.24 5.在△ABC中，a,b,c分别为三个内角A,B,C所对的边，设向量m=(b-c,c-a),i=(b,c+a), 若m上立，则角A的大小为() A君 B于 c p. 2π 6.如图，在正方体ABCD-AB,C,D,中，E为线段AC的中点，则异面直线DE与B,C所成角的大小为 () 试题第1 Du E A B I D B A.15° B.30° C.45° D.60° 7.投掷-一枚均匀的骰子，事件A:点数大于2；事件B:点数小于4：事件C:点数为偶数则下列关于 事件描述正确的是（) A.A与B是互斥事件 B.A与B是对立事件 C.A与C是独立事件 D.B与C是独立事件 8.已知圆台O,O2的上、下底面面积分别为4π，36π，其外接球球心O满足O,0=3O0,,则圆台OO,的外 接球体积与圆台OO2的体积之比为() A. 20V5 B.10v10 c.10v5 0 13 13 13 D.13 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.a,b是两条异面直线，A,B在直线a上，C,D在直线b上，A、B、C、D四点互不相同，则下列 结论一定不成立的是() A、A、B、C、D四点共面 B.AC//BD C.AC与BD相交 D.AC=BD 10.已知率件4B.C两两互斥，若P()=P(4U)=子P(UC)-音则《） A.PCnC9-名B.P到= 2 c.PC)- D.P(RUC) 1.为了得到函数)=2cos3x+智的图象，只（) A,将函数y=2©0s3x的图象向左平移号个单位长度 B.将函数y=2cos3x的图象向左平移个单位长度 ,共2页 C.将函数y=2sin3x的图象向左平移0个单位长度 18 D.将函数y=2si血3x的图象向右平移7个单位长度 18 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 2。甲、乙两人向同一目标各射击1次，已知甲、乙命中目标的概率分别为，则目标至少被中 1次的概率为一· 13.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B=60°，a+c=6,b=2W3,则VABC的 面积为 14.已知G是△ABC的重心，AB=2,AC=1,∠BAC=60°，则AG.BG= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题共13分) 某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标（正手发高远球、定点高远球、 吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布 直方图如图所示 ◆频率/组距 t 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 05060708090100考核得分 (1)由频率分布直方图，求出图中t的值，并估计考核得分的第60百分位数： (2)为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练现采用分层抽样的方法（样本量按 比例分配)，从得分在[70,90)内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分 别来自[「70,80)和[80,90)的概率； (3)现已知直方图中考核得分在[70,80)内的平均数为75，方差为6.25，在[80,90)内的平均数为 试题第2 85,方差为0.5，求得分在[70,90)内的平均数和方差. 16.(本小题共15分) (1)已知点A、BD的坐标分别是(0，-1)、(-5,1).(7,2)，且DC/1AB,BC1B,求点C的坐标； (2)已知向量ā=(-2,3)，点A(2,-1),若向量B与à平行，且A@=2W3,求向量OB的坐标。 17.(本小题共15分) 已知函数/（中8(）=f)分 (1)证明：函数g(x)是奇函数； (2)解不等式8x2-2x)+g(2x2-1<0. 18.(本小题共17分) 在VABC中，内角A,B,C对应的边分别是a、b、c,且bcosC+ccosB=2 acos 4 (1)求角A的大小： (2)若b=2,S。Bc=3V3,求a; (3)若VABC为锐角三角形，求sinB+sinC的取值范围. 19.(本小题共17分) 如图，正方体ABCD-AB,CD1的棱长为1， B (1)求证：BC,/1平面A,BC; (2)求：BA与平面A,CD所成的角大小； (3)求钝二面角B-A,C-D的大小. B 页，共2页汾阳中学2025-2026学年高二第一学期第一次月考 数学答案 一、单选题 1.【答案】A【分析】利用复数除法运算求出z即可.【详解】复数2=+=1+，所以所求虚部为1. 2.【答案】B【分析】利用向量加法和减法法则即可.【详解】由向量加法的三角形法则得，AB+BD=AD,故A错误； 由向量加法的平行四边形法则得，BA+BC=BD,故B正确； 由向量的减法法则得，AB-AD=DB,BD-BA=AD,故CD错误. 3.【答案】A【分析】由已知条件计第出心的值，代值计算可得出co~+到的值 【详解】因为na=l,则a=晋+(ke2), 所以，oa+引=cos版+引=士o登=0(kez. 4.【答案】C【分析】根据直观图与斜二测画法的定义求解， 【详解】由题可知，VABC为直角三角形，且AC⊥BC,如图： B 由斜=测高法相4C=AC=4BC=28C=6,所以Sx=4C-BC=分x4x6=l2. 5.【答案】B【解析】利用垂直的数量积为0与余弦定理求解即可. 【详解】因为m1n,所以mn=bb-c)+(c-a(c+a)=0, 即-加+d=0所议owA:-品-因为Ae0列藏-号 【点睛】本题主要考查了向量垂直与数量积的运用以及余弦定理求角度的问题，属于基础题型. 6.【答案】B【分析】因为AD/B,C,所以∠ADE(或其补角)即为异面直线DE与B,C所成的角，由△4DC为正三角形， E为线段AC的中点即可求得. 【详解】如图，在正方体ABCD-ABCD中，ADIB,C, 所以∠ADE(或其补角)即为异面直线DE与B,C所成的角， 易知△4DC,为正三角形，又E为线段4C的中点， 所以∠ADE=30°， 数学答案第 D B B 【答案】C【分析】根据互斥事件，对立事件，独立事件概率公式和定义，即可判断选项， 【详解】A和B有公共事件：点数为3，所以不是互斥事件，也不是对立事件，故AB错误； 事件AC表示点数为4或6，P(④=子P(C)=克，P(4C)-=所以P(C)=P(4P(C),所以A与C是独立事件， 故C正确； 事件BC表示点数为2，则P(8)=,P(C)=,P(BC)-,所以P(BC)≠P(B)P(C),所以B与C不是独立事件， 故D错误 ,【答案】B【分析】根据相切结合勾股定理可得R2=4+9h2=36+h2,即可求解h=2,R=2√10，由圆台和球的体积公式 即可求解， 【详解】设圆台OO2的高为4h,外接球半径为R,作出轴截面如图： 00的上、下底面面积分别为4π，36π，则圆0,02的半径分别为2,6， 则R2=4+92=36+h2,解得h=2,R=2√10， 故所求体积之比为 3-(2V10)3 4 -10W10 （4红+36m+V4m,36m-8 13 Ch 二、多选题 9.【答案】ABC【分析】根据异面直线的特点结合平面性质公理判断各选项即可. 【详解】当AC∥BD或AC与BD相交时，A、B、C、D四点共面， 此时a,b共面，不符合题意，故ABC错误， 对于D,如图，在正方体中，若异面直线a,b为图中两条直线时， 且A,D为所在棱的中点，B,C为正方体的顶点，此时AC=BD 〔，共4页 B 10.【答案】BD【分析】根据互斥事件的定义及概率公式逐项判断可得答案， 【详解】A选项，因为事件B,C互斥，所以B∩C=0,故P(BnC)=O,A错误： BC选项，因为事件么B.C两两互斥，P(0=P氏4U-P氏4UC- 所以P(=PU叭-P(到-2日分P(O)=P(4UC)-P(-音名B正确，C结误： D选项，P(C=P+PC)名子，D正确， 11.【答案】ACD【分析】根据三角函数的图象变换和诱导公式，进行逐一判断选项. 【详解】对于选项A,y=2c0s3x的图象向左平移号个单位长度， 可得y=2o9x+写}-2o3x+写引的图象故A正痛 对于选项B,y=2c0s3x的图象向左平移号个单位长度， 可得y=2os3x+写=2c0s6x+列=-2c0s3x的图象，故B错误： 对于选项C,y=2s血3x的图象向左平移设个单位长度， 可得y-2sm〔c+符-2n3x+名)-2wr3x+写}的图象，放c正确： 对于选项D,y=2sin3x的图象向右平移7个单位长度， 18 可得y-2如3-7-2m3x--2动（后-3刘=2eas3x+号}的图象， 故D正确. 三、填空题 12.【答案】 品095【分析】方法：设出事件，根器P(+=P(④+P(®-P()进行求解， 方法二：先求出目标没有被击中的概率，利用对立事件的概率公式求解即可. 【详解】方法一：设“甲命中目标”为事件A,“乙命中目标”为事件B, 则P(国-P(@)=青 所以目标至少被击中1次的概率 P(+B)=P()+P(8)-P(aB)=3+43x419 454520 方法二：设“甲命中目标”为事件A,“乙命中目标”为事件B, 则P()-},P()=年，P(同-4P(回)=； 数学答案 所以目标没有被击中的概率为P(同P(同=×=人 54201 目标至少被击中1次的概率为1- 119 2020 故答案为：9 0 3.【答案】25 【分析】由余弦定理得出ac=8,再根据三角形面积公式即可求解. 【详解】由a+c=6得，（a+c)}2=36→a2+c2=36-2ac, 由余弦定理得，c0sB=+c2-b=36-2ac-12_ 2ac 2ac 2→ac=8, 所以VABC的面积为，acsin B=x: *x95-25, 2 故答案为：2√5. 4【答案】-号 【分析】根据三角形重心的性质得到AG和8G的表达式，然后通过向量的数量积运算，将Cx8C展开并进行化简，最 终求出结果。 【详解】G是vABc的重心，G=(丽+4C列，G=(8c+8B)=[(aC--]-(4C-2, 又4B=2,4C=1，∠B4c-60,4G-G=(丽+AC(ac-2a-aC-2-西.4aG -5-2x4-2x1x60s609=- 故答案为：- 9 四、解答题 15.【答案】(1)：=0.030,85：(2)2：(3)得分在[70,90)内的平均数为81，方差为26.8 【分析】（1)首先根据频率和为1求出t=0.03,再根据百分数公式即可得到答案； (2)求出各自区间人数，列出样本空间和满足题意的情况，根据古典概型公式即可： (3)根据方差定义，证明出分层抽样的方差公式，代入计算即可、 【详解】(1)由题意得：10×(0.01+0.015+0.020+t+0.025)=1,解得t=0.03, 设第60百分位数为x,则0.01×10+0.015×10+0.02×10+0.03×(x-80)=0.6, 解得x=85,第60百分位数为85 2)由题意知，抽出的5位同学中，得分在70,80的有5x0=2人，设为A、B,在0,0)的有5x名=3人设为口 b、c. 则样本空间为2={(A,B),(A,a,(A,b),(A,c,(B,a,(B,b),(B,c,(a,b),(a,c,(b,c)},n(2)=10. 2页，共4页 设事件M=“两人分别来自[70,80)和[80,90)，则M={(A,a,(A,b),(A,c,(B,a),(B,b),(B,c)},n(M0=6, 因此PM0=2=6=3 h()1051 所以两人得分分别来自[0s0和8090的凝率为号 (3)由题意知，落在区间[70,80)内的数据有40×10×0.02=8个， 落在区间[80,90)内的数据有40×10×0.03=12个 记在区间[70,80)的数据分别为x,x2,…,xg,平均分为元，方差为S2; 在区间[80,90)的数据分别为为h,y2,…,2,平均分为)，方差为； 这20个数据的平均数为z,方差为s2. 由题意，宝=75-85=625号-05，且-之，-之则g=827_85+2x581, 12 20 20 根据方差的定义，动2代-或+2，-列茹26-4-+，-5+- 2-矿容-+2-2可-+0-+-列 曲2-到-立-8x=02-列=2-127=0， 可得=动2+-或+2-明+0- 20[8+86x-+12+125-列] =[2+区-列]++0-到门 =[6,25+(75-8]+[0.5+(85-8]=26.8 故得分在[70,90)内的平均数为81，方差为26.8. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是充分利用方差定义，推导出分层抽样的方差计算公式即可. 16.【答案】(1)（-3,6)；(2)（-2,5)或(6，-7) 【分析】(1)设C(x,y),由DC/AB和CLA,分别利用共线向量定理和数量积运算求解； (2)设OB=(m,),由向量AB与ā平行和4冠=2，分别利用共线向量定理和向量的模公式求解。 【详解】(1)解：设C(x,y), 则DC=(x-7,y-2),AB=(-5,2),BC=(x+5,y-1), 因为DC/IAB, 数学答案第3 折以2(x-7)+5(y-2)=0, 因为BC⊥AB, 所以-5(x+5)+2(y-1)=0, ￥得x=-3,y=6, 斤以点C的坐标为(-3,6)； (2)设OB=(m,n), 则AB=(m-2,n+1), 为向量AB与ā平行， 听以3(m-2)+2(n+1)=0, 4=213, f以(m-2)2+(n+1)2=52, m=-2 m=6 (n5或 n=-7' 斤以0B的坐标为(-2,5)或(6，-7) 【答案】0证明见知标；回x>成r<司引 【分行1限裙题意，得到82花打给合函数奇债性的定义和判定方法，即可得正 (2)根据题意，得到函数y=g(x)是奇函数且是减函数，把不等式转化为x2-2x>1-2x2,结合一元二次不等式的解法， 即可求解 【详解】1)证明：由函数=+8=f)- 可得间-r阳-4且的定义减为 高影 所以函数g(x)是定义域R上的奇函数. (2)解：根据指数函数的性质，可得f(倒3了中为减函数，则（创-=号也为减函数。 所以函数y=g(x)是奇函数且是减函数， 由不等式g(x2-2x)+g(2x2-)<0,可得g(x-2x)<-g(2x2-1)=g1-2x), 页，共4页 所以x2-2x>1-2x2,.即3x2-2x-1=(x-103x+1)s0,解得x<-1或x>1, 3 解得不等式的解集为x>成x<引。 18.【答案】（四A-于：2）a=2万：3)G. 【分析】(1)利用余弦定理角化边求解. (2)利用三角形面积公式及余弦定理求解。 (3)由(1)令B=花-日，C=花+9，再利用锐角三角形条件及和差角的正弦求出范围. 3 3 【详解】(1)在VABC中，由余弦定理得2aosA=cosC+cosB=b.。+2- +e.g2+c2- 2ab -=4, 2ac 而a>0,解得cosA=克，而0<A<元，所以4= （2》由c=35及4-子，得c如于-35，解得e=12,面6=2，则e6, 2 由余孩定理得d2=2+6-2×2x6×号28，所以a=25。 (3)由(1)知8+c-5,令B=背-8，C=骨+0， 3 3 由VABC为锐角三角形，得-<日<。，则5 6 <cos8≤1， 2 因此sinB+snC=sin(受-)+sn(5+8)=2 sin6=V5cos0∈号，V, 3 3 所以s血B+s血C的取值范围是（存，V. 19.【答案】(0证明过程见解析：@后：(9号 【分析】(1)由B,C∥BC得到BC∥平面ABC (2)连接BC,AC，证明BC与平面ACD垂直，得到BA与平面ACD所成的角为∠ABC的余角，通过VABC为等边 三角形得出∠4BC的大小，再得到所求角， (3)连接CD,证明CD⊥平面BAC,求出C,D与BC所成角，进而得到钝二面角B-AC-D的大小 【详解】(1)正方体ABCD-AB,CD,中，BC IIBC, 又B,C1E平面ABC,且BCc平面ABC ∴.B,C/平面ABC (2) 数学答案第 C D 连接BC1,AC1, 正方体ABCD-AB,C,D,中，CD⊥平面BCCB, 且BCC平面BC,CB,CD⊥BC, 又：BC⊥B,C,且BCIAD,∴BC上AD, 又：AD∩CD=D,且ADc平面ACD,CDc平面ACD :BC⊥平面ACD ∴.BA与平面ACD所成的角为∠ABC,的余角 又：a4BC为等边三角形，ABC=号 :B4与平面4C0所成的角为变号-君 (3) D B 0 连接CD,BC⊥平面C,DDC,∴BC⊥CD 又：CD⊥CD,且AB/CD,∴AB⊥CD, :ABOBC=B,且ABC平面ABC,BCc平面ABC, ∴.CD⊥平面ABC 又由(2)知BC1平面4CD,且C0与BG所成角为号， “钝二面角B-4C-D的大小为x-交=2红 33 页，共4页