精品解析：天津市2025-2026学年第一学期期末四校联考高一数学试卷

2025~2026学年度第一学期期末四校联考 高一数学 一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分） 1. 已知集合，集合，则（ ） A B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数（且）在上为减函数，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 6. 下列叙述正确的是（ ） A. 函数的图象过定点 B. 先将曲线上各点横坐标变为原来的，再将所得曲线向右平移个单位长度可得到函数的图象 C. 函数的零点所在的区间为 D. 若不等式的解集为，则的取值范围为 7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 的对称中心为 B. 当时， C. 的单调递减区间为 D. 若，且，则 8. 设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数．若在区间内没有零点，则的取值范围是（ ） A. B. C D. 二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分） 10. 函数的定义域为___________． 11. 已知扇形的圆心角为弧度，周长为10，则该扇形弧长为___________，面积为___________． 12. ___________． 13. 已知，且，则的最小值为___________． 14. 已知，则___________． 15. 已知函数，则当函数有5个零点时，实数的取值范围是___________． 三、解答题（本题共5题，共75分） 16. 记全集，已知集合． （1）若，求； （2）当时，求实数的取值范围． 17. 设为实数，已知函数是奇函数． （1）求的值； （2）判断在上的单调性并求证； （3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 18. 已知函数． （1）当时，解不等式； （2）解不等式； （3）若恒成立，求的取值范围． 19. 已知函数的图象相邻两个对称轴间的距离为，且图象关于点对称． （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）若，且，求； （3）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，记方程在上的根从小到大依次为，试确定的值，并求的值． 20. 若存在实数使得，则称函数为，的“函数”． （1）若为，的“函数”，其中为偶函数，为奇函数． （i）求，的解析式； （ii）若对于任意的实数，总存在实数，使得成立，求实数的取值范围； （2）设函数，，是否存在实数使得为，的“函数”，且同时满足：①是偶函数；②的值域为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期末四校联考 高一数学 一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出集合和集合，然后根据集合交集的运算求解. 【详解】因为集合，由，得，所以. 因为集合，由，得，所以， 所以. 故选：B. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】先解不等式，然后根据充分、必要条件的知识判断即可. 【详解】由，得，解得. 因为推不出，且推不出， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 3. 已知，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的性质求的范围，由此比较的大小即可. 【详解】因为函数为减函数，， 所以，即， 因为函数为增函数，， 所以，即 因为函数为减函数，， 所以，即 所以， 故选：A. 4. 已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用在上的值排除B，利用奇偶性排除排除C，利用在上的单调性排除D，从而得解. 【详解】对于B，当时，，易知，， 则，不满足图象，故B错误； 对于C，，定义域为， 又，则的图象关于轴对称，故C错误； 对于D，当时，， 由反比例函数的性质可知，在上单调递减，故D错误； 检验选项A，满足图中性质，故A正确. 故选：A. 5. 若函数（且）在上为减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】要使函数在上为减函数，须满足分段函数在各段上单调递减，结合端点处需要满足的条件，列出不等式组，求解即可. 【详解】当时，单调递减须满足，解得， 当时，单调递减须满足，且； 所以要使函数在上为减函数，须满足 ，即，解得， 所以的取值范围是. 故选：C 6. 下列叙述正确是（ ） A. 函数的图象过定点 B. 先将曲线上各点的横坐标变为原来的，再将所得曲线向右平移个单位长度可得到函数的图象 C. 函数的零点所在的区间为 D. 若不等式的解集为，则的取值范围为 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，根据求出函数的图象所过定点，即可判断，对于B，根据三角函数图象变换结论求出变换后的函数解析式，即可判断，对于C，根据函数的单调性及零点存在性定理求出零点所在区间即可判断，对于D，分，两种情况，由条件并结合二次函数性质列关系式求出的范围即可判断. 【详解】对于A，令，可得，， 所以函数的图象过定点，A错误； 对于B，将曲线上各点的横坐标变为原来的，可得曲线， 将曲线向右平移个单位长度可得到函数的图象， 即函数的图象，B错误， 对于C，因为函数为增函数，在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又，， 所以函数的零点所在的区间为，C正确； 对于D，当时，， 故时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为，故， 综上不等式的解集为，则的取值范围为，D错误. 故选：C. 7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 的对称中心为 B. 当时， C. 的单调递减区间为 D. 若，且，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，根据函数图象确定相关参数，可求出函数解析式，根据正弦函数的对称性可判断A；对于B，由的范围求的范围，再结合正弦函数性质求的范围可判断B；对于C，根据正弦函数的单调性求函数的单调递减区间判断C；对于D，根据正弦函数图象的对称性结合已知图象得到，代入求值，即可判断. 【详解】对于A，已知函数. 由图知，，故， 又过点，且该点在函数增区间上， 故，，又， 则，则， 令，，可得，， 所以函数的对称中心为，故A错误； 对于B，由，可得， 所以，所以， 当时，，当时，，B错误； 对于C，由，，可得，， 所以函数的单调递减区间为，C错误； 对于D，因为，且，根据正弦函数图象的对称性结合已知图象， 可知， 则，则，故D正确. 故选：D 8. 设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，并判断其奇偶性及单调性，讨论和两种情况，并结合的奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】 因为为奇函数，且定义域为. 所以，且. 令，则的定义域为. 且，且. 所以函数为偶函数，且. 因为对任意的，且，都有不等式，即恒成立， 所以当，即时，，即 所以函数在上单调递减. 所以函数在上单调递增. 不等式等价于或. 因为，所以. 所以或， 所以或. 故选：D. 9. 已知函数．若在区间内没有零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用二倍角的余弦公式及辅助角公式化简函数的解析式为，求出的零点，从而得到使得没有零点的条件，列出相应不等式，求解可得的取值范围. 【详解】． 令，得. 因为在区间内没有零点， 所以当时，则， 则内不包含任何； 则可得，所以. 由，得. 当时，，符合题意； 当时，.因为，所以； 当时，，不合题意. 综上，的取值范围是. 故选：C. 二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分） 10. 函数的定义域为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据具体函数对定义域的限制，列不等式求解即可得. 【详解】函数有意义，等价于， 解得 即函数的定义域为. 故答案为：. 11. 已知扇形的圆心角为弧度，周长为10，则该扇形弧长为___________，面积为___________． 【答案】 ①. 2 ②. 4 【解析】 【分析】由条件结合扇形的弧长公式列方程求出半径，再计算扇形的弧长和面积． 【详解】设扇形的半径为，弧长为，面积为， 由已知，故， 所以扇形弧长为， 面积为. 故答案为：； 12. ___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据指数、对数运算性质及换底公式可得. 【详解】 故答案为：. 13. 已知，且，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件可得，根据“1”的妙用结合基本不等式求解作答. 【详解】因为，，且，则， 可得， 当且仅当时等号成立，结合可得，当且仅当时等号成立， 所以取得最小值. 故答案为：. 14. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式对已知条件进行化简，可得.利用同角三角函数关系式及二倍角的正弦公式对进行化简，并将代入，即可得到结果. 【详解】因为，所以. . 故答案为：. 15. 已知函数，则当函数有5个零点时，实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法，根据函数与方程的关系，转化为函数交点的问题，利用数形结合进行求解即可. 【详解】设，则由得， 当时，， 函数在上单调递减， 当且时，， 当且时，， 当时，， 当时，， 若，作出函数的图象如图， 当或时，，此时，无解； 当时，由，得只有一个解且， 此时，最多有3个零点，不满足条件，故，不成立； 若，作出函数的图象如图， 当或时，，此时，无解； 当时，由，得只有一个解且， 此时，有1个解，不满足条件，故，不成立； 当时，作出函数的图象如图， ， 则当或时，， 由，得方程有3个不同的根，其中， 其中， 当时，，只有一个根， 当时，，只有一个根， 要使函数有5个零点，则必有，有3个零点， 由，得，即，此时只要即可， 得，解得， 则实数的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题（本题共5题，共75分） 16. 记全集，已知集合． （1）若，求； （2）当时，求实数的取值范围． 【答案】（1），或； （2） 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式求集合，求，，根据交集定义求结论； （2）由题设可得，讨论是否为空集，列不等式求参数范围. 【小问1详解】 当时，， 不等式 所以 则或，或， 所以，或； 小问2详解】 （2）若，则，且， 若，则，可得； 若，则，无解； 综上所述：实数的取值范围为． 17. 设为实数，已知函数是奇函数． （1）求的值； （2）判断在上的单调性并求证； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）增函数，证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）由条件再根据有意义时，奇函数满足列方程求解，再结合奇函数定义验证所得结果； （2）根据定义法证明单调性； （3）根据前两问中函数的性质，结合单调性与奇偶性，将条件转化为对任意的恒成立，再结合基本不等式求结论. 【小问1详解】 因为函数的定义域为，且是奇函数， 所以，解得， 此时．，满足题意，所以． 【小问2详解】 是上的增函数，证明如下： 对于任意的实数，且， ， 因为指数函数是增函数，所以，故， ，所以，即， 所以是上的增函数． 【小问3详解】 因为函数是奇函数，所以， 即 又是上的增函数，所以对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 因为，当且仅当即时等号成立 所以，即实数的取值范围是． 18. 已知函数． （1）当时，解不等式； （2）解不等式； （3）若恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）当时，不等式可化为，即，求解可得； （2）根据方程的解的情况，讨论的取值范围，根据不等式的特征求解即可； （3）根据二次不等式恒成立的条件求解可得. 【小问1详解】 当时，由，可得，即， 解得. 所以当时，不等式的解集为. 【小问2详解】 由，得. 若，不等式即为，解得； 若，不等式可化为， 此时方程的两根分别为， 当时，即，不等式的解集为； 当或时，， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 【小问3详解】 恒成立， 当时，不等式为，得，不符合题意； 当时，恒成立，需满足： 解得：， 综上的取值范围为． 19. 已知函数的图象相邻两个对称轴间的距离为，且图象关于点对称． （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）若，且，求； （3）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，记方程在上的根从小到大依次为，试确定的值，并求的值． 【答案】（1）， （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据相邻两个对称轴间的距离为最小正周期的一半求函数的最小正周期，根据与的关系求，根据正弦函数的对称性求，再结合正弦函数的单调性求函数的单调递增区间； （2）由条件可得，由角的范围及同角关系求， 方法一：利用诱导公式求结论；方法二：利用两角差正弦公式求结论； （2）根据题意确定的解析式，从而得到解的个数，结合函数图象判断解的对称关系，即可求解. 【小问1详解】 因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为， 所以最小正周期．可得． 又由函数关于点对称，令，所以， 因为，所以，所以函数， 又因为的单调递增区间为， 令， 解得． 所以的单调增区间为． 【小问2详解】 因为，即，因为，所以， 又因为，所以，所以． 法一：所以． 法二： ； 【小问3详解】 将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象， 再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象， 方程，可化为，得， 因为，所以， 设，则，，结合正弦函数的图象，如图所示： 可得方程在区间上有5个根，即， 其中， 即， ， 解得， ∴． 20. 若存在实数使得，则称函数为，的“函数”． （1）若为，的“函数”，其中为偶函数，为奇函数． （i）求，的解析式； （ii）若对于任意的实数，总存在实数，使得成立，求实数的取值范围； （2）设函数，，是否存在实数使得为，的“函数”，且同时满足：①是偶函数；②的值域为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（i）；（ii） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）（i）由“函数”的定义，列出关于的关系式，并根据为偶函数，为奇函数，求得，的解析式； （ii）由（i）知，令，可得，求其最小值，条件可转化为存在，使得成立，由此可求结论； （2）假设存在实数m，n使得为，的“函数”，根据是偶函数得的关系，代回，结合的值域为，求得的值，从而得到的值. 【小问1详解】 （i）因为为的“函数”， 所以①，所以， 因为为偶函数，为奇函数，所以， 所以②， 联立①②，解得； （ii）由（i）知，， 则 令，因为在上单调递增，在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 所以当时，，即， 则，即存在，使得成立， 当恒成立；当时，， 综上，． 【小问2详解】 存在，且，理由如下， 假设存在实数，使得为的“函数”， 则， 因为是偶函数，所以， 即，即， 又，可得， 因为需对任意成立，所以， 又因为 ， 因为，当且仅当即时取等号， 所以， 由于的值域为，所以，所以， 又因为，所以． 综上所述，存在满足要求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $