等差数列与等比数列的证明 课件-2025-2026学年高二下学期数学北师大版选择性必修第二册

学习目标 情境引入 探求新知 典例铺路 随堂演练 课堂小结 当堂检测 第一章 数列复习 互动设计 等差数列与等比数列的证明 互动设计课程 1 课件部分内容快照 【核心性质梳理】 一、等差数列的证明 二、等比数列的证明 1、等差数列的证明 2. 等差中项法 1、等比数列的证明 2. 等比中项法 三、典型证明技巧总结 线性递推类 3、通项公式法 4、求和公式法 3、通项公式法 4、求和公式法 分式递推类 二阶线性递推构造 【典例】 一、综合证明（双数列） 二、相关的证明 互动设计课程 学 习 目 标 为什么数列证明题是”必啃硬骨头”？ 返回主页 考情速递 等差与等比数列的证明，是高考数学必考中档题，近五年全国卷出现频率超80%，常以”证明新数列为等差/等比”作为数列大题的第一问，分值4-6分，是拿下后续求和、通项的关键跳板。 命题套路 - 载体隐蔽：从不直接给已知数列，而是藏在递推公式、关系、甚至双数列方程组中 - 构造为王：90%的题目需要你先”凑”出目标形式——取倒数、加常数、配指数，会构造就能拿分 - 环环相扣：第一问证出的结论，往往是第二问求通项、第三问求和的直接工具，证不出则满盘皆输 得分痛点 考生常卡在：递推式变形没方向、构造新数列缺灵感、忽略首项或范围验证导致步骤扣分。本专题系统梳理四大证明法+六大构造技巧，帮你建立”见题知路”的条件反射，把送分题稳稳收入囊中。 探 求 新 知 返回主页 一、等差数列的证明 二、等比数列的证明 三、典型证明技巧总结 1. 定义法（最常用） 要证明数列 是等差数列，只需证明： 完整证明格式： 计算 （具体数值或表达式） ，验证该结果与 无关 ，结论： 是以 为首项， 为公差的等差数列 示例：已知数列 满足 ，，证明 是等差数列。 证明： 故 是以 为首项， 为公差的等差数列。 2. 等差中项法 证明对任意 ，有： 适用场景： - 已知三项关系 - 涉及对称式条件 证明三个数成等差 设 成等差数列，证明 成等差数列。 证明： 由条件 ，需证： 左边 右边 左边 = 右边，得证。 3. 通项公式法 通项公式法 判定定理：（ 为常数） 是等差数列 示例：已知数列 前 项和 ，证明 是等差数列。 证明： - 时， - 时， 验证 ： ✓ 故 对 成立，是 的一次函数，因此 是等差数列。 4. 求和公式法 判定定理：（ 为常数，不含常数项） 是等差数列 关键特征：等差数列求和公式 注意：若 含常数项，则从第二项起成等差。 1. 等比定义法（最常用） 要证明数列 是等比数列，只需证明： 必须验证： 1≠0 2. ≠0 对 ∀n 成立（或从某一项起非零） 3. q≠0 示例：已知数列 满足 ，，证明 是等比数列。 证明： 故 是以 为首项， 为公比的等比数列。 2.等比中项法 证明对任意 ，有： 注意：仅 =不够，反例：0,0,0,… 或 1,0,0,… 设 是正项数列，且 （），证明 是等比数列。 证明： 由 ，知 对所有 成立。 由 ，得： 比值为常数，故 是等比数列。 3. 等比通项公式法 判定定理： 或 （） 是等比数列 已知 ，证明 是等比数列。 证明： ： - ： 验证 ： ✓ 故 ，是等比数列形式。 4. 等比求和公式法 判定定理： 或 （） 是等比数列 特征：等比数列求和 即 ，其中 三、典型证明技巧总结 技巧 适用场景 操作方法 取倒数 分式递推 证明 为等差/等比 加常数 线性递推 构造 取对数 乘积递推 证明 为等差数列 待定系数 复杂递推 设 求 构造方法： 设 ，解得 则 是以 为公比的等比数列。 3.1 线性递推构造 ，，求证 是等比数列。 解：，故 ，得证。 类型： 或 方法：取倒数转化为线性递推 3.2 分式递推构造 ，，证明 是等差数列。 证明： （常数） 故 是等差数列。 类型： 方法：特征方程 ，根据根的情况构造等比或等差。 3.3 二阶线性递推构造 ，，证明 和 都是等比数列。 证明： 故 是公比为 的等比数列。 同理： 故 是公比为 的等比数列。 典 例 铺 路 一、综合证明（双数列） 二、相关的证明 一、综合证明（双数列） (2) 设 ，证明 是等差数列。 例题2：已知数列 满足 ，且 证明： 和 都是等比数列。 证明： 同理： 故两者都是等比数列。 核心公式： 例题2：设 是 前 项和，，（）。 (1) 求 与 的关系；(2) 证明 是等差数列。 二、相关的证明 解： (1) ，代入： 除以 ： 由上式， 是公差为 的等差数列。 课 堂 小 结 1. 知识小结 返回主页 2. 方法小结 1 2 3 4 认真领会 3. 高考真题 1. 知识小结 证明要点提醒 首项非零：等比数列必须验证首项 公比非零：等比数列公比 范围标注：注意 的取值范围（通常 或 ） 常数验证：必须明确指出差或比是”常数” 40 五、易错点与注意事项 2. 方法小结 错误类型 典型案例 正确做法 忽略首项 证等比时未验 必须验证首项非零 范围错误 用于 注明 ，单独验 公比为0 等比数列含0项 等比数列各项必须非零 常数列混淆 非零常数列既是等差又是等比 零数列是等差非等比 递推方向 从 推 未说明可逆 明确递推关系双向成立 3. 高考真题 （2020年全国卷） 设 是公比不为1的等比数列， 为 的等差中项。 (1) 求公比；(2) 若 ，求数列 的前 项和。 解： (1) ，即 ，，故 ， 设 ，用错位相减法… $