精品解析：2026年 江苏省 南通市海门区东洲国际学校中考模拟预测数学试题

江苏省南通市海门区东洲国际学校2026年中考模拟试卷（一） 数学试题 试卷类型 · A 卷 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共5页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 4．作弊者，本试卷按0分处理． 5．在本试卷答题者，不计入成绩． 6．请考生如实填写自己的信息，不填、错填、漏填为无效试卷，按0分处理． 一、选择题（每题3分，共10题，共30分） 1. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，幂的乘方计算，同底数幂除法计算，分式的乘除法计算，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 2. 若二元一次联立方程式的解为，则之值为何？（ ） A. 33 B. 9 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，利用加减法解二元一次方程组，求得a、b的值，再代入计算可得答案． 【详解】解：把代入得： ， ①②得，， ∴， 把代入①得：， ∴， ∴． 故选：B． 3. 智慧农业广泛应用智能机器人．某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘10个苹果．若该机器人搭载m个机械手（），则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，每个机械手每分钟采摘10个苹果，m个机械手同时工作时，总采摘数为每个机械手的效率之和． 【详解】解：当机器人搭载m个机械手时，总效率为每个机械手效率的累加，即：总采摘数， 故选：D． 4. 下列命题中，假命题是（ ） A. 矩形的对角线相等 B. 菱形的对角线互相垂直 C. 正方形的对角线相等且互相垂直 D. 平行四边形的对角线相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查判断命题的真假，根据矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质和平行四边形的性质，逐一进行判断即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 【详解】解：A、矩形的对角线相等，是真命题，不符合题意； B、菱形的对角线互相垂直，是真命题，不符合题意； C、正方形的对角线相等且互相垂直，是真命题，不符合题意； D、平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，原命题是假命题，符合题意； 故选：D． 5. 某校进行《九章算术》，《周髀算经》，《孙子算经》，《算法统宗》四本书的长文本阅读活动，小聪从中任取一本，恰好抽到《九章算术》的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单的概率计算，根据等可能事件的概率公式求解． 【详解】解：共有4本书，每本书被抽中的可能性相等， 抽到《九章算术》是其中1种可能， 因此概率为成功事件数除以总事件数，即， 故选：C． 6. 如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（ ） A. 21 B. 14 C. 13 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得，据此根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点E，交于点D， ∴， ∴的周长， 故选：C． 7. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图象，一次函数的平移，待定系数法求得直线的解析式为，根据选项判断平移方式，结合题意，即可求解． 【详解】解：设直线的解析式为，代入 ∴ ∴ ∴直线的解析式为 ∵， A. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时经过原点，对应的经过整点，符合题意， B. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时原点在下方，对应的在整点上方，不符合题意， C. 当为时，平移方式为向右平移个单位，， ∴直线平移后的解析式为，此时点在正方形内部，不符合题意， D. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时点和在正方形边上或内部，不符合题意， 故选：A． 8. 如图，菱形的顶点在轴正半轴上，，反比例函数的图象过点和菱形的对称中心，则的值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，反比例函数的性质，先证明，，设，可得，，求解，过作于，再进一步求解即可． 【详解】解：∵菱形的顶点在轴正半轴上，， ∴，， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：， 过作于， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：D 9. 如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是（ ） A. 4 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，延长交于点，连接，，，，由垂径定理得，进而得，点关于的对称点为点，根据两点之间线段最短得当，，三点共线时，最小，最小值为的长，在利用直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，连接，，， ∵于点，交于点，为弧的中点， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点关于的对称点为点， ∴， ∴ 当，，三点共线时，最小，最小值为的长， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了弧、圆心角的关系，垂径定理，直角三角形的性质，两点之间线段最短，熟练掌握弧、圆心角的关系，垂径定理是解题的关键． 10. 如图1，在中，，点D在上，，动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为t秒，正方形的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．在3个时刻，，对应的正方形的面积均相等．下列4个结论：①当时，；②点P在线段上时；③；④．其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】先由函数图象可得当点P运动到B点时，，由此求出，当时，点P的运动路程为1，即此时点P在上，求出，再利用勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求出S，据此可判断①；当点P在上时，由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为，可设S关于t的函数解析式为，利用待定系数法求出，据此可判断②；求出当时，t的值，可得的长，再利用勾股定理求出的长，据此可判断③；可求出P在上时，；函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，设是函数上的两点，则，是函数上的两点，由此可得，则，根据题意可以看作，则，据此可判断④． 【详解】解：由图2可知当点P运动到B点时，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴或（舍去）； ∵动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动， ∴当时，点P的运动路程为1，即此时点P在上， ∴此时， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴当时，，故①正确； 当点P在上时，由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为， ∴可设S关于t的函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴S关于t的函数解析式为，故②错误 在中，当时，解得或， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，故③错误； ∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在匀速运动， ∴， ∵，， ∴， ∴； 点P在上运动时， 函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的， 设是函数上的两点，则，是函数上的两点， ∴， ∴， ∵存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等． ∴可以看作， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有2个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键． 二．填空题（共8小题，每题3分，共24分） 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解； 先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 计算的结果是_____． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值以及零指数幂，熟练记忆特殊角的三角函数值是解题的关键． 分别计算零指数幂以及代入特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：0． 13. 在平面直角坐标系中，若点，在反比例函数的图象上，则_____ （填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质进行判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， 又∵点，在反比例函数的图象上，且， ∴， 故答案为：． 14. 已知、、、、是五个正整数去掉其中任意一个数，剩余四个数相加有五种情况，和却只有四个不同的值，分别是45、46、47、48，则________． 【答案】58 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的加减运算、一元一次方程的应用等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 设，由题意可知已知这五个和只有四个不同的值，不妨设，那么这四个不同的值可以表示为（假设与前面某一个数相等）且为这四个值分别是45、46、47、48；再说明，然后分四种情况解答即可． 【详解】解：设，那么去掉后和为；去掉后和为；去掉后和为；去掉后和为；去掉后和为； ∵已知这五个和只有四个不同的值， ∴不妨设， 那么这四个不同的值可以表示为（假设与前面某一个数相等）． ∵这四个值分别是45、46、47、48， ∴，即， ∵ ∴， ∴，即； 当时，即； ∴，解得：，不是整数，不符合题意； 当时，即； ∴，解得：，符合题意； 当时，即； ∴，解得：，不是整数，不符合题意； 当时，即； ∴，解得：，不是整数，不符合题意； 综上，，即． 故答案为：58． 15. 如图，矩形内接于是上一点，连接分别交于点．若，则的直径为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，矩形的性质； 根据题意证出，得到，设，则，表示出，，连接，在中，求出，在和中，表示出，，列式计算出，再利用勾股定理计算直径即可． 【详解】解：∵为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴ ∴， 在中，， 连接， ∵为直径， ∴， 在中，， ∴在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴解得：， ∴， 的直径为：， 故答案为：． 16. 如图，为正方形的对角线，平分，交于点，把绕点逆时针方向旋转90°得到，延长交于点，连接，交于点．给出下列结论：①；②；③；④．以上结论正确的是________．（填写序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查正方形性质，旋转性质，全等三角形性质与判定，角平分线定义，圆周角定理，勾股定理解三角形，等腰三角形性质与判定，三角形的三边关系等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 由旋转性质得，可得，，，进而由即可判断①；由即可判断②；由、、、、在以为直径的圆上，可以证明，即可判定③，设，由勾股定理解三角形可得，，即可判断④． 【详解】解：由旋转可知：， ∴，，， ∵在正方形中， ∴，， 又∵， ∴， ∴，即，故①结论正确， ∵，， ∴，故②结论错误； 如图： ∵在正方形中， ∴， ∴， ∴、、、、在以为直径的圆上， ∵， ∴，故结论③正确； 如图：过点作，交于， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 设， 在中，， ∴， ∴，（负根已舍去） ∵， ∴， ∴．故结论④正确； 综上所述：①③④结论正确， 故答案为：①③④． 17. 在平面直角坐标系中，一次函数和，无论x取何值始终有，则m的取值范围是 _________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质以及不等式恒成立问题，熟练掌握一次函数表达式的变形和不等式恒成立的条件是解题的关键．先将两个一次函数整理成一般式，根据无论取何值都有，得出关于的不等式恒成立的条件，进而求解的取值范围． 【详解】解：，． ， ， 整理得． 因为无论取何值，该不等式始终成立，所以一次项系数，即， 此时不等式变为， ， ， ． 故答案为：． 18. △ABC是等边三角形，点O是三条高的交点．若△ABC以点O为旋转中心旋转后能与原来的图形重合，则△ABC旋转的最小角度是____________． 【答案】120°． 【解析】 【详解】试题分析：若△ABC以O为旋转中心，旋转后能与原来的图形重合，根据旋转变化的性质，可得△ABC旋转的最小角度为180°﹣60°=120°．故答案为120°． 考点：旋转对称图形． 三．解答题（共8小题，共96分） 19. 计算： （1）一道习题及其错误的解答过程如下： 计算：． 解： 第一步 ……第二步 ……第三步 请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． （2）计算：． （3）先化简，再求值：．求值时请在内取一个使原式有意义的(为整数)． 【答案】（1）第一步开始出现错误，正确结果为； （2）； （3）化简结果为，当时，值为 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算、实数的混合运算及分式的化简求值，涉及乘法分配律、绝对值的性质、分式有意义的条件等知识点．关键是掌握运算律、绝对值的性质、分式有意义的条件及分式的运算法则． （1）关键是注意负数与括号内各项相乘时的符号，错误出现在第一步，正确应用乘法分配律计算即可； （2）先算绝对值、乘方，再算括号内的减法，接着算乘法，最后算减法，注意绝对值的化简要判断绝对值内式子的正负； （3）先根据分式除法法则将除法转化为乘法，约分后通分计算化简，再根据分式有意义的条件选取合适的整数(需保证所有分母不为0，除数不为)代入求值． 【小问1详解】 解：第一步开始出现错误，错误原因是应用乘法分配律时，将与括号内第二项相乘，以及与第三项相乘时，均出现了符号错误． 正确解答： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 根据分式有意义的条件：，，， 在的整数中取， 将代入得：． 20. 2025年4月19日，烟台市民文化艺术季启幕．某校带领甲、乙两个社团参观甲骨学发展史馆，领略殷商文明甲骨文化穿越千年的不朽魅力．活动结束后，两个社团进行了一次满分为10分的甲骨学发展史测试，并对所有学生的成绩进行了收集、整理、分析，信息如下： ①甲社团的成绩（单位：分）情况如下： 6，6，6，6，7，7，7，7，6，7，7，6，7，8，8，8，8，9，8，8，9，9，9，8，8，9，9，9，7，9，6，9，9，10，8，8，9，9，10，10． ②乙社团的平均成绩为（分）． ③将两个社团的成绩绘制成如下不完整的统计图： 根据以上信息，解决下列问题： （1）将条形统计图补充完整； （2）成绩为8分的学生在_______社团的排名更靠前（填“甲”或“乙”）； （3）已知甲社团的满分学生中有两名女生，现从甲社团满分学生中随机抽取两人，参加甲骨学发展史宣讲活动．请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1） 补全图形如下： ； （2）成绩为8分的学生在乙社团的排名更靠前 （3） 【解析】 【分析】（1）先分别求解甲社团满分分有3人；乙社团分有人；补全图形即可； （2）先分别求解甲社团的成绩的中位数为（分）；乙社团的成绩的中位数为（分），再进一步求解即可； （3）记男生为甲，两个女生分别为乙，丙，画树状图，共有6种等可能的结果，其中抽取两人恰好是一名男生和一名女生的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵由统计数据可得：甲社团满分分有3人；乙社团分有人； 【小问2详解】 解：①甲社团的成绩（单位：分）情况如下： 6，6，6，6，6，6，6，7，7，7，7， 7，7，7， 7，8，8，8，8，8，8， 8，8，8，8，9，9，9，9，9，9， 9， 9，9，9， 9，9，10，10，10． ∴排在第，位的数据为， ∴甲社团的成绩的中位数为（分）； ∵乙社团排在第，位的数据为，， ∴乙社团的成绩的中位数为（分）； ∴成绩为8分的学生在乙社团的排名更靠前； 【小问3详解】 解：记男生为甲，两个女生分别为乙，丙， 画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中抽取两人恰好是一名男生和一名女生的结果有4种， ∴两人恰好是一名男生和一名女生的概率为． 【点睛】本题考查的是从统计数据，平均数公式中获取信息，求解中位数，利用中位数做决策，利用画树状图或列表法求解随机事件的概率，掌握统计的基础知识是解本题的关键． 21. 如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． （1）求的大小； （2）求证：是等边三角形． 【答案】（1） （2） 证明：由平移可知：， ， 又， ， ∴， 又， 垂直平分， ， 由（1）知，， ， ， 是等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、平移的基本性质、线段垂直平分线的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等基础知识，考查空间观念、几何直观与推理能力，考查化归与转化思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． （1）等边三角形的性质推出，垂直，得到，角的和差关系求出的大小即可； （2）平移得到，进而得到，角的和差关系推出，进而得到，根据，推出垂直平分，进而得到，推出，进而得到是等边三角形即可． 【小问1详解】 解：是等边三角形， ． D是的中点， ． ， ， ． 【小问2详解】 略 22. 如图，一次函数的图象交x轴于点A，交反比例函数的图象于点．将一次函数的图象向下平移个单位长度，所得的图象交x轴于点C． （1）求反比例函数的表达式； （2）当的面积为3时，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及了求反比例函数解析式、一次函数图象平移问题等知识点，熟记相关结论即可； （1）由题意得：点在一次函数的图象上，可求出，即可求解； （2）对于一次函数，令求出；一次函数的图象向下平移个单位长度后的解析式为：；求出，即可求解； 【小问1详解】 解：由题意得：点在一次函数的图象上， ∴， ∴； ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：对于一次函数，令，则； ∴； 一次函数的图象向下平移个单位长度后的解析式为：； 对于一次函数，令，则； ∴； ∴； 解得： 23. 项目学习 项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底．从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形．综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 景物的测量与计算 驱动问题 如何测量内栏墙围成泉池的直径 活动内容 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算 活动过程 方案说明 图为该景，点俯视图的示意图，点，是正八边形中一组平行边的中点，为圆的直径图中点在同一条直线上． 图为测量方案示意图，直径所在水平直线与外栏墙分别交于，点，，外栏墙与均与水平地面垂直，且．，均表示步道的宽，．图中各点都在同一竖直平面内． 数据测量 在点处测得，点和点的俯角分别为，，米．图中墙的厚度均忽略不计 计算 …… 交流展示 …… 请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径的长（结果精确到米．参考数据： ，，，，，）． 【答案】内栏墙围成泉池的直径的长约为米． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，由题意得，四边形为矩形，则，，所以，，设米，则米，米，然后通过， ， 列出方程， 解出方程即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，四边形为矩形， ∴，， ∴，， 设米，则米，米， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴，解得， ∴（米）， 答：内栏墙围成泉池的直径的长约为米． 24. 2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． （1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ （2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ （3）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 【答案】（1）A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元； （2）至少需要购进B款纪念品200个 （3），W的最大值为4500 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组，函数关系式和不等式是解题的关键． （1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，根据购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元建立方程组求解即可； （2）设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品个，根据购买资金不超过12000元建立不等式求解即可； （3）根据题意可得每个A款纪念品的利润为元，销售量为个，据此列出W关于a的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求出W的最大值即可． 【小问1详解】 解：设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元， 由题意得，， 解得， 答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元； 【小问2详解】 解：设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品个， 由题意得，， 解得， ∴m的最小值为200， 答：至少需要购进B款纪念品200个； 【小问3详解】 解：由题意得， ， ∵， ∴当，即时，W最大，最大值为4500． 25. 在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），连接AC1、BD1，AC1与BD1交于点P． （1）如图1，若四边形ABCD是正方形． ①求证：△AOC1≌△BOD1． ②请直接写出AC1 与BD1的位置关系． （2）如图2，若四边形ABCD是菱形，AC＝5，BD＝7，设AC1＝kBD1．判断AC1与BD1的位置关系，说明理由，并求出k的值． （3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，AC＝5，BD＝10，连接DD1，设AC1＝kBD1．请直接写出k的值和AC12+（kDD1）2的值． 【答案】 （1）①证明：如图1， ∵四边形ABCD是正方形， ∴OC＝OA＝OD＝OB，AC⊥BD， ∴∠AOB＝∠COD＝90°， ∵△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1， ∴OC1＝OC，OD1＝OD，∠COC1＝∠DOD1， ∴OC1＝OD1，∠AOC1＝∠BOD1＝90°+∠AOD1， 在△AOC1和△BOD1中 ， ∴△AOC1≌△BOD1（SAS）； ②AC1⊥BD1； （2）AC1⊥BD1． 理由如下：如图2， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OC＝OA＝AC，OD＝OB＝BD，AC⊥BD， ∴∠AOB＝∠COD＝90°， ∵△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1， ∴OC1＝OC，OD1＝OD，∠COC1＝∠DOD1， ∴OC1＝OA，OD1＝OB，∠AOC1＝∠BOD1， ∴， ∴△AOC1∽△BOD1， ∴∠OAC1＝∠OBD1， 又∵∠AOB＝90°， ∴∠OAB+∠ABP+∠OBD1＝90°， ∴∠OAB+∠ABP+∠OAC1＝90°， ∴∠APB＝90° ∴AC1⊥BD1； ∵△AOC1∽△BOD1， ∴ ∴k＝； （3）k＝， AC12+（kDD1）2＝25． 【解析】 【分析】（1）①如图1，根据正方形的性质得OC＝OA＝OD＝OB，AC⊥BD，则∠AOB＝∠COD＝90°，再根据旋转的性质得OC1＝OC，OD1＝OD，∠COC1＝∠DOD1，则OC1＝OD1，利用等角的补角相等得∠AOC1＝∠BOD1，然后根据“SAS”可证明△AOC1≌△BOD1； ②由∠AOB＝90°，则∠OAB+∠ABP+∠OBD1＝90°，所以∠OAB+∠ABP+∠OAC1＝90°，则∠APB＝90°所以AC1⊥BD1； （2）如图2，根据菱形的性质得OC＝OA＝AC，OD＝OB＝BD，AC⊥BD，则∠AOB＝∠COD＝90°，再根据旋转的性质得OC1＝OC，OD1＝OD，∠COC1＝∠DOD1，则OC1＝OA，OD1＝OB，利用等角的补角相等得∠AOC1＝∠BOD1，加上，根据相似三角形的判定方法得到△AOC1∽△BOD1，得到∠OAC1＝∠OBD1，由∠AOB＝90°得∠OAB+∠ABP+∠OBD1＝90°，则∠OAB+∠ABP+∠OAC1＝90°，则∠APB＝90°，所以AC1⊥BD1；然后根据相似比得到，所以k＝； （3）与（2）一样可证明△AOC1∽△BOD1，则，所以k＝；根据旋转的性质得OD1＝OD，根据平行四边形的性质得OD＝OB，则OD1＝OB＝OD，于是可判断△BDD1为直角三角形，根据勾股定理得BD12+DD12＝BD2＝100，所以（2AC1）2+DD12＝100，于是有AC12+（kDD1）2＝25． 【详解】（1）①略 ②AC1⊥BD1； ∵∠AOB＝90°， ∴∠OAB+∠ABP+∠OBD1＝90°， ∴∠OAB+∠ABP+∠OAC1＝90°，则∠APB＝90° ∴AC1⊥BD1； （2）略 （3）如图3，与（2）一样可证明△AOC1∽△BOD1， ∴， ∴k＝； ∵△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1， ∴OD1＝OD， 而OD＝OB， ∴OD1＝OB＝OD， ∴△BDD1为直角三角形， 在Rt△BDD1中， BD12+DD12＝BD2＝100， ∴（2AC1）2+DD12＝100， ∴AC12+（kDD1）2＝25． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质. 26. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点的坐标为．平行于对角线的直线从原点出发，沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线与矩形的两边分别交于点、，直线运动的时间为秒)． （1）点的坐标是 ，点的坐标是 ； （2）当 秒时，； （3）设的面积为，求与的函数关系式； （4）在（3）中得到的函数有没有最大值？若有求出最大值；若没有，要说明理由． 【答案】（1），； （2）或； （3）； （4）有最大值，最大值为． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算、分段函数的构建以及二次函数的图象与性质，关键是根据直线运动时间的不同取值范围进行分类讨论，确定直线与矩形的交点位置，再结合几何性质和函数知识逐步求解． （1）利用矩形的顶点在坐标轴上且对边与坐标轴重合的性质，结合点的坐标直接得出点、的坐标； （2）先通过勾股定理求出对角线的长度，再用待定系数法求出直线的解析式，结合直线与平行得到直线的解析式，分和两种情况，利用相似三角形的对应边成比例的性质列方程，求解出满足的值； （3）分和两种情况，前者借助相似三角形的性质求出线段的长度，再用三角形面积公式推导面积与的关系式，后者利用割补法将的面积转化为与的面积差，计算推导得出对应关系式，进而整合得到分段函数； （4）针对分段函数中两个不同的二次函数，分别根据其开口方向和对称轴的位置，分析各自在对应的取值范围内的最值变化情况，综合两次分析的结果确定出的最大值． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形，点的坐标为， ∴，， ∴点的坐标为，点的坐标为； 故答案为：，． 【小问2详解】 解：由，，得， ∴． 设直线的解析式为， 将点和点代入，得，解得， ∴直线的解析式为． ∵平行于对角线的直线从原点出发，沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动， ∴直线的解析式为． 分两种情况讨论： ①当时，直线交于，交于， ∵， ∴， ∴，即，解得； ②当时，直线交于，交于，交轴于点． 令，得， ∴． 同理可得， ∴，即， ∴，解得； 综上，的值为或； 故答案为：或． 【小问3详解】 解：分两种情况讨论： ①当时，由，得，即， ∴， ∴； ②当时， ∵直线的解析式为， 令，得；令，得， ∴，， ∴， 故当时，． 综上，与的函数关系式为 【小问4详解】 解：①当时，是开口向上的二次函数，对称轴为， ∴当时，取得最大值，； ②当时，是开口向下的二次函数，对称轴为， ∴在范围内，随的增大而减小，即； 综上，的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南通市海门区东洲国际学校2026年中考模拟试卷（一） 数学试题 试卷类型 · A 卷 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共5页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 4．作弊者，本试卷按0分处理． 5．在本试卷答题者，不计入成绩． 6．请考生如实填写自己的信息，不填、错填、漏填为无效试卷，按0分处理． 一、选择题（每题3分，共10题，共30分） 1. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 若二元一次联立方程式的解为，则之值为何？（ ） A. 33 B. 9 C. D. 3. 智慧农业广泛应用智能机器人．某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘10个苹果．若该机器人搭载m个机械手（），则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，假命题是（ ） A. 矩形的对角线相等 B. 菱形的对角线互相垂直 C. 正方形的对角线相等且互相垂直 D. 平行四边形的对角线相等 5. 某校进行《九章算术》，《周髀算经》，《孙子算经》，《算法统宗》四本书的长文本阅读活动，小聪从中任取一本，恰好抽到《九章算术》的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（ ） A. 21 B. 14 C. 13 D. 9 7. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形的顶点在轴正半轴上，，反比例函数的图象过点和菱形的对称中心，则的值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 9. 如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是（ ） A. 4 B. C. 6 D. 10. 如图1，在中，，点D在上，，动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为t秒，正方形的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．在3个时刻，，对应的正方形的面积均相等．下列4个结论：①当时，；②点P在线段上时；③；④．其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（共8小题，每题3分，共24分） 11. 因式分解：________． 12. 计算的结果是_____． 13. 在平面直角坐标系中，若点，在反比例函数的图象上，则_____ （填“”“”或“”）． 14. 已知、、、、是五个正整数去掉其中任意一个数，剩余四个数相加有五种情况，和却只有四个不同的值，分别是45、46、47、48，则________． 15. 如图，矩形内接于是上一点，连接分别交于点．若，则的直径为________． 16. 如图，为正方形的对角线，平分，交于点，把绕点逆时针方向旋转90°得到，延长交于点，连接，交于点．给出下列结论：①；②；③；④．以上结论正确的是________．（填写序号） 17. 在平面直角坐标系中，一次函数和，无论x取何值始终有，则m的取值范围是 _________． 18. △ABC是等边三角形，点O是三条高的交点．若△ABC以点O为旋转中心旋转后能与原来的图形重合，则△ABC旋转的最小角度是____________． 三．解答题（共8小题，共96分） 19. 计算： （1）一道习题及其错误的解答过程如下： 计算：． 解： 第一步 ……第二步 ……第三步 请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． （2）计算：． （3）先化简，再求值：．求值时请在内取一个使原式有意义的(为整数)． 20. 2025年4月19日，烟台市民文化艺术季启幕．某校带领甲、乙两个社团参观甲骨学发展史馆，领略殷商文明甲骨文化穿越千年的不朽魅力．活动结束后，两个社团进行了一次满分为10分的甲骨学发展史测试，并对所有学生的成绩进行了收集、整理、分析，信息如下： ①甲社团的成绩（单位：分）情况如下： 6，6，6，6，7，7，7，7，6，7，7，6，7，8，8，8，8，9，8，8，9，9，9，8，8，9，9，9，7，9，6，9，9，10，8，8，9，9，10，10． ②乙社团的平均成绩为（分）． ③将两个社团的成绩绘制成如下不完整的统计图： 根据以上信息，解决下列问题： （1）将条形统计图补充完整； （2）成绩为8分的学生在_______社团的排名更靠前（填“甲”或“乙”）； （3）已知甲社团的满分学生中有两名女生，现从甲社团满分学生中随机抽取两人，参加甲骨学发展史宣讲活动．请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率． 21. 如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． （1）求的大小； （2）求证：是等边三角形． 22. 如图，一次函数的图象交x轴于点A，交反比例函数的图象于点．将一次函数的图象向下平移个单位长度，所得的图象交x轴于点C． （1）求反比例函数的表达式； （2）当的面积为3时，求m的值． 23. 项目学习 项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底．从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形．综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 景物的测量与计算 驱动问题 如何测量内栏墙围成泉池的直径 活动内容 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算 活动过程 方案说明 图为该景，点俯视图的示意图，点，是正八边形中一组平行边的中点，为圆的直径图中点在同一条直线上． 图为测量方案示意图，直径所在水平直线与外栏墙分别交于，点，，外栏墙与均与水平地面垂直，且．，均表示步道的宽，．图中各点都在同一竖直平面内． 数据测量 在点处测得，点和点的俯角分别为，，米．图中墙的厚度均忽略不计 计算 …… 交流展示 …… 请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径的长（结果精确到米．参考数据： ，，，，，）． 24. 2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． （1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ （2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ （3）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 25. 在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），连接AC1、BD1，AC1与BD1交于点P． （1）如图1，若四边形ABCD是正方形． ①求证：△AOC1≌△BOD1． ②请直接写出AC1 与BD1的位置关系． （2）如图2，若四边形ABCD是菱形，AC＝5，BD＝7，设AC1＝kBD1．判断AC1与BD1的位置关系，说明理由，并求出k的值． （3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，AC＝5，BD＝10，连接DD1，设AC1＝kBD1．请直接写出k的值和AC12+（kDD1）2的值． 26. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点的坐标为．平行于对角线的直线从原点出发，沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线与矩形的两边分别交于点、，直线运动的时间为秒)． （1）点的坐标是 ，点的坐标是 ； （2）当 秒时，； （3）设的面积为，求与的函数关系式； （4）在（3）中得到的函数有没有最大值？若有求出最大值；若没有，要说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $