1.3.1平方差公式 课件--2025-2026学年北师大版数学七年级下册

北师大版数学7年级下册培优精做课件 1.3.1平方差公式 第一章 整式的乘除 授课教师： Home . 班 级： 7年级（*）班 . 时 间： . 2026年2月25日 2026年2月25日星期三12时52分55秒 2026年2月25日星期三12时52分57秒 学习目标 1.会利用多项式乘多项式的运算法则推导平方差公式. 2.掌握平方差公式，能正确运用公式进行简单计算和推理. 从前，有－个狡猾的地主，把－块边长为 20 米的正方形土地租给张老汉种植．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的－边减少5米，相邻的另－边增加5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何?”张老汉－听，觉得好像没有吃亏，就答应道：“好吧．”回到家中，他把 这事和邻居们－讲，大家都说： “张老汉，你吃亏了!”他非常吃惊． 你知道张老汉是否吃亏了吗? 新课探究 （1）(x+2) (x–2) （2）(1+3a)(1–3a) （3）(x+5y)(1–5y) （4）(2y+z)(2y–z) = x2 – 2x + 2x – 4 = x2 – 4 = 1 – 3a + 3a – 9a2 = 1 – 9a2 = x2 – 5xy + 5xy – 25y2 = x2 – 25y2 = 4y2 – 2yz + 2yz – z2 = 4y2 – z2 用多项式与多项式相乘的运算法则计算下列多项式的积： 两数的___ 两数的___ 中间项抵消了 两数_____的___ 和 差 差 平方 你发现了什么? 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方的差。 4 返回 B 1．下列各式中，不能用平方差公式计算的是(　　) A．(x－2y)(2y＋x) B．(x－2y)(－2y＋x) C．(x＋y)(y－x) D．(2x－3y)(3y＋2x) 中考考法 5 2．若(2x＋3y)(mx－ny)＝9y2－4x2，则m，n的值为(　　) A．m＝2，n＝3 B．m＝－2，n＝－3 C．m＝2，n＝－3 D．m＝－2，n＝3 B 返回 中考考法 6 你能再举一些类似的例子验证一下你的发现吗? (a + b)(a - b) = a2 - b2 （1）(3m + 1)(3m - 1); （2）(x2 + y)(x2 - y). = 9m2 - 3m + 3m - 1=9m2 – 1。 = x4 - x2y + yx2 - y2= x4 - y2。 （1）(3m + 1)(3m - 1) （2）(x2 + y)(x2 - y) 你能用字母表示你发现的规律吗? 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。 平方差公式： 平方差公式是多项式乘方(a+b)(p+q)中p=a，q=－b的特殊情形。 相反项 相同项 注意用谁减谁 相同项2-相反项2 3. [教材P25习题T10(2)]若xn－81＝(x2＋9)(x＋3)(x－3)，则n等于(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 返回 【点拨】因为(x2＋9)(x＋3)(x－3)＝(x2＋9)(x2－9)＝ x4－81，所以xn－81＝x4－81，所以n＝4. B 中考考法 9 4．填空：(1)(5m＋3n)(5m－3n)＝_________； (2)(－3x＋y)(－3x－y)＝________； (3)(2a＋b)________＝b2－4a2. 25m2－9n2　 返回 9x2－y2 (b－2a) 中考考法 10 例 1 利用平方差公式计算： （1）( 5 + 6x ) ( 5 – 6x ) ； （2） ( x – 2y ) ( x + 2y ) ； （3） (– m + n ) (– m – n) 。 解：（1）( 5 + 6x ) ( 5 – 6x ) = 52–(6x)2 = 25 – 36x2 ； （2） ( x – 2y ) ( x + 2y ) = x2– (2y)2 =x2– 4y2； （3） (– m + n ) (– m – n) = (– m)2 – n2 =m2– n2 。 a b 总结:关键是先确定相同项“a”和相反项“b”。 5．已知9m2－n2＝24，且3m－n＝4，则3m＋n等于_____． 返回 6 中考考法 12 中考考法 13 返回 (2)a4－(1－a)(1＋a)(1＋a2)． 【解】原式＝a4－(1－a2)(1＋a2)＝a4－(1－a4)＝2a4－1. 中考考法 14 （1）( a + 2)( a – 2) ； （2）(3a + 2b)(3a – 2b)。 解:（1） ( a + 2)( a – 2) （2） (3a + 2b)(3a – 2b) = a2 – 22 = (3a)2 – (2b)2 = a2 – 4 = 9a2 – 4b2 计算： 随堂练习 例 2 利用平方差公式计算 （1）(– x – y)(– x + y)； （2）(ab + 8)(ab – 8) 。 解：（1）(– x – y)(– x + y)= (– x)2 – y2= x2 – y2； （2）(ab + 8)(ab – 8) = (ab)2 – 82 =a2b2 – 64 。 如何计算(a – b)(– a – b) ?你是怎样做的? (a – b)(– a – b) = – (a – b) (a + b ) = – (a2 – b2) = b2 – a2 尝试·思考 注意:对于不能直接应用公式的， 可能要经过变形才可以应用。 7．化简(a＋b＋c)2－(a－b＋c)2的结果为(　　) A．4ab＋4bc B．4ac C．2ac D．4ab－4bc 【点拨】(a＋b＋c)2－(a－b＋c)2＝[(a＋b＋c)＋(a－b＋c)][(a＋b＋c)－(a－b＋c)]＝2b(2a＋2c)＝4ab＋4bc.故选A. 返回 A 中考考法 18 8. 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“凤凰数”，如8＝32－12，16＝52－32，所以8，16都是“凤凰数”，下列整数是“凤凰数”的为(　　) A．22　　 B．24　　 C．30　　 D．34 中考考法 19 返回 【点拨】设这两个连续奇数分别为2n－1，2n＋1，其中n是正整数，则“凤凰数”＝(2n＋1)2－(2n－1)2＝[(2n＋1)＋(2n－1)]·[(2n＋1)－(2n－1)]＝4n×2＝8n.A.22÷8＝2……6，故该选项错误；B.24÷8＝3，故该选项正确；C.30÷8＝3……6，故该选项错误；D.34÷8＝4……2，故该选项错误．故选B. 【答案】 B 中考考法 9. 若(2a＋2b＋1)(2a＋2b－1)＝15，则a＋b＝________. 返回 【点拨】因为(2a＋2b＋1)(2a＋2b－1)＝15，所以(2a＋2b)2－1＝15，所以4(a＋b)2＝16.所以(a＋b)2＝4.所以 a＋b＝2或a＋b＝－2. 2或－2 中考考法 21 10. 阅读下列材料： 某同学在计算3(4＋1)(42＋1)时，把3写成4－1后，发现可以连续运用平方差公式计算：3(4＋1)(42＋1)＝(4－1)(4＋1)(42＋1)＝(42－1)(42＋1)＝162－1. 中考考法 22 中考考法 23 返回 中考考法 24 平方差公式 文字描述 几何验证 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差 (a + b)(a－b) = a2－b2 多项式乘多项式 (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd 符号表示 c=a，d=-b 课堂小结 6．计算： (1)(x＋2y)(－x＋2y)； 【解】原式＝＝(2y)2－＝4y2－x2. 回答下列问题： (1)请借鉴该同学的方法，计算：(1＋)(1＋)(1＋) (1＋)＋； 【解】原式＝2…＋＝2＋＝2－＋＝2. 【解】原式＝… ·＝××××…××＝×＝. (2)借用上面的方法，再逆用平方差公式计算：(1－)(1－)(1－)…(1－)． $